课时跟踪检测(五十八) 圆锥曲线的综合问题

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2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练文

2021年高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课时跟踪训练文一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．已知椭圆C 的方程是x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 解析：根据已知条件c ＝16－m 2，则点16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m2＝1(m >0)上，所以16－m 216＋16－m22m 2＝1.从而解得m ＝2 2. 答案：B3．(xx·合肥第二次模拟)过椭圆C ：x 25＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2＝( )A ．10B ．5C ．－5D ．－10解析：特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0).MA →＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →＝(2＋5，0)．∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D4．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，易知(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2×3＋3＝9，故选D.答案：D5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．只有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．答案：D6．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15 解析：画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a ＝7，故选B.答案：B 二、填空题7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．解析：因为一条切线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P 1，12，连接OP (图略)，则OP ⊥AB ，因为k OP ＝12，所以k AB ＝－2.又因为直线AB 过点(1,0)，所以直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0. 因为点(0，b )在直线AB 上，所以b ＝2.又因为c ＝1，所以a 2＝5，故椭圆方程是x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝18．已知点F1，F2分别是双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为________．解析：据题意由双曲线的对称性可得若△ABF2为锐角三角形，只需∠BF2F1<45°即可，故在Rt△BF2F1中，tan∠BF2F1＝b2a2c＝b22ac<tan45°＝1，整理可得c2－a2<2ac，两侧同除以a2，e2－1<2e，解不等式结合e>1，可得离心率的取值范围是(1,1＋2)．答案：(1,1＋2)9．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为__________．解析：设P(x P，y P)(y P>0，由抛物线定义知，x P＋2＝42，∴x P＝32，y P＝42×32＝26，因此S△POF＝12×26×2＝2 3.答案：2 3三、解答题10．(xx·绵阳市第三次诊断)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若OA→＝λFB→(λ∈R)，求k的值．解：如图，直线y＝k(x＋1)过点F′(－1,0)，F(1,0)，所以O为F′F的中点．由OA→＝λFB→知OA∥FB，所以A为F′B的中点，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－48，y 22，代入y 2＝4x ，得y 2＝22，B (2,22)，∴k ＝222－－1＝223. 11．(xx·东城区检测)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点P 3，12，离心率是32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 过点E (－1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|EA |＝2|EB |，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点E (－1,0)的直线l 的方程为x ＝－1，此时令A －1，32，B －1，－32，显然|EA |＝2|EB |不成立．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x ＋1，整理得(4k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0.由Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．故x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋1，①x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.②因为|EA |＝2|EB |，即x 1＋2x 2＝－3.③①②③联立解得k ＝±156. 所以直线l 的方程为15x ＋6y ＋15＝0和15x －6y ＋15＝0. 12．(xx·焦作一模)已知椭圆的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，定点P (2，3)，点F 2在线段PF 1的中垂线上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M ，F 2N 的倾斜角满足α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)由椭圆C 的离心率e ＝22，得c a ＝22，其中c ＝a 2－b 2，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，又点F 2在线段PF 1的中垂线上，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，∴(2c )2＝(3)2＋(2－c )2. 解得c ＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且kF 2M ＝kx 1＋mx 1－1，kF 2N＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2M ＋kF 2N ＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0，化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， ∴2k ·2m 2－22k 2＋1－4km m －k 2k 2＋1－2m ＝0，整理得m ＝－2k .∴直线MN 的方程为y ＝k (x －2)，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)．23308 5B0C 嬌38404 9604 阄T30367 769F 皟28135 6DE7 淧B34917 8865 补285816FA5 澥27411 6B13 欓34832 8810 蠐 V32238 7DEE 緮h39020 986C 顬。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

高中数学同步课时跟踪检测《圆锥曲线的综合问题》

课时跟踪检测(五十七) 圆锥曲线的综合问题1．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1P A ,·2P F ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．02．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ―→,＝4MN ―→,，则双曲线的离心率为( )A.54 B.53 C.35D.454．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在5．(2013·营口模拟)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．7．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．9．(2012·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝⎛⎭⎫16，0，求实数k 的取值范围．1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|A M |,·|B M |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|A M |,＋|B M |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．[答题栏]答案课时跟踪检测(五十七)A 级1．选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1P A ,·2P F ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1P A ,·2P F ,取得最小值－2.2．选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bca ，由F M ,＝4M N ,得b 2a ＝4·⎝⎛⎭⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53. 4．选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63， ∴|AB |＝433. 设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin(θ－φ) |≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝ 2.答案： 27．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2，解得b ＝22. 8．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m ＜12时，k ＝±m 1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝⎛⎭⎫x 03，y 03. 又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·|y 03|，∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k2， ∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －16，点P 在直线l ′上，∴3m3＋4k2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16，∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k (4k 2＋3)，∴(4k 2＋3)236k 2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k ＞68或k ＜－68， ∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－68∪⎝⎛⎭⎫68，＋∞. B 级1．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|A B |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|A M |,2＋|B M |,2－2|A M |,·|B M |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|A M |,＋|B M |,)2－2|A M |,·|B M |, (1＋cos 2θ)＝4，所以(|A M |,＋|B M |,)2－4|A M |,·|B M |·cos 2θ＝4.因为|A M |,·|B M |,cos 2θ＝3，所以(|A M |,＋|B M |,)2－4×3＝4，所以|A M |,＋|B M |,＝4.又|A M |,＋|B M |,＝4＞2＝|A B |,，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2. 令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t＋2，由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1. 2．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)，将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5，即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得：2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝241013.。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

课时跟踪检测(五十六) 圆锥曲线与圆、向量的综合

课时跟踪检测(五十六) 圆锥曲线与圆、向量的综合1.已知椭圆方程为x 24＋y 2＝1，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2. (1)求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；(2)如图，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，|PC |＝(x －1)2＋y 2＝ 34x 2－2x ＋2 ＝ 34⎝⎛⎭⎫x －432＋23，由－2≤x ≤2可知，当x ＝43时，|PC |min ＝63. (2)当直线AB 斜率不存在且与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0), 由⎩⎨⎧ x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1，两式相减，整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 04y 0. 又k MC ＝y 0x 0－1，k MC ·k AB ＝－1，则k MC ·k AB ＝－x 04y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝43，由M 在椭圆内部，则x 204＋y 20＜1，解得y 20＜59，所以r 2＝(x 0－1)2＋y 20＝19＋y 20，所以19＜r 2＜23，解得13＜r ＜63. 所以半径r 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，63. 2．已知抛物线C ：x 2＝2y ，P 是C 的准线l 上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)当P 点在y 轴上时，求切线PA ，PB 的方程；(2)设圆M 是△PAB 的外接圆，当圆M 的面积最小时，求圆M 的方程．解：(1)抛物线C ：x 2＝2y ，准线l 的方程y ＝－12， ∵P 点在y 轴上，∴P ⎝⎛⎭⎫0，－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜0，x 2＞0，由y ＝12x 2，求导y ′＝x ，∴k PA ＝y 1＋12x 1＝x 212＋12x 1＝x 1，解得x 1＝－1，∴切线PA 的方程为y ＋12＝－(x －0)，即2x ＋2y ＋1＝0，同理可得切线PB 的方程为2x －2y －1＝0.(2)如图，设点P ⎝⎛⎭⎫t ，－12，设过点P 与抛物线C ：x 2＝2y 相切的直线方程为y ＋12＝k (x －t )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －t )，x 2＝2y⇒x 2－2kx ＋2kt ＋1＝0，Δ＝4k 2－4(2kt ＋1)＝0⇒4k 2－8kt －4＝0，∴k 1k 2＝－1，即切线PA ，PB 互相垂直．即△PAB 是直角三角形，△PAB 的外接圆直径为弦AB . 当圆M 的面积最小时，即是AB 最短时，|AB |min ＝2p ＝2，此时AB 垂直y 轴，△PAB的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫0，12，圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 3．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM ―→＝λ，QN ―→＝μQO ―→，求证：1λ＋1μ为定值．解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM ―→＝λQO ―→，QN ―→＝μQO ―→，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．4．已知点E 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点F 2，与y 轴相交于A ，B 两点，且△ABE 是边长为2的正三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆：x 2＋y 2＝185，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．解：(1)由题意可知EF 2⊥x 轴，则E ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又△ABE 是边长为2的正三角形，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3，b 2a ＝|AE |＝2，解得a 2＝9，b 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1. (2)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x ＝ 185，由(1)知，M ⎝⎛⎭⎫185， 185，N ⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， OM ―→＝⎝⎛⎭⎫ 185， 185，ON ―→＝⎝⎛⎭⎫ 185，－ 185， ∴OM ―→·ON ―→＝0，∴OM ⊥ON ，此时|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝kx ＋m .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|m |k 2＋1＝ 185，即5m 2＝18(k 2＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 29＋y 26＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－18＝0，得Δ＞0，x 1＋x 2＝－6km2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－182＋3k 2. ∵OM ―→＝(x 1，y 1)，ON ―→＝(x 2，y 2)，∴OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·3m 2－182＋3k 2＋km ·－6km 2＋3k 2＋m 2＝5m 2－18k 2－182＋3k 2＝18k 2＋18－18k 2－182＋3k 2＝0， ∴OM ⊥ON ，∴|PM |·|PN |＝|OP |2＝r 2＝185. 综上所述，|PM |·|PN |＝185为定值． 5．(2020·潮州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A (2，0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且AC ―→·BC ―→＝0，|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上不重合的两点且异于A ，B ，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．解：(1)∵AC ―→·BC ―→＝0，∴∠ACB ＝90°，∵|OC ―→－OB ―→|＝2|AB ―→＋BC ―→|，即|BC ―→|＝2|AC ―→|，∴△AOC 是等腰直角三角形，∵A (2,0)，∴C (1,1)，∵点C 在椭圆上，∴1a 2＋1b 2＝1，又a ＝2，∴b 2＝43， ∴所求椭圆方程为x 24＋3y 24＝1. (2)对于椭圆上两点P ，Q ，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于x ＝1对称，k PC ＝k ，则k CQ ＝－k ，∵C (1,1)，∴PC 的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，①QC 的直线方程为y ＝－k (x －1)＋1，②将①代入x 24＋3y 24＝1，得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0，③ ∵C (1,1)在椭圆上，∴x ＝1是方程③的一个根，∴x P ＝3k 2－6k －11＋3k 2，以－k 替换k ，得到x Q ＝3k 2＋6k －13k 2＋1. ∴k PQ ＝k (x P ＋x Q )－2k x P －x Q＝13， ∵∠ACB ＝90°，A (2,0)，C (1,1)，弦BC 过椭圆的中心O ，∴A (2,0)，B (－1，－1)，∴k AB ＝13， ∴k PQ ＝k AB ，∴PQ ∥AB ，∴存在实数λ，使得PQ ―→＝λAB ―→，|PQ ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋3k 22＝1609k 2＋1k2＋6≤2303，当9k 2＝1k 2时，即k ＝±33时取等号，又|AB ―→|＝10，λmax ＝230310＝233， ∴λ取得最大值时的PQ 的长为2303.。

