材料力学第五章 弯曲应力
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa,
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解:1. 求支反力
x 90kN M
x
(压应力)
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ,当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 (细长梁)时 ,纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解: FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2)正方形
a3 W 187.5
6
3)矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压,只受单向拉压. (c)同一层纤维的变形相同。 (d)不同层纤维的变形不相同。
推论:必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图(a)
O
O
zb
O yx b
y
图(b)
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁,火车的轮轴,楼房的横梁,阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念:受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念:主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念:受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线,且都在梁的纵向对称平面内(通过或平行形心主轴且过弯曲中心)。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类:1、按杆的形状分——直杆的弯曲;曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲;短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲;无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲;斜弯曲;弹性弯曲;塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲;横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化(一)、简化的原则:便于计算,且符合实际要求。
(二)、梁的简化:以梁的轴线代替梁本身。
(三)、荷载的简化:1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶(分布力偶)——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
(四)、支座的简化:1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
(五)、梁的三种基本形式:1、悬臂梁:2、简支梁:3、外伸梁:(L 称为梁的跨长) (六)、静定梁与超静定梁静定梁:由静力学方程可求出支反力,如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁:由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定(截面法):[举例]已知:如图,F ,a ,l 。
求:距A 端x 处截面上内力。
解:①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力:剪力和弯矩1. 弯矩:M ;构件受弯时,横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
《材料力学基础》5弯曲应力
y
27
FN
dA 0
A
M y
z( dA)
A
0
M z
y( dA)
A
M
该梁段各横截面上 FN 和 My 均 等于零, 而 Mz 就是横截面上 的弯矩 MA Z
x
dA
y
28
E E y
FN
dA
A
E
A
ydA
E
Sz
0
M y
z( dA)
A
E
A
z
y
dA
Iz
bh3 12
0.583104 m4
K
MC Iz
y
3103 0.583 10 4
0.06
3.09MPa
(+)
60
F
A
C
5m 10m
12.5
B
z a
166
例题 :图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ,F = 150kN。求
(1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
M max W z[ ]
58
例题:长为 l 的矩形截面梁,在自由端作用有集中力 F。已知: h=0.18m,b=0.12m,y=0.06m,a=2m,F=1.5kN。求 C 截面上 K点的正应力。
F
A
C
B
a
l
K y h z
b
59
F
A
C
B
a
l
K y h z
b
My Iz
解:
MC = -Fa = -3kN.m
3
一、纯弯曲梁 横截面上的正应力
RA
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面: 对空心圆截面: I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式: 弯曲正应力一般公式: σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
?
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么? 剪应力和正应力的分布规律是什么?
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉(压)组合 弯拉( 对称弯曲(平面弯曲): 对称弯曲(平面弯曲): 外力作用在纵向对称面内, 外力作用在纵向对称面内,梁轴线变形 后为一平面曲线,也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线,也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意!C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2:求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解:1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y(yc)
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
材料力学《第五章》弯曲应力
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知:
从伸长到缩短的过程中,必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短,保 持原来的长度。 中性层:由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴:中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区,梁宽度减小, 在缩短区,梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后,横截面仍保持为平 面,并仍与已变弯后的梁轴线垂直, 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成,弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知: 弯曲变形时: 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短; 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方,y 为正值, s 也为正值,表示为拉应力; 中性层上方,y 为负值, s 也为负值,表示为压应力。 y =0 (中性轴上),s = 0 ; y |max (上、下表层), s max 。
由(b)式可得s 的分布规律,但因r 的数值未知,中性轴的位置未确定, y 无从算起,所以仍不能计算正应力,用静力学关系解决。
材料力学第五章-弯曲应力知识分享
