2013届高考数学(理)一轮复习课件：12.2 古典概型(人教A版)

由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果 出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少， 故可将结果一一列出．
解பைடு நூலகம்
(1)这个试验的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (2)事件“出现点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件：
①连续 2 次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)(a1， a2)(a2，a1)(a2，a2)共 4 个基本事件；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为 (a1，b1)(a2，b1)(b1，a1)(b1，a2)共 4 个基本事件．
(2)“从中一次任取 2 只”得到的基本事件总数是 3，即 a1a2， a1b1，a2b1，“2 只都是正品”的基本事件数是 1，所以其概率 1 为 P＝ . 3
审题路线图 (1)基本事件为取两个球 ↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓ {1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于 4 (注意：和不大于 4，应为小于 4 或等于 4) ↓{1,2}，{1,3} 2 1 ↓利用古典概型概率公式 P＝ ＝ 6 3 (2)两球分两次取，且有放回 ↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示
一轮复习讲义
古典概型
要点梳理
1．基本事件的特点
忆一忆知识要点
(1)任何两个基本事件是 互斥 的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
[难点正本
疑点清源]
对古典概型的理解 1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概 型的两个特征——有限性和等可能性， 只有同时具备这两 个特点的概型才是古典概型． 正确的判断试验的类型是解 决概率问题的关键． 2．古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都 是古典概型．
3．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现 的全部结果组成一个集合 I，基本事件的个数 n 就是集 合 I 的元素个数， 事件 A 是集合 I 的一个包含 m 个元素 的子集． cardA m 故 P(A)＝ ＝ . cardI n
从中选出的 2 名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C， E)，(C，F)，共 4 种．所以选出的 2 名教师性别相同的概率为 4 . 9
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B， D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D， F)，(E，F)，共 15 种．
探究提高
在古典概型条件下， 当基本事件总数为 n 时， 每一个基本事件 1 发生的概率均为n，要求事件 A 的概率，关键是求出基本事件 总数 n 和事件 A 中所含基本事件数 m，再由古典概型概率公 m 式 P(A)＝ n 求出事件 A 的概率．
变式训练 3
(2010· 陕西)为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图 如下：
探究提高
解决古典概型的关键是：列出所有的基本事件，并且确定构成 事件的基本事件． 第(2)问既可以转化为求事件和的概率，也可以运用对立事件 求解． 一般涉及“至多”、 “至少”等事件的概率计算问题时， 可以考虑求其对立事件的概率，从而简化运算．
变式训练 2
(2011· 山东)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的 结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率； (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并 求选出的 2 名教师来自同一学校的概率．
(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)， (A1，B3，C2)}， 6 1 事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)＝ ＝ . 18 3
(2)用 N 表示“B1 和 C1 不全被选中”这一事件， 由于 N ＝{(A1， B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件 N 由 3 个基本事 3 1 件组成，所以 P( N )＝ ＝ ，由对立事件的概率公式得 P(N) 18 6 1 5 ＝1－P( N )＝1－ ＝ . 6 6
要点梳理
忆一忆知识要点
3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出 1 现的可能性都相等， 那么每一个基本事件的概率都是 n ； 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 m P(A)＝ n . 4．古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝ .
变式训练 1
盒中有 3 只灯泡，其中 2 只是正品，1 只是次品． (1)从中取出 1 只，然后放回，再取 1 只，求①连续 2 次取出 的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正 品，一个为次品所包含的基本事件总数； (2)从中一次任取出 2 只，求 2 只都是正品的概率．
解 (1)将灯泡中 2 只正品记为 a1，a2,1 只次品记为 b1， 则第一次取 1 只，第二次取 1 只，基本事件总数为 9 个，
点评 通过树形结构图，可以很方便地求出基本事件的总数．
古典概型的概率问题
例 2 现有 8 名世博会志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓 日语，B1、B2、B3 通晓俄语，C1、C2 通晓韩语．从中选出 通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名组成一个小组． (1)求 A1 被选中的概率； (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率．
从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为： (A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 6 种． 6 2 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 ＝ . 15 5
古典概型概率的综合应用
例3 (2011· 福建)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等 级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (1)若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件， 等级系数为 5 的恰有 2 件，求 a，b，c 的值； (2)在(1)的条件下， 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1， 2， x x3，等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1，y2，现从 x1，x2， x3，y1，y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出 的可能性相同)， 写出所有可能的结果， 并求这两件日用品的 等级系数恰好相等的概率．
(2)由统计图知，样本中身高在 170～185 cm 之间的学生有 14 ＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为 70，所以样本中学生身 35 高在 170～185 cm 之间的频率 f＝ ＝0.5.故由 f 估计该校学生 70 身高在 170～185 cm 之间的概率 p＝0.5.
(3)样本中身高在 180～185 cm 之间的男生有 4 人，设其编号为 ①②③④，样本中身高在 185～190 cm 之间的男生有 2 人，设 其编号为⑤⑥.
(1)考虑在统计中频率和概率的关系； (2)基本事件是从等级系数为 4 和等级系数为 5 的两种日用品 中选两件． 解 (1)由频率分布表得 a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1， 即 a＋b＋c＝0.35. 因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件， 3 所以 b＝ ＝0.15. 20 2 等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c＝ ＝0.1. 20 从而 a＝0.35－b－c＝0.1，所以 a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(1)确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的 基本事件数，用公式求解． (2)可转化为全被选中的情况求解．
解
(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一
切可能的结果组成的基本事件集合 Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1， B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1， B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2， B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3， B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3， B3，C2)}由 18 个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取 的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，则 M＝{(A1，B1，C1)，
(2)从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，所有可能的结果 为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2， y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．
设事件 A 表示“从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，其 等级系数相等”，则 A 包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}， {x2，x3}，{y1，y2}，共 4 个． 又基本事件的总数为 10， 4 故所求的概率 P(A)＝ ＝0.4. 10
从上述 6 人中任选 2 人的树状图为：
故从样本中身高在 180～190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有 可能结果数为 15，至少有 1 人身高在 185～190 cm 之间的可能 9 3 结果数为 9，因此，所求概率 p2＝ ＝ . 15 5