新高考一轮复习人教版圆锥曲线的综合问题作业1

9.5 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.(2021浙江,9,4分)已知a,b ∈R,ab>0,函数f(x)=ax 2+b(x ∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( ) A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线答案 C 由题意知f(s)=as 2+b,f(s-t)=a(s-t)2+b=(as 2+b)+at(t-2s),f(s+t)=a(s+t)2+b=(as 2+b)+at(t+2s), ∵f(s -t),f(s),f(s+t)成等比数列,∴f(s -t)·f(s+t)=f 2(s)⇒[(as 2+b)+at(t-2s)][(as 2+b)+at(t+2s)]=(as 2+b)2⇒at(as 2+b)(t-2s+t+2s)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0⇒2at 2(as 2+b)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0,(*) ①当t=0时,s ∈R,故(s,t)的轨迹为一条直线; ②当t ≠0时,(*)式可化为2as 2+2b+at 2-4as 2=0, 即2as 2-at 2=2b,因为ab>0,所以s 2-t22=b a>0,故(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.二、解答题2.(2022届广西开学考,22)设双曲线x 23-y 2=1的右焦点为F,过F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点.(1)若直线AB 与x 轴不垂直,求直线的斜率的取值范围; (2)求AB 中点的轨迹方程.解析 (1)由题知F(2,0),设直线AB 的方程为y=k(x-2),代入方程x 23-y 2=1,得(3k 2-1)x 2-12k 2x+12k 2+3=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{x 1+x 2=12k 23k 2-1>0,x 1x 2=12k 2+33k 2-1>0,Δ=144k 4-4(3k 2-1)(12k 2+3)=12k 2+12>0, 所以k ∈(-∞,-√33)∪(√33,+∞).(2)设AB 中点坐标为(x 0,y 0),若直线AB 的斜率存在,x 0=x 1+x 22=6k 23k 2-1,y 0=y 1+y 22=k(x 0-2)=2k 3k 2-1,消去k 得,(x 0-1)2-3y 02=1,此时x 0=6k 2-2+23k 2-1=2+23k 2-1>2,所以AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x>2);若直线AB 的斜率不存在,则x 0=2,y 0=0,满足(x-1)2-3y 2=1.综上,AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x ≥2).3.(2022届山西怀仁一中期中,21)已知点A(-2,0),B(2,0),设动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为-34,记动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程;(2)若动直线l 经过点(1,0),且与曲线E 交于C,D(不同于A,B)两点,问:直线AC 与BD 的斜率之比是不是定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解析 (1)设P(x,y),由题意可得k PA ·k PB =-34,所以y x+2·y x -2=-34(x ≠±2),所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2). (2)由题意知,可设直线l:x=my+1,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由{x =my +1,x 24+y 23=1(x ≠±2),可得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,因为直线AC 的斜率k 1=y 1x 1+2,直线BD 的斜率k 2=y 2x 2-2,且my 1y 2=32(y 1+y 2),所以k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(my 2-1)y 2(my 1+3)=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13,所以直线AC 和BD 的斜率之比为定值13. 4.(2021四省八校调研,20)已知圆锥曲线E:√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4,经过点Q(-4,4)的直线l 与E 有唯一公共点P,定点R(-1,0). (1)求曲线E 的标准方程;(2)设直线PR,QR 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1k 2的值.解析 (1)由√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4可得,点(x,y)到定点(-1,0),(1,0)的距离的和为4.由椭圆的定义可知动点(x,y)的轨迹即圆锥曲线E 是以(-1,0),(1,0)为左、右焦点,2a=4为长轴长的椭圆(此处必须由定义说明圆锥曲线的类型),则其长半轴长a=2,则短半轴长b=√22-12=√3,故曲线E 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意得过点Q(-4,4)的直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为y-4=k(x+4),即y=kx+4+4k, 代入x 24+y 23=1,整理,得(3+4k 2)x 2+32(k+1)kx+64k 2+128k+52=0(※).∵l 与E 仅有一个公共点,∴Δ=1024(k+1)2k 2-4(3+4k 2)(64k 2+128k+52)=0,即12k 2+32k+13=0.解得k=-12或k=-136.(k 的值有两个,需分两种情况求解)设P(x 0,y 0),当k=-12时,方程(※)为x 2-2x+1=0,得x 0=1,∴y 0=32,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.当k=-136时,方程(※)为49x 2+182x+169=0,得x 0=-137,∴y 0=-914,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.综上所述,k 1k 2的值为-1.5.(2022届甘肃名校月考,21)已知F 1,F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,|F 1F 2|=6,当P 在E 上且PF 1垂直于x 轴时,|PF 2|=7|PF 1|. (1)求E 的标准方程;(2)A 为E 的左顶点,B 为E 的上顶点,M 是E 上第四象限内一点,AM 与y 轴交于点C,BM 与x 轴交于点D.求证:四边形ABDC 的面积是定值.解析 (1)由题意知|PF 1|=b2a ,|PF 2|+|PF 1|=2a,|PF 2|=7|PF 1|,则8|PF 1|=2a,所以a=2b,又c=3,a 2=b 2+c 2,∴a=2√3,b=√3, ∴E 的标准方程是x 212+y 23=1.(2)证明:由题意知A(-2√3,0),B(0,√3),设M(m,n),C(0,t),D(s,0),因为A,C,M 三点共线,所以设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得t=2√3n m+2√3,又B,D,M 三点共线,所以设BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得s=-√3m n -√3. 易知,|AD|=s+2√3,|BC|=√3-t,m 212+n 23=1,所以|AD|·|BC|=√3s-2√3t-st+6=-n -√3-m+2√3+(n -√3)(m+2√3)+6=-√3m √3n+36(m+2√3)(n -√3)+(n -√3)(m+2√3)+6=√3)(n √3)(n -√3)(m+2√3)+6=12.所以四边形ABDC 的面积为12|AD|·|BC|=6.故四边形ABDC 的面积是定值.6.(2022届长春外国语学校期中,21)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+√2=0与以原点为圆心,以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是椭圆的上顶点,过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A,B 两点,设两直线的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=4,证明:直线AB 过定点,并求出该定点.解析 (1)易知,等轴双曲线的离心率为√2,故椭圆C 的离心率e=√22.∵e 2=c 2a 2=a 2-b 2a2=12,∴a 2=2b 2.由x-y+√2=0与圆x 2+y 2=b 2相切,得√2√2=b,故b=1,∴a 2=2.∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)已知M(0,1).当直线AB 的斜率不存在时,设方程为x=x 0(x 0≠0),A(x 0,y 0),B(x 0,-y 0).由k 1+k 2=4,得y 0-1x 0+-y 0-1x 0=4,即x 0=-12.此时直线AB 的方程为x=-12.当直线AB 的斜率存在时,设AB 的方程为y=kx+m,依题意知m ≠±1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y =kx +m,x 22+y 2=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0.则x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-21+2k 2.由k 1+k 2=4,得y 1-1x 1+y 2-1x 2=4,∴kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=4,即2k+(m-1)x 1+x2x 1x 2=4, ∴k -km m+1=2,∴k=2(m+1),∴m=k 2-1.故直线AB 的方程为y=kx+k 2-1,即y=k (x +12)-1.∴直线AB 过定点(-12,-1).综上,直线AB 过定点(-12,-1).7.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长与短轴长之比为2,过点P(0,2√5)且斜率为1的直线与椭圆E 相切. (1)求椭圆E 的方程;(2)过点T(2,0)的直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与直线x=8交于H 点,若HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BT ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:λ1+λ2为定值.解析 (1)由题意知,a b =2,a=2b,切线方程为y=x+2√5.设椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1,联立得{y =x +2√5,x 24b 2+y 2b 2=1,整理得5x 2+16√5x+80-4b 2=0,则Δ=0,即(16√5)2-20(80-4b 2)=0,则b 2=4,∴椭圆方程为x 216+y 24=1.(2)由题意知,直线l 的斜率一定存在.当直线l 的斜率为零时,易得λ1+λ2=0;当直线l 的斜率不为零时,设直线l:x=ty+2(t ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =ty +2,x 2+4y 2=16,得(t 2+4)y 2+4ty-12=0,则y 1+y 2=-4t t 2+4,y 1y 2=-12t 2+4,直线l:x=ty+2,令x=8,则y=6t ,即H 8,6t .∵HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-8,y 1-6t ),AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 1,-y 1),HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1-8=λ1(2-x 1),y 1-6t =-λ1y 1,∴1-6ty 1=-λ1,同理可得,1-6ty 2=-λ2,∴-λ1-λ2=1-6ty 1+1-6ty 2=2-6(y 1+y 2)ty 1y 2=2--24t t 2+4·t 2+4-12t=0.综上,λ1+λ2=0.8.