数学竞赛历年的不等式题
不等式的题目
不等式的题目一、一元一次不等式1. 解不等式3x - 5 < 4- 解析：- 首先将不等式进行移项，得到3x<4 + 5，即3x<9。
- 然后两边同时除以3，解得x < 3。
2. 解不等式2(x+1)-3x≥0- 解析：- 先展开括号得2x+2 - 3x≥0。
- 合并同类项得-x+2≥0。
- 移项得-x≥ - 2。
- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≤2。
3. 不等式5x+12 - 8(x - 1)<0的解集是多少？- 解析：- 先展开括号得5x + 12-8x + 8<0。
- 合并同类项得-3x+20 < 0。
- 移项得-3x<-20。
- 两边同时除以-3，不等号方向改变，解得x>(20)/(3)。
4. 解不等式(2x - 1)/(3)≤(3x+2)/(4)-1- 解析：- 首先给不等式两边同时乘以12去分母，得到4(2x - 1)≤3(3x + 2)-12。
- 展开括号得8x-4≤9x + 6-12。
- 移项得8x-9x≤6 - 12 + 4。
- 合并同类项得-x≤ - 2。
- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≥2。
5. 若关于x的不等式3x - m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是多少？- 解析：- 解不等式3x - m≤0，得x≤(m)/(3)。
- 因为正整数解是1，2，3，所以3≤(m)/(3)<4。
- 解3≤(m)/(3)得m≥9；解(m)/(3)<4得m < 12。
- 所以m的取值范围是9≤ m<12。
二、一元一次不等式组6. 解不等式组cases(x+3>02x - 1≤3)- 解析：- 解不等式x + 3>0，得x>- 3。
- 解不等式2x-1≤3，移项得2x≤3 + 1，即2x≤4，解得x≤2。
- 所以不等式组的解集为-3 < x≤2。
7. 解不等式组cases(3x - 1>2x+12x<4)- 解析：- 解不等式3x - 1>2x + 1，移项得3x-2x>1 + 1，解得x>2。
重要不等式汇总(例题答案)
其他不等式综合问题例1：（第26届美国数学奥题之一）设a 、b 、c ∈R +，求证：.1111333333abcabc a c abc c b abc b a ≤++++++++（1）分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。
思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x 3+y 3≥x 2y+xy 2=xy(x+y) (x 、y ∈R +)（*）知 （1）的左端.1)(1)(1)(1abcabc a c ca abc c b bc abc b a ab =++++++++≤这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。
（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？以下为行文方便，记 （1）的左端为 ∑++abcb a 331，表示对a 、b 、c 轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述,为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手,推广1：设a 、b 、c 、d ∈R +，求证：abcdabcd c b a 11333≤∑+++ 。
（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x 4+y 4+z 4≥xyz(x+y+z) （**）（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。
数学竞赛单元训练题高中 不等式的解法
- 1 < sin θ<
π π 1 3 ,则 < θ< , 故 x = tan θ< . 2 2 6 3 2 41D . 令 t = lg ( 1 + tan x ) ( t ≥0 ) , 则 1 + tan2 x
= 10 t , 即 cos2 x = 10 - t . 从 而 cos 2 x = 2cos2 x - 1 = 2・ 10 - t - 1 , 所以 f ( t ) = 2・ 10 - t - 1 ( t ≥ 0 ) . 于是 , 由
3 2 3
3
∈ N 3 } , 共有 90 个元素 , 其真子集有 290 - 1 . 5 91{ x | x > ,且 x ≠ 0 } . 使不等式有意义的 x 9 取值范围为 x ≥ - 1 且 x ≠0 . 这时原不等式可化为
2 x (1 +
3 x + 1 ,则 x =
t - 1
3
3
, 原不等式化为
D1
1 , 10) 10
只有一个整数解 , 求实数 k 的取值范围 .
151 设函数 y = f ( x ) ( x ∈R , 且 x ≠0 ) 对任意非
51 若关于 x 的不等式 2 - | x - a| > x 2 至少有一
). 个负数解 , 那么实数 a 的取值范围是 ( 9 5 A1 < a < 2 B1 < a<2 4 4 7 7 C1 < a<2 D1 < a<3 4 3 61 已 知 关 于 x 的 不 等 式 2 2 2 x + ( 2 a + 2) x - a + 4 a - 7 < 0 的解集是一些区 2 2 2 x + ( a + 4 a - 5) x - a + 4 a - 7 ). 间的并集 , 那么实数 a 的取值范围是 ( A1 a ≤ 1 B1 a ≥ 3 C11 ≤a ≤ 3 D1 a ≤ 1或 a≥ 3 二、 填空题 71 已知 a ∈[ - 1 , 1 ] , 则不等式 x 2 + ( a - 4) x + 4 - 2 a > 0 的解集为 . 1 81 集合{ x | - 1 ≤ log 1 10 < ,x ∈ N 3 } 的真子 x 2 集的个数是 .
高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式
高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A．417+B．417-C ．417D ．以上答案都不对3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦10．（2023·全国·高三专题练习）设0()n ii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nn k k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk kn i i i kD C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111n n k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.高中数学竞赛与强基计划试题专题：不等式一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w zx y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.【详解】根据题意，有2111122222w z w x y w w x w x y x y x y y +-+≥+=++-≥+-≥-，等号当1::::12x y z w =12-．2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A ．417+B ．417-C ．417D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据题设条件可设1ab =，利用柯西不等式可求最小值.【详解】由111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭可得22111a b c ab a b ab c +⨯=⨯++，由对称性可设1ab =，则条件即1()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭即221a b c c a b ++=+，从而2221a b a b a b+≥⇒+≥++根据柯西不等式()()24444444411a b c a b a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭242()4()3a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦417≥+等号当1,1c a b =+=417+3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对【答案】B【分析】利用非负性可求最小值.【详解】根据题意，有5a b c ++=≥=，等号当cyc (,,)(5,0,0)a b c =时可以取得，因此所求最小值为5．二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．【答案】6+++【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.【详解】记题中代数式为M ，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=，于是tan tan 2tan tan 3tan tan M A B B C C A=++2(1cot cot cot cot cot cot A B B C C A ≥++2(16=+=+，等号当tan tan tan tan tan :tan :tan A B B C C A A B C ==⇒=时取得，因此所求最小值为6+++5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．【详解】由柯西不等式知()()()22220201212232220112232021a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ ()2122201a a a ≥+++= ，且()()()1223202012a a a a a a ++++++= ，所以2222201212232020112a a a a a a a a a +++≥+++ ，且当12202012020a a a ==== 时取到等号．故答案为：12.6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.【答案】7316【详解】由题意可得1abc d=，且a b c d ，则()222222911141f a a b c a b c a b c abc=+++++++，原问题等价于求函数()f a 的最小值.322291()2214()d f a a a b c a b c d a '-⎛⎫=-+⋅-⋅- ⎪+++⎝⎭322221924()a da a a d a abcd --=+⋅-⋅+++()22223232229()4()a d a d a d a d a a b c d d --=-+++()()222222328()9()4()a d a b c d a d a d a a b c d d -+++--=+++()2223228()()94()a d a d a b c d a d a a b c d d -=⋅++++-+++，3a b c d a d ++++ ，22()(3)12a b c d a d ad ∴++++ ，2228()()9a d a b c d a d ∴++++-[]228()129332()3a d ad a d ad a d ad +⋅-=+- ，令()32()3g a a d ad =+-，则()323g a d '=-，由a b c d可得1d ≤，则()()'0,g a g a >单调递增，2()()643(643)0g a g d d d d d ∴=-=-> ，则()()'0,f a f a >单调递增，()()f a f d ≥，此时1a b c d ====，73()(1)16f a f =.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．【答案】1【详解】解析：最大值为1记01202011min,1,11ii i k ii k kk a S x a x a ≤≤====+=+∑∑，则1i i i a x x -=-，故111i i i i i x x xS x x ---≤=-，即11i ix S x --≥，对1,2,3,,2020i = ,求和，并结合算术-几何平均不等式，有120202020101202020202020(1)202020202i i i x x S x x -=⎛⎫-≥≥⨯=⎪⎝⎭∑，故1S ≤1(((1,2,3,,2020)i i i a i -=-= 时取到．所以原式的最大值为18．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．【答案】52或2.5【分析】巧妙利用换元2log z x =得到111022z y ++=+，将12y y M x +=取对数运算得到2log (1)(1)1M y z =++-，将所求问题转化为求(1)(1)y z ++的最大值问题，由111022z y ++=+使用两次基本不等式可求出(1)(1)y z ++的最大值，考查等号取得条件即可.【详解】设12y y M x +=，则22log (1)log M y y x =++，设2log z x =，则2z x =，可知225z y +=，2log (1)(1)(1)1M y y z y z =++=++-.1111210222222z y z y +++++=+≥⋅≥⋅，(当且仅当z y =，即522yx ==时取等号.)所以5≥，故(1)(1)y z ++有最大值22(log 5)，所以2log M 就有最大值，即12y y M x +=有最大值.【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①225z y +=及111022z y ++=+，为求(1)(1)z y +++最大值做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，(1)(1)(1)1y y z y z ++=++-，产生了(1)(1)y z ++与上面(1)(1)z y +++遥相呼应，可以使用基本不等式.三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]nii i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出2[()]f x ，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.【详解】22200[()]()()nni si i ji s i j sf x a x a a x==+===∑∑∑，于是s iji j sb a a+==∑，222000001111[(1)]()(2)(2)2222n n i i i j i j i j i i i j n i j n i j n f a a a a a a a a ==≤<≤≤<≤≤<≤==+≥=∑∑∑∑∑001ni j j i j n j a a a a =<≤=≥=∑∑，因为00,1,2,,i a a i n ≤≤= ，则211211001010111[(1)]2nn i j n n n n n ji j n j b a a a a a a a a a a a a a a a a f +--+=+===+++≤+++=≤∑∑ ，所以211[(1)]2n b f +≤.10．（2023·全国·高三专题练习）设0()nii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式(),()f x g x 的对应项系数的关系，再按||1r ≤和||1r >讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.