复习：第三章轴向拉伸和压缩
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FN1l1 FN2l2 l l1 l2 EA1 EA2 20 103 200 103 40 103 200 10 3 9 2 6 200 10 8 10 10 200 109 4 102 10 6 0.075 103 m 0.075 mm
FN 38.7 103 123 106 Pa 123 MPa （3）AB杆应力： A 202 106 4
Jianjun_SHI Engineering Mechanics
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第பைடு நூலகம்16 页
3.11 变截面直杆如图所示。已知A1＝8cm2，A2＝ 4cm2，E＝200GPa。求杆的总伸长 l 。 解：（1）杆件的内力图： （2）伸长量计算：
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工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 17 页
3.13 如图所示，设CG为刚体，BC为铜杆，DG为钢 杆，两杆的横截面面积分别为A1和A2，弹性模量分别 为E1和E2。如要求CG始终保持水平位置，试求x。
解 :(1) CG杆的受力分析图 如下图，建立平衡方程，
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工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 11 页
3.1 试求图中各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作 杆件的轴力图。 （c）
（d）
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第二章 轴向拉伸和压缩
第 12 页
3 KH AK cos30 AK 2
在 KGA 中
AK KG AG AK sin 45 sin105 sin105 2 AD AK sin105
AK 0.073 mm
KH 0.063 mm
脆性材料：碳钢，黄铜等，以屈服极限作为强度指标； 塑性材料：铸铁，玻璃，砖头等，以强度极限作为强度指标。
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工程力学
第三章 轴向拉伸和压缩
第6页
3.
卸载定律及冷作硬化
d
e
e P
b
b
f
a c
s
即材料在卸载过程中应 力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。 材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷 作硬化或加工硬化。
上述公式只适用于应力不超过比例极限的杆件。
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第二章 轴向拉伸和压缩
第8页
解题步骤： 1. 轴力的计算 （1）建立坐标系。 （2）根据载荷作用特点，分段取截面，利用平 衡方程计算各段的内力（轴力）。
（3）做出杆件的轴力图。
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第二章 轴向拉伸和压缩
第 10 页
3. 变形计算 （1）建立坐标系，根据截面法计算杆件的轴力。 （2）根据轴向拉压杆件变形公式
FN l l EA
计算杆件的变形量。 （3）如果要计算结构的位移，则在上述基础 上，可利用几何法或能量法进行求解。
o
d g
f h
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
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工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第7页
5. 轴向拉压杆的变形量
当杆件为等截面直杆、轴力为常数时，变形公式为
FN l l EA
上述变形公式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度，刚度越 大则变形 越小，刚度越小则变形越大。
2 2 P 8 103 F N max 2 2 2 1.57 MPa 木 10 MPa 2 3 A a 60 10 P 1 8 103 F N max 2 2 50.93 MPa 钢 160 MPa 2 A d2 10 103 4 4
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2P 2
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 20 页
对B点受力分析
，建立平衡方程
P 2
Fx 0 FNBC cos 45 FNAB 0 FNAB FNBC cos 45
（2）强度校核 木杆： max 钢杆： max
0
45
FN 2A
0 ,90 0
4. 轴向拉压杆的强度问题
为保证杆件具有足够的强度，要求在载荷作用下杆件最大 的工作应力 max 不超过材料的许用应力, 即有:
max ≤
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第二章 轴向拉伸和压缩
第5页
轴向拉压时材料的力学性能
1. 低碳钢拉伸可分为以下四个阶段： 弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段 2. 两个塑性指标: 断后伸长率 断面收缩率
l1 l0 100 % l0 A0 A1 100 % A0
5 % 为塑性材料
5 % 为脆性材料