材料力学第五章-弯曲应力注:由于本书没有标准答案,这些都是我和同学一起做的答案,其中可能会存在一些错误,仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ,试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝,弹性模量为E ,现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d /D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁,如果所受的外力也相同,则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同,正应力变化规律相同。
处的正应力相同,线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲,试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示,已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力,并指明其位置。
解:(1)m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在:固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁,受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN /m ,跨长l =3,截面高度=h 24cm ,宽度=b 8cm 。
材料力学第五章 弯曲应力
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式,可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ,代入上式得 由公式(4-2), dx
* 式中 S z
A1
y1dA ,是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理,
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上,与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ,可得
综上所述,对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁(l>5h),在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 (5-2)仍然适用。
例5-1
图5-10(a)所示悬臂梁,受集中力F与集中力
偶Me作用,其中F=5kN,Me=7.5kN· m,试求梁上B点左邻 面1-1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明,一般情况下,梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力, 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩,如图5-1(a)所示。 因此,在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ(见图 5-1(b))。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学第5章弯曲应力
4)
最大切应力: max
k
FS A
矩形:k =3/2 工字形:k =1 圆形:k =4/3
5)
切应力强度条件: max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结:
1)应力公式:
正应力: My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力:
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时,M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时,FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40,MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结: • 应力应变沿高度线性变化,中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1)横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时,基本假设不成立,但
My 满足精度要求,可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变: (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2)物理方程: E Ey /
材料力学(刘鸿文)第五章-弯曲应力
关于中性层的历史
1620年,荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层; 英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象, 但没有涉及中性轴的位置问题; 法国科学家纳维于1826年,出版《材料力学》讲义, 给出结论: 中性轴 过截面形心。
观察建筑用的预制板的特征,并给出合理解释
P
为什么开孔?孔开在何处? 可以在任意位置随便开孔吗? 为什么加钢筋? 施工中如何安放?
(3)特别注意正应力沿高度呈线性分布;
(4)中性轴上正应力为零, 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
(5)梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号(拉或压)可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
(6)熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁,截面尺寸如图。
a 无论截面形状如何, 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
σmax
M y max max
M
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料,通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面;
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此:
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa,C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh 3 12
材料力学 弯曲应力
h h1
腹板
yz
FS——横截面上剪力。
y
翼缘
矩形截面的两个假定同样适用。
δ
h h1
y
δ
FN1
b
dF z
dx
dF FN 2 FN1
FN2
式中:FN1
dA M
A*
Iz
A*
ydA
M Iz
S
* z
FN 2
dA M dM
A*
Iz
A*
ydA
M
dM Iz
Izb 16bh
§5-4、梁的强度计算
一、梁的强度计算
危险截面: 危险点:
最大弯矩截面 最大剪力截面
最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。
最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。
1、等截面梁的正应力强度条件为:
max
M max Wz
注:①弯曲容许正应力[σ]弯略大于轴向拉压容许正应力[σ]轴,
FS
S
* z
Izd
b
δ d
h h1
yz
τmax
FS——横截面上剪力。
y
Iz ——整个工字形截面对中性轴z的惯性矩。 d——腹板宽度。
Sz* ——距z轴y处横线一侧 阴影部分截面对z的面积矩。
τ FS [( h2 h12 ) ( h12 y2 )]
2Izd 4 4 4
2、翼缘
δ
u
h
δ
z
τ1
F’N'1τ1
B
τ'1
F’N'2
u
材料力学-弯曲应力
超静定梁
q
Hale Waihona Puke L/2L/2q
L
M
M
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
合理放置截面
增大 WZ
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理放置截面
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
*
充分利用材料特性合理设计截面
脆性材料:
宜上下不对称截面:
T 形,不等边工字型,不等边矩形框等;
中性轴偏向受拉区的一侧
理想的中性轴的位置: 应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。
*
讨论:钢筋混凝土楼板,钢筋应该铺设在哪一边?
等强梁的概念与应用
等截面梁WZ为常数,横力弯曲时弯矩M是随截面位置变化的。只有|M|max位置的横截面上应力达到[]。 不合理!