(2021皖南八校第三次联考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆交于A,B两点,当直线l ⊥x 轴时,|AB|=√2,tan ∠AOB=2√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l'⊥l,直线l'与直线l 、x 轴、y 轴分别交于M 、P 、Q,当点M 为线段AB 中点时,求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析 (1)由题意可知F(-c,0).当直线l ⊥x 轴时,|AB|=2b 2a =√2,tan ∠AOB=2tan ∠AOF1-tan 2∠AOF =2√2,解得tan ∠AOF=√22或-√2,∵∠AOF ∈(0,π2),∴tan∠AOF=√22=|AF||FO|=b 2a c,得b=c=1,a=√2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),依题意直线l 的斜率一定存在且不为零,设l:y=k(x+1),由{y =k(x +1),x 22+y 2=1,消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x+2k 2-2=0,则x 1+x 2=-4k 22k 2+1,则y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k 2k 2+1.故M (-2k 22k 2+1,k2k 2+1),直线l':y-k 2k 2+1=-1k (x +2k 22k 2+1),令y=0,则P (-k22k 2+1,0),∵PM⊥MF,OQ ⊥PO,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-k 22k 2+1--2k 22k 2+1)2+(0-k 2k 2+1)2(-k 22k 2+1)2=k 2+1k 2=1+1k 2,∵k 2∈(0,+∞),∴1+1k2∈(1,+∞), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(1,+∞). 9.(2022届四川内江六中月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A,B 两点,△AOB 的面积为2√2,点P 为椭圆C 的下顶点,|PF 2|=√2|OP|. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交椭圆C 于M,N 两点,求|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围.解析 (1)因为△OPF 2为直角三角形,所以b 2+c 2=|PF 2|2=(√2b)2,故b=c,又S △AOB =12·2b 2a ·c=b 2c a=2√2,所以b 2c=2√2a,又a 2=b 2+c 2,所以b 3=2√2·√b 2+c 2=4b,故b 2=4,所以a 2=b 2+c 2=4+4=8,故椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1. (2)由题意得F(1,0),M,N,F 三点共线,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=||FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosπ|=|FM|·|FN|.若直线l 斜率为零,则|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(a-1)(a+1)=7;若直线l 斜率不为零,设直线l 的方程为x=my+1,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则{x =my +1,x 28+y 24=1,消去x 得(m 2+2)y 2+2my-7=0,所以y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-7m 2+2,则|FM|=√(x 1-1)2+y 12=√(my 1+1-1)2+y 12=√m 2+1|y 1|,同理|FN|=√m 2+1·|y 2|,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(m 2+1)|y 1y 2|=(m 2+1)·7m 2+2=7(m 2+2)-7m 2+2=7-7m 2+2,因为m 2+2≥2,所以0<7m 2+2≤72,所以72≤7-7m 2+2<7.综上,|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|∈[72,7]. 10.(2022届黑龙江大庆月考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,其离心率为12.椭圆E 的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4. (1)求椭圆E 的方程;(2)过F 1的直线与椭圆相交于C,D(不与顶点重合),过右顶点B 分别作直线BC,BD 与直线x=-4相交于N,M 两点,以MN 为直径的圆是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.解析 (1)由题意得,c a =12,|AB|=2a=4,∴a=2,c=1,b=√a 2-c 2=√3,∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)恒过定点(-7,0)和(-1,0).由(1)知F 1(-1,0),B(2,0),由题意得,直线CD 的斜率不为0,设直线CD 的方程为x=my-1,代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2-6my-9=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则y 1+y 2=6m 3m 2+4①,y 1y 2=-93m 2+4②.直线BC:y=y 1my 1-3(x-2),令x=-4,可得N -4,-6y 1my 1-3,同理M (-4,-6y 2my 2-3),∴以MN 为直径的圆的方程为(x+4)(x+4)+y+6y 1my 1-3(y +6y 2my 2-3)=0,即x 2+8x+16+y 2+6y 1my 1-3+6y 2my 2-3y+36y 1y 2(my 1-3)(my 2-3)=0③,由①②得y 1+y 2=-23my 1y 2,代入③得圆的方程为x 2+8x+7+y 2-6my=0.若圆过定点,则{y =0,x 2+8x +7=0,解得{x =-1,y =0或{x =-7,y =0,∴以MN 为直径的圆恒过点(-7,0)和(-1,0).12.(2022届湘豫名校联盟11月联考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63,其左,右焦点为F 1,F 2,P为椭圆E 上任意一点,P 点到原点O 的距离的最小值为1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l:y=kx+m 与椭圆E 交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且x 12+x 22=3,是否存在这样的直线l 与圆x 2+y 2=1相切?如果存在,直线l 有几条?如果不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知,e=√63,所以b 2a2=1-e 2=13,即a 2=3b 2,易知|PO|2∈[b 2,a 2],所以b 2=1,故椭圆E 的标准方程为x 23+y 2=1. (2)联立{y =kx +m,x 2+3y 2=3,整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2-3=0.所以x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1·x 2=3m 2-33k 2+1. 因为x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=3,所以化简得12k 2m 2-2(m 2-1)·(3k 2+1)=(3k 2+1)2,即2m 2·(3k 2-1)=(3k 2+1)·(3k 2-1),所以3k 2-1=0或3k 2+1=2m 2,又直线l:y=kx+m 与圆x 2+y 2=1相切,所以√1+k2=1,即k 2+1=m 2.当3k 2-1=0时,解得k 2=13,m 2=43,直线l 的方程为y=±√33x±2√33;当3k 2+1=2m 2时,解得k 2=1,m 2=2,直线l 的方程为y=±x±√2.综上所述,存在满足题设条件的直线,且直线l 有八条.13.(2022届江西月考,21)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为θ(θ≠π2)的直线,交抛物线于A,B 两点,当θ=π3时,以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3).(1)求抛物线的方程;(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P,使得|FA|·|PB|=|FB|·|PA|成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)取FA 的中点C,过C 作CE ⊥x 轴于E,连接CT.因为以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3),所以CT ⊥y 轴于T,故|CE|=|OT|=√3,因为θ=π3,即∠CFE=π3,所以|CF|=2,|EF|=1,所以C 1+p 2,√3,所以A (2+p 2,2√3),故(2√3)2=2p ·(2+p 2),又p>0,所以p=2,故抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 0,0)(x 0≠1),且F(1,0),由题意可知直线FA 的斜率不为0,故设直线FA:x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x,整理得y 2-4my-4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4.易知|FA||FB|=|y 1||y 2|,|PA||PB|=√10212√20222,因为|FA|·|PB|=|FB|·|PA|,即|FA||FB|=|PA||PB|,所以|y 1||y 2|=√(x 1-x 0)2+(y 1-0)2(x 2-x 0)2+(y 2-0)2,两边同时平方可得y 12y 22=y 12+(x 1-x 0)2y 22+(x 2-x 0)2,又因为y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以y 12y 22=y 12+(y 124-x 0)2y 22+(y 224-x 0)2,化简整理可得(y 12-y 22)x 02=y 12y 22(y 12-y 22)16,所以x 02=y 12y 2216=(y 1y 2)216=1,所以x 0=±1,因为点P 异于点F,所以x 0=-1,故点P(-1,0).14.(2021山西太原二模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,直线l:x=23与椭圆C 相交于D,E 两个不同点,直线DA 与直线DB 的斜率之积为-14,△ABD 的面积为4√23.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点P 是直线l:x=23的一个动点(不在x 轴上),直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q,过P 作BQ 的垂线,垂足为M,在x 轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设D (23,y 0),由题意得{k DA ·k DB =y 023+a ·y 023-a =-14,12×2a ×|y 0|=4√23,49a 2+y 02b 2=1,∴{b 2=1,a 2=4, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)假设存在这样的点N,设直线PM 与x 轴相交于点T(x 0,0),由题意得TP ⊥BQ,由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P (23,t),t ≠0,Q(x 1,y 1),由题意可设直线AP 的方程为x=my-2,由{x =my -2,x 24+y 2=1得(m 2+4)y 2-4my=0,∴y 1=4m m 2+4或y 1=0(舍去),x 1=2m 2-8m 2+4,∵23=mt-2,∴t=83m ,∵TP⊥BQ,∴TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23-x 0)(x 1-2)+ty 1=0,∴x 0=23+ty 1x 1-2=23+83m ·4m m 2+4·m 2+4-16=0, ∴直线PM 过定点T(0,0), ∴存在定点N(1,0),使得|MN|=1.。