【详解】因为()()()g x x r f x =-，即1110101()()n n nn niii ii n i i i i i i n i i i i i c x x r a x a xra x ra a ra x a x +++-======-=-=-+-+∑∑∑∑∑，则有()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，于是2211121101231,,,,nn n n n n n n n n n a c a c rc a c rc r c a c rc r c r c +-+--++==+=++=++++ ，若1r ≤，则1111,||2n n n n n n n a c c a c rc c r c c +-++=≤=+=+⋅≤，2221111||3,n n n n n n n a c rc r c c r c r c c --+-+=++≤+⋅+≤ ，()22012311231||||||||||||||||1n n n n a c rc r c r c c r c r c r c n c ++=++++≤+⋅+⋅++⋅≤+ ，所以()1i a n c ≤+，于是()1a n c ≤+，若1r >，则11,r<由()0011,1,2,,,i i i n n c ra c a ra i n c a -+=-=-== ，得()0011111,1,2,,,i i i n n a c a a c i n a c r r r-+=-=-== ，于是00101012120122321111111111,,,,a c a a c c c a a c c c c r r r r r r r r r r =-=-=--=-=--- 101111111,n n n n n n a c c c a c r r r--+-=----= ，于是0001010122111111,2a c c c a c c c c c r r r r r r =-=<=--≤+<，201201232321111113,,a c c c c c c c r r r r r r=---≤++< 1011011111111111,n n n n n n n n n a c c c c c c nc a c c r r r r r r---+--=----≤+++<=≤ ，所以i a nc <，于是()1a n c <+，综上得：()1a n c ≤+.11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤.于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++.则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos 22x x a a +≥．【详解】设22sin x t a =，则不等式化为20at t+-≥．当01a <<时，2[,1]t a ∈；当1a =时，1t =；当1a >时，2[1,]t a ∈．因此不等式可化为220t t a +≥-．设2()2f t t t a =-+，考虑()f t 在1和2a 之间恒小于零，则2(1)0,()0,0f f a a <<>，故()()21110a a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，1a <<．所以a的取值范围是10,[1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥ ⎝⎦．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z ，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．【详解】（1）不妨设x y z ≤≤，则||||||-+-+-=-+-+-x y y z z x y x z y zx2()=-=≤≤=z x .（2）因为2023为奇数，则1220231,, i x x x x x 中必存在1,i i x x +（令20241=x x ）同号，不妨设12,x x 同号，则：20233232023112112211232++===-=-+-≤-+++=∑∑∑ii i i i i i i xx x x x x x x x x x S ．不妨设210≥≥x x ，则122122-++=x x x x x，所以：20232322=⎫⎫=+≤≤=⎪⎪⎪⎪⎭⎭∑i i S x x当且仅当124130,,====== x x x xx或124130,,====== x x x x x 因此12232022202320231-+-++-+- x x x x x x xx 的最大值为14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．【分析】第一步化简原式，第二步利用AM GM -不等式即可得到1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨证明1k =的时候成立，所以原式成立.【详解】由已知22121,1,2,,i i njj mx x i nx==+=⋅⋅⋅∑，得22121ni jj i mx x x ==-∑，故221i i mx x -全相等．注意到若实数a b ¹满足2211a b a b =--，则ab a b =+，即1b a b =-．因此,1i b x b b ⎧⎫∈⎨⎬-⎩⎭，0,1,2,,b i n ≠= ．设i x 中有1bb -，21n k m k -=+-个b ，则有201k m ≤≤+，且()2222221(1)1b mb k m k b b b ⋅++-=--，即()21(1)21km k b m b ++--=-．由AM GM -不等式，若201k m <<+，()21(1)21km k b m b ++--≥≥-，因此必取等，即1k =或2m ，这两种情况是对称的，不妨1k =，则21(1)21m b m b +-=-，知11b m -=，则1,1m b a m m+==+．若0k =，则()21(1)2m b m +-=，即222(1)(1),12m m b a m m++==+．若21k m =+，则2121m m b +=-，即222(1)(1),21m m b a m m ++==+．综上可知，12,,,n x x x 要么1个21,+m m 个1m m +；要么全是22(1)1m m ++．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nnk k k k x x x x λ==≥+++∑∑ ．【分析】先取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，通过对其求和可得λ的范围，再利用放缩法可得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ，最后求出最大的正实数λ的值.【详解】一方面，取101231,2,4,,2n n x x x x x -===== ，得1111322nn kk λ-=-≥∑即1113122n n λ-⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭．令n →∞，得3λ≤．另一方面对正实数x ，y 有114x y x y+≥+，故0101114x x x x +≥+，012012114x x x x x x +≥+++，01230123114x x x x x x x x +≥+++++，……01101114n n nx x x x x x x -+≥++++++ ．以上各式相加，得010101201111333n nx x x x x x x x x x x +++≥+++++++++ ．故3λ=时，原不等式恒成立．综上，λ的最大值为3．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.【详解】不妨1210x x x ≤≤≤ ，设()(,)i j j i f i j x x x x =-，当010i j ≤≤≤时，因为()()()22333i j j i i i j j j i j i x x x x x x x x x x x x -≤++-=-，即333(,)j i f i j x x ≤-，当且仅当i j =时，等号成立.故()()10103311131,1i i i i f i i x x -==-<-<∑∑，所以存在{1,2,,10}i ∈ ，使得13(1,)10f i i -<，即1(1,)30f i i -<.所以存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.【分析】构造一个直角三角形，，<cos )2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b +=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222⎫+=⎪⎪⎭.①（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b +=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”<.α=，α=.cos )24πααα⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭∴2<成立.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹2112a b a b+>>>+.【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证.=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =.再以2a bBC +=为斜边，2a b CD -=为直角边构造Rt BCD，则BD =最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE a b BC a b=='+，由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥【详解】证法一：由AM-GM 不等式有：()=120222022ni i i x x +∏=11=2022nk i i k x ≠+∑∏()11i n n =⎛≥- ⎝∏()()=11=2022nn i i n x -+∏，2022≥.证法二：不妨设12022i i y x =+,则12022,1iix i n y =-≤≤.从而原题转化为:已知111=,0<<20222022ni i i y y =∑,求证()=11ln 2022ln 20221ni i n n y ⎛⎫-≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑.令()11ln 20222022i f y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭,则()()2214044=2022''y f y y y --.不失一般性,我们设12n y y y ≤≤≤ ,则：(1)若1214044n y y y ≤≤≤≤,由Jesen 不等式有：()()1111ln 202212022nn i i i f y nf y nf n n n n ==⎛⎫⎛⎫≥==-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑.(2)若12114044n n y y y y -≤≤≤≤≤ .容易得到()1ni i f y =∑取得最小值当且仅当121n y y y -=== .20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c ab λ+-的最大值.【分析】解法一：设12x m λ=-，22x m λ=+，()30x m t t =+>，利用韦达定理可化简所求式子为解法二：由()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x +-=+-+-+-可令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，由此可化简所求式子为3922n n λλ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，令0n t λ=>，()()39202g t t t t =->，利用导数可求得()max g t ，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：12x m λ=-，22x m λ=+，()31212x x x m >+= ，∴可令()30x m t t =+>，由韦达定理得：()()123221223312232123332444a x x x m t b x x x x x x m mt c x x x m m t m t λλλ⎧⎪=-++=-+⎪⎪=++=+-⎨⎪⎪=-=--++⎪⎩，则()323222327929292727244a ab a a b m m t m t t λλ-=-=+---，3222272727272744c m m t m t λλ=--++，则323332279942a c abt t λλλ+--=要取得最大值，则23940t t λ->，()3223322791942a c abt t λλλ+-=-2=（当且仅当222948t t λ-=，即t=时取等号），又t =满足23940t t λ->，∴取0m =，2λ=，则t =，此时11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =时，3322792a c ab λ+-=，332279a c abλ+-∴解法二：323227927273333a a a a a c ab a b c f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12312327333333a a a x x x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------=------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又123a x x x -=++，()()()32311321232279222a c ab x x x x x x x x x ∴+-=+-+-+-，令21x x λ=+，()3102x x n n λ=++>，322339227922224a c ab n n n n n λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233339222799422n n a c ab n n λλλλλ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅- ⎪⎝⎭；令0nt λ=>，则3332279922a c abt t λ+-=-，令()()39202g t t t t =->，则()2962g t t '=-，令()0g t '=，解得：t =，∴当0,2t ⎛∈ ⎝⎭时，()0g t '>；当,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '<；()g t ∴在2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()max22482g t g ⎛⎫∴==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；∴当2λ=，n =11x =-，21x =，3x =a =1b =-，c =332279a c ab λ+-=332279a c abλ+-∴21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk k ni i i k D C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．【详解】任取121,,,k i i i a a a + ，由柯西不等式，有：()()1211211212111(1)(1)k j k k k j i i i i i i i i i i k a a a a k a a a a a a ++++=+≥+++-++++-+++∑ 1212(1)1k i i i k k a a a ++=⋅+++ ．所以()1211212111(1)1k k jk j i i i i i i i k k aa a aa a a +++=+++++++-∑∑∑．其中求和对1，2，…，n 的所有1k n C +个1k +元组合进行．上式左边实际上是一些k 元组合的求和，因对任意k 元组合12,,,k i i i a a a ，选这k 个数的1k +元组合有n k -个（余下的n k -个数中任意一个数都与其构成一个1k +元组合），故121121111()k j kk j i i i i i i i n k a a a a a a a ++==-+++-+++∑∑∑ ．