对航空运输利润最大化的数学分析

对航空运输利润最大化问题的分析

摘要

本文针对航空运输公司运输货物的重量和体积与利润的关系问题，建立了多个模型，采用多种方法得出正确的结论，并对结果进行分析，对模型进行改进。过程中运用了LINGO软件。

问题一，分析使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数，运用数学线性规划的方法求解该利润最大化模型。根据每种货物的约束条件以及总的约束条件，使用单纯形法进行分析计算，数据关系式导入LINGO软件可得到结果。货物1的运输吨数为30吨；货物2的运输吨数为16.875吨；货物3的运输吨数为50吨。

问题二，计算每个约束的影子价格，解释他们的含义。在对影子价格了解后，再次运用线性规划的方法分析每个约束条件。根据问题一可知:货物1的吨数为紧约束，货物2的吨数为非紧约束，货物3的吨数为紧约束。对此，对利润函数进行灵敏度分析，即是求解每个约束的影子价格。货物总吨数的影子价格为0美元, 货物总吨数增加一吨时利润不增加；货物总体积的影子价格为0.3125美元，货物总体积增加一立方英尺时利润增加0.3125美元；货物1运输吨数的影子价格为78.125美元，货物1吨数增加一吨时利润增加78.125美元；货物2运输吨数的影子价格为0美元，货物2吨数增加一吨时利润不增加；货物3运输吨数的影子价格为125美元，货物3吨数增加一吨时利润增加125美元。（详见表影子价格）

问题三，有多少飞机值得改装来增加运输能力。对于这个问题，根据约束条件：每天运输量不超过100吨；每吨运费250美元；每天运输体积不超过50000立方英尺以及货物的规格和每花费200000美元可以增加飞机的容积2000立方英尺；飞机每年飞行250天；这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年等。采用线性规划的方法建立模型求解，将关系式导入LINGO软件计算。得出值得改装1.25架，但从实际问题出发取整数，应该改装1架。

本文最大的特色是采用专门针对线性规划问题的数学软件对线性规划问题进行处理。

关键词：单纯形法、线性规划

一问题重述

一个运输公司每天有100吨的航空运输能力。公司每吨收空运费250美元。粗除了重量的限制外，由于飞机货场容积有限，公司每天只能运50000立方英尺的货物。每天

（1）

（2）计算每个约束的影子价格，解释它们的含义。

（3）公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。在这种情况下，是否值得改装？有多少架飞机时才值得改装？

二问题分析

概念解释

1.影子价格

影子价格，影子价格指基金管理人于每一计价日，采用市场利率和交易价格，对基金持有的计价对象进行重新评估。当基金资产净值与影子价格的偏离达到或超过基金资产净值的0.5%时，或基金管理人认为发生了其他的重大偏离时，基金管理人可以与基金托管人商定后进行调整，使基金资产净值更能公允地反映基金资产价值，确保以摊余成本法计算的基金资产净值不会对基金持有人造成实质性的损害。

2.紧约束（有效约束）

在各种约束条件下，每个约束条件假设为一种“资源”。当在线性规划问题中取得最优解时，“资源”剩余为0的称为紧约束（有效约束）。

3.航空运输

航空运输，使用飞机、直升机及其他航空器运送人员、货物、邮件的一种运输方式。具有快速、机动的特点，是现代旅客运输，尤其是远程旅客运输的重要方式；为国际贸易中的贵重物品、鲜活货物和精密仪器运输所不可缺。[1]

三模型假设

1.飞机运行时不会出故障，能正常飞行；

2.航班不会因外界因素停飞；

3.每天有足够的货物等待运输，有足够的飞机工作；

四符号说明

五模型的建立与求解

问题一

分析使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数由下列约束条件：

（1）每天100吨的航空运输能力；

（2）每吨收费250美元；

（3）每天只能运输50000立方英尺的货物；

（4）货物详情：

可得到关系式：

12312312

355080040050000100030040050

x x x x x x x x x ++≤⎧⎪

++≤⎪⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪≤≤⎩

最大盈利值：123max 250()Q x x x =++ 根据以上关系式，利用LINGO 软件编程可解得：

123

3016.875

50x x x =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

由LINGO 解出的数值可知要使每天利润最大，货物1需要运输30吨；货物2需要运输16.875吨；货物3需要运输50吨。

每天利润为：123m ax 250()24218.75Q x x x =++=美元

问题二

计算每个约束的影子价格，解释它们的含义

由问题一中，LINGO 软件所导出的数据可知每个约束的影子价格。 将它们整理如下表：

问题三

航空公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。重量限制仍保持不变。假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。在这种情况下，是否值得改装？有多少架飞机时才值得改装？

对于这个问题是在问题一的基础上增加了约束条件，需要对成本进行考虑 约束条件：

（1）每天100吨的航空运输能力； （2）每吨收费250美元；

（3）每天只能运输50000立方英尺的货物； （4）货物详情：

（5） （6） 飞机每年飞行250天；

（7） 飞机剩余的使用寿命约为5年； 模型的建立与求解

首先，成本是个变量4200000P x =

由于增加了约束条件（5），（6），（7），所以利润的关系式以及体积的约束条件会有所改变

1234max 250*()*250*5200000Q x x x x =++-

1234550800400500002000x x x x ++≤+

所有约束条件：

1234123123

4550800400500002000100030040050

x x x x x x x x x x x ++≤+⎧⎪

++≤⎪⎪≤≤⎪⎨

≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