2012年 华中科技大学电信系考研 824《信号与线性系统》真题及答案(科学硕士)

二 O 一二年华中科技大学招收硕士研究生 824《信号与线性系统》真题及答案（科学硕士）
满分 150，答题时间 180 分钟 适用专业：通信与信息系统、信号与信息处理、 电路与系统、电磁场与微波技术 一、填空题（3 分/空，共 30 分）
1．连续时间信号 x(t ) = e
∞ −∞
π j 2t + 4
（d）非线性、因果不稳定 ）不对应稳定 LTE 系统。 （b） h ( t ) = te −t u ( t ) （d） h ( t ) = sin t / t ） 。 （d）纯虚的偶函数
3．一个奇的且为纯虚数的信号，其傅里叶变换为一个（ （a）实的偶函数 （b）纯虚的奇函数
（c）实的奇函数 ）
4．以下哪个信号的傅里叶变换为周期函数？（ （a） cos 3π t （b） e −2t u ( t )
8．一连续时间 LTE 系统,，输入输出方程为 y′′ ( t ) − y′ ( t ) − 2 y ( t ) = x ( t ) ，如果该系统既不 是因果系统也不是稳定系统，它的冲激响应为 9．序列 x [ n ] = ∑ ( −1) δ ( n − k ) 的 z 变换为
k k =0 ∞
； ，收敛域为 。
n =−∞ ∞
∑ nx [ n]
n =−∞
∞
∑ x [ n]
=
X 1 ( e jω ) X (e
jω
)
=
ω =0
4 π
因 nx [ n ] ←→ j
FT
dX ( e jω ) dω
，故
4． 解：
t −1
由于
−∞
∫ x (τ − 1) e
−( t −τ )
( t − τ ) dτ = x ( t − 1) ∗ te−t u ( t − 1)
二、选择题（2 分/题，共 20 分）
1．输入输出方程为 y [ n ] = x (δ [ n ] sin ( n − 1) ) 的系统是（ （a）线性、因果、稳定 ）的系统。
（b）线性、非因果、稳定
（c）线性、非因果、不稳定 2．以下冲激响应函数中， （ （a） h ( t ) = cos tu ( t ) （c） h ( t ) = e 2t u ( −t + 2 )
s ，该系统的模特性可近似为（ s + s +1
2
（a）可能为左边信号 （c）可能为右边信号 8．系统函数为 H ( s ) = （a）低通
） 。
（b）高通
（c）带阻
（d）带通 ） 。
9．对于因果离散 LTI 系统 H ( z ) = （a）这是一个一阶系统 （c）这是一个稳定系统
z − 10 3 ，下面说法不对的是（ z − 0.3
4．因果 LTI 系统的输入输出方程为
t −1 dy ( t ) + y ( t ) = ∫ x (τ − 1) e− ( t −τ ) ( t − τ ) dτ ，求系统的冲激响应 h ( t ) 。 −∞ dt
5 ．已知 x [ n] = a nu [ −n ] 且 x [ n ] ∗ x [ − n ] =
傅里叶变换为 X ( jω ) =
k = odd k = even
， a2 =
1 1 ， a− 2 = 4 4 k
+∞ π π jk kπ δ (ω − π ) + δ (ω + π ) + ∑ δ ω − 2 2 2 2 k =∞ π ( 4 − k ) k = odd
2．证明：
（b）这是一个最小相位系统 （d）这是一个全通系统
10．对余弦函数 cos (1200t ) 以 f s = 750 π Hz 的频率进行理想抽样，并将抽样信号输入截 止频率为 ωc = 1500 rad s 的理想低通滤波器， 则滤波器输出的信号中包含频率 （ ） Hz 。
（a）
750 π
（b）
+∞
−∞
x ( t ) dt =
2
1 2π
∫
+∞
−∞
X ( jω ) d ω 。
2
3．图 1 所示为序列 x [ n] 的傅里叶变换的实部和虚部，求 x [ 0] 及 α =
n =−∞ ∞
∑ nx [ n]
n =−∞
∞
∑ x [ n]
的值，并
