简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换

【学习目标】

1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；

3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；

4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；

5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．

【要点梳理】

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2

α

α-= 要点诠释：

利用二倍角公式的等价变形：2

1cos 2sin 2α

α-=，2

1cos 2cos 2

α

α+=进行“升、降幂”变

换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．

要点二：辅助角公式

1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：

sin cos a x b x +

x x ⎫⎪⎭

令cos ϕϕ=

=

sin cos a x b x +

)sin cos cos sin x x ϕϕ+

)x ϕ+

（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan b

a ϕ=

确定，

或由sin ϕ=

和cos ϕ=

2．辅助角公式在解题中的应用 通

过

应

用

公

式

sin cos a x b x +

=

)x ϕ+（或

sin cos a x b x +

=)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

)x ϕ+

)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．

【典型例题】

类型一：利用公式对三角函数式进行证明

例1．求证：αα

αααsin cos 1cos 1sin 2tan -=

+= 【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中α与2

α

之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明． 【证明】

方法一：

2tan 2

cos

2sin

2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin 2

ααα

α

α

α

α

α

==

=

+ 2tan 2

cos

2sin

2

cos

2

sin

22

sin 2sin cos 12ααα

α

α

α

α

α

==

=

- 方法二：sin sin

2cos

sin 22

2tan 2

1cos cos

cos 2cos

2

22

ααα

ααα

ααα⋅=

==+⋅ sin sin

2sin

1cos 22

2tan

2

sin cos

cos 2sin 2

22

αα

α

α

αα

ααα⋅-===⋅ 【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点． 举一反三：

【变式1】求证：2

tan 12tan

2tan ,2tan 12tan 1cos ,2

tan 12tan

2sin 2

2

2

2α

-α

=αα+α-=αα

+α

=

α 【证明】

2

2

2

2sin cos

2tan

2

22sin 2sin

cos

2

2

sin cos 1tan 2

2

2

α

α

α

α

α

αα

α

α

===

++

2222

2

22

2

cos sin 1tan 2

22cos cos sin 2

2

cos sin 1tan 2

2

2

αααα

α

αα

α

α

--=-==++ 2222sin

cos

2tan

sin 222tan cos cos sin 1tan 222

αα

α

ααααα

α==

=--． 例2．求证：（1）1

cos cos [cos()cos()]

2αβαβαβ=++- (2)

cos cos 2cos

cos

22

x y x y

x y +-+= 【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角

和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令

,x y αβαβ+=-=即可得证． 【证明】

（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ① 又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②

∴①+②得

1

cos cos [cos()cos()]2

αβαβαβ=++-

结论得证．

（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ① 又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②

∴①+②得

1

cos cos [cos()cos()]2

αβαβαβ=++-

令,x y αβαβ+=-=，则,22

x y x y

αβ+-== []1cos cos cos cos 222

x y x y x y +-∴=+

cos cos 2cos cos 22

x y x y

x y +-∴+=

结论得证．