这样便有1212121(1)1()k k i i i i i i k n k a a a k aa a ++-≥++++++∑∑ ，所以1212121(1)1C ()C k k kkni i i ni i i kk a a a n k aa a ++≥+++-+++∑∑ ．再注意到1()(1)k k n n n k C k C +-=+，即得：121211111C C k k k k ni i i n i i i k k aa a a a a +++≥++++++∑∑．这就证明了1k k D D +≥，其中1,2,,1k n =- ．即有121k k n D D D D D +≥≥⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅≥．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立.（1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112nn nii i i i i i i a aa a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立.（2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a ----- 必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn nii i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122a a a a a -++=，所以：23A 2222ni i a a ==+≤≤=⎝∑当且仅当124130,a a a a a =======L L124130,,a a a a a ======L L .23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i j j j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏ ．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+- ()()3311(1)2ni i i a n a n =-≤-+-∑33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ．由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111((1)4(1)(1)=≤++--∑∑i i i a a a a a a ()()2131111411a a a a ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111nn k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．【详解】由题意2112a a =+=．对2n ≥，我们有：11nn k k na n a +==+∑；()1111n n k k n a n a -=-=-+∑．两式相减，得：11n n na na +-=，即()111n n a a n n+=+≥．对2n ≥有1111n n k a k-==+∑．取403621n =+，则114035220211122i i n n k i k a k k +-===+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑1403521021122i i i i k ++==+⎛⎫>+ ⎪⎝⎭∑∑403501220202i ==+=∑，从而403621n =+满足要求．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．【答案】3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩【详解】当4n ≥时，令1(1,2,,1)k k a xa k n +==- ，则2221111(1)11nk n k k k a x n a a x x -=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．当0x →时，2211(1)111n x n x x -⎛⎫⎛⎫-+→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．令1k k k a x a +=，则问题化为：121n x x x = ，证明：21111n k k x =⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．当4n =时，首先证明：22111111x y xy⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．①①式332212x y xy x y xy ⇔++≥+，由均值不等式知成立．由①式知2412341123412341234211111111k k x x x x x x x x x x x x x x x x x =⎛⎫++≥+== ⎪++++++⎝⎭∑．假设n k =时，对任意正实数12,,,k x x x 结论成立．则1n k =+时，由对称性不妨设121,,,,k k x x x x + 中1k x +最大，则11k x +≥，所以22211111111k k k k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由归纳假设知，此时结论成立．由数学归纳法知，2111nk k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑．故1M =．当1233,n a a a ===时，231134k k k k a a a =+⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑．由于24111k k k k a a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑，令34a a =，则231134k k k k a a a =+⎛⎫≥⎪+⎝⎭∑，所以34M =．综上所述，3,3,41, 4.n M n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .【详解】原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C--- .在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++ .而上式左边8=，故原不等式得证27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【详解】332211a b a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()55234234222211(1)(1)11a b a b a aa ab b b b a b a b ----++++++++==()()23423411a aa ab b b b ab++++++++=23231111a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭231ab ⎫≥++++⎪⎭（柯西不等式），122a b +=，令t =231()1g t t t t t=++++，其中102t <≤，则2213()12341104g t t t t =-+++≤-+++<'，所以131()28g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭．所以2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】解同除!n ：()()11111!3!2nnn nn n n n ++⋅<<，设()1!nnn a n +=，原题即证：23n nn a <<，而()2211111111C C 2nn nn n n n n n n aa n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++⋅+⋅⋅⋅+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以112121···2n n n n n a a a a a a ----⋅⋅⋅>，即1122n nn a a ->⋅=，1n >，又2211111C C nn n n n n a a n n -⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+211112222n -<+++⋅⋅⋅+11332n -=-<，所以112121···<3n n n n n a a aa a a ----⋅⋅⋅，即1133n nn a a -<⋅<，1n >，综上可得：1n >时，23nnn a <<，即11!32n nn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n n i i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.【分析】由特例可得当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0，当n 为奇数时，问题可转化为“给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.”，利用逐步调整法可证后者.【详解】当n 为偶数时，取10n a a =⋯==，故1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，也可只取121,1a a =-=，其余为0，此时1||2ni i a ==∑，下证当n 为奇数时，12ni i a =≥∑恒成立.（利用换元可以得到更直观的形式如问题2）.问题2：给定正奇数n ，设11,,n x x +⋯满足1(1,2,)i i x x i n +≠=，111n n i i i i x x +===∏∏,则111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑恒成立.证明：注意到若10i i x x +⋅≥同号，即有111i i i i x x x x +++≥-，因为n 为正奇数，则必定存在一组0010i i x x +⋅≥同号，否则若1,i i x x +均异号，则111,nni i i i x x +==∏∏的符号必定相异.若还存在其他组10i i x x +≥，则可得111||2ni i i i i x x x x +=++≥-∑成立，若无其他组10,i i x x +≥同号，不妨10n n x x +≥，可设10,0n n x x +>>，（若等于0的可以进行小范围微调，只要不影响绝对值内数值的符号即可）.因为无其他组10,i i x x +≥同号，故122221221110,0,,0,0,0,0,,0,0,0k k k k n n n x x x x x x x x x --+-+><<>><<>> ，此时11,n x x +同号.记1i i i x d x +=，则11ni i d ==∏且对1i n ≤≤，11111.1i i i ii i i i i i x x d x x x x x x d ++++--+==-++设1121|1|1(,,,)11n i n n i i nd d f d d d d d -=-+=++-∑ ，下面将在11n i i d ==∏条件下进行调整.①若存在1,1k d k n >≤-.令()1,,,,n n k n i k i d d d d d d d i k n '==>='≠'则()()()()()'''1212211,,,,,,0.111n k k n n k n n k d d d f d d d f d d d d d d d --⋯-⋯=+>+--②若存在,1,1k l d d k l n <<≤-.令()'''1,,,,k l k l i i d d d d d d i k l ===≠则()()1212111,,,,,,111k l k l n n k l k l d d d d f d d d f d d d d d d d '''---⋯-⋯=+-+++()()()()()()1110111k l k l k l k l d d d d d d d d ---=>+++由上述讨论知，经过有限次调整可得：对1i n ≤-，除至多一个1i d ≠（设为)1d 外，其余1i d =.因此就有11n d d =，不妨设1n d >，则101d <<，故1121|1|1(,,,)11n i n n i i n d d f d d d d d -=-+⋯=++-∑111111n n n nd d d d -+≥+-+1111n n n n d d d d -+=++-2≥，原不等式得证.至此我们完成了问题2在奇数情况下的解答，即所求()max 2n λλ==.综上，当n 为偶数时，1||ni i a =∑的最小值为0；当n 为奇数时，1||ni i a =∑的最小值为2.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑，由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=≥∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xyx y x xyxyz xxy ++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥13≥，所以()8445221x y z x y z +≥+∑,所以原不等式成立.。
全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编
全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编1．【2016年全国联赛】设实数a满足.则a的取值范围是________.【答案】【解析】由.则由原不等式得:.又，故.2．【2015年全国联赛】在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为______.【答案】24【解析】设.先考虑点集在第一象限中的部分，此时，.故这些点对应于图中的及其内部.由对称性，知点集对应的区域是图中以原点为中心的菱形及其内部.类似地，设.则点集对应的区域是图中以为中心的菱形及其内部.由点集的定义，知所对应的平面区域是被点集中恰一个所覆盖的部分.因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积. 由，知两直线的交点为.由对称性知.故答案为：243．【2013年全国联赛】若实数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】 令，此时，，且题设等式化为.于是，满足方程.如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集. 故.从而，.4．【2009年全国联赛】在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．F E DC BA Oyx【答案】212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++5．【2009年全国联赛】使不等式1111200712213a n n n +++<-+++L 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 【答案】2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++L ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．6．【2018年全国联赛】设n 是正整数，均为正实数，满足，且.求证：.【答案】证明见解析 【解析】由条件知，.记，则化为。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
不等式考试题及答案