2018届高三数学文高考总复习课时跟踪检测五十圆锥曲

课时跟踪检测 (五十) 圆锥曲线的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2．所以符合条件的直线有且只有两条．2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－153，153 B ．⎝⎛⎭⎫0，153 C ．⎝⎛⎭⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1．即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1． 3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA ―→·OB ―→等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ―→·OB ―→＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ―→·OB ―→＝－13．4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0，又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( )A ．32B ．52C ．2D ．3解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2．因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14， y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32．6．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)．又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0．答案：x ＋2y －8＝07．如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________．解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1．答案：－18．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a 2－b 2＝4，所以可设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋7，y 2b 2＋4＋x 2b2＝1，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由一元二次方程根与系数的关系得： y 1＋y 2＝14(b 2＋4)10b 2＋4＝2．解得：b 2＝8．所以a 2＝12．则椭圆方程为x 28＋y 212＝1．答案：x 28＋y 212＝19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程； (2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4．又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2．同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4．所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．10．(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |·|BM |为定值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4．当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2．直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1．令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1．所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝4．当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4．综上，|AN |·|BM |为定值．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·海口调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是23．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB ―→·PD ―→＝0时，求点P 的坐标．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程是x 24＋y 23＝1．(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2⇒x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝⎛⎭⎫0，2k3＋4k 2．又PB ―→·PD ―→＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0，化简得64k 4＋28k 2－36(3＋4k 2)2＝0⇒64k 4＋28k 2－36＝0，解得k ＝±34．故P ⎝⎛⎭⎫0，27或⎝⎛⎭⎫0，－27． 2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4．(1)求椭圆C 的方程．(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，② 将②代入①得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)存在．理由如下：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3，④在方程③中令x ＝4，得M (4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12．因为A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ．所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，⑤将④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1．又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3．故存在常数λ＝2符合题意．。

圆锥曲线综合测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试题一、选择题（每题5分）1、双曲线x 2－5y 2＝0的焦距为（） A.6 B.26 C.23 D.432、顶点在原点，且过点（－4,4）的抛物线的标准方程是（）A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC. y 2＝－4x 或x 2＝4yD.y 2＝4x 或x 2＝－4y3、若椭圆19222=+m y x （m>0）的一个焦点坐标为（1,0），则m 的值为（） A.5 B.3 C.23 D.224、已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A.－1<k<1 B.k>0 C.k ≥0 D.k>1或k<－15、已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为（3,0）则该双曲线的离心率为（） A.14143 B.423 C.23 D.34 6、如果点P （2，y 0）在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则PF=（）A.1B.2C.3D.47、双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （a >0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB=（）A.3B.6C.9D.129、已知双曲线12222=-by a x （a >0，b>0）的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，∆AOB 的面积为3，则p=（）A.1B.23 C.2 D.3 10、已知F 1，F 2为椭圆191622=+y x 的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆与A ，B 两点，在∆A F 1B 中，若有两边之和等于10，则第三边的长度为（）A.6B.5C.4D.311、已知动圆P 过定点A （－3,0），并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（）A.线段B.直线C.圆D.椭圆12、若直线mx ＋ny=4与圆O: x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（）A.至多一个B.2C.1D.0二、填空题（每题5分）13、抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为。

2020高三数学一轮复习(人教版文)：课时作业58圆锥曲线的综合问题 ——定点、定值、探索性问题

物线相切，得Δ＝8p2－32p＝0，解得p＝4，p＝0(舍去)，所以抛物线的方程为y2＝8x。
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0)，
直线l：x＝ty＋m，联立xy＝ 2＝ty8＋x，m，则y2－8ty－8m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8t，y1y2＝－8m， |AM|2＝(x1－m)2＋y21＝(t2＋1)y21， |BM|2＝(x2－m)2＋y22＝(t2＋1)y22，所以|A1M|2＋|BM1 |2＝t2＋11y21＋t2＋11y22＝t2＋1 1·y21y＋21y22y22＝4m42t2＋t2＋m1，当m＝4 时，|AM1 |2＋|B1M|2＝116，为定值，所以M(4,0)。
当且仅当k＝± 22时，等号成立，所以△PAB′面积的最大值是 22。
4．已知点A，B分别是椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为
左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x
轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N。
(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定；
消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0。
所以Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，x1＋x2＝4－k28＋km1，x1x2＝44mk22＋－14。
因为点B在以线段MN为直径的圆上，
所以B→M·B→N＝0。
因为B→M·B→N＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋ x2)＋(m－1)2＝0，
3．(2019·豫南九校联考)已知点F1(－ 2 ，0)，圆F2：(x－ 2 )2＋y2＝ 16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N。

2020届高考数学一轮复习：课时作业58《圆锥曲线的综合问题》(含解析)

