平新乔课后习题详解(第10讲--策略性博弈与纳什均衡)

平新乔《微观经济学十八讲》第10讲 策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。

理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。

其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。

否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。

所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。

但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。

给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。

综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。

（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。

下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。

（3）这个结果不是帕累托有效的。

因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。

2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A 的支付水平，第二个数表示B 的支付水平，a 、b 、c 、d 是正的常数。

如果A 选择“下”而B 选择“右”，那么：表10-1 博弈的支付矩阵（1）1b >且1d < （2）1c <且1b < （3）1b <且c d < （4）b c <且1d < （5）1a <且b d < 【答案】（3）【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B 选择“右”，“下”是A 的最优选择，这就意味着c d <；同样的，给定A 选择“下”，“右”也是B 的最优选择，这就意味着1b <。

3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。

每一个人选择1、2或者3。

如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。

如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。

（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

（2）如果每一个局中人以13的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有一纳什均衡。

这个对策的值是什么？解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。

但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。

假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。

不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。

因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为1x 、2x 和121x x --，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：()()()121212121212313131x x x x x x x x x x x x ----=-+---=--+--从而解得1212113x x x x ==--=类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。

世界对氪的需求是10001000Q p =-其中p 是每克的价格。

（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：111000Q Q π⎛⎫=- ⎪⎝⎭利润最大化的一阶条件为：d 110d 500Q Q π=-= 解得总供应量为500Q =（克）。

此时111000.50Q p =-=，每个厂商的供应量为500/2025=（克）。

（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：111525max1000q q q - 根据一阶条件解得：1262.5q =可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。

类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。

（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。

令p MC =，得到氪的价格为零。

市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。

5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。

表10-3 博弈的支付矩阵答：对于行为人2而言，R 优于M ，所以行为人2将会剔除掉M 策略，只在R 、L 这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L 、R 策略中选择，则U 占优于M 和D 策略。

当行为人2知道行为人1选择了U 策略时，他则最终会选择L 策略。

所以，最终的占优均衡为（U ，L ）。

6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。

输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。

两个人同时出令。

如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。

写出这个博弈的收益矩阵。

这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：表10-4 划拳博弈的支付矩阵（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。

这是因为：对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。

由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。

（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为{}1234,,,p p p p ，游戏者2分别选择各个策略的概率为{}1234,,,q q q q 。

当游戏者2分别以概率{}1234,,,q q q q 选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：()()()()2413241311111111q q q q q q q q ⨯+-⨯=-⨯+⨯=-⨯+⨯=⨯+-⨯又因为12341q q q q +++=，可以得到：123414q q q q ====。

同理，当对于游戏者1分别以概率{}1234,,,p p p p 选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：()()()()2413241311111111p p p p p p p p ⨯+-⨯=-⨯+⨯=-⨯+⨯=⨯+-⨯又因为12341p p p p +++=，可以得到：123414p p p p ====。

因此混合策略纳什均衡为：（1σ，2σ），其中111114444σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，，211114444σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，7．巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端（低质量）。

相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：表10－5 巧克力商的博弈（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ （3）合作的结果是什么？（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）和（900，600）。

（2）如果1选择低，则有{}min 20,90020-=-；如果1选择高，则有{}min 100,5050=。

因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：{}{}{}{}max min 20,900,min 100,50max 20,5050-=-=所以1会选择高。

类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。

（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。

（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。

为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔800600200-=的支付。

8．考虑在c ，f ，g ，三个主要汽车生产商之间的博弈。

每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。

即，对于每一个厂商i ，i c =，f ，g ，他的行动集合为{},AI SM LG =。

用i α代表i 所选择的行动，i I A α，(),,I c f g πααα代表厂商i 的利润。

假设，每个厂商的利润函数定义如下：i πγ≡，如果j LG α=，j c =，f ，g ；γ，如果j SM α=， j c =，f ，g ； α，如果i LG α=，且j SM α=，j i ≠； α，如果i SM α=，且j LG α=，j i ≠；β，如果i j LG αα==，且k SM α=，j k i ≠≠；β，如果i j SM αα==，且k LG α=，j k i ≠≠； （1）当0αβγ>>>时，是否存在纳什均衡？请证明。

（2）当0αγβ>>>时，是否存在纳什均衡？请证明。

证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。

表10-6 G 汽车厂生产SM 型汽车表10-7 G 汽车厂生产LG 型的汽车（1）该博弈存在纳什均衡。

首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为γ的利润。