某车间欲安装简易吊车,大梁选用工字钢。已知电葫芦自重
材料的许用应力
起重量
跨度
试选择工字钢的型号。
例题
(4)选择工字钢型号
(5)讨论
(3)根据
计算
(1)计算简图
(2)绘弯矩图
解:
36c工字钢
*
作弯矩图,寻找需要校核的截面
要同时满足
分析:
非对称截面,要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁,截面尺寸如图示。
强度条件
h
max
*
叠合梁问题
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa,木材的〔σ〕= 10 MPa,[τ]=1MPa,求许可载荷
1.画梁的剪力图和弯矩图
材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力
例4 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示,材料的许 用拉应力[t]=40MPa、许用压应力[c] =100MPa,许 用切应力[] =20MPa 。试校核该梁的强度。
A B 2m C 3m 1m D 157. 5 200 C 30
q 10kN / m
F 20kN
200
解:求支座反力; z
0 : M D 12kN m
(上面受拉) (拉)
M D 6 M D 6 12 103 a 120 MPa 2 2 W bh 6 10
2 2 b a 120 48MPa (拉) 5 5
c 0
例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 30 50kN 20kN
a b
c d M c d
a b
⑵横向线代表一横截面,变形后仍为直线,但转过一个角 度,且仍与纵向线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
纵向对称面 中性层 中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设:梁的横截面变形后仍为平面,且与梁变形 后的轴线正交; ⑵单向受力假设:纵向纤维之间无正应力,即无挤 压。各纵向纤维仅仅承受轴向的拉应力或者压应力。
max
Fs S z I z b0
*
式中b0为工字型腹板的厚度。
Fs S z* 在腹板上距中性轴为y处的切应力: I z b0
*
1 h0 h h0 h0 1 h h0 h0 S z b b0 y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2 b0 h02 2 (h h0 ) ( y 2 ) 8 2 4 b 2 FS b 2 b h 2 2 0 0 h h y ( ) ( ) 0 I z b0 8 2 4 h0 2 y FS bh 2 h0 腹板 max b b ( ) 0 I z b0 8 8
材料力学第5章弯曲应力
欢迎来到材料力学第5章弯曲应力的世界!在本章中,我们将深入探讨什么是 弯曲应力,并研究其在不同形状截面中的计算方法和应用。
弯曲应力的定义和概念
什么是弯曲应力?
弯曲应力是物体受到外力作用时,在横截面上产生的力分布状态。
应变张量与应力张量
了解应变张量和应力张量的关系是理解弯曲应力的基础。
应力-应变曲线与弯曲应力
探索材料的应力-应变曲线与弯曲应力之间的关系。
弯曲应力在工程中的应用
建筑结构
了解弯曲应力在建筑结构中的应 用,如桥梁和楼梯等。
机械设计
探索弯曲应力在机械设计中的重 要性,如机械零件和工具。
航空航天工程
了解弯曲应力在航空航天工程中 的关键应用,如飞机和火箭。
梯形截面
探索梯形截面的弯曲应力计算方法。
弯曲应力的影响因素
1 外力
外力的大小和方向将直接影响到物体的弯曲应力。
2 截面形状
不同形状的截面将对弯曲应力的分布产生影响。
3 材料的力学性质
材料的弯曲应力极限和应力-应变关系是必须考虑的因素。
材料的弯曲应力极限
如何确定材料的弯曲应力极限
了解如何通过实验和模拟来确定材料的弯曲应力极限。
材料力学中的弯曲应力方程
一般弯曲应力方程
通过一般弯曲应力方程,我们可以计算出材料在弯曲时 的应力。
悬臂梁的弯曲应力
悬臂梁的弯曲应力方程与一般情况下的方程有所不同, 的弯曲应力计算方法
1
圆形截面
2
了解计算圆形截面的弯曲应力的公式和步骤。
3
矩形截面
学习如何计算矩形截面的弯曲应力。
材料力学第五章弯曲应力
注:由于本书没有标准答案,这些都是我和同学一起做的答案,其中可能会存在一些错误,仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ,试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max=⨯⨯⨯==-σ6—2直径为d 的钢丝,弹性模量为E ,现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d /D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁,如果所受的外力也相同,则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同,正应力变化规律相同。
处的正应力相同,线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲,试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示,已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力,并指明其位置。
解:(1)m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在:固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁,受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN /m ,跨长l =3,截面高度=h 24cm ,宽度=b 8cm 。
材料力学课件第五章弯曲应力的分析
A
① 将(2)代入(3)
y
E dA 0
A
Sz =
ydA 0
A
M y
z dA 0 -(4)
A
SZ称为静矩,当通过截 面形心时为0
中性轴通过截面形心
② 将(2)代入(4)
A
zE
ydA
0
A zydA 0
当截面具有对称轴时,自然满足. z, y轴是主惯性轴
M
(中性轴)
z x
y σdA
z
y (对称轴)
