(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
三点共线向量式的巧妙应用
三点共线向量式的巧妙应用
《三点共线向量式的巧妙应用》
三点共线向量式是数学中一种有趣的思想，它的应用非常广泛。
它可以用来解决几何问题，也可以用来解决物理问题。
在几何中，三点共线向量式可以用来判断三点是否共线，以及三点的位置关系。
它可以帮助我们快速确定三点是否在一条直线上，以及三点的位置关系，这在解决几何问题中非常有用。
在物理中，三点共线向量式可以用来计算力的大小和方向，以及物体的运动轨迹。
三点共线向量式可以帮助我们快速计算力的大小和方向，并且可以用来判断物体的运动轨迹。
三点共线向量式是一种非常有用的思想，它在几何和物理中都有巧妙的应用。
它可以帮助我们快速解决几何和物理问题，是一种非常有用的思想。
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。
（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。
（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。
例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。
此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。
（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。
同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。
相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。
这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。
如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。
2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。
如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。
这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。
3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。
如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。
因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。
4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。
可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。
如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。
5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。
如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。
6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。
7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。
8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。
利用这个定理，可以求解线段长度。
三点共线向量式的巧妙运用
１ ４ ４ ２ ２ 当且仅当 ａ · ２ ＝ ４， ≥ａ ＋ ２ ≥ ２ ｂ（ ａ－ｂ） ａ ａ
槡
ａ－ｂ ＝ｂ 且ａ２ ＝
＝
４ 时等号成立 解得 ． ａ＝ 槡 ２， ｂ ２ ａ ５
２， ２ 时 ， 的最小值是 槡 又ｃ ＝ ａ ＝ 槡 ｕ ４． ２ ５
１
Ｃ Ｐ Ｃ Ｎ ２ 故Ｓ△ＡＰＣ Ｃ Ｐ ２ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ． Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｓ△ＡＢＣ Ｃ Ｂ ３ ３ ２ 有关计算和证明问题 此类问题如果善于利 用 三 点 共 线 向 量 式 ， 往
∴ 往使问题的求解变得非常简便 ． 例 ３ （ ２ ０ ０ ７ 年 江 西 卷） 如 右 图 ，在 △Ａ Ｂ Ｃ 中， Ｏ是 ， 中点 过点 的直线分别 Ｂ Ｃ Ｏ 交直线 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ 于不同两点 → → Ａ → 若Ａ Ｍ、 Ｎ， Ｂ ＝ ｍＡ Ｃ Ｍ ， ＝ Ｎ →， 则ｍ ＋ ｎ 的 值 ｎ Ａ 为 ． １（ ｍ → Ｏ → Ｂ → → 解 Ａ Ａ Ｃ） ＝ Ａ Ｍ ＋ ＝ ＋Ａ ２ ２
Ｂ Ｃ 的外心 ， Ａ Ｂ ＝ ６， △Ａ → Ｂ → → 若Ａ 且２ Ａ Ｃ ＝１ ０， Ｏ Ｃ， ｘ＋１ ０ ＝ ｘＡ ＋ｙＡ ｙ＝
４ ４
中学数学教学
２ ０ １ ０ 年第 ５ 期 Ｐ → ２Ｂ → Ｐ → ０， 又Ａ ＋ Ｐ ＋３Ｃ ＝ → → →， ∴Ａ Ｐ ＝－２Ｂ Ｐ －３Ｃ Ｐ Ｐ → Ｐ → ３ Ｐ →） （ １ Ｐ →， ∴ ｔ Ｃ Ｂ Ｂ ＝－ －２ － Ｃ ＋ λ－ ） λ（ Ｐ → （ Ｐ → ０． ） ） 即（ ３ Ｂ Ｃ ＋ ３ ＝ λ－１ λ－ｔ Ｐ →、 Ｐ → 不共线 ， ∵Ｂ Ｃ １ λ＝ ， ３ λ－１ ＝ ０ 烄 ３ ∴ ３ λ－ｔ ＝ ０ 烅 ｔ ＝ １， 烆 → → ∴Ｐ Ｑ Ｐ ＝ｍ ＝Ｃ → → Ｑ → ２ ∴Ｃ Ｑ Ｐ ＋Ｐ ＝Ｃ ＝ ｍ． 评注 本题既考虑到三点共线向量式 ， 同时
平面向量中的三点共线结论的应用
若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
在平面向量中,三点共线的应用
在平面向量中，三点共线的应用赣州中学 龚海院高中数学北师大版必修4课本第二章平面向量，第82页有例题3.题目为：A,B,C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得(1)PC PA PB λλ=+-证明：如图所示，因为向量BA BC 与共线，根据向量共线定理可知：证完.注意到: PA PB 与的系数之和为1-+=1λλ（）。
此命题的逆命题也是成立的。
特别说明，。
此命题在解决一些几何问题（诸如“三点共线”或类似的题）时有着广泛的应用。