不等式考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 2) \)，则下列哪个不等式有相同解集？A. \( ax^2 + bx + c < 0 \)B. \( -ax^2 - bx - c > 0 \)C. \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)D. \( -ax^2 - bx - c < 0 \)答案：B2. 对于不等式 \( |x - 3| < 2 \)，下列哪个区间是其解集？A. \( (1, 5) \)B. \( (-1, 7) \)C. \( (-2, 4) \)D. \( (3, 5) \)答案：A3. 若不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) 的解集为 \( A \)，则 \( A \) 与 \( (2, 3) \) 的交集是什么？A. \( \emptyset \)B. \( (2, 3) \)C. \( (2, 3) \cap A \)D. \( (3, 4) \)答案：C4. 已知不等式 \( x^3 - 3x^2 + 2x > 0 \) 的解集包含 \( (1, 2) \)，那么下列哪个不等式也包含 \( (1, 2) \) 作为其解集的一部分？A. \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \)B. \( -x^3 + 3x^2 - 2x < 0 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2x \leq 0 \)D. \( -x^3 + 3x^2 - 2x \geq 0 \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( 2x - 3 < 5 \) 的解为 \( x < 4 \)，则 \( 2x -3 > 5 \) 的解为 \( x > \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 不等式 \( |x + 1| \geq 3 \) 的解集为 \( x \leq -4 \) 或\( x \geq 2 \)，那么 \( |x + 1| < 3 \) 的解集为 \( x \in\_\_\_\_\_ \)。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)
全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析 （竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有 唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的 最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解 因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解 由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-． 又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 （算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >． 由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>． 故选：D ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】 【分析】 【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______． 【答案】 4352【解析】 【分析】 【详解】 434370222y x ++≤=≤=． 又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】 【详解】 因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________． 【答案】23x ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 【答案】334 【解析】 【分析】 【详解】解 设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤． 当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去． 故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________． 【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】 【分析】 【详解】解 原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<； 若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-； 若0a =，则67a a-=，不等式无解． 故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________． 【答案】196 【解析】 【分析】 【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>， 所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==． 所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本． 【答案】109 【解析】 【分析】 【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 【答案】 329 335或334 【解析】 【分析】 【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？ 【答案】宾馆的底楼有客房10间 【解析】 【分析】 【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房． 简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =． 答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】 【分析】 【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对， 所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】 【分析】 【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或 或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+， 故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-， 故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+， 故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①． 又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②． 由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确 【解析】 【分析】 【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=； （3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）； （4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？ 【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格． 【解析】 【分析】 【详解】解 设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】 【分析】 【详解】解 首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】 【分析】 【详解】解 不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--， 可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<． 如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 【答案】15 【解析】 【分析】 【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>． 由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><． 令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+． 又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=． 故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】 【分析】 【详解】解 移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-． 解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥． 综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 【答案】1x <-或1x > 【解析】 【分析】 【详解】解 移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+． 因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 【答案】3a =【解析】 【分析】 【详解】解 依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 【答案】18或20． 【解析】 【分析】 【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环） 【答案】第10次至少要射9.9环 【解析】 【分析】 【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）． 答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩， 解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++． 【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解 （1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意． （3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论： 若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-． 要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<． 综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】 解 由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤． 所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解 设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。
高中数学竞赛几何不等式专项真题汇总
高中数学竞赛几何不等式专项真题汇总1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D.证明：∠MDC≤45°.2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ.3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R.证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB.4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积.求证：.5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍.6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：.7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点.求证：.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.8．一凸四边形内接于半径为1的圆.证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0<u<2.9.已知过锐角△ABC顶点A、B、C的垂线分别交对边于D、E、F，AB>AC，直线EF交BC 于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R.N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP ＜180°，求证：BN>CN.参考答案【同步达纲练习】1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM.又2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°.2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ.易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ.再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ. 3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC, 即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA（1）连AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR，同理（2）由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA. 4．如图8.设三边长分别为a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，则依题意有∽，，（易知OE=CF）同理，所以，由柯西不等式，从而于是5．设G到各边距离为由（r为内切圆半径），得又（艾尔多斯——莫德尔不等式）.故即AI+BI+CI ≥2(r1+r2+r3) 6．分别以A、B、P为圆心，AD、BC、h为半径作圆，三圆两两外切，EF 为⊙A、⊙B外公切线，⊙P与EF相切时h最大，此时设AD=r,BC=R,⊙P半径为m，则化简得，即由知命题成立.7．由外接圆心O向BC作垂线OD于D，则AH=2·OD，∠DOC=∠A，故HA=2OD=2RcosA.同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是的垂直平分线，，得同理.于是原不等式等价于而∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)故8．如图，引进有关边长、对角线、角的记号，则a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角，不妨设，则且，同样可设，由圆的半径为1及正弦定理得.于是u<2等价于证明：下面证明更强的结论：由于故结论成立. 9．取BC中点M，只需证∠MRP+∠MQP=180°，即R、M、Q、P四点共圆.如图，连结ED，易知∠PEC=∠DEC，∠DEB=∠FEB，有连结ME. ∠EMC=180°-2∠ACB，∠EDP=180°-∠ACB-∠CED. ∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC ∴△MDE∽△MEP，从而ME2=MD·MP=MC2又∵RQ∥FP，∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ ∴B、R、C、Q四点共圆. RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC2-MD2=MD·MP-MD2=MD·PD ∴R、M、Q、P四点共圆. 即∠MRP+∠MQP=180°，当N∈BC，且∠NQP+∠NRP＜180°时，N必在M右侧，故BN>CN.。