课时作业58 圆锥曲线的综合问题1．(2019·河北石家庄一模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且A F →＝2 F B →，则该椭圆的离心率为( B )A.32 B ．23 C.22D ．33解析：由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又A F →＝2 F B →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2，∴12＝4c 2a 2＋b2，∴e ＝23，故选B.2．(2019·河北七校联考)如图，由抛物线y 2＝8x 与圆E ：(x －2)2＋y 2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P (2,0)的直线始终与圆形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为( D )A ．[2,3]B ．[3,4]C ．[4,5]D ．[5,6]解析：由题意可知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为E (2,0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|P A |＝3.设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝9得(x －2)2＋8x ＝9，整理得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝3＋x 0＋2＝x 0＋5，所以|AB |＝x 0＋5∈[5,6]，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )A.433 B ．233 C ．3D ．2解析：解法一：设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，F 1，F 2分别为左，右焦点，则易知⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)cos 60°＝4c 2，整理得a 21＋3a 22＝4c 2，所以a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1e 21＋3e 22＝4.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1，3e 2，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33，∴1e 1＋1e 2＝a ·b ≤|a |·|b |＝1e 21＋3e 22×1＋13＝4×43＝433，故1e 1＋1e 2的最大值是433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n 2c＝mc . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－nm ＋1，易知⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1的最小值为34. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 4．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( A )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：∵直线l 与圆相切，∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k 2＝1， ∴m 2＝1＋k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1 取最小值22，故选A. 5．(2019·河南郑州一模)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( A )A ．23B ．42C ．12D ．52解析：由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为抛物线C 1过点(2,4)，所以16＝2p ×2，得p ＝4，所以y 2＝8x .圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，整理得(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，所以P (2,4)，Q (2，－4)，所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.当直线l 的斜率存在且不为零时，可设l 的方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x ，可得k 2(x －2)2＝8x ，整理得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，Δ＞0，则x 1x 2＝4，故x 2＝4x 1，所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝x 1＋p 2＋4x 2＋4×p 2＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16x 1＋15≥2x 1×16x 1＋15＝8＋15＝23⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x 1＝16x 1，即x 1＝4时取“＝”.因为23＜25，所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.6．(2018·浙江卷)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝ 5 时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算，二次函数的最值．设B (t ，u )，由A P →＝2 P B →，易得A (－2t,3－2u )．∵点A ，B 都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 24＋u 2＝m ，4t 24＋(3－2u )2＝m ，从而有3t 24＋3u 2－12u ＋9＝0，即t24＋u 2＝4u －3.即有4u －3＝m ⇒u ＝m ＋34，∴t 24＋(m ＋3)216＝m ， ∴t 2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4. ∴当m ＝5时，(t 2)max ＝4，即|t |max ＝2，即当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．7．(2019·合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则O P →·F P →的最小值为 6 .解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴O P →＝(x ，y )，F P →＝(x ＋1，y )，∴O P →·F P →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152， ∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤O P →·F P →≤12，故最小值为6.8．(2019·河北百校联盟联考)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l 1，直线l 2与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线l 1的距离为d 1，点F 到直线l 2的距离为d 2，则d 2d 1＋2的最大值为 12 .解析：依题意，得点F (0,2)，因为y ＝x 28，所以y ′＝x4，设P (x 0，y 0)，则直线l 2：y －y 0＝x 04(x －x 0)，即x 04x －y －y 0＝0，故点F 到直线l 2的距离d 2＝|－2－y 0|x 2016＋1＝2＋y 0y 02＋1＝2·y 0＋2，又点P 到直线l 1的距离d 1＝|PF |＝y 0＋2，所以d 2d 1＋2＝2×y 0＋2y 0＋4＝2×1y 0＋2＋2y 0＋2≤2×12y 0＋2·2y 0＋2＝12，当且仅当y 0＋2＝2y 0＋2，即y 0＝0时，取等号，所以d 2d 1＋2的最大值为12.9．(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0，解得k ＜0或0＜k ＜1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是 (－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为 y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λ Q O →，Q N →＝μ Q O →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．10．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 由此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知，t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t. 由2|AM ＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．11．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得 (k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x p .由⎩⎨⎧ y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2p ＝k 2m 29k 2＋81，即x p ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x p ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．12．(2019·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若P A ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c,0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c2＝c a ，所以c 2＝3b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线P A ，PB 的斜率存在且都不为0.设k P A ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2,0)，B (2,0)，所以k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ，直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6,8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k ，故N (6，－1k )．因为y M ·y N ＝8k ·(－1k )＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·|－1k |＝8，因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．13．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程； (2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且A C →与B D →同向．(ⅰ)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(ⅰ)因A C →与B D →同向，且|AC |＝|BD |，所以A C →＝B D →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ⅱ)由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1. 而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．。

2018届高考文科总复习课时跟踪检测(50)圆锥曲线的综合问题

课时跟踪检测 (五十) 圆锥曲线的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2．所以符合条件的直线有且只有两条．2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－153，153 B ．⎝⎛⎭⎫0，153 C ．⎝⎛⎭⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)＞0，x 1＋x 2＝4k1－k2＞0，x 1x 2＝－101－k2＞0，解得－153＜k ＜－1．即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1． 3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA ―→·OB ―→等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ―→·OB ―→＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ―→·OB ―→＝－13．4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0，又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( )A ．32B ．52C ．2D ．3解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2．因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32．6．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)．又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0．答案：x ＋2y －8＝07．如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________．解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1．答案：－18．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a 2－b 2＝4，所以可设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b2＝1，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋7，y 2b 2＋4＋x2b2＝1，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由一元二次方程根与系数的关系得： y 1＋y 2＝14(b 2＋4)10b 2＋4＝2．解得：b 2＝8．所以a 2＝12．则椭圆方程为x 28＋y 212＝1．答案：x 28＋y 212＝19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程； (2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4．又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2．同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4．所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．10．(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |·|BM |为定值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4．当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2．直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1．令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1．所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4．当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4．综上，|AN |·|BM |为定值．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·海口调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是23．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB ―→·PD ―→＝0时，求点P 的坐标．解：(1)由题意可知⎩⎨⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程是x 24＋y 23＝1．(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2⇒x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k3＋4k2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k 3＋4k 2．又PB ―→·PD ―→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0，化简得64k 4＋28k 2－36(3＋4k 2)2＝0⇒64k 4＋28k 2－36＝0，解得k ＝±34．故P ⎝⎛⎭⎫0，27或⎝⎛⎭⎫0，－27． 2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4．(1)求椭圆C 的方程．(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，② 将②代入①得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)存在．理由如下：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3，④在方程③中令x ＝4，得M (4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12．因为A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ．所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，⑤将④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1．又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3．故存在常数λ＝2符合题意．。

2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十五)圆锥曲线的综合问题 Word版含解析(

课时跟踪练(五十五)A 组基础巩固1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2，0)，则p ＝4. 答案：D2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12D ．0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得A (2，22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又因为M (－1，m )且MA →·MB →＝0，所以2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.答案：B3．(2019·聊城模拟)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2，1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.答案：D4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以ba ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.答案：D5．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3，0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3，0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0，又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3. 答案：D6．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，焦点为F ，则|AB |的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6. 答案：67．(2019·福建四地六校模拟)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．解析：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又因为P 是A ，B 的中点，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.所以直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0. 答案：3x ＋4y －13＝08．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为________．解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，所以S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2（4－b 2）≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.答案：29．(2019·陕西质检)已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，由题意可得c ＝2，又椭圆的离心率为22，得a ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1）.设直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1.由x 1＝－2x 2代入上式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋12＝12k 2＋1.所以k 2＝114. 所以△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝12·28k 2＋22k 2＋1＝1268.10．(2019·沈阳模拟)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程E ；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A 、B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C 、D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值． (1)解：设P (x ，y )，则N (x ，0)，NP →＝(0，y )，又因为NM →＝12NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12y ，由点M 在椭圆上，得x 29＋⎝⎛⎭⎪⎫y 222＝1，即x 29＋y 28＝1. 即点P 的轨迹方程E 为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l 2的方程为y ＝－1k(x －1)．联立得⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，消去y ，得(8＋9k )x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，所以|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48（1＋k 2）8＋9k 2，同理可得|CD |＝48（1＋k 2）9＋8k 2，所以1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248（k 2＋1）＋9＋8k 248（k 2＋1）＝1748，为定值．综上，1|AB |＋1|CD |为定值． B 组素养提升11．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p 2.联立得方程组⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，可得x 2－3px ＋p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，所以N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p2.所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，所以四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋5p 2·p 2－12·p 2·p ＝7p 24＝7，又p >0，所以p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C. 答案：C12．(2019·十堰模拟)如图，F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A 、B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.7 C.233D. 3解析：因为△ABF 2为等边三角形，所以|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°.由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|BF 2|＝4a .所以|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°，所以(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×12，即c 2＝7a 2，所以e ＝c a ＝c 2a 2＝7.故选B. 答案：B13．(2019·深圳模拟)设过抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p >0)的另一个交点为Q ，则S △ABQS △ABO＝________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p k 2，8p k ，所以|OP |＝4p 2k 4＋4p 2k 2＝2p 1＋k 2k 2，|PQ |＝36p 2k 4＋36p 2k2＝6p 1＋k 2k 2，所以S △ABQ S △ABO ＝|PQ ||OP |＝3.答案：314．[一题多解](2019·广州综合测试)已知定点F (0，1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切．(1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，求△PAB 外接圆面积的最小值．解：(1)法一设圆心M 到直线l 的距离为d ，由题意|MF |＝d .设圆心M (x ，y )，则有x 2＋（y －1）2＝|y ＋1|. 化简得x 2＝4y .所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . 法二设圆心M 到直线l 的距离为d ，由题意|MF |＝d .根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)法一设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.所以直线l 1的斜率为k 1＝x 12，直线l 2的斜率为k 2＝x 22.因为k 1k 2＝x 1x 24＝－1，所以PA ⊥PB ，即△PAB 为直角三角形．所以△PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.法二设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2. 所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.① 同理可得直线l 2的方程为y ＝x 22x －x 224.② 联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 24，即P (2k ，－1)．因为PA →·PB →＝(x 1－2k ，y 1＋1)·(x 2－2k ，y 2＋1)＝x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝0，所以PA ⊥PB ，即△PAB 为直角三角形．所以△PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.法三设l AB ：y ＝kx ＋1，由对称性不妨设点A 在y 轴的左侧，代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0.解得A (2k －2k 2＋1，2k 2－2k k 2＋1＋1)，B (2k ＋2k 2＋1，2k 2＋2k k 2＋1＋1)．所以|AB |＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.① 同理可得直线l 2的方程为y ＝x 22x －x 224.② 联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 24，即P (2k ，－1)．因为AB 的中点M 的坐标为(2k ，2k 2＋1)，所以AB 的中垂线方程为y －(2k 2＋1)＝－1k(x －2k )，因为PA 的中垂线方程为y －(k 2－k k 2＋1)＝(k ＋k 2＋1)[x －(2k －k 2＋1)]，联立上述两个方程，解得其交点坐标为N (2k ，2k 2＋1)．因为点M ，N 的坐标相同，所以AB 的中点M 为△PAB 的外接圆的圆心．所以△PAB 是直角三角形，且PA ⊥PB .所以线段AB 是△PAB 外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.。

