高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布单调性：同增异减赋值法，典型的函数零点函数的应用A 中元素在B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。

2.复合函数单调性：同增异减。

1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ).2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0.3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。

f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。

函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率()()的区别与0x f x f ''0t t t v a S v ==，()0'x f k =导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1log sin cos cos sin 0e e a a a xx a x x x x x x nx x c c ====-====；；；；；；；为常数()()()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()[])3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅±=±是可导的，则有：，设()()[]()()x u u f x g f '''⋅=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点；2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。

导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题()()()().00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ⇒<⇒>1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。

一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。

定积分与微积分定积分概念定理应用性质定理含意微积分基本定理曲边梯形的面积变力所做的功()的极限和式i n i i x f ∆∑-=11ξ定义及几何意义1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限；2.用公式。

()()()()[]()()()()()()()()c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf <<=-=±=±=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.；；；()()()()()()莱布尼兹公式牛顿则若--==⎰a F b F dx x f x f x F ba ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程：（2）求变力所作的功；()⎰=b a dx x F W ()dt t v s ab ⎰=第三部分三角函数与平面向量退出上一页化简、求值、证明（恒等式）任意角的三角函数任意角三角函数定义同角三角函数的关系诱导公式和（差）角公式二倍角公式三角函数线平方关系、商的关系奇变偶不变，符号看象限公式正用、逆用、变形及“1”的代换角正角、负角、零角象限角轴线角终边相同的角区别第一象限角、锐角、小于900的角任意角与弧度制；单位圆弧度制定义1弧度的角①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；③弧长公式、扇形面积公式正弦函数y =sinx 三角函数的图象余弦函数y =cosx正切函数y =tanx y =Asin （ωx +φ）+b作图象描点法（五点作图法）几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为( ，0)（k ∈Z ）2πk ①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）；④最小正周期T ＝；⑤对称轴x ＝，对称中心为( ，b )（k ∈Z ）.ωπ2()ωφπ2212-+k ωφπ-k 三角函数三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等第三部分三角函数与平面向量退出上一页（1）解三角形时，三条边和三个角中“知三求二”。

（2）解三角形应用题步骤：先准确理解题意，然后画出示意图，再合理选择定理求解。

尤其理解有关名词，如坡角、坡比、仰角和俯角、方位角、方向角等。

平面向量解的个数是一个？两个？还是无解？解三角形正弦定理及变式R CcB b A a 2sin sin sin ===适用范围：①已知两角和任一边，解三角形；②已知两边和其中一边的对角，解三角形。

余弦定理Cab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=面积推论：求角适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两边和它们的夹角，解三角形。