数学奥林匹克题解 代数-不等式
【解】抽出的人数必须满足
解得m=5．
故甲队有2m=10人，乙队有3m=15人，甲队抽出14－m=9（人）．乙队抽出5m－11=14（人），从而参加游戏的人共有
选法．
B3－004求出所有满足不等式
的实数．
【题说】第四届（1962年）国际数学奥林匹克题2．本题由匈牙利提供．
An-1=xn-1xn-2…x0，An=xnxn-1…x0（a进制的位置表示法）；
Bn-1=xn-1xn-2…x0，Bn=xnxn-1…x0（b进制的位置表示法）．
其中xn≠0，xn-1≠0．证明：当a＞b时，有
【题说】第十二届（1970年）国际数学奥林匹克题2．本题由罗马尼亚提供．
【证】由于a＞b，故AnBn-1－An-1Bn=（xnan-1+An-1）Bn-1－（xnbn-1+Bn-1）An-1=xn[xn-1（an-1bn-2－an-2bn-1）+…+x0（an-1－bn-1）]＞0
证明：这个矩阵所有元素的和不小于0.5n2．
【题说】第十三届（1971年）国际数学奥林匹克题6．本题由瑞典提供．
【证】交换A的两行或两列不改变题设的A的性质（因为行和与列和均不变、只是交换了位置），因此我们可以先通过交换两行或两列的变换，使得有尽可能大的k满足a11=a22=…=akk=0．此时对于i，j＞k有aij≠0．对于i≤k，j＞k，若aij=0，则aji≠0，因若不然，交换i，j行，就会使a11=a22=…=akk=ajj=0，与k的极大性矛盾．因而对于j＞k，仍有
B3－015设m、n为正整数，证明存在与m、n无关的常数a
【题说】1989年瑞典数学奥林匹克题5．
【解】amax=3
解不等式例题50道
解不等式例题50道一、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 5>9- 解析：- 首先对不等式进行移项，将常数项移到右边，得到2x>9 - 5。
- 计算右边式子得2x>4。
- 两边同时除以2，解得x > 2。
2. 解不等式：3x-1<8- 解析：- 移项可得3x<8 + 1。
- 即3x<9。
- 两边同时除以3，解得x<3。
3. 解不等式：5x+3≤slant2x + 9- 解析：- 移项，把含x的项移到左边，常数项移到右边，得到5x-2x≤slant9 - 3。
- 计算得3x≤slant6。
- 两边同时除以3，解得x≤slant2。
4. 解不等式：4x-7≥slant3x+1- 解析：- 移项得4x - 3x≥slant1+7。
- 即x≥slant8。
5. 解不等式：(1)/(2)x+3>x - 1- 解析：- 移项可得(1)/(2)x-x>-1 - 3。
- 通分计算，((1)/(2)-(2)/(2))x>-4，即-(1)/(2)x>-4。
- 两边同时乘以 - 2，不等号变向，解得x < 8。
6. 解不等式：(2)/(3)x-1≤slant(1)/(3)x+2- 解析：- 移项得(2)/(3)x-(1)/(3)x≤slant2 + 1。
- 计算得(1)/(3)x≤slant3。
- 两边同时乘以3，解得x≤slant9。
7. 解不等式：2(x + 3)>3(x - 1)- 解析：- 先展开括号，得到2x+6>3x - 3。
- 移项得2x-3x>-3 - 6。
- 计算得-x>-9。
- 两边同时乘以 - 1，不等号变向，解得x < 9。
8. 解不等式：3(x - 2)≤slant2(x+1)- 解析：- 展开括号得3x-6≤slant2x + 2。
- 移项得3x-2x≤slant2+6。
- 计算得x≤slant8。
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。
）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+， 所以原不等式成立。
例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-， 所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-， 所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-， 也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
高中数学竞赛试题汇编三 《二次函数、方程、不等式》讲义
高中数学竞赛试题汇编二《二次函数、方程、不等式》1. 如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） (A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞ (D) (],5-∞2. 若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） (A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<3. 函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为 .4. 已知2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，则()0f ax b +>的解集为 .5. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .6. 实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 .7. 已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 .8. 已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 .9. 已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 .10. 已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是 .11. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y = .12. 已知,x y 为实数，则()22225410max x y x x y +=+= .13. 实数,x y 满足x -x 的取值范围是 .14. 已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是 .15. 实数,x y 满足228624=0x x y y -+-+，则2x y -的最大值是 .。
n元竞赛不等式100题
������
������
1
������2
(∑
������=1
√������������)
(∑
������=1
√1
+
) ������������
≤
√������
+
. 1
题 8. 给定整数������ ≥ 2，正实数������1, ������2,⋯, ������������.求证：
������ ������ ������
第一部分——不等式
题 1.给定正奇数������，������1, ������2,⋯, ������������为������个非负实数.令������������ = ���������2��� + ���������2���+1，������������ = 2������������������������+1，这 里ⅈ = 1,2, … , ������.定义������������+1 = ������1.记������ = min{������1, ������2,⋯, ������������}, ������ = max{������1, ������2,⋯, ������������}. 求证：������ ≤ ������.
������=1
������=1
������=1
������=1
题 15. 给定正整数������，正实数������1, ������2,⋯, ������������满足∑������������=1 ������������ = 1.求证：
������
(∑
������=1
������������ ������������+1 )
竞赛中的不等式问题
Y.P .M 数学竞赛讲座 1不等式的基本问题高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.1.同向可加[例1]:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax 2－c,满足－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5.那么,f(3)的取值范围是_______.[解析]:[类题]:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax 2+c,且当x ＝1时,－4≤y ≤－1,当x ＝2时,－1≤y ≤5,则当x＝3时,y 的取值范围是 .3.(2001全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y ≥1,5x+y ≥2,则log 8(2x+2y)的最小值是_____.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________. 6.(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 . 7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程zy x 4954++-68×zy x 4952+++256=0,那么x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于 .2.函数单调性[例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y--(log 53)y-,则( )(A)x -y ≥0 (B)x+y ≥0 (C)x -y ≤0 (D)x+y ≤0[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a 2+a+1)<f(3a-24a+1)成立,则a 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数.若x 1+x 2>O,x 2+x 3>O,x 3+x 1>O,则( ) (A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x 3+log 2(x+12+x ),则对任意实数a,b,a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x 3-log 2(12+x -x).则对于任意实数a 、b(a+b ≠0),33)()(b a b f a f ++的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定2 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521+x +lg x x +-11,则不等式f[x(x-21)]<51的解集为 . 6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a 、b 是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) (A)a 2>b 2(B)a b <1 (C)lg(a-b)>0 (D)(21)a <(21)b7. ⑴(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1,若x 1=a,x 2=1x a ,x 3=2x a ,…, x n =1-n x a ,…,则数列{x n }(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a a,c=aa a ,若0.9<a<1,则( )(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b3.大小比较[例3]:(1982年全国高中数学联赛试题)当a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+a1)(b+b1),乙:(ab +ab1)2,丙:(2b a ++ba +2)2中间,值最大的一个是( ) (A)必定是甲 (B)必定是乙 (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与a 、b 的取值有关[解析]:[类题]:1.(1983年全国高中数学联赛试题)x=31513121log 1log 1+的值是属于区间( )(A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a=1+m -m ,b=m -1-m 那么( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的大小与m 的取值有关 3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n 为正整数,x=(1+n 1)n ,y=(1+n1)n+1,则( ) (A)x y>y x(B)x y=y x(C)x y<y x(D)以上都有可能 4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a x=a+t,则b x与b+t 的大小关系是( )(A)b x >b+t (B)b x <b+t (C)b x=b+t (D)不确定. 5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x 、y ≥1,且n x 1-+n y 1-≤2,则( ) (A)x ≥y (B)x ≤y (C)x+y ≥xy (D)x+y ≤xy6.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a 2+c 2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )(A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)a>c>b 7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )(A)-1 (B)log 2a+log 2b+1 (C)log 2b (D)log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3) 8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a 、b 是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( ) (A)(a+a 1)(b+b1)>(ab +ab1)2(B)(a+a 1)(b+b 1)>(2b a ++b a +2)2(C)2233b a b a ++>b a b a ++22 (D)b a b a --22>2233ba b a --4.解不等式Y.P .M 数学竞赛讲座 3 [例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|x 21log 1+2|>23的解集为 . [解析]:[类题]:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同;命题Q:21a a =21b b = 21c c .则命题Q( ) (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若log a 2<1,则a 的取值范围是___________. ⑵(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果log a 43<1,那么a 的取值范围是 , ⑶(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若log a53<1,则a 的取值范围是___________. ⑷(1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若log a (2-a 2)<1,则实数a 的取值范围是 . 