139mm
(3)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
• 中性轴: 中性层与横截面的交线, 用Z轴表示。
梁弯曲时,实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果正号弯矩如图作用在梁的横截面上,该梁下部将伸 长、上部将缩短
中性层曲率半径
d
M
M
•纤维bb变形前的长度:
m’ n’
y bb o 'o ' d dx
a’
a’
o’ b’
m’
o’ b’
n’
•纤维bb变形后的长度:
))
b 'b ' ( y)d
•纤维bb的应变:
( y )d d y - - - - (1)
d
( 与 y 成正比)
2.物理关系:
假设: 各层纤维之间无挤压作用,各条纤维仅受单 向拉压受力, 应此可以使用简单虎克定律。
根据简单虎克定律: E y - - - - (2)
(中轴性尚未确定, y、未知)
z 形后,横截面仍保持平面,
且仍与纵线正交
材料力学课件第五章 弯曲应力
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面: 截面, 截面, 可能的危险截面: I-I截面,II-II截面,III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁: 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁:
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况,需特别校核剪应力: 如下情况,需特别校核剪应力: a) 自制薄壁截面(组合截面)梁: ) 自制薄壁截面(组合截面) b)梁跨度较小 ) c)支座附近有较大集中力 )
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5:图示 简支梁 : 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa, , [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解: 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三)梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢,弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa,心轴的结构和受力 , 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图: 解: 一、画心轴计算简图: 求支反力: 二、求支反力:由整体平衡
材料力学 第5章 弯曲应力
材料力学
(三)静力学关系
FN x
dA 0
A
Mz A (dA) y M
1 Mz
EI z
由(2)(3)两式可得
… …(3)
x
M y Iz
z x
y
EIz ——抗弯刚度
...... (4)
材料力学
(四)最大正应力
… …(5)
z x
Wz
Iz ymax
——抗弯截面系数
y
z
D
z b
实心圆截面
Pa
92.6MPa
④全梁最大正应力
max
M max Wz
67.5103 6.48 104
Pa
104
.2MPa
材料力学
5.4 弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x dx 图a
M(x) Fs(x)
Fs(x) y
x 图b
dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
b FN1
t
y FN2 图c
1、两点假设: ①切应力与剪力平行; ②距中性轴等距离处,切应力 相等。 2、研究方法:分离体平衡。
60
103 (60 10 3 ) 5.832 10 5
Pa
61.7MPa
材料力学
1 q=60kN/m
A
B
1m
2m
1
180 30
12 z
120 y
qL2
M
8
+
M1 Mmax
x
③1-1截面上的最大正应力
Wz
Iz y
Iz h2
6.48 10 4 m3
1max
材料力学第五章__弯曲应力
矩(中性轴以下或以上面积对中性轴的静矩)
的比值(Iz/S),因此工程中经常采用的最大
剪应力的计算公式为:
max
bIz
FS / Smax
整理课件
3.圆截面梁的剪应力
整理课件
假设
1.假设AB弦上各点的剪 应力作用线都通过k点。
2.假设AB弦上各点剪应 力的垂直分量τy相等, 亦即假设τy沿AB弦均 匀分布。
整理课件
1、矩形截面梁弯曲剪应力
初等剪应力理论是由俄罗斯工程师茹拉夫斯基( 1844-1850)设计木梁时提出。 1856年圣维南提出精确剪应力理论。 1.矩形截面梁的剪应力 分析步骤: 1.提出假设; 2.在假设的基础上推导公式; 3.找出剪应力沿截面高度分布的规律。
整理课件整理课件来自理课件P yz Q
x
整理e课件
h
e Hh R
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
*§5.5 关于弯曲理论 的基本假设
自学
整理课件
§5.6 提高弯曲强度的 措施
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
F
S
S
* z
整理课件
I zb
整理课件
整理课件
工字钢截面:
max
Q Af
min
Af —腹板的面积。
max
结论: 翼缘部分max«腹板上的max,只计算 腹板上的max。
铅垂剪应力主要腹板承受(95~97%),且
max≈ min
故工字钢最大剪应力
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σ Eε
y
?
M
O
z
x
?
y
应力分布规律: 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力,与它到中性轴
的距离成正比.
待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径
?
(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship)
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系,这一力系简化 得到三个内力分量. M
A C a
D
B
a
称为纯弯曲.
