北师大版九年级数学下册二次函数的图象与性质第四课时课件

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
4a
4 0.0225
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1. 由此可知钢缆的最低点
同理,右边抛物线的顶点坐标为: 20,1. 到桥面的距离是1m.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算 的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225x2 0.9x 10
0.0225x 202 1.
且左右两条钢缆关于y轴对称,
y 0.0225 x2 0.9x 10
y/m
体位左(当(右4a)c平 b移2 >|0时2ba 向|个上单平位移,再;当沿4对ac 称b2 <轴0时整,体向上下(平下移)平)得移到| 4a的c4ab. 2 |个单
4a
4a
练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1 y 5 x 12 ; 2y 2x2 4x 1; 3y 3x2 6x 2; 4y x 1x 2; 5y 3x 3x 9.
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
由顶点坐标公式
b 2a
,
4ac b2 4a
得:
y/m
10
b 0.9 20, 2a 2 0.0225
桥面 -5 0 5
x/m
4ac b2 4 0.022510 0.92 1.
y 0.0225x2 0.9x 10.
10
右边的钢缆的表达式为 :
桥面 -5 0 5
x/m
y 0.0225x 202 1.
y 0.0225x2 0.9x 10.
即y 0.0225x2 0.9x 10.
因此,其顶点坐标为: 20,1.
两条钢缆最低点之间的距离为 20 20 40m .
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的 最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
x
b 2a
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4ac b2 4a2
a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
这个结果通常称为求 顶点坐标公式.
顶点坐标公式
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x b . 2a
它的顶点是
b 2a
,
4ac 4a
侧,y都随x的增大而增大；在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: ((31))对位称置轴不不同同.(2:)分顶别点是不直同线:分x 别 是b 和y2ba轴, 4a.c4ab2 和(0,0).
(4)最值不同:分别是
4ac 4a
b2
和0.
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
练习
2.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间 t(s)的关系可以用公式表示,经过多长时间,火箭到达它 的最高点？最高点的高度是多少？
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 40x 4000
y/m
9
10
0.0225 x2 40x 202 202 4000 桥面 -5 0 5
x/m
9
0.0225x
202
400 9
0.0225x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小；在对
称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左
第二章
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时
回顾 复习
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－3)2 －5 (2)y= －0.5(x+1)2
(3) y = 3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎 样的平移得到.
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
b2
.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1y 2x2 12x 13; 2y 5x2 80x 319;
3y 2 x 1 x 2;
2
4y 32x 12 x.
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称．
那是怎样的平移呢？ 只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
y=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为 配方式或顶点式
函数y=ax²+bx+c的顶点式
y ax2 bx c
a x2 b x c a a
a
x2
b
x
b
2
b
2
c
a 2a 2a a
a
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的 ？与同伴交流. 分 析 ： 可 以 将 函 数 y=0.0225x2+0.9x+10 配 方 , 求 得 顶 点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;