圆锥曲线综合练习题及答案.doc

圆锥曲线综合练习题及答案.椭圆的焦点是。

()a.5b.3 c.4d82 .已知双曲线的偏心率为2，焦点为(-椭圆的焦点是。

()a.5b.3c.4d82 .已知双曲线的偏心率为2，焦点为(:4x-3y 6=0，直线l2: x=-1，抛物线y2上的移动点p=4x到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为()a.2b.3c.d.9 .已知直线l1:4x-3y 6=0，直线l2:X=-1，从抛物线y2=4x上的移动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()10。

抛物线y2=4x的焦点是f，准线是l，穿过f并具有斜率的直线与x轴上方的抛物线部分在点a处相交，AK⊥l，垂直脚是k，那么△AKF的面积是()a.4b.3c.4d.8ii(每项6分，共24分)7。

椭圆的准线方程是_ _ _ _ _ _。

8.双曲线渐近线方程是_ _ _ _ _ _。

9.如果椭圆(0)的准线通过该点，则椭圆的偏心率为_ _ _ _ _ _。

10.当已知抛物线拱的顶点距离水面2米时，测得的水面宽度为8米。

当水面上升米时，水面的宽度为_ _ _ _ _ _。

3.回答问题11。

已知椭圆的两个焦点分别是偏心率。

(15点)(1)求椭圆圆方程。

(2)不平行于坐标轴的直线与椭圆在两个不同的点相交，线段中点的横坐标是直线斜率的数值范围。

12.设置双曲线c: 双曲线c的偏心率e的取值范围在两个不同的点a、b(I)上:(二)让直线L和Y轴的交点为P，求出a13的值。

已知椭圆:两个焦点分别是，并且具有斜率k的直线穿过右焦点并且在点a 和b处与椭圆相交，并且与y轴的交点被设置为p，并且线段的中点正好是b。

(25点)(1)如果找到了椭圆C的偏心值范围。

(2)如果从A和B到右准线的距离之和为，则得到椭圆C的方程。

14.(201-x=-1，抛物线y2=4x，从最后一个移动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a.2b.3c.d.9。

已知的直线l1: 4x-3y 6=0，直线l2:X=-1，从抛物线y2=4x上的移动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()10。

圆锥曲线的综合问题强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮圆锥曲线的综合问题强化训练（原卷+答案）考点一证明问题——等价转化，直击目标圆锥曲线中证明问题的两种常见类型圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．对点训练已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程；(2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二定点问题——目标等式寻定点解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．例 2 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P (2，0)，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，当1k 1+1k 2＝1时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．对点训练已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，S (t ，4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)．(1)若l 过点F 且倾斜角为60°，|FM |＝4(M 在第一象限)，求C 的方程；(2)若p ＝2，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．考点三定值问题——巧妙消元寻定值定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等．二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)．三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值．例 3 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝3上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：△OMN 的面积为定值．对点训练已知F 1(－√3，0)，F 2(√3，0)分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为双曲线在第一象限的点，△AF 1F 2的内切圆与x 轴交于点P (1，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点Q 处的切线l ，若l 与双曲线C 左、右两支分别交于点M 、N ，问：QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．考点四圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈________；②|PF 1|∈________；③|PF 1|·|PF 2|∈________；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①|OP |≥________；②|PF 1|≥________． (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥________；②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值；③点N (a ，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN |min ＝{|a |(a ≤p )，√2pa −p 2(a ＞p)．例 4如图，已知椭圆x 212＋y 2＝1.设A ，B 是椭圆上异于P (0，1)的两点，且点Q (0，12)在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y ＝－12x ＋3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD |的最小值．对点训练已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．[典例] 已知圆(x ＋√3)2＋y 2＝16的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N (√3，0)，点G 在线段MP 上，且满足(GN⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点T (4，0)作斜率不为0的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．(1)因为(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0，即GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－GP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0，所以|GP |＝|GN |，所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4>2√3＝|MN |，所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4，2c ＝2√3，即a ＝2，c ＝√3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以点G 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意可设直线l ：x ＝my ＋4. 由{x =my +4，x 24+y 2=1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)＝16(m 2－12)>0，得m 2>12. ①且y 1＋y 2＝－8mm 2+4，y 1y 2＝12m 2+4.②因为点A 关于x 轴的对称点为D ，所以D (x 1，－y 1)，可设Q (x 0，0)，所以k BD ＝y 2+y 1x 2−x 1＝y 2+y 1m (y 2−y 1)，所以BD 所在直线的方程为y －y 2＝y 2+y 1m (y2−y 1)(x －my 2－4)．令y ＝0，得x 0＝2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2. ③将②代入③，得x 0＝24m−32m−8m＝1，所以点Q 的坐标为(1，0)．因为S △ABQ ＝|S △TBQ －S △TAQ |＝12|QT ||y 2－y 1|＝32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝6√m 2−12m 2+4，令t ＝m 2＋4，结合①得t >16，所以S △ABQ ＝6√t−16t＝ 6√−16t 2+1t ＝6√−16(1t −132)2+164.当且仅当t ＝32，即m ＝±2√7时，(S △ABQ )max ＝34. 所以△ABQ 面积的最大值为34.参考答案考点一[例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E的方程为x 23+y 24＝1. (2)证明：方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)．由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x 2−x ′＝y 2−y 1x 2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)．将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)．此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)． b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4，且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)．则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y 1+6−x 1−x2(x －x 2)．将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．对点训练解析：(1)将y ＝3代入x 2＋2py ＝0，得x 2＝－6p . 当p ≥0时，不合题意；当p <0时，x ＝±√−6p ，则2√−6p ＝4√6，解得p ＝－4，故C 的方程为x 2＝8y .(2)证明：由(1)可知C 的准线方程为y ＝－2，不妨设P (m ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设过点P 且与C 相切的直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －m )－2，且k ≠0，联立{y =k (x −m )−2，x 2=8y ，得x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝0，则Δ＝64k 2－32(km ＋2)＝0，即k 2－12mk －1＝0，由题意知，直线P A ，PB 的斜率k 1，k 2为方程k 2－12mk －1＝0的两根，则k 1＋k 2＝m2，k 1k 2＝－1，故k 1·k 2为定值．又x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝(x －4k )2＝0，则x 1＝4k 1，同理可得x 2＝4k 2，则k 0＝y 1−y 2x 1−x 2＝18x −1218x 22x 1−x 2＝x 1+x 28，因此k 0＝4(k 1+k 2)8＝k 1+k 22，故k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二[例2]解析：(1)因为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b 2a＝2，所以a ＝2，c ＝√2，b ＝√2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22＝1. (2)设直线l 的方程为m (x －2)＋ny ＝1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由椭圆的方程x 2＋2y 2＝4，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)．联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)[m (x －2)＋ny ]，即(1＋4m )(x －2)2＋4n (x －2)y ＋2y 2＝0，(1＋4m )(x−2y )2＋4n x−2y＋2＝0，所以1k 1+1k 2＝x 1−2y 1+x 2−2y 2＝－4n 1+4m＝1，化简得m ＋n ＝－14，代入直线l 的方程得m (x －2)＋(−14−m)y ＝1，即m (x －y －2)－14y ＝1，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4)．对点训练解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，因为l 过点F 且倾斜角为60°，所以l ：y ＝√3(x －p2)，联立y 2＝2px (p >0)，可得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x ＝32p 或x ＝p6，又M 在第一象限，所以x M ＝32p ，因为|FM |＝4，所以32p ＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；(2)由已知可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点S (4，4)，设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，点M (y 12 4，y1)，N (y 22 4，y2)，将直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立得y 2－4my －4n ＝0，所以Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n (*)，直线SM 的方程为y －4＝y 1−4y 12 4－4(x －4)，令x ＝0求得点A 的纵坐标为4y 1y 1+4，同理求得点B 的纵坐标为4y 2y2+4，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝16y 1y 2y 1y 2+4(y 1+y 2)+16＝8，化简得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)＋16，将上面(*)式代入得－4n ＝16m ＋16，即n ＝－4m －4，所以直线l 的方程为x ＝my －4m －4，即x ＋4＝m (y －4)，所以直线l 过定点(－4，4)．考点三[例3] 解析：(1)不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0), 因为A (a ，0)，从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−c −a ，0)，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c －a ，0) ，故有 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a 2－c 2＝－1, 又因为a 2＋b 2＝c 2, 所以 b ＝1，又因为A (a ，0) 在圆 O ：x 2＋y 2＝3 上，所以 a ＝√3，所以双曲线C的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)证明：设直线l 与x 轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y ＝±√33x ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，当动直线l 的斜率不存在时， l ：x ＝±√3，|OD |＝√3，|MN |＝2，S △OMN ＝12×√3×2＝√3，当动直线l 的斜率存在时，且斜率k ≠±√33，不妨设直线 l ：y ＝kx ＋m,故由{y =kx +m x 23−y 2=1⇒(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，依题意，1－3k 2≠0且m ≠0，Δ＝(－6mk )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝0, 化简得 3k 2＝m 2＋1，故由{y =kx +my =√33x ⇒x M ＝√33−k ，同理可求，x N ＝－√33+k，所以|MN |＝√1+k 2|xM−x N |＝2√3|m|√k 2+1|1−3k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx －y ＋m ＝0的距离d ＝√k 2+1，所以S △OMN ＝12|MN |d ＝√3m 2|1−3k 2|，又由3k 2＝m 2＋1，所以S △OMN ＝√3|m|√k 2+1|1−3k 2|＝√3，故△OMN 的面积为定值，定值为√3.对点训练解析：(1)如图，设AF 1，AF 2与△AF 1F 2的内切圆分别交于G ，H 两点，则2a ＝|AF 1|−|AF 2|＝|F 1P |−|PF 2| ＝(1＋√3)－(√3－1)＝2，所以a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝2，则双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由题意得，切线l 的斜率存在．设切线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，所以√1+k 2＝√2，即m 2＝2k 2＋2.联立{y =kx +m ，x 2−y 22=1，消去y 并整理得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km2−k 2，x 1x 2＝−m 2−22−k 2.又QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|ON ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QON －|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QOM ＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |+ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(k 2+1)(−m 2−2)2−k 2+2k 2m 22−k2＋m 2＝m 2−2k 2−22−k 2，将m 2＝2k 2＋2代入上式得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.所以QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝－2. 综上所述，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2.考点四(1)[b ，a ] [a －c ，a ＋c ] [b 2，a 2] (2)a c －a (3)p2[例4] 解析：(1)设M (2√3cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P (0，1)，则|PM |2＝12cos 2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin 2θ－2sin θ＝14411－11(sin θ＋111)2≤14411.故|PM |的最大值为12√1111.(2)由题意，知直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋12.将直线方程与椭圆方程联立，得{y =kx +12，x 212+y 2=1.消去y 并整理，得(k 2＋112)x 2＋kx －34＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－kk 2+112，x 1x 2＝－34(k 2+112).直线P A ：y ＝y 1−1x 1x ＋1与直线y ＝－12x ＋3交于点C ，则x C ＝4x 1x1+2y 1−2＝4x 1(2k+1)x 1−1. 同理可得，x D ＝4x 2x 2+2y 2−2＝4x 2(2k+1)x 2−1，则|CD |＝ √1+14|x C －x D | ＝√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|＝2√5|x 1−x 2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x 2−1]|＝2√5|x 1−x 2(2k+1)2x 1x 2−(2k+1)(x 1+x 2)+1|＝3√52·√16k 2+1|3k+1|＝6√55·√16k 2+1· √916+1|3k+1| ≥6√55，当且仅当k ＝316时等号成立．故|CD |的最小值为6√55.对点训练解析：(1)由题意知M (0，－4)，F (0，p2)，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A (x 1，x 12 4)，B (x2，x 22 4)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得{y =kx +bx 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0(※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝√1+k 2|x 1－x 2|＝√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4√1+k 2·√k 2+b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x12，在点A 处的切线方程为y −x 12 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x −x 12 4，同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x −x 22 4，联立得{y =x 12x −x 124y ＝x22x －x 22 4，则{x =x 1+x 22=2ky =x 1x 24=−b ，即P (2k ，－b )．因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)．设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝2√1+k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4√(k 2+b )3.由①得，k 2＝1−(4−b )24＝−b 2+8b−154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝−b 2+12b−154，且3≤b ≤5. 因为t ＝−b 2+12b−154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20√5.。