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第二章 轴向拉伸和压缩
第 22 页
（2）变形计算：
l AB FNAB l AB 4.485 103 2 cos 45 0.202 mm EAAB 200 109 202 106 4 FNAC l AC 3.66 103 2 cos 30 0.093 mm EAAC 200 109 242 106 4
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 15 页
（2）对横梁的受力分析 图列出平衡方程：
MC 0
FN sin AC W AC 0
0.8 0.8 1.9
2 2
BC 由已知条件知：sin AB
W FN sin
0.388
由此解得， FN
W 15 38.7 kN sin 0.388
l AC
（3）A点垂直位移计算： 由变形量之间的几何关系，知
AH AK KH
V A
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第二章 轴向拉伸和压缩
第 23 页
V A AH AK KH
其中，
EA lAC AK 0.186 mm cos 60 cos 60
。
上均匀分布。
FN ② 计算公式： A
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第二章 轴向拉伸和压缩
第4页
3. 轴向拉压杆斜截面上的应力
1）斜截面上应力极值：
max 0
max
FN A
min 90
min
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第2页
变形体力学的基本概念：
1. 构件应满足以下三方面的要求： 强度，刚度，稳定性。 强度要求：构件抵抗破坏的能力； 刚度要求：构件抵抗变形的能力； 稳定性要求：构件保持原平衡状态的能力。 工程结构失效的形式有三种：强度失效，刚度失效， 稳定性失效。 2. 变形体基本假设： 连续性假设，均匀性假设，各项同性假设， 完全弹性/线弹性假设，小变形假设 3. 杆件变形的基本形式—— 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
FNBC cos FNAC cos 0 Fx 0 FNBC sin FNAC sin P 0 Fy 0 P 解得， F NBC FNAC
因为， 45 （由几何条件可知），所以，
2cos
FNBC FNAC
FN1 FN2 F 0 Fy 0 FN2 l F x 0 M C 0
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第二章 轴向拉伸和压缩
第 18 页
FN1 FN2 F 0 Fy 0 FN2 l F x 0 M C 0
（c）
1-1截面：
Fx 0
2-2截面：
2 F FN1 0 FN1 2 F
Fx 0
轴力图：
2 F F FN2 0
FN 2 F
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 13 页
（d）
FN1 F
FN2 2 F
轴力图：
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解:（几何法） (1) 对A铰受力分析:
FNAB cos 45 FNAC cos30 0 FNAB 0.897 F 4.485 kN Fx 0 F 0 F sin 45 F sin 30 F 0 NAC y NAB FNAC 0.732 F 3.66 kN
（2）建立变形协调条件： 由于CG杆始终保持水平状 态，则有 l1 l2
FN 2l2 FN1l1 再根据 l1 , l2 即有 E1 A1 E2 A2
FN1l1 FN 2l2 E1 A1 E2 A2
ll1 E2 A2 （3）联立上述三式，解得： x l2 E1 A1 l1 E2 A2
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第二章 轴向拉伸和压缩
第 19 页
P71 3.16 3.16 如图所示结构，AC和BC均为边长a ＝60 mm的正方形截面木杆，AB为直径d ＝10 mm的圆形截面钢杆，已知P＝8 kN、 木材的许用应力[ 钢 ]＝10 MPa、钢材的 许用应力[ 木 ]＝160 MPa，试分别校核 木杆和钢杆的强度。 解：（1）计算各杆内力,对C点受力分析，建立平衡方程
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第9页
2. 强度计算 （1）建立坐标系，根据截面法计算杆件的轴力， 从而确定危险截面。 （2）根据轴向拉压杆件横截面上应力的公式
FN A
得到杆件的 max
（3）根据轴向拉压杆件的强度条件
max ≤
可进行强度校核、截面设计和许用载荷的计算。
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 14 页
3.5 如图所示为一旋臂吊车的简图，斜杆AB为直径d ＝20mm的钢杆，载荷W＝15kN。当W移到A点时， 求斜杆AB横截面上的应力。 解：（ 1 ）对斜杆 AB 和横梁进行受力分析 。
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第二章 轴向拉伸和压缩
第3页
1. 横截面上的内力 ── 轴力
（1）轴力：轴向拉压时，杆件横截面上的内力为 轴力，以 FN 表示，沿杆件轴线方向。 （2）轴力的正负号规定：以拉力为正，压力为负。 2. 轴向拉压杆横截面上的应力 ① 分布规律：对等截面直杆，正应力在整个截面
故，木杆和钢杆强度满足。
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工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第 21 页