以下通过例题来加以说明。
下面仅举几例，以飨读者。
例1 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上。
BN=13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线。
证：设1AB e =，2AD e =，（1e 与2e 不共线），则21BD e e =-.∵N 为BD 的三等分点，∴2111()33BN BD e e ==-,而11122BM BA e ==-, ∴21212111211212()333323333BN e e e e e BM BC BM =-=+⨯-=+=+,∵12,33m n ==，且m+n=1，且B 、M 、C 三点不共线，则点M 、N 、C 三点共线。
例2 （06年江西高考题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若120O B aO A a O C =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=A ．100B ．101C ．200D ．201()()(1)BC BAPC PB PA PB PC PB PA PB PC PB PAλλλλλ=-=-=+-=-+,,,,1,,,A B C P PC xPB yPA x y A B C =++=命题：已知平面上四点：，若有且则三点共线。
,1,1-y)(),,PC xPB yPA x y PC PB yPA PB y PA PB PC PB yBA PC PB yBA BC yBA BC BA =++==+=+-=+-==证明：因为且则（即是,所以，故与共线，从而A,B,C三点共线，证完。
平面向量中三点共线定理的应用
平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。
浅谈平面向量三点共线定理及应用
浅谈平面向量三点共线定理及应用
浅谈平面向量三点共线定理及应用 平面向量是高中数学的热点内容之一，具有几何形式和代数形式的双重性质，在高中数学里，向量可以成为很多知识内容板块 之间的一个交汇点，成为多个知识板块之间的桥梁，所以向量具有工具的作用，平面向量三点共线定理，蕴含着丰富的背景， 通过对定理的研究，可得出平面向量三点共线的其他性质，利用总结的性质很方便地解决与之相关的一类问题，同时揭示一个 数学思想，反应数学的本质属性，因此，我们要充分研究挖掘一些定理的潜在功能，做到一点带面，会一题而知一类，把学生 真正从题海中解放出来，即能巩固基础知识，又能培养学生的创新能力和探索精神。 下面具体研究平面向量三点共线定理的其他性质。
例题： 依据： 1.先找到λ+µ=1 的位置。 2.根据相似比求λ+µ取值范围（反方向为负号）。 1=+,,µλ ?且满足点三点共线OB +µOA =λOC C C B A 例题呈现（2017 年全国Ⅲ卷理科第 12 题） 在矩形 ABCD 中， AB =1， AD = 2，动点 P 在以C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 ，则λ+µ 的最大值（ ）
1. 2. λ+2µ 3. 一点感想： 教材只是提供了基本的教学素材，并非教学内容的全部，要想取得理想的教学效果，就应该有用好教材，超出教材的理念，充 分挖掘教材的潜在价值，在对例题讲解时要会适当变换题目的条件或结论，引导学生从一个问题引申到一类问题，从而提高学 生解决问题的能力。 µλAD AB AP +=
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。
假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。
又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。
反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。
将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。
在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。
1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。
首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。
2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。
这个方法可以使用来判断三个点是否共线。
3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。
首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。
将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。
4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。
首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。
平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中三点共线的证明及其应用
平面向量中三点共线的证明及其应用作者：高永亮来源：《考试·高考数学版》2012年第12期利用平面向量证明三点共线是一种常见的较为简单的方法（相对于用斜率、距离、直线、定比分点等的证明方法），但学生对三点共线的应用大都不太熟练，在这里做一个整理，共广大师生参考.定理1：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.定理2：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a与b（b≠0）共线.推论1：设： c与d为不共线向量，若向量a=x1c+y1d（x1，y1∈R）与b=x2c+y2d（x2，y2∈R）共线，则有x1y2=x2y1=0推论2：已知不共线向量OA，O B，O C，且OC=λO A+μO B，则A，B，C三点共线的充要条件为：λ+μ=1（λ，μ∈R）一、证明三点共线例1 已知三点A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），证明A，B，C三点共线.