课时跟踪检测(十五) 圆锥曲线的综合问题

课时跟踪检测(十五) 圆锥曲线的综合问题(限时50分钟)1．(2014·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A ．x 216＋y 2＝1B ．x 2＋y 216＝1C ．x 220＋y 25＝1D ．x 25＋y 220＝12．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．163．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的上顶点是A ，右焦点是F ，O 为坐标原点，点P满足AP ＝12PF，若直线OP 的倾斜角是60°，则该双曲线的离心率是( )A ． 2B ．2C ．43D ．2334．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，A ，B 为其左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若P A ，PB ，PO 的斜率为k 1，k 2，k 3，则m ＝k 1k 2k 3的取值范围为( )A ．(0,33)B ．(0，3)C ．⎝⎛⎭⎫0，39 D ．(0,8)5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE ⊥l 于E ，若直线EF 的倾斜角为150°，则|PF |＝________．7．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．8．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．9．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0) 的距离和到直线x ＝－1 的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0) 且斜率为 k 的直线，则k 的取值范围是________________________________________________________________________．10．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM ＝2MB，求直线l 的方程．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1．(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ．12．(2014·云南省第一次统一检测)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，1PF ·2PF ＝116a 2．倾斜角等于π3的直线l 经过F 1，与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设△F 1PF 2的周长为2＋3，求△ABF 2的面积S 的值．答案1．选C 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋22b2＝1，a 2－b 2＝15，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x 220＋y 25＝1.2．选C 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x 消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.3．选B 由题意可知A (0，b )，F (c,0)，又AP ＝12PF ，所以P ⎝⎛⎭⎫c 3，2b 3，因为直线OP 的倾斜角是60°，所以k OP ＝2b c ＝3，4b 2＝3c 2，则a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝c 24，即a ＝c 2，故离心率e ＝ca＝2.4．选A e ＝c a ＝2，b ＝3a ，设P (x ，y )，则x 2a 2－y 2b 2＝1，k 1k 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝b 2a 2＝3，又双曲线的渐近线为y ＝±3x ，所以0<k 3<3，故0<m <3 3.5．选A 由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2<2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 6．解析：由题意知焦点F (1,0)，故直线EF 的方程为y ＝－33(x －1)，与抛物线准线x ＝－1联立得E ⎝⎛⎭⎫－1，233，因此y P ＝233，代入抛物线方程得x P ＝13，故由抛物线定义得|PF |＝|PE |＝x P ＋p 2＝43.答案：437．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.答案：228．解析：因为a 2＝4，b 2＝5，所以c 2＝9，F (3,0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a ＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有两条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条．答案：39．解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y 2＝4x ，过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，所以k 2>1，得k >1或k <－1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM ＝2MB得x 1＝－2x 2，又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0. 设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以M ⎝⎛⎭⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA |·|y |＝24. (3)证明：设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b22－k2，又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP ·OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(－1－b 2)2－k 2＋2k 2b 22－k2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP ·OQ＝0，所以OP ⊥OQ .12．解：(1)∵F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，∴PF 2⊥x 轴，∴|PF 2|＝b 2a.又∵1PF ·2PF ＝116a 2，∴|PF 2|2＝116a 2，即b 2a ＝14a ，∴a 2＝4b 2，即a 2＝4(a 2－c 2)，化简得3a 2＝4c 2，∴c a ＝32.∴椭圆E 的离心率为32. (2)∵△F 1PF 2的周长等于2＋3， ∴2a ＋2c ＝2＋ 3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝2＋3，c a ＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝32. ∴b 2＝14，∴椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由已知得直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋32，即23x －2y ＋3＝0， ∴F 2⎝⎛⎭⎫32，0到直线l 的距离d ＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋32，x 2＋4y 2＝1得13x 2＋123x ＋8＝0. ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12313，x 1x 2＝813.∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝813，∴S ＝12|AB |·d ＝613，∴△ABF 2的面积S 的值等于613.。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-8圆锥曲线的综合问题