3.⑴(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x 2－2|≤2x+1的解集为_________.⑵(2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|3－2x 2－4|x|+3<0的解集是____________.⑶(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|1log 131+x |>31的解集是 .⑷(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a>0,a ≠1,且|log a 2|>log a+12,则a 的取值范围是 .4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x2log 1+>1–log 2x 的解是 .⑵(2006年全国高中数学联赛试题)设log x (2x 2+x-1)>log x 2-1,则x 的取值范围为 .⑶(2004年全国高中数学联赛试题)不等式1log 2-x+21321log x +2>0的解集为 . 4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x 的不等式x 2−ax −20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是 .5.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d>c.已知实数a>b, 则满足bx a x -+-11≥1的x 构成的区间的长度之和为 .6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若)lg(2lg x a ax+<1的解为(1,2,则a 的取值范围是 . 7.(2008年全国高中数学联赛试题)解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)>1+log 2(x 4+1).Y.P .M 数学竞赛讲座 1基本不等式高中联赛客观题中的不等式包括:⑴二元均值不等式:①基本不等式a 2+b 2≥2|ab|及其推论a 2+b 2+c 2≥ab+bc+cd; a 2+b 2+c 2+d 2≥ab+bc+cd+da;x 12+x 2+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1,等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立;②当a>0,b>0时,ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +,等号当且仅当a=b 时成立,其中b a 11+≥ab 2,b a 11+≥b a +4称为调和不等式;⑵三元均值不等式:①当a+b+c ≥0时,a 3+b 3+c 3≥3abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c 时成立;②当a>0,b>0,c>0时,3c b a ++≥3abc ,等号当且仅当a=b=c 时成立;③当a>0,b>0,c>0时,cb a 1113++≤3abc ≤3cb a ++≤3222c b a ++,等号当且仅当a=b=c 时成立;⑶n 元均值不等式:当a i >0(i=1,2,…,n)时,na a a n11121+⋅⋅⋅++(调和平均数)≤n n a a a ⋅⋅⋅21(几何平均数)≤na a a n+⋅⋅⋅++21(算朮平均数)≤na a a n23221+⋅⋅⋅++(方幂平均数),等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立;⑷柯西不等式:①基本形式C 0:当a i ,b i ∈R(i=1,2,…,n)时,(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,等号当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=…=a n :b n 时成立;②变形式C 1:当a i ,b i ∈R +(i=1,2,…,n)时,(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )≥(11b a +22b a +…+n n b a )n ,等号当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=…=a n :b n 时成立;③变形式C 2:当a i ,b i ∈R +(i=1,2,…,n)时,(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )(11b a +22b a+…+nnb a )≥ (a 1+a 2+…+a n )2,等号当且仅当b 1=b 2=…=b n 时成立;④变形式C 3:当a i ∈R +,b i ∈R(i=1,2,…,n)时,(a 1+a 2+…+a n )(121a b +222a b +…+nna b 2)≥(b 1+b 2+…+b n )2,等号当且仅当a 1:|b 1|=a 2:|b 2|=…=a n :|b n |时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、等号成立条件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行.1.等号成立的条件[例1]:(2011年全国高中数学联赛试题)设a,b 为正实数,ba11+≤22,(a-b)2=4(ab)3,则log a b= .[解析]:[类题]:1.(2007年北京高考试题)如果正数a,b,c,d 满足a+b=cd=4,那么( )(A)ab ≤c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值惟— (B)ab ≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值惟— (C)ab ≤c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值不惟— (D)ab ≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值不惟— 2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=424)42(24224+++-++x x x k k x 的最小值是0,则非零实数k 的值是 .3.⑴(2010年全国I 高考试题)(理)已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 .2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑵(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=|x 2-2|,若f(a)=f(b),且0<a<b,则ab 的取值范围是 .⑶(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<)8(841)80(|log |2x x x x .若a,b,c 是互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是 .4.①(1996年全国高中数学联赛试题)如果在区间[1,2]上函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=x+21x 在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是 .②(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=2x 2+3px+2q 和φ(x)=x+x 4是定义在集合M={x|1≤x ≤49}上的函数,对任意的x ∈M,存在常数x 0∈M,使得f(x)≥f(x 0),φ(x)≥φ(x 0),且f(x 0)=φ(x 0),则函数f(x)在M 上的最大值为 .5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a b +ba=4cosC,则A tan 1+Btan 1的最小值是 . 6.①(1990年全国高中数学联赛试题)点集{(x,y)|lg(x 3+31y 3+91)=lgx+lgy}中元素的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2 ②(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .2.二元均值不等式[例2]:(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y 都在区间(－2,2)内,且xy ＝－1,则函数u=244x -+299y -的最小值是 .[解析]:[类题]:1.⑴(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若a 、b ∈R +,且a-b=1,则a 2+b 2( )(A)既有最大值,也有最小值 (B)有最大值,无最小值 (C)有最小值,无最大值 (D)既无最大值,也无最小值⑵(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a,b<0时,函数y=))((b x a x x--在区间(0,+∞)上的最大值是( ) (A)-(||a -||b )2(B)(||a +||b )2(C)-2)||||(1b a - (D)2)||||(1b a +2.⑴(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)若点P(x,y)在直线x+3y=3上移动,则函数f(x,y)=3x+9y的最小值等于 . ⑵(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知,点(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,点(x,y)与原点的距离是 .⑶(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=9x+9−x−2(3x+3−x)的最小值是 .3.⑴(2008年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=xx x -+-2452在(-∞,2)上的最小值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3⑵(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知a>b,ab=1,则ba b a -+22的最小值是 . ⑶(2010年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知二次函数y=ax 2+bx+c ≥0(a<b),则M=ab cb a -++42的最小值是 .4.⑴(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)设a,b 为正实数,且a+b=1,则ba 41+的最小值为 . ⑵(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正实数x,y 满足x+2y=4,则yx 11+的最小值为_________. ⑶(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数y=log c (x+2)+2(c>0且c ≠)的图象恒过同一个定点,则ba 11+的最小值为 . ⑷(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)设0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则xb x a -+122的最小值为 . 5.⑴(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题)设x,y,z ∈R +,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是_____.⑵(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+y 2+z 2=1,则2xy+yz 的最大值为 ,6.⑴(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知x 1,x 2,…,x 2010均为正实数,则x 1+12x x +213x x x +…+2009212010x x x x ⋅⋅⋅+ 2010214x x x ⋅⋅⋅的最小值为 .⑵(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a,b 为正实数,记M=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>++≤22222244,4444,b a ab ba b a ab ab ,则M 的最大值是 . 3.二元均值的变式[例3]:(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数f(x)=x x x x tan sin cos sin +++x x x x tan cos cot tan +++x x x x cot cos cos sin +++xx xx cot sin cot tan ++在x ∈(0,2π)时的最小值为 .[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12-+y x xy的最小值是 .2.(2005年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a>b>0,那么a 2+)(1b a b -的最小值是 .3.①(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知a 2+b 2+c 2=1,则ab+bc+ca 的值域为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知实数x 、y 、z 、t 满足x+y+z+t=0,x 2+y 2+z 2+t 2=10,则xy+yz+zt+tx 的最大值与最小值的和为_____.4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数a,b,c,d 满足a 2+b 2+c 2+d 2=5,则(a −b)2+(a −c)2+(a −d)2+(b −c)2+(b −d)2+(c −d)2的最大值是_____.5.(2001年第十二届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当0<θ<2π时,函数y=(θsin 1-1)(θcos 1-1)的最大值是 . 4 Y.P .M 数学竞赛讲座6.(2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知n(n ∈N,n ≥2)n 是常数,且x 1,x 2,…,x n 是区间[0,2π]内任意实数,则函数f(x 1,x 2,…,x n )=sinx 1cosx 2+sinx 2cosx 3+…+sinx n cosx 1的最大值等于_______.4.n 元均值不等式[例4]:(1994年全国高中数学联赛试题)设0<θ<π,则sin 2θ(1+cos θ)的最大值是__________.[解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x,y,z 是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z),则xyz 的最大值是 .2.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设a>b>0.则a 4+)(32b a b -的最小值是 .3.