证明：∵A（-1，1），B（1，3），C（2，5）得A B=（2，4），A C=（3，6）又2×6=4×3 ∴ A B∥A C（由定理2），又直线AB，与直线AC有公共点A，故A，B，C三点共线例2 设A B=a+5b，B C=-2a+8b，C=3（a-b）求证：A，B，D三点共线证明：由A B=a+5b，B C=-2a+8b， C D=3（a-b）得A D=A B+BC+C D=2a+10b=2A B，故A D∥A B（由定理1）又直线AB，与直线AD有公共点A，故A，B，D三点共线二、三点共线的应用（一）题中共线条件明显，学生较为容易入手.例3 若a，b是两个不共线的向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，t b，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上？解设：O A=a，O B=t b，O C=13（a+b）则A C=O C-O A=-23a+13b，A B=O B-O A=-a+t b由于A，B，C三点共线，有-23t=-13（由推论1），即t=12因此，当t=12时，a，t b，13（a+b）三个向量的终点在同一条直线上.例4 设O A=（1，-2），O B=（a，-1），O C=（-b，0），（a>0，b>0），O 为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a+2b最小值为解由O A=（1，-2），O B=（a，-1），O C=（-b，0），得A B=（a-1，1），A C=（-b，-1，2），由A，B，C三点共线，得2（a-1）=-b-1（由定理2），即2a+b=1，又a>0，b>0故1a+2b=1a+2b（2a+b）=ba+4ab+4≥24+4=8，当且仅当ba=4ab，即a=14，b=12时取等号.∴1a+2b最小值为8.（二）题中共线条件不明显，学生较难入手.例5 如图，在△ABC中，A N=13N C，P是BN上的一点，若A P=m A B+211A C，则实数m的值为例5图解法1：设：A B=a，A C=b，则B P=A P-A B=（m-1）a+211b，B N=A N-A B=14A C-A B=-a+14b，由B，N，P三点共线，得14（m-1）=-211（由推论1），即m=311解法2：由A P=m A B+211A C，A N=13NC，得A P=m A B+211A C=m A B+811A N由B，N，P三点共线，得m+811=1（由推论2），即m=311说明：图中B，N，P三点共线是关键.例6 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若A B=m A M，AC=n A N，则m+n=例6图解法1：令A B=a，A C=b，则A O=12（A B+A C）=12（a+b）M O=A O-A M=12（a+b）-1m a=12-1m a+12bM N=A N-A M=-1m a+1n b由M，Q，N三点共线，得12-1m1n=12-1m（由推论1），化简得12m+12n=1mn，即m+n=2说明：图中M，O，N三点共线是关键.解法2：∵O是BC的中点，∴A O=12（A B+A C）由题意A B=m A M，A C=n A N，得A O=m2A M+n2A N又∵M，O，N三点共线，∴m2+n2=1（由推论2）即m+n=2说明：巧妙灵活地使用三点共线的结论，在解题的过程中能起到事倍功半的作用.（例5，例6的解法2）。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量 a,b （b 0）,a//b 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使a buuuv uv uuuv的 O ，存在唯一的一对实数 x,y 使得：OP xOA yOB 且 x y特别地有： 当点 P 在线段 AB 上时， x 0,y 0当点 P 在线段 AB 之外时， xy 0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得 十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式的妙用 , 供同行交流。
例 1（06 年江西高考题理科第 7 题）已知等差数列 {a n } 的前 n项和为 S n ，若 uuur uuur uuurOB a 1OA a 200OC ，且 A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点 O ），则 S 200=（ ）A ． 100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知： a 1+a 200=1, ∴ S200 200（a1 a200）100, 故选 A 。
2点评： 本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经 典的高考题。
例2 已知P 是 ABC 的边BC 上的任一点，且满足 AP xAB yAC,x.yR，则1 4xy的最小值是解：Q 点 P 落在VABC 的边 BC 上 B ， uuur uuur xAB yAC P,C 三点共线uuur Q AP且点共线定在平面中 A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意由该定理可以得到平面内三点共线定理：1。
4x5yx 4x yy4y4x2y4x x y x y 4 ，取等号时y y)1xy 4x 2 2 1 2y2 4x2 y 2xQ x 0,y 0 y 2xQ x y 1 x ,y ，符合x y 3 314所以 1 4的最小值为9 xy点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例 3 （湖北省2011 届高三八校第一次联考理科）如图 2 ，在△ ABCuuur AN1uuurNC，点P是BC上的一点，uuur 若APuuur 2 uuurmAB 2 AC ，则实数m的11值为（）9532 A B. C. D.11111111uuur 解：Q B, P, N三点共线，又QuuurmAB2 uuurAC11uuurmAB2 uuur4AN11uuurmAB8 u A u N ur118m 11 m 3，故选 C11例4（07 年江西高考题理科）如图3，在△ ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、的值为．四边形法则可知：uuurAO1 uuur (AB2uuurAC)uuur uuuur uuur uuurQ AB＝mAM ，AC nANuuur 1 uuuur uuurAO (mAM nAN ) 2uuur m uuuur n uuurAO AM AN22又Q M,O,N 三点共线，由平面内三点共线定理可得：m n22 例5（广东省2010 届高三六校第三次联）别是边OA 、OB上的动点，且P、G、Q 三点共线．