简支梁CD段任一横截面上,剪 力等于零,而弯矩为常量,所以该段
F
+ +
Fa
F
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams)
§5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )
deformation geometric relationship physical relationship
(Stresses in Beams)
例题3 由 n 片薄片组成的梁,当每
片间的磨擦力甚小时,每一薄片就 独立弯曲,近似地认为每片上承担
h b l
z
l
F
的外力等于
F /n
F
解:每一薄片中的最大正应力
F l 6Fl M max n 2 n σ max 1 h 2 bh Wz b( ) 6 n
W z [σ ] F 3kN a
φ14 φ30
20
Fa
(Stresses in Beams)
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用 拉应力为 [t] = 30MPa ,许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面 对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度.
Examine the deformation, then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形, 提出假设
变形的分布规律
Distribution regularity of stress
h
z y D d
πD 3 空心圆截面 W (1 4 ) 32
d α D
z y
(Stresses in Beams)
(2)对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
一、梁横截面上的切应力(Shear stresses in beams)
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section) (1)两个假设(Two assumptions) (a)切应力与剪力平行; (b)切应力沿截面宽度均匀分布
σ t max [σ t ]
σ c max [σc ]
(Stresses in Beams)
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a=150mm,压板 材料的弯曲许用应力[]=140MP.试计算压板传给工件的最大允 F FRB FRA 许压紧力F. 解:(1)作出弯矩图的最大弯
矩为Fa;
最大正应力等于
h b
z
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲
Fl 6 Fl M max 2 σ max 1 2 bh Wz bh 6
(Stresses in Beams)
§5-4 梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)
σmax
M max [σ ] W
(Stresses in Beams)
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
(1) 强度校核
M max [σ ] W
M max (2)设计截面 W [σ ]
(3)确定许可载荷 M max W [σ ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁,由于材料的 [σ t ] [σc ] 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
2.具有切应力的梁(The beam with the shear stress) l / h 5 3.平面弯曲(Plane bending) 4.直梁(Straight beams)
三、强度条件(Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式(Mathematical formula)
bb ( + y )d
应变分布规律:
( + y )d d y d bb dx OO O'O' d
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
(Stresses in Beams) 三、物理关系(Physical relationship)
中性轴
中性轴 ⊥横截面对称轴
中性层 横截面对称轴
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams) 二、变形几何关系( Deformation geometric relation )
dx
dx
O
d
O
x O y
b
z b 图(a)
y
O’
b’ z y
O’
x b’
图(b)
图(c)
M B 4kN m
B截面
80
z
120
y1
20
y2
20
4kN
+ C截面
M B y1 27.2MPa [σ t ] σ t max Iz M B y2 46.2MPa [σ c] σ c max Iz
M C y2 28.8MPa [σ t ] σ t max Iz
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
σ FN A dFN A dA 0
A A
(1)
My
y
M y dM y zσdA 0 (2)
Mz
dFN σdA
dM y z dA dM z y dA
A dM z A yσdA M(3)
当梁上有横向力作用时,横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲, 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表 明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的
A
B
C a
2a
(2)求惯性矩,抗弯截面系数
( 3cm )( 2cm )3 (1.4cm )( 2cm )3 Iz 1.07cm 4 12 12 Iz 1.07cm 4 Wz 1.07cm 3 ymax 1cm Fa Wz [σ ]
(3)求许可载荷
+
M max Wz [σ ]
M
σ t max
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ tmax
(Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 一、横力弯曲(Nonuniform bending)
计算横力弯曲时横截面上的正应力.
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ M ( x )
W
(Stresses in Beams) 二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula )
1.在弹性范围内
(All stresses in the beam are below the proportional limit)
1
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams)
讨论 (1)应用公式时,一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情 况直接判断 的正负号. 以中性轴为界,梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号); (2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
中性轴为主惯性轴,自然满足 将应力表达式代入(3)式,得
M z yE dA M
A
y
E
1
A y dA M 2 NhomakorabeaE
Iz M
M E Iz
(Stresses in Beams)
将
M y 代入 σ E EI z My σ Iz
M为梁横截面上的弯矩; y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离;
m FS m
m m
FS
M
m
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况) F F
(Stresses in Beams) 二、分析方法 (Analysis method)