实际应用()()()()()()是内切圆半径是外接圆半径其中r r c b a R R abcc b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ⋅++==⎪⎭⎫ ⎝⎛++=---===∆2142sin 2121表示向量的概念零向量与单位向量()()212212y y x x a -+-=共线与垂直线性运算加、减、数乘几何意义及运算律平面向量基本定理数量积几何意义夹角公式投影a ba b a b⋅=θcos 方向上的投影为在ba b a b a⋅⋅=θθcos ,则夹角为与设共线（平行）垂直()001//1221≠=-⇔=⇔a y x y x a b b a λ002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用向量的应用21e y e x p +=第四部分数列退出上一页数列是特殊的函数数列的定义概念一般数列通项公式递推公式a n 与s n 的关系解析法：a n =f (n )表示图象法列表法mn m n n q a q a a --⋅=⋅=11特殊数列等差数列等比数列判断性质通项公式求和公式()()dm n a d n a a m n -+=-+=1122nm q p n m a a a a a +=+=+22nm q p n m a a a a a +=⋅=⋅常数=+nn a a 1常数=-+n n a a 1()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=()()()11111111≠-⋅-=--==q qq a a q q a q na S n nn ；时q ≠0，a n ≠0公式法：应用等差、等比数列的前n 项和公式①常见递推类型及方法()n f a an n =+1q pa a n n +=+111++-=n n n n a a a pa nn n qpa a +=+1()n n n f a a =-+1②④③⑤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 构造等比数列逐差累加法逐商累积法③转化为化为111+⋅=-+n nn n qa q p q a 常见的求和方法数列应用倒序相加法分组求和法裂项相消法错位相减法()()()()12112161121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++=+=∑∑∑n n k n n n k n n k ；自然数的乘方和公式：⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n ，，等差中项：等比中项：212+++=n n n a a a 221++⋅=n n n a a a 数列构造等差数列p a a =-11第五部分不等式退出上一页指数对数不等式不等式二元一次不等式（组）与平面区域a xb y z --=()()22b y a x z -+-=简单的线性规划问题可行域目标函数应用题一次函数z =ax +b构造斜率：构造距离几何意义：z 是直线ax +by -z =0在x 轴截距的a 倍，y 轴上截距的b 倍.基本不等式2b a ab +≤最值变形和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.“一正二定三相等”22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+作差或作商借助二次函数图象，利用三个“二次”间的关系不等关系与不等式基本性质一元二次不等式及其解法比较大小问题求解范围问题解不等式一元一次:ax >b 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)绝对值不等式分式不等式分a >0,a <0,a =0(b ≥0,b <0)讨论分a >0,a <0,Δ>0, Δ=0, Δ<0讨论一元高次不等式()()()()0021<>-⋅⋅⋅--n x x x x x x 解不等式组()()()()()()()()()000;00≠≥⋅⇔≥>⋅⇔>x g x g x f x g x f x g x f x g x f 且()()()()()()()()()()()()()()().22绝对值几何意义求解，可分段讨论或用形如或c b x a x x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x f <-+->⇔>-<>⇔><<-⇔<x 系数化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿利用性质转化为代数不等式，底数a 的讨论平面三公理及推论空间点、直线、平面的位置关系点与线点与面线与线平行关系的相互转化线线平行线与面面与面相交平行点在面内或点不在面内，∉∈或点在直线上或点不在直线上，∉∈或共面直线异面直线只有一个公共点线在面外线在面内相交平行没有公共点只有一个公共点Al =⋂α没有公共点α//l α⊂l 相交平行βα//l =⋂βα线面平行面面平行面面垂直线面垂直线线垂直垂直关系的相互转化()()；；；；球球圆台圆台32'''22'34431R V R S h s s s s V rl l r r r S πππ==⋅++=+++=结构三视图直观图表（侧）面积体积柱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征三视图直观图（斜二侧画法）平行投影和中心投影长对正，高平齐，宽相等空间几何体第六部分立体几何与空间向量退出上一页第六部分立体几何与空间向量空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围；(]90,0范围；[]90,0范围；[]180,0.;cos ;sin ;cos 2121nn a d n n n n n a na b a ba ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=θθθ空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的距离相互之间的转化aa’b θl θn aAOBCαθ1θ2θθθθcos cos cos 12⨯=直线与平面所成的角异面直线所成的角垂线法二面角垂面法CABDO射影法二面角θ的大小为cos θ= S `÷S通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角利用三垂线定理作出平面角，解直角三角形求角退出上一页空间向量与立体几何立体几何中的向量方法直线的方向向量与法向量向量法证两直线平行与垂直求空间角求空间距离向量距离空间向量及其运算空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理平行与垂直的条件空间向量基本定理向量夹角()()方向向量为，或l a R t a t OA OP R b a b a∈+=∈=⇔λλ//()()1=++++=++=+=+=⇔z y x OC z OB y OA x AC y AB