画出 nx [ n] 的傅里叶变换的实部和虚部。 （注：横坐标那里是 π 4 ）
）能无失真传输信号？
2n , n ≤ 0,且 n even 6．序列 x [ n ] = 的傅里叶变换为（ 0, n odd
（a）
1 1 − 2e jω
2
） 。 （d）
1 1 − 0.25e j 2ω
（b）
1 1 − 0.5e j 2ω
（c）
1 1 − 0.5e − j 2ω
7．一绝对可和信号 x [ n] 的有理 z 变换为 X ( z ) ，如果 X ( z ) 在 z = 1 2 有一个极点，则该 信号（ ） 。 （b）一定为双边信号 （d）一定为右边信号
2
阶跃响应的象函数 S ( s ) =
1 1 2 1 1 ， σ > −1 + = − − 2 s s ( s + 1) s s + 1 ( s + 1)2
于是阶跃响应 s ( t ) = 2 − e − t − te − t u ( t )
(
)
( s + 1) + H s = 1 ⇒ H s = 1 4．设 S 的系统函数为 H 2 ( s ) ， 2( ) 2( ) 2 2 ( s + 1) + 1 ( s + 1) + 1
； ；(注：*表示卷积)
sin π t sin 2π t * 的傅里叶变换为 π t π ( t − 1)
+∞
6．周期序列 x [ n ] =
h =−∞
∑ u [ n + 3 − 10k ] − u [ n − 4 − 10k ] 的傅里叶系数 a
10
=
；
7 ．已知 x ( t ) 的奈奎斯特抽样角频率为 ω N ，则 x ( t ) cos (ωN t ) 的奈奎斯特抽样角频率 为 ；
官方参考答案
一、填空题
1、1 6、
7 10
2、 −2 cos 2
7、 3ω N
3、40
8、
4、 2t
5、 G
2π
− jω (ω ) e − jω = u ( ω + π ) − u ( ω − π ) e
1 −t e − e 2t u ( −t ) 3
9、
1 , z >1 1 + z −1
到此不难看出， a = 2 ， 且 X ( z ) = −
2 ， z <2 z−2
四、解：
1．易知 H ( s ) =
s 2 + 2s + 1 ，由 x ( t ) = 1 ⇒ y ( t ) = 0.5 可得 b = 2 s 2 + as + b
Y (s) = X (s) H (s) =
( s + 1)
略，送分题，见教材，很简单的证明，几步就行了。
3．解：
x [ 0] =
1 2π
2π
∫ X ( e ) dω = 2π ∫
jω
1
π /4
−π / 4
Re X ( e jω ) + j Im X ( e jω ) dω = 1 4
Hale Waihona Puke Baidu
{
}
{
}
设 x1 [ n] = nx [ n ] ，于是 α =
t
2
试回答以下问题： 1．求 x ( t ) 及 h1 ( t ) 的傅里叶变换； 2．求 xr ( t ) 、 p ( t ) 以及 x p ( t ) 的频谱函数，并画出频谱图； 3．求 y ( t ) 。
六、 （20 分）
图 3 所示为一离散 LTI 系统。
1．写出系统方程； 2．求系统函数 H ( z ) ，画出零、极点分布图； 3．求单位函数响应 h [ n] ； 4． 若保持系统特性不变，试画出一种使用延时器数量最少的模拟框图。
五、 （20 分）
图 2 所示系统。
注： ⊗ 代表乘法器。其中：
∞ − (sin100t ) 2 sin100t x (t ) = ， ， = ⊗ h t x t p t p t = ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ δ ( t − 0.02π n ) ，h2 ( t ) = e 2 ， 1 r 2 πt 100π t n =−∞
输入 x ( t ) = te −t u ( t ) ，输出 y ( t ) = e−t sin tu ( t ) 。试回答以下问题：