[课时跟踪检测]　[基础达标]1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋＋x B ＋＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有且p2p2只有两条．答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.B.(－153，153)(0，153)C.D.(－153，0)(－153，－1)解析：由Error!得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!解得－<k <－1.即k 的取值范围是.153(－153，－1)答案：D3．(2017届山东师大附中模拟)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为( )x 212y 216AP → BP → AP → BP → A ．－12 B ．12C ．－9D ．9解析：易知A (0，－2)，B (0,2)为椭圆＋＝1的两焦点，x 212y 216∴||＋||＝2×4＝8.又||－||＝2，∴||＝5，||＝3.∵||＝4，∴△AP → BP → AP → BP → AP → BP → AB→ ABP 为直角三角形，∴·＝||2＝9.AP→ BP → BP → 答案：D4．(2017届北京大兴一中月考)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、x 2a 2y 2b 2右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P .若PF 1⊥PF 2，则C 的离心率为( )A. B.23C ．2D.5解析：取双曲线C 的渐近线为y ＝x .因为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，所以过F 2作ba 平行于渐近线y ＝x 的直线PF 2的方程为y ＝(x －c )．ba ba 因为PF 1⊥PF 2，所以直线PF 1的方程为y ＝－(x ＋c )．ab 联立方程组Error!得点P 的坐标为.(b 2－a 2c，－2abc )因为点P 在双曲线C 上，所以－＝1，即－＝1.(b 2－a 2c )2a 2(－2ab c)2b 2(b 2－a 2)2a 2c 24a 2c 2因为c 2＝a 2＋b 2，所以－＝1，整理得(c 2－2a 2)2a 2c 24a 2c 2c 2＝5a 2.因为e ＝>1，所以e ＝.故选D.ca 5答案：D5．(2017届皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：(直译法)如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM .则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又因为|PA |＝1，所以|PM |＝＝，|MA |2＋|PA |22即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.答案：D6．(2017届南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0)B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0)C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0)解析：利用角平分线的性质＝＝＝2.设P (x ，y )，(y ≠0)，则|PA ||PB ||AO ||OB |21＝2，整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)．(x ＋2)2＋y 2(x －1)2＋y 2答案：C7．(2017届绵阳二诊)若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，x 24y 23点P 在椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )OP→ FP → A. B ．6214C ．8D ．12解析：由题意得F (－1,0)，设P (x ，y )，则·＝(x ，y )·(x ＋1，y )OP→ FP → ＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故＋＝1，所以x 24y 23x 2＋x ＋3－x 2＝x 2＋x ＋3＝(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，341414(x ＋2)2＋2取得最大值6，即·的最大值为6.14OP→ FP → 答案：B8．(2017届温州十校联考)若双曲线－＝1(a >0，b >0)的虚轴端点到直x 2a 2y 2b 2线y ＝a 2x 的距离为1，则双曲线的离心率的最小值为( )A ．3B ．2C.D.32解析：因为双曲线－＝1(a >0，b >0)的虚轴端点(0，b )或(0，－b )到直x 2a 2y 2b 2线y ＝a 2x 的距离为1，所以＝1，即b 2＝1＋a 4，所以离心率b1＋(a 2)2e 2＝，＝1＋≥1＋2，∴e ≥，当且仅当a 2＝，即a ＝1，b ＝时取c 2a 2a 4＋1a 231a 22等号，故选C.答案：C9．(2018届西宁模拟)已知点P (2,1)，若抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好是以P 为中点，则弦AB 所在直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线方程为y －1＝k (x －2)，即y ＝kx ＋1－2k ，联立Error!整理得k 2x 2＋[2k (1－2k )－4]x ＋(1－2k )2＝0.所以有x 1＋x 2＝－，2k (1－2k )－4k 2∵弦AB 恰好是以P 为中点，∴－＝4，解得k ＝2.2k (1－2k )－4k 2所以直线方程为y ＝2x －3，即2x －y －3＝0.答案：2x －y －3＝010．如图，过抛物线y ＝x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)142＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则·＝________.AB→ DC →解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立Error!解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以＝(1,0)，＝(－1,0)，所AB → DC→ 以·＝－1.AB→ DC → 答案：－111．(2017届河南郑州质检)已知椭圆C 1：－＝1与双曲线C 2：＋x 2m ＋2y 2n x 2m ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．y 2n 解析：∵椭圆C 1：－＝1，∴a ＝m ＋2，b ＝－n ，c ＝m ＋2＋n ，e ＝＝1＋x 2m ＋2y 2n 21212121m ＋2＋nm ＋2.∵双曲线C 2：＋＝1，∴a ＝m ，b ＝－n ，c ＝m －n .由题意可得nm ＋2x 2m y 2n 222m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1.∴e ＝1－.由m >0，得211m ＋2m ＋2>2.∴0<<，－>－，∴1－>，即e >.而1m ＋2121m ＋2121m ＋21221120<e 1<1，∴<e 1<1.22答案：<e 1<12212．(2018届宜昌模拟)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点在该椭圆上．(1，32)(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为，1227求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)因为|F 1F 2|＝2，所以c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又点在该椭圆上，∴＋＝1，(1，32)1a 294b 2a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)①当直线l ⊥x 轴时，可得A ，B，△AF 2B 的面积为(－1，－32)(－1，32)3，不符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋4k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，可得|AB |＝，用点到直线的距4k 23＋4k 28k 2－123＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2离公式可得圆F 2的半径r ＝，2|k |1＋k 2∴△AF 2B 的面积＝|AB |r ＝＝，1212k 4＋k 23＋4k 21227化简得17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.2[能力提升]1．(2017届杭州二中质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|FA |＋|FB |等于( )A ．5B ．6C ．3D ．75解析：把点A 的坐标(1,2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax ＋y －4＝0，得p ＝2，a ＝2，由Error!消去y 得x 2－5x ＋4＝0，则x A ＋x B ＝5.由抛物线定义得|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7，故选D.答案：D2．已知双曲线－＝1(a >0，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距x 2a 2y 2b 2离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m对称，且x 1x 2＝－，则m 的值为( )12A. B.3252C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x ，y 2＝2x ，两式相212减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以＝－1，故x 1＋x 2＝－，而x 1x 2＝－，解得x 1＝－1，x 2＝，设y 1－y 2x 1－x 2121212A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝＝－，y 0＝＝x 1＋x 2214y 1＋y 22＝，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以＝－＋m ，解得m ＝.2x 21＋2x 2254541432答案：A3．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a 2－b 2＝4，所以可设椭圆方程为＋＝1，联立Error!得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y 2b 2＋4x 2b 2y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由一元二次方程根与系数的关系得y 1＋y 2＝＝2.解得b 2＝8.14(b 2＋4)10b 2＋4所以a 2＝12.则椭圆方程为＋＝1.x 28y 212答案：＋＝1x 28y 2124．(2018届徐汇区校级模拟)设直线l 过点P (0,3)，和椭圆＋＝1交于x 29y 24A 、B 两点(A 在B 上方)，试求的取值范围________．|AP ||PB |解析：当直线l 的斜率不存在时，A 点坐标为(0,2)，B 点坐标为(0，－2)，这时＝.|AP ||PB |15当直线l 斜率为k 时，直线l 方程为y ＝kx ＋3，设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，则＝(－x 1,3－y 1)，＝(x 2，y 2－3)，所以＝，AP → PB→ |AP ||PB |x 1x 2因为直线y ＝kx ＋3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y ＝kx ＋3代入＋＝1后的一元二次方程(9k 2＋4)x 2＋54k ＋45＝0的判别式x 29y 24(54k )2－4(9k 2＋4)×45>0，所以k >或k <－，5353设＝λ，则x 1＝λx 2，x 1x 2因为x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，54k 9k 2＋4459k 2＋4所以(1＋λ)x 2＝－，①54k9k 2＋4λx ＝，②2459k 2＋4由可得＝，由k 2>得4<<.①2②(1＋λ)2λ3245×(9＋4k 2)59(1＋λ)2λ365显然λ不等于1，解得0<λ<1.综上所述的范围是.|AP ||PB |[15，1)答案：[15，1)5．已知点A (0,1)与B 都在椭圆C ：＋＝1(a >b >0)上，直线AB (3，12)x 2a 2y 2b 2交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；(2)设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点E ，使得∠OEM ＝∠ONE ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为点A (0,1)与B 都在椭圆C ：＋＝1(a >b >0)上，(3，12)x 2a 2y 2b 2所以Error!解得Error!所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24直线AB 的方程为＝，y －1x 12－13整理，得x ＋2y －2＝0，33当y ＝0时，x ＝2，所以点M 的坐标为(2，0)．33(2)因为点A (0,1)，B ，O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线(3，12)AD 交x 轴于点N ，所以D，直线AD ：＝，(3，－12)y －1x －12－13即3x ＋2y －2＝0，33令y ＝0，得x ＝，所以N ，233(233，0)设E (0，y 0)，tan ∠OEM ＝，tan ∠ONE ＝＝，因为|23y 0||y 0233||3y 02|∠OEM ＝∠ONE ，所以tan ∠OEM ＝tan ∠ONE ，所以＝，解得y 0＝±2.|23y 0||3y 02|所以y 轴上存在点E (0，±2)，使得∠OEM ＝∠ONE .。