x OA OP AC y AB x AP b a b y a x p b a p 其中或或不共线，共面，与()()R z y x OC z OB y OA x OP P OABC c b a c z b y a x p ∈++=++=，，有一点是不共面四点，则对任推论：设不共面，，空间任一向量()()().cos :.3cos :.2cos :.1212121为两平面法向量，二面角；为平面法向量为直线方向向量，直线与平面的夹角；为方向向量，求异面直线的夹角n n n n n n n a na na b a ba ba⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=θθθθθθ.,化为点面距线面距、面面距都可转的法向量，为平面点到平面的距离：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∉∈⋅=αααP M n nMPn d()()()2122122122z z y y x xAB AB -+-+-==();,0//=⋅⇔⊥∈≠=⇔b a b a R a a b b aλλ()坐标表示=⋅⋅=ba b a b a,cos 第六部分立体几何与空间向量退出上一页直线的方程平面内两条位置关系两直线平行两直线重合两直线相交两直线垂直两直线斜交..123112212121C A C A B A B A b b k k ====且或，且.122121B A B A k k ≠≠或.01212121=+-=⋅B B A A k k 或..123112212121C A C A B A B A b b k k ≠=≠=且或，且倾斜角与斜率倾斜角α［00，1800）和斜率k=tanα的变化直线方程点斜式：()00x x k y y -=-斜截式：bkx y +=()2121121121,y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--两点式：截距式：1=+bya x ()0,0≠≠b a 一般式：()00≠=++AB C By Ax 注意（1）截距可正，可负，也可为0；（2）方程各种形式的变化和适用范围.[)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠+∈+-=+-=0900.1tan 212100212112212121B B A A B B A A B A B A k k k k ，θθ距离点点距点线距线线距()().21221221y y x x P P -+-=2221B A C C d +-=2200B A CBy Ax d +++=两直线夹角第七部分解析几何退出上一页圆的方程标准方程：（x -a ）2+（y -b ）2=r 2一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F =0(D 2+E 2-4F >0)圆的方程空间两点间距离、中点坐标公式⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠==+++++040002222F E D B C A F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：二元二次方程()()()()02121=--+--y y y y x x x x AB 为直径圆方程：以点和圆的位置关系点在圆内()()22020rb y a x r d <-+-⇔<⇔点在圆上()()22020rb y a x r d =-+-⇔=⇔点在圆外()()22020rb y a x r d >-+-⇔>⇔相离直线和圆的空间直角坐标系位置关系相交相切r d ><∆，或0r d ==∆，或0rd <>∆，或0圆和圆的位置关系相离相切相交.0)2(210)1(212121212121内含外离；内切；外切；相交；；，，数是利用两圆方程组解的个⇔-<<⇔+>⇔-=⇔+=⇔+<<-r r d r r d r r d r r d r r d r r ()222122122122411d r AB x x x x k x x k AB -=-++=-+=几何法：弦长公式：代数法：第七部分解析几何退出上一页()()()()()()()()()()()()()()()).(00)5(0)4(040)3(040)2(040)1(11112222222222222111222222222222222222222222222为参数其中不含或；不含：过两已知圆交点的圆系；或过原点的圆系：；为参数，且，或为参数，轴上的圆系：圆心在；为参数，且，或为参数，轴上的圆系：圆心在且为参数，为常数，，或为参数，同心圆系：λλλC F y E x D y x F y E x D y x C F y E x D y x F y E x D y x Ey Dx y x b a b y a x F E F E F Ey y x r b r b y x x F D F D F Dx y x r a r y a x x F E D F E D F Ey Dx y x r a r b y a x =+++++++++=+++++++++=++++=-+->-=+++=-+>-=+++=+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-+=++++=-+-()()()()()().00)3(.0)(0)()()2(.)0()()1(111122222221110000l C By x A C By x A l C By x A C By x A C By Ax Ay Bx C By Ax By Ax k k b kx y y b b kx y x x k y y y x P 不包括；不包括为参数：过两直线交点的直线系垂直的直线系表示与已知为参数平行的直线系；表示与已知为参数的平行直线系；表示斜率为为参数平行直线系：轴的直线系，不包括，表示过点；特殊地直线系：，共点=+++++=+++++=++=-=++=++=+=-=-λλλλλλλ第七部分解析几何几种常见的圆系：几种常见的直线系：()()()()1,.41,.31.20,00.1202000202000212=-=+-+=⎩⎨⎧==++=++by y a x x y x M b y y a x x y x M l k x x k AB y x f C By Ax C C By Ax l 点处的切线为：双曲线上；点处的切线为：椭圆上的斜率为直线弦长：的解；其交点坐标就是方程组对应，与方程组有几组解一一的位置关系：交点个数：，二次曲线：直线直线与圆锥曲线的位置关系：退出上一页第七部分解析几何退出上一页圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程求曲线的方程画方程的曲线求两曲线的交点双曲线轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法抛物线椭圆定义及标准方程几何性质相交相切相离弦长范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）渐近线（双曲线）、准线、离心率。