1．确定 a、 b 的值并求 H ( s ) 表达式及其收敛域； 2．该系统的自由响应一定是暂态响应吗？说明理由； 3．求该系统的逆系统的阶跃响应； 4．若该系统与另一因果 LTI 系统 S 并联得到的系统具有 δ ( t ) 的冲激响应，求系统 S 的 单位冲激响应函数。
二、选择题 1-5: b a c d 三、简答题
1．解：
a
6-10 : d c d b d
x ( t ) 为周期信号，T=4， ω0 = π 2 ，傅里叶系数：
jk 1 2 π 4 − k 2 , − jkπ / 2 t ak = ∫ cos π te dt = ( ) 4 0 0,
4 (0.5) n u [ n ] + 2n u [ − n − 1] ， 确 定 a 的值 并求 出 3
x [ n] 的 z 变换 X ( z ) 。
四、 （20 分）
已知因果 LTI 系统的方程为
d 2 y (t ) dy ( t ) d 2 x (t ) dx ( t ) +a + by ( t ) = +2 + x ( t ) ，若当输入 x ( t ) = 1 时，输出 y ( t ) = 0.5 ； 2 2 dt dt dt dt
5．解：
a z 1 ZT x [ n ] ∗ x [ −n ] ←→ X (z) X = − ⋅ z−a z− 1 z
a
4 4 z z 4 −2 z n ZT 3 0.5 ) u [ n ] + 2n u [ −n − 1] ←→ − 3 = , 0.5 < z < 2 ( 3 z − 0.5 z − 2 ( z − 0.5 )( z − 2 )
2
2．由系统函数的分母可见，系统的自由响应具有 e u ( t ) 乘以正弦函数的形式，所以自由响应一定
−t
是暂态响应。
1 s 2 + 2 s + 2 ( s + 1) + 1 3．其逆系统的系统函数为 H1 ( s ) = 2 = = 1+ ， σ > −1 2 2 s + 2s + 1 ( s + 1) ( s + 1)
600 π
（c）
150 π
（d）
600 150 和 π π
三、简答题（1、4、5 题每题 8 分，3 题 10 分，2 题 6 分，共 40 分）
π 1．已知 x ( t ) = cos π t ⋅ u sin t ，画出 x ( t ) 的波形并求其傅里叶变换。 2
2．证明傅里叶变换的帕色伐尔定理： ∫
2
2
s + as + 2
⋅
1
( s + 1)
1
2
2
=
=
1 s + as + 2
2
（1）
y ( t ) = e − t sin tu ( t ) ↔ Y ( s ) =
对比（1） 、 （2）可知 a = 2
( s + 1)
+1
1 s + 2s + 2
2
（2）
( s + 1) ， σ > −1 s2 + 2s + 1 由于系统因果，故 H ( s ) = 2 = s + 2 s + 2 ( s + 1)2 + 1
的平均功率为 ；
瓦；
2．积分 ∫ sin 2tδ ′ ( t − 1) dt 的值=
π π 3．离散信号 x[ n] = cos n cos n 的基波周期为 5 4
；
4．卷积积分 ( 2t + 1) * u ( t ) − u ( t − 1) = 5．信号
（c） u ( t + 10 ) − u ( t − 10 )
（d）
n =−∞
∑ δ ( t − nT )
∞
5．已知系统的冲激响应或频率响应函数，在以下系统中， （ （a） h ( t ) = 5δ ( t − 1) （c） H ( jω ) = 2 − jω 2 + jω （b） H ( jω ) = 2e − jω , ω < 1 （d） h ( t ) = sin t
e − (2 s +1) ( s + 2 )
对方程两边进行拉式变换得 ( s + 1) Y ( s ) = X ( s )
( s + 1)
2
H (s) =
Y (s)
( s + 2 ) e− (2 s +1) 3 X (s) ( s + 1)
=
1 h ( t ) = t 2 − t e − ( t −1) u ( t − 2 ) 2