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)从半径为1分米的圆形铁片中剪去圆心角为x 弧度的一个扇形,将余下部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 .4.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于21≤x ≤1,当(1+x)5(1-x)(1-2x)2取得最大值时,x ＝ . 5.(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x,y,z>0,且x+y+z=1,则f(x,y,z)=xy 2z 3的最大值是 . 6.(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设x ∈(0,2π),则函数y=x2sin 4225+xcos 2的最小值为__________. 5.柯西不等式[例5]:(1983年全国高中数学联赛试题)设a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=cd ab +,Q=ndm b nc ma +⋅+,那么( ) (A)P ≥Q (B)P ≤Q (C)P<Q (D)P 、Q 的大小关系不确定,而与m,n 的大小有关[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数m,n,x,y 满足m 2+n 2=a,x 2+y 2=b,其中a,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为 .2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a,b 为正整数,a ≤b,实数x,y 满足x+y=4(a x ++b y +),若x+y 的最大值为40,则满足条件的数对(a,b)的数目为( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 3.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a 22b -+b 22a -的最大值是 .②(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a 、b 、c 为正常数,x 、y 、z 为实数,且满足|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,则(x+y+z)(22x a -+22y b -+22z c -)的最大值是_____.4.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知x 、y 、z ∈R +,且x 1+y 2+z 3=1,则x+2y +3z的最小值是 . 5.(2009年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若12+x +23-y =4,则2x+3y 的取值范围是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 56.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0<a 、b 、c<1满足条件ab+bc+ca ＝1,则a -11+b -11+c-11的最小值是 .6.对称不等式[例6]:(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0<a 、b 、c<1满足条件ab+bc+ca ＝1,则a -11+b -11+c-11的最小值是 .[解析]:[类题]:1.(1990年全国高中数学联赛试题)设n 为自然数,a 、b 为正实数,a+b=2,则na+11+nb +11的最小值是________.2.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知x,y 均为正实数,则y x x +2+yx y2+的最大值是 . 3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12-+y x xy的最小值是 .4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)设a 1,a 2,…,a 2007均为正实数,且121a ++221a ++…+200721a +=21,则a 1a 2…a 2007的最小值是 .5.(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .6.(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y 都在区间(－2,2)内,且xy ＝－1,则函数u=244x-+299y -的最小值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 1恒成立问题不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,就其中所含变量的多少可分为两类:单元问题、多元问题.解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式F(x,a)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题.1.等价转化法:不等式f(x)≥m 恒成立⇔f(x)min ≥m;不等式f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M;2.分离参数法:不等式F(x,a)≥0恒成立,求参数a 的取值范围.首先对不等式F(x,a)≥0进行等价变形,使得F(X,a)≥0⇔f(x)≥(≤)g(a),然后通过求不含参数a 的函数f(x)的最值,解决问题;3.函数分析法:(1)函数f(x)=ax+b,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立⇔⎩⎨⎧≥≥0)(0)(n f m f ; 当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立⇔⎩⎨⎧≤≤0)(0)(n f m f ;(2)f(x)≥g(x)恒成立⇔函数y=f(x)的图像不在函数y=g(x)的图像的下方; (3)如果函数f(x)在[m,n]内是凸函数,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立⇔⎩⎨⎧≥≥0)(0)(n f m f ; 如果函数f(x)在[m,n]内是凹函数,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立⇔⎩⎨⎧≤≤0)(0)(n f m f .1.变量分析法[例1]:(2003年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高一))关于x 的不等式lg 2x-(2+m)lgx+m-1>0对于|m|≤1恒成立,则x的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式x 2+px>4x+p-3对于一切0≤x ≤4恒成立,则x 的取值范围是 .②(2008年安徽高考试题)若不等式ax 2-3x+a+1>x 2-x-a+1对任意a ∈(0,+∞)都成立,则实数x 的取值范围是 . 2.(2009年天津高考试题)(文)若对任意的a ∈[-2,2],不等式x 4+ax 3+2x 2+b ≤1在[-1,1]上恒成立,则实数b 的取值范围是 .3.(2009年天津高考试题)(理)若对任意的a ∈[21,2],不等式x+x a +b ≤10在[41,1]上恒成立,则实数b 的取值范围是 .2.函数分析法[例2]:(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)当a>1时,若不等式11+n +21+n +…+n 21>127(log a+1x-log a x+1)对于不小于2的正整数n 恒成立,则x 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于x ∈[0,1]的一切值,a+2b>0是使ax+b>0恒成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分条件,也非必要条件 ②(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对|x|≤1的一切x,t+1>(t 2−4)x 恒成立,则t 的取值范围是__________.2 Y.P .M 数学竞赛讲座2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,则a 的取值范围是 .3.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对于一切x ∈[-2,21],不等式ax 3-x 2+x+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围为 .3.分离参数法[例3]:(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式sin2θ-(22+2a)sin(θ+4π)-)4cos(22πθ->-3-2a 对θ∈[0,2π]恒成立,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数f(x)=x 2-2x+3,若|f(x)-a|<2恒成立的充分条件是1≤x ≤2,则实数a 的取值范围是 .2.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设f(x)=k(x 2-x+1)-x 4(1-x)4.如果对任何x ∈[0,1],都有f(x)≥0,则k 的最小值为 .3.(2006年上海高考试题)三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成x 的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是 .4.基本不等式法[例4]:(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有正数x,y,不等式x +y ≤a y x +都成立,则a 的最小值是 .[解析]:[类题]:1.(2005年第十六届希望杯数学邀请赛(高一)试题)己知x,y ∈R 且x+y=5,若lgx+lgy ≤k 恒成立,则k 的最小值是 .2.①(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式|x+x1|≥|a-2|+1对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是 . ②(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)对于任意的x∈R ,不等式2x 2－a 12+x +3>0恒成立.则实数a 的取值范围是.③(2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x 、y,恒有)3)((2222y x y x xy++≤k1,则k 的最大值为_____. 3.①(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x+2xy 2≤a(x+y)对一切正数x,y 恒成立,则实数的最小值为_____.Y.P .M 数学竞赛讲座 3②(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a>b>0时,使不等式ba -ab >k(a -b )恒成立的常数k 的最大值是 .③(2002年第十三届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式a +b ≤ m 422b a +对所有正实数a 、b 都成立,则m 的最小值是 .5.柯西不等式法[例5]:(1993年全国高中数学联赛试题)设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0,要使10log x x 1993+21log x x 1993+32log x x 1993≥k 30log x x 1993恒成立,则k 的最大值是_______.[解析]:[类题]:1.(2005年第十六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设a,b,c ∈R +,若(a+b+c)(a 1+cb +1)≥k 恒成立,则k 的最大值是 .2.(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式x +y ≤k y x +2对任意正实数x,y 成立,则k 的取值范围是 .6.综合分析法[例6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)若正整数m 使得对任意一组满足a 1a 2a 3a 4=1的正数a 1,a 2,a 3,a 4都有a 1m +a 2m+a 3m+a 4m≥43211111a a a a +++成立,则正整数m 的最小值为 . [解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=ax 2+x,已知f(3)<f(4),且当n ≥8,n ∈N *时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数a 的取值范围是 .2.(1990年全国高中数学联赛试题)设n 是自然数,对任意实数x,y,z 恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n(x 4+y 4+z 4)成立,则n 的最小值是_____.3.①(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知a 2+b 2=1,且恒c<a+b 成立,则c 的取值范围是 .②(2003年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设x,y,z 都是正数,且x+y+z=1,则使x 2+y 2+z 2+λxyz ≤1恒成立的实数λ的最大值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 1不等式的基本问题高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.1.同向可加[例1]:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax 2－c,满足－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5.那么,f(3)应满足( )(A)7≤f(3)≤26 (B)－4≤f(3)≤15 (C)－1≤f(3)≤20 (D)－283≤f(3)≤353[解析]:[类题]:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax 2+c,且当x ＝1时,－4≤y ≤－1,当x ＝2时,－1≤y ≤5,则当x＝3时,y 的取值范围是 .3.(1983全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y ≥1,5x+y ≥2,则log 8(2x+2y)的最小值是_____.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________. 6.(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 . 7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程zy x 4954++-68×zy x 4952+++256=0,那么x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于 .2.函数单调性[例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y--(log 53)y-,则( )(A)x -y ≥0 (B)x+y ≥0 (C)x -y ≤0 (D)x+y ≤0[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a 2+a+1)<f(3a-24a+1)成立,则a 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数.