3.19 图示结构中，设AB和AC分别 为直径是20mm和24mm的圆截面杆， E ＝ 200GPa ， F ＝ 5kN 。试求 A 点的 垂直位移。
工程力学
第二章 轴向拉伸和压缩
第1页
第 三 章 轴向拉伸和压缩
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7 轴向拉压杆的内力、轴力图 轴向拉压杆的应力 轴向拉压时材料的力学性能 轴向拉压杆变形的计算 轴向拉压杆的强度条件 应力集中的概念 拉伸和压缩静不定问题
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FN 38.7 103 123 106 Pa 123 MPa （3）AB杆应力： A 202 106 4
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第பைடு நூலகம்16 页
3.11 变截面直杆如图所示。已知A1＝8cm2，A2＝ 4cm2，E＝200GPa。求杆的总伸长 l 。 解：（1）杆件的内力图： （2）伸长量计算：
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3.13 如图所示，设CG为刚体，BC为铜杆，DG为钢 杆，两杆的横截面面积分别为A1和A2，弹性模量分别 为E1和E2。如要求CG始终保持水平位置，试求x。
解 :(1) CG杆的受力分析图 如下图，建立平衡方程，
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第二章 轴向拉伸和压缩
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3.1 试求图中各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作 杆件的轴力图。 （c）
（d）
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3 KH AK cos30 AK 2
在 KGA 中
AK KG AG AK sin 45 sin105 sin105 2 AD AK sin105
AK 0.073 mm
KH 0.063 mm
脆性材料：碳钢，黄铜等，以屈服极限作为强度指标； 塑性材料：铸铁，玻璃，砖头等，以强度极限作为强度指标。
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3.
卸载定律及冷作硬化
d
e
e P
b
b
f
a c
s
即材料在卸载过程中应 力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。 材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷 作硬化或加工硬化。
上述公式只适用于应力不超过比例极限的杆件。
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解题步骤： 1. 轴力的计算 （1）建立坐标系。 （2）根据载荷作用特点，分段取截面，利用平 衡方程计算各段的内力（轴力）。
（3）做出杆件的轴力图。
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3. 变形计算 （1）建立坐标系，根据截面法计算杆件的轴力。 （2）根据轴向拉压杆件变形公式
FN l l EA
计算杆件的变形量。 （3）如果要计算结构的位移，则在上述基础 上，可利用几何法或能量法进行求解。
o
d g
f h
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
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5. 轴向拉压杆的变形量
当杆件为等截面直杆、轴力为常数时，变形公式为
FN l l EA
上述变形公式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度，刚度越 大则变形 越小，刚度越小则变形越大。
2 2 P 8 103 F N max 2 2 2 1.57 MPa 木 10 MPa 2 3 A a 60 10 P 1 8 103 F N max 2 2 50.93 MPa 钢 160 MPa 2 A d2 10 103 4 4
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对B点受力分析
，建立平衡方程
P 2
Fx 0 FNBC cos 45 FNAB 0 FNAB FNBC cos 45
（2）强度校核 木杆： max 钢杆： max
0
45
FN 2A
0 ,90 0
4. 轴向拉压杆的强度问题
为保证杆件具有足够的强度，要求在载荷作用下杆件最大 的工作应力 max 不超过材料的许用应力, 即有:
max ≤
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轴向拉压时材料的力学性能
1. 低碳钢拉伸可分为以下四个阶段： 弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，局部变形阶段 2. 两个塑性指标: 断后伸长率 断面收缩率
l1 l0 100 % l0 A0 A1 100 % A0
5 % 为塑性材料
5 % 为脆性材料
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（2）变形计算：
l AB FNAB l AB 4.485 103 2 cos 45 0.202 mm EAAB 200 109 202 106 4 FNAC l AC 3.66 103 2 cos 30 0.093 mm EAAC 200 109 242 106 4
