平新乔课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡)

平新乔《微观经济学十八讲》第10讲 策略性博弈与纳什均衡

1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是

50020D Q p =-

（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。理由如下：

假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。

（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：

max pq cq ε>- ①

其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：

()()0

max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦

解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。

（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以

如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。

2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A 的支付水平，第二个数表示B 的支付水平，a 、b 、c 、d 是正的常数。如果A 选择“下”而B 选择“右”，那么：

表10-1 博弈的支付矩阵

（1）1b >且1d < （2）1c <且1b < （3）1b <且c d < （4）b c <且1d < （5）1a <且b d < 【答案】（3）

【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B 选择“右”，“下”是A 的最优选择，这就意味着c d <；同样的，给定A 选择“下”，“右”也是B 的最优选择，这就意味着1b <。

3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。

（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

（2）如果每一个局中人以1

3

的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有

一纳什均衡。这个对策的值是什么？

解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：

表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵

首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为1x 、2x 和121x x --，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：

()()()121212121212313131x x x x x x x x x x x x ----=-+---=--+--

从而解得

1212113

x x x x ==--=

类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是

10001000Q p =-

其中p 是每克的价格。

（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量

是多少？

（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？

（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？

解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：

1

11000

Q Q π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

利润最大化的一阶条件为：

d 1

10d 500

Q Q π=-= 解得总供应量为500Q =（克）。此时1

11000.50

Q p =-

=，每个厂商的供应量为500/2025=（克）。

（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：

1

1

1525max

1000

q q q - 根据一阶条件解得：

1262.5q =

可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。

（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p MC =，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。

5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。

表10-3 博弈的支付矩阵

答：对于行为人2而言，R 优于M ，所以行为人2将会剔除掉M 策略，只在R 、L 这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L 、R 策略中选择，则U 占优于M 和D 策略。当行为人2知道行为人1选择了U 策略时，他则最终会选择L 策略。所以，最终的占优均衡为（U ，L ）。

6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：

表10-4 划拳博弈的支付矩阵