2019-2020学年江苏省南通市如皋中学高一(创新班)上学期阶段考试数学试题(解析版)

【考点】数列性质及其恒成立问题
19．
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
15．已知 ，且 ，则 的最小值为________．
【答案】8
【解析】由条件可得 ，而 ，根据均值不等式即可求出.
【详解】
,
,
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 的最小值为8.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，指数的运算，属于中档题.
16．数列 是等差数列， 是等比数列，且满足 , ，则数列 的公比为________．
【答案】
【解析】利用等比中项可得 ，由等差数列知 ， ，代入可求出 ，即可求出公比.
【详解】
,
,
,
即
化简得 或 ，
当 时，解得 ，
而由 知 ，故舍去.
当 时，解得 或 ，
或 ，
而 知 ，故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，对运算能力要求较高，属于难题.
三、解答题
17．如图，在四棱柱 中， ， ，且 .
5．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于等比数列{an}中,a2＝1，
其前3项的和S3= ,
利用基本不等式可知 ，
该S3的范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.
18．
设数列 的前 项和为 ．已知 ， ， ．
（Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意， ，即 ，由此得 ，因此， ．当 时， 为等比数列，首项是 ，公比 ，所求通项公式为 ， ；当 时， ， ，也适合上式，故数列 的通项公式为 ；（Ⅱ）由 通项可知 ， ，
2．已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
【答案】D
【解析】【详解】
A项， 可能相交或异面,当 时，存在 ， ，故A项错误；
B项， 可能相交或垂直,当 时，存在 ， ，故B项错误；
C项， 可能相交或垂直,当 时，存在 ， ，故C项错误；
20．如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形， ， ∥ ， ∥ ， ．
（1）证明：四点 共面；
（2）设 ．
①求 与平面 所成角的正弦值；
②求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析（2）① ②
【解析】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 ,设 ,通过向量法可证得 ，即 共面（2） ，写出点的坐标，求出平面 的法向量①写出向量 ，根据线面角公式 计算即可②写出 ，根据点到平面的距离公式 计算即可.
当 时， ， ，所以
（ ），当n=1时再验证一下
试题解析：（Ⅰ）依题意， ，即 ，
由此得 ，因此， ．
当 时， 为等比数列，首项是 ，公比 ，
所求通项公式为 ， ．①
当 时， ， ，也适合①．
故数列 的通项公式为 ， ．
（Ⅱ）由①知 ， ，
于是，当 时，
，
，
当 时， ．又 ．
综上，所求的 的取值范围是 ．
若l⊥m，l⊥ ，则m∥ ，该命题为真命题，因为l⊥m，l⊥ ，则平面 内必存在一直线与 外直线m平行，所以m∥ ，命题为真命题；
若m∥ ，l⊥ ，则l⊥m，该命题为真命题，因为m∥ ，所以 内必有一直线n与直线m平行，l⊥ 可得l⊥n，所以l⊥m，命题为真.
综上可知正确命题的个数为2，
故选：C
【点睛】
【详解】
根据两条相交直线可确定一个平面知， ； ； ； 分别确定一个平面，
若 平行或相交时， 四线共面，与 是异面直线矛盾，故 是异面直线，
所以这四条直线确定的平面有4个.
故选:B
【点睛】
本题主要考查了异面直线的概念，两条相交直线确定一个平面，属于容易题.
8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】记三角形数构成的数列为 ，计算可得 ；易知 ．据此确定复合题意的选项即可.
【详解】
记三角形数构成的数列为 ，
则 ， ， ， ，…，
易得通项公式为 ；
同理可得正方形数构成的数列 的通项公式为 ．
将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得 都为正整数的只有 ．
A．乙、丁可以知道自己的成绩B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．丁可以知道四人的成绩
【答案】A
【解析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.
【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
【考点】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
3．已知 是等比数列， ，则 =（）
A．16（ ）B． ）
C． （ ）D． （ ）
【答案】C
【解析】由 是等比数列及 可求出公比 ，而 ，故可根据等比数列求和公式计算 .
①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中正确命题的个数为（）个.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】分别写出三个命题，依次判断真假即可.
【详解】
若l⊥m，m∥ ，则l⊥ ，该命题为假命题，因为l⊥m，m∥ ，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平面垂直的（2）解：在四棱柱 中，四边形 为平行四边形，
∵ ，∴四边形 为菱形，∴ ，
∵ ， ，
∴ 平面 .
【方法点晴】本题主要考查棱柱的性质、线面垂直、线面平行的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
故选C．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨令棱长为 ，如图
在底面 内的射影为 的中心，故
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质可得 ，再根据线面平行的判定定理可得 平面 ；（2）根据题意可知四边形 为菱形，进而得到对角线相互垂直，可得 ，结合 ，根据线面垂直的判定定理可得到 平面 .
试题解析：（1）解：∵ ， 平面 ， 平面 ；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【答案】（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。
【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得 ，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
本题主要考查了空间中线线，线面的平行、垂直关系，属于中档题.
10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
所以 ， ，
又 ，
由不等式性质可知 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为4，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n项和，不等式的性质，属于中档题.
7．已知分别与异面直线 都相交的两条直线 ，则这四条直线确定的平面有（）个
A．3B．4C．5D．3或4
【答案】B
【解析】与异面直线 都相交的两条直线 中， ； ； ； 分别相交，可确定4个平面，但 不能相交，也不平行，不能确定一个平面，故知可确定4个平面.
【答案】
【解析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于 ，则可计算圆锥筒的高，代入体积公式计算即可.
【详解】
由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于 ,
则 ，
，
圆锥筒的高为： ，
这个圆锥筒的体积为; .