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（2）对横梁的受力分析 图列出平衡方程：
MC 0
FN sin AC W AC 0
0.8 0.8 1.9
2 2
BC 由已知条件知：sin AB
W FN sin
0.388
由此解得， FN
W 15 38.7 kN sin 0.388
l AC
（3）A点垂直位移计算： 由变形量之间的几何关系，知
AH AK KH
V A
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V A AH AK KH
其中，
EA lAC AK 0.186 mm cos 60 cos 60
。
上均匀分布。
FN ② 计算公式： A
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3. 轴向拉压杆斜截面上的应力
1）斜截面上应力极值：
max 0
max
FN A
min 90
min
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第2页
变形体力学的基本概念：
1. 构件应满足以下三方面的要求： 强度，刚度，稳定性。 强度要求：构件抵抗破坏的能力； 刚度要求：构件抵抗变形的能力； 稳定性要求：构件保持原平衡状态的能力。 工程结构失效的形式有三种：强度失效，刚度失效， 稳定性失效。 2. 变形体基本假设： 连续性假设，均匀性假设，各项同性假设， 完全弹性/线弹性假设，小变形假设 3. 杆件变形的基本形式—— 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
FNBC cos FNAC cos 0 Fx 0 FNBC sin FNAC sin P 0 Fy 0 P 解得， F NBC FNAC
因为， 45 （由几何条件可知），所以，
2cos
FNBC FNAC
FN1 FN2 F 0 Fy 0 FN2 l F x 0 M C 0
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FN1 FN2 F 0 Fy 0 FN2 l F x 0 M C 0
（c）
1-1截面：
Fx 0
2-2截面：
2 F FN1 0 FN1 2 F
Fx 0
轴力图：
2 F F FN2 0
FN 2 F
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（d）
FN1 F
FN2 2 F
轴力图：
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解:（几何法） (1) 对A铰受力分析:
FNAB cos 45 FNAC cos30 0 FNAB 0.897 F 4.485 kN Fx 0 F 0 F sin 45 F sin 30 F 0 NAC y NAB FNAC 0.732 F 3.66 kN
（2）建立变形协调条件： 由于CG杆始终保持水平状 态，则有 l1 l2
FN 2l2 FN1l1 再根据 l1 , l2 即有 E1 A1 E2 A2
FN1l1 FN 2l2 E1 A1 E2 A2
ll1 E2 A2 （3）联立上述三式，解得： x l2 E1 A1 l1 E2 A2
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P71 3.16 3.16 如图所示结构，AC和BC均为边长a ＝60 mm的正方形截面木杆，AB为直径d ＝10 mm的圆形截面钢杆，已知P＝8 kN、 木材的许用应力[ 钢 ]＝10 MPa、钢材的 许用应力[ 木 ]＝160 MPa，试分别校核 木杆和钢杆的强度。 解：（1）计算各杆内力,对C点受力分析，建立平衡方程
工程力学
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2. 强度计算 （1）建立坐标系，根据截面法计算杆件的轴力， 从而确定危险截面。 （2）根据轴向拉压杆件横截面上应力的公式
FN A
得到杆件的 max
（3）根据轴向拉压杆件的强度条件
max ≤
可进行强度校核、截面设计和许用载荷的计算。
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3.5 如图所示为一旋臂吊车的简图，斜杆AB为直径d ＝20mm的钢杆，载荷W＝15kN。当W移到A点时， 求斜杆AB横截面上的应力。 解：（ 1 ）对斜杆 AB 和横梁进行受力分析 。
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1. 横截面上的内力 ── 轴力
（1）轴力：轴向拉压时，杆件横截面上的内力为 轴力，以 FN 表示，沿杆件轴线方向。 （2）轴力的正负号规定：以拉力为正，压力为负。 2. 轴向拉压杆横截面上的应力 ① 分布规律：对等截面直杆，正应力在整个截面
故，木杆和钢杆强度满足。
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3.19 图示结构中，设AB和AC分别 为直径是20mm和24mm的圆截面杆， E ＝ 200GPa ， F ＝ 5kN 。试求 A 点的 垂直位移。
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第 三 章 轴向拉伸和压缩
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7 轴向拉压杆的内力、轴力图 轴向拉压杆的应力 轴向拉压时材料的力学性能 轴向拉压杆变形的计算 轴向拉压杆的强度条件 应力集中的概念 拉伸和压缩静不定问题
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