11设OP xOA ，OQ yOB ，证明：是定值；xy 图2解：Q因为O是BC的中点，故连接AO，N，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m＋n如图5所示：点G是△ OAB的重心，P、Q 分中，例 6（汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试）如图 6 所示 , uuur 1uuur uuur 在平行四边形 ABCD 中， AE 1 AB , AF 3uuur r uuur r uuur 点，记 AB a ，AD b ，则 AG由平面内三点共线定理可得： 存在唯一的一对实数 x 使得uuur AG uuur xAE uuur(1 x)AC uuur, Q AE1uuur AB 3 1r a , 3uuur r AC a uuur 1rr r 2x rrAG xa(1 x)(a b) (1 )a (1 x)b332r 1r 2r 3r3r 1r4r 2r A ． ab B. a b C. a b D.a b 7 7 7 7 7 77 7分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联 想到点 F 、G 、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
向量三点共线结论的推广及应用
向量中“三点共线”结论的推广及应用 姓名： 一、知识点：1、向量共线（平行）的定义： 2、三点共线的向量证明原理：二、结论：已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.小结：变式.已知A ，P ，B 是共线的三点，O 为面内任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，若OP tOP '=，则求tm tn +的值。
小结：二、三点共线例题分析例1．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数p 的值．小结：例2．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．小结：变式1．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n 的值．小结：变式2．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．小结：变式3．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.小结： 例3．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．小结：变式1、平行四边形ABCD 中，060BAD ∠=,1AB AD ==，P 为平行四边形内一点，且2AP =， 若AP AB AD λμ=+ , 则λ+的最大值为变式2. 在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 .小结：变式3.已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________小结： 例4．已知O 是△ABC 内部一点，且3OA →+4OB →＋5OC →＝0求△AOB 与△AOC 的面积之比．变式1．已知O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△AOB 与△AOC 的面积之比．变式2．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足()1OA OB OC O λλ++-=，若O A B ∆的面积与OAC ∆的面积比值为13，则λ的值为小结：ABGP G ’P ’三、三点共线练习1.在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为 .2、平行四边形ABCD 中，060BAD ∠=,1AB AD ==，P 为平行四边形内一点，且2AP =， 若AP AB AD λμ=+ , 则λ+的最大值为3.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为 .4．在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足31=，若),(R ∈+=μλμλ，则μλ+的值为 .5．已知点()()1,0,0,1A B ,O 为坐标原点，点P 为函数()()20f x x x x=+>图象上任意一点，若OP mOA nOB =+(),m n R ∈,则m n +的最小值为6．已知点()()2,0,0,1A B -,O 为坐标原点，点P 为函数()2x f x e =+图象上任意一点，若OP mOA nOB =+(),m n R ∈,则m n +的最小值为7. ,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若π,,(,)4ABC OB mOA nOC m n ∠==+∈R ，则m n +最小值为_______.。
(2021年整理)平面向量之三点共线
平面向量之三点共线编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（平面向量之三点共线）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为平面向量之三点共线的全部内容。
平面向量中的三点共线的应用定理：1、a 0//≠b b a λ=⇔；2、A 、B 、C 三点共线λ=⇔()x x -+=⇔1。
例1:ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，μλ+=,则μλ+的值为_____。
类型一：已知三点共线,则可得1=+y x 。
练习：1、ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，过G 作直线分别交直线AB 、AC 于M 、N 。
设x =,x =,则=+yx 11____。
2、在△ABC 中，=3，P 是线段BN 上一点,且n m +=，则nm 11+的最小值为_____。
例2：设a 、b 是两个不共线的单位向量，若向量c 满足()()b a c 222-3-+=λλ，31=，则当-最小时，a 与b 的夹角的余弦值为_______。
类型二：注意到1=+y x ,可联想到三点共线。
练习：1、已知a +b +c =032=,a -b 与c 成120°的角，则(t a t -+1_______。
