3.3.2《两点间的距离》教案

3.3.2两点间的距离

三维目标

知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题

教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：

一， 情境设置，导入新课

课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

平面直角坐标系中两点()(2

122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC V 中，222

1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有

2222221

212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121

2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。 由此得到两点间的距离公式

12PP =

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。 二，例题解答，细心演算，规范表达。

例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。 解：设所求点P （x ，0），于是有

=由 PA PB =得

22

25411

x x x x

++=-+解得x=1。

所以，所求点P（1，0）且

PA==通过例题，使学生对两点间距

离公式理解。应用。

解法二：由已知得，线段

AB的中点为

1

2

⎛

⎝⎭

Ｍ

，直线AB的斜率为

k=

1

2

⎛⎫

⎪

⎝⎭

３

ｘ－ＰＡ＝

３２３

线段AB的垂直平分线的方程是

y-

1

2

⎛⎫

⎪

⎝⎭

３

ｘ－

２

在上述式子中，令y=0，解得x=1。

所以所求点P的坐标为（1，0）。因此

ＰＡ＝

三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）

例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222

2222

AB a CD a AD b c BC

===+=

，，

()

2

AC a b

=+２２，

＋ｃ()

２２２

ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ

所以，()

２２２２２２２

ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

()

２２２２２

ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，

２２２２２２

ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题。

课堂小结：

主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。

课后练习

1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。