若x 1+x 2>O,x 2+x 3>O,x 3+x 1>O,则( ) (A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x 3+log 2(x+12+x ),则对任意实数a,b,a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x 3-log 2(12+x -x).则对于任意实数a 、b(a+b ≠0),2 Y.P .M 数学竞赛讲座33)()(b a b f a f ++的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定解:f(x)=x 3-log 2(12+x -x)=x 3+log 2(12+x +x)递增的奇函数,5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521+x +lg x x +-11,则不等式f[x(x-21)]<51的解集为 . 解:因为f(x)的定义域为(－1,1),且f(x)为减函数.原不等式即为f[x(x-21)]<f(0). 6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a 、b 是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) (A)a 2>b 2(B)a b <1 (C)lg(a-b)>0 (D)(21)a <(21)b7. ⑴(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1,若x 1=a,x 2=1x a ,x 3=2x a ,…, x n =1-n x a ,…,则数列{x n }(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a a,c=aa a ,若0.9<a<1,则( )(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b3.大小比较[例3]:(1982年全国高中数学联赛试题)当a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+a1)(b+b1),乙:(ab +ab1)2,丙:(2b a ++ba +2)2中间,值最大的一个是( ) (A)必定是甲 (B)必定是乙 (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与a 、b 的取值有关[解析]:甲=ab+ab 1+a b +b a ,乙=ab+ab 1+2,丙=4)(2b a ++2)(4b a ++2,甲-乙=a b +b a-2=(ab-b a )2>0,丙-乙=4)(2b a -- 22)()(b a ab b a +-不能确定,取a=1,b=5⇒甲<丙⇒(D).[类题]:1.(1983年全国高中数学联赛试题)x=31513121log 1log 1+的值是属于区间( )(A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a=1+m -m ,b=m -1-m 那么( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的大小与m 的取值有关 3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n 为正整数,x=(1+n 1)n ,y=(1+n1)n+1,则( ) (A)x y>y x(B)x y=y x(C)x y<y x(D)以上都有可能 解:取对数易得x y=y x.故选(B).4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a x=a+t,则b x与b+t 的大小关系是( )(A)b x >b+t (B)b x <b+t (C)b x=b+t (D)不确定.解:由b>a>1,t>0⇒a x >a ⇒x>1⇒b x-1>1,a x-1>1⇒b x-1>a x-1⇒b x-1-1>a x-1-1⇒b(b x-1-1)>a(a x-1-1)⇒b x -b>a x -a ⇒b x -(b+t)=b x-Y.P .M 数学竞赛讲座 3b-(a x-a)>0.5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x 、y ≥1,且n x 1-+n y 1-≤2,则( ) (A)x ≥y (B)x ≤y (C)x+y ≥xy (D)x+y ≤xy 解:由x 、y 的对称性,显然,选项(A)、(B)均不正确.令a=n x 1-,b=n y 1-,则a n+1=x,b n+1=y.由已知ab ≤2ba +=1⇒x+y-xy= a n +1+b n +1-(a n +1)(b n +1)=1-a n b n≥0.6.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a 2+c 2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )(A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)a>c>b解:若a>b,则a 2+c 2>b 2+c 2≥2bc 不合条件,排除(A),(D);又由a 2-c 2=2bc-2c 2=2c(b-c),故a-c 与b-c 同号,排除(B);且当b>a>c 时,a 2+c 2=2bc 有可能成立,例如取(a,b,c)=(3,5,1),故选(C).7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )(A)-1 (B)log 2a+log 2b+1 (C)log 2b (D)log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3) 解:由0<a<b,且a+b=1⇒0<a<21<b<1,ab<41⇒log 2a+log 2b+1=log 2(ab)+1>-2+1=-1,log 2b>-1,log 2a+log 2b+1<-1+log 2b+1 =log 2b;log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=log 2[(a+b)(a 2+b 2)]=log 2(a 2+b 2),a 2+b 2-b=a 2-b(1-b)=a 2-ab=a(a-b)<0⇒log 2(a 2+b 2)<log 2b.选(C).8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a 、b 是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( ) (A)(a+a 1)(b+b1)>(ab +ab1)2(B)(a+a 1)(b+b 1)>(2b a ++b a +2)2(C)2233b a b a ++>b a b a ++22 (D)b a b a --22>2233ba b a --解:选(B).4.解不等式[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|x 21log 1+2|>23的解集为 . [解析]:|x 21log 1+2|>23⇔|x 2log 1-2|>23⇔x 2log 1<21,或x 2log 1>27⇔log 2x<0,或log 2x>2,或0<log 2x<72⇔x ∈(0,1)∪(1,722)∪(4,+∞).[类题]:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同;命题Q:21a a =21b b = 21c c .则命题Q( ) (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若log a 2<1,则a 的取值范围是___________.⑵(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果log a 43<1,那么a 的取值范围是 ,4 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若log a53<1,则a 的取值范围是___________. ⑷(1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若log a (2-a 2)<1,则实数a 的取值范围是 . 3.⑴(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x 2－2|≤2x+1的解集为_________.⑵(2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|3－2x 2－4|x|+3<0的解集是____________.⑶(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|1log 131+x |>31的解集是 .⑷(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a>0,a ≠1,且|log a 2|>log a+12,则a 的取值范围是 .4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x2log 1+>1–log 2x 的解是 .⑵(2006年全国高中数学联赛试题)设log x (2x 2+x-1)>log x 2-1,则x 的取值范围为 .⑶(2004年全国高中数学联赛试题)不等式1log 2-x+21321log x +2>0的解集为 . 4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x 的不等式x 2−ax −20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是 .5.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d>c.已知实数a>b,则满足bx a x -+-11≥1的x 构成的区间的长度之和为 . 6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若)lg(2lg x a ax+<1的解为(1,2,则a 的取值范围是 . 7.(2008年全国高中数学联赛试题)解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)>1+log 2(x 4+1).[解法一]:由1+log 2(x 4+1)=log 2(2x 4+2),且y=log 2x 在(0,+∞)上为增函数,故原不等式等价于x 12+3x 10+5x 8+3x 6-2x 4-1>0,分组分解:(x 12+x 10-x 8)+(2x 10+2x 8-2x 6)+(4x 8+4x 6-4x 4)+(x 6+x 4-x 2)+(x 4+x 2-1)>0⇔(x 8+2x 6+4x 4+x 2+1)(x 4+x 2-1)>0⇔x 4+x 2-1>0. [解法二]:x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1>2x 4+2⇔x 6+3x 4+5x 2+3>22x+61x⇔x 6+3x 4+3x 2+1+2x 2+2>22x+61x⇔(x 2+1)3+2(x 2+1)>(21x)3+2(21x),令g(t)=t 3+2t,g(t)在R 上为增函数,则不等式为g(21x)<g(x 2+1)⇔21x<x 2+1.。
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（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．
112x << B ．1
, 12
x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2
0,1210
x x x x >≠⎧⎨
+->⎩，解得 1
,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 32
01
22
x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<； 或 32
122x x x x >⎧
⎨
+->⎩ 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1
, 12x x >≠且. 1．（05）使关于x
k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A
解
：
令
6,
y x =≤≤
则
2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤-
(6)] 6.x +-
=0y k ∴<≤实数
D 。
（2004年全国）3．不等式2log 21
1log 32
12++
-x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4）
解：原不等式等价于2
2331log 0222
log 10
x x ++>⎪-≥⎩ 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ．
（2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数
u =244
x -+2
99y -的最小值是D (A)
58 (B)11
24
(C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2
5
133215|
{-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知
52
3
≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x
证明： 容易证明：当a ，R b ∈时，2
2
2
2b a b a +≤+．其中等号成立，当且仅当b a =． 所以)3151()321(3153212x x x x x x x -+++-++=-+-++
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=-+++-++≤x x x x x x 822322)
315()1(22)32()1(2 19214521422
)8(22
34=+≤+=-+-≤x x x ．
由于不等式
2
)
32()1(2
321-++≤-++x x x x 中等号成立，当且仅当
321-=+x x ，即4=x ；不等式2
)
315()1(2
3151x x x x -++≤-++中等号成立，
当且仅当x x 3151-=+，即2
7
=
x ．所以上述不等式第一个不等号中的等号就不可能成立． 所以1923153212<-+-++x x x ． （2008年全国）14．解不等式
121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．
[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于
1210864353122x x x x x ++++>+．
即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，
864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分
所以 4210x x +->，
2
211()022
x x --+-
->． …15分
所以2x >
，即x <x >
故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于
1210864353122x x x x x ++++>+． …5分
即
6422232
26
2133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(
2322
32+++<+x x x x ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为2
2
1(
)(1)g g x x <+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于
2
2
11x x <+， 即
222()10x x +->，解得2x >
(2x <舍去)，故原不等式解集为
(,)-∞+∞ ．。