2、在直角坐标系内，O 为原点,点A ，B 坐标分别为（1，0)，（0，2），当实数p ， q 满足111=+q p 时，若点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且OB q OD OA p OC ==,，则直线CD 恒过一个定点，这个定点的坐标为___________。
3、在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，()AC 2-2AB λλ+的最小值为2,则对于△ABC 内一点P ，()PC PB PA +⋅的最小值为_____。
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平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC ∴=+- , 1133AE AB a ==,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33xAG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AF λλ∴=+- 1144AF AD b ==，， 1(1)4AG a b λλ∴=+-…………………………… ②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 点评：本题的解法中由两组三点共线（F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上），C图5图6利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM相交于点P ，且a AB =，b AC =，试用a 、b表示AP 解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++= ,AN ﹕AC=1﹕4, b AC AN4141==1444y y x AP xAB AC xa b xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3 ∴a AB AM3131==，， 133AP a b a b μλλλ-∴=+=+…………………………… ② 由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 81,11x y y +=∴=321111AP a b ∴=+ 例6的变式二：如图8所示：直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。
又知AB ＝ m AM ，AD ＝n AN ，则m ＋n=解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，所以点O 为AC 的中点1()2AO AB AD ∴=+ AB ＝ m AM ，AD ＝n AN 1()222m nAO mAM nAN AM AN ∴=+=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线的向量式定理可得：122m n+= 2m n ∴+=定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P. 点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB =+且1x y +>。
图7图8图9推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +<。
例7 已知点P 为ABC 所在平面内一点，且13AP AB t AC =+(t R ∈),若点P 落在ABC 的内部，如图11,则实数t 的取值范围是（ ）A ．3(0,)4 B. 13(,)24C. (0,1)D. 2(0,)3解：点P 落在ABC 的内部 ∴A,P 两点在直线BC 的同一侧，∴由推论2知：113t +< 23t ∴<，所以选D例8（06年湖南高考题文科） 如图12：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是（ ）A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )57,51(-解：由题目的条件知：点O 与点P 在直线AB 的同侧，所以1x y +<，所以A,D 两选项不符合。
对于选项B 、C,都有1x y +<,但当23x =-时，①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：53y =②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：||OP AB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+，OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==22,33t y ∴==又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以2533y <<，故B 选不符合。
对选项C 同理可知：当14x =-时，1544y <<，故34y =符合，所以选C例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运ABOM图12图10图11动,且OP xOA yOB =+,当12x =-时,y 的取值范围是 .解：当12x =-时，①如果点P 在直线AB 上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：32y =②如果点P 在直线OM 上，OM ∥AB 可知：OP AB ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+，OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==11,22t y ∴==，又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间，所以1322y <<，所以实数y的取值范围是：13(,)22练习：3.OAB ∆，点P 在边AB 上，3AB AP =，设,OA a OB b ==，则OP = （ ）12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为（ ）A ．3x +2y -11=0B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=02、已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是PBA3、在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F 。