数学竞赛历年的不等式题

（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．

112x << B ．1

, 12

x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2

0,1210

x x x x >≠⎧⎨

+->⎩，解得 1

,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 32

01

22

x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<； 或 32

122x x x x >⎧

⎨

+->⎩ 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1

, 12x x >≠且. 1．（05）使关于x

k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A

解

：

令

6,

y x =≤≤

则

2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤-

(6)] 6.x +-

=0y k ∴<≤实数

D 。

（2004年全国）3．不等式2log 21

1log 32

12++

-x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4）

解：原不等式等价于2

2331log 0222

log 10

x x ++>⎪-≥⎩ 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ．

（2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数

u =244

x -+2

99y -的最小值是D (A)

58 (B)11

24

(C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2

5

133215|

{-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知

52

3

≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x

证明： 容易证明：当a ，R b ∈时，2

2

2

2b a b a +≤+．其中等号成立，当且仅当b a =． 所以)3151()321(3153212x x x x x x x -+++-++=-+-++

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=-+++-++≤x x x x x x 822322)

315()1(22)32()1(2 19214521422

)8(22

34=+≤+=-+-≤x x x ．

由于不等式

2

)

32()1(2

321-++≤-++x x x x 中等号成立，当且仅当

321-=+x x ，即4=x ；不等式2

)

315()1(2

3151x x x x -++≤-++中等号成立，

当且仅当x x 3151-=+，即2

7

=

x ．所以上述不等式第一个不等号中的等号就不可能成立． 所以1923153212<-+-++x x x ． （2008年全国）14．解不等式

121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．

[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于

1210864353122x x x x x ++++>+．

即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，

864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分

所以 4210x x +->，

2

211()022

x x --+-

->． …15分

所以2x >

，即x

故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于

1210864353122x x x x x ++++>+． …5分

即

6422232

26

2133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(

2322

32+++<+x x x x ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为2

2

1(

)(1)g g x x <+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于

2

2

11x x <+， 即

222()10x x +->，解得2x >

(2x <舍去)，故原不等式解集为

(,)-∞+∞ ．