证明三(2)
2023土地租赁合同证明(七篇)
2023土地租赁合同证明甲方：_____(出租方)乙方：_____(承租方)经两村委共同研究决定，甲方同意将自己的部分土地转包给乙方。
为使甲乙双方合法权益能得到应有保障，甲乙双方经充分的协商，订立本合同。
一、租赁土地的地点、面积甲方将位于_____，东至_____，西至_____，南至_____，北至____的土地亩，租给乙方作为综合用地发展种养殖和综合使用。
二、租赁年限租赁期限为____年，从____年____月____日至____年____月____日止(以公历为准)。
三、甲方的权利与义务1、租赁土地的所有权属于甲方，甲方有权向乙方收取租赁费。
2、甲方为乙方提供电源、水源并按农业用规定价格收费。
3、甲方有权监督乙方对土地的使用，如乙方不按规定的项目经营或随意将土地荒芜、出租、买卖以及挪作他用，甲方有权终止合同并要求乙方承担违约责任。
4、乙方未按合同支付租金，甲方可解除合同，并有权要求违约金。
5、合同期间，租赁土地不得擅自收回，因社会公共利益经原批准租赁土地的人民政府批准，甲方可以收回租赁土地。
提前收回租赁土地时，甲方应在收回土地6个月前，将收回土地的坐落，四至范围，收回理由，收回日期书面通知乙方并予以公告。
提前收回土地，甲方应当给乙方适当补偿，补偿标准收甲乙双方根据土地的建筑物，构筑物和附着物的价值及租赁期限的余期等因素协商确定，协商不能确定，由原批准政府裁决。
合同期间内如遇拓宽路面，承包土地亩数应按实际亩数计算交纳承包费。
四、乙方的权利和义务1、乙方自年起，逐年交纳承包费，交纳的时间为当年的月日，承包费为每亩元，每年共计____元(大写：____元整)2、乙方在土地租赁期间只能从事本合同规定的经营项目，如有变更须经村委同意。
3、租赁期限届满前，乙方要求终止合同，应当在终止前6个月向甲方提出，并承担违约责任。
4、合同期满如甲方土地继续向外租赁，同等条件下，乙方享有优先租赁权。
5、租赁期限内，乙方转让、转租或者抵押租赁土地的，必须经甲方同意。
12-2 证明(课件)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(苏科版)
【分析】 （1）①84×24 =(8×2+4)×100+4×4=2016； ②562=56×56 =(5×5+6)×100+6×6=3100+36=3136；
（2）一般规律为： (10a+c)×[10×(10-a)+c]=[a×(10-a)+c]×100+c×c, 证明如下：左边=10a×10×(10-a)+10a×c+c×10×(10-a)+c×c =100a×(10-a)+10ac+10c×(10-a)+c×c =100a×(10-a)+100c+c×c =[a×(10-a)+c]×100+c×c=右边．
【公理（基本事实】
例2、下列命题，不是基本事实的是（ D ） A．过平面上两点，有且只有一条直线 B．两点之间的连线中，线段最短 C．在等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍为等式 D．同角的补角相等
【分析】 D、同角的补角相等，是由等量代换推理得出的，是定理不是基本事实．
【证明】
例3、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF． 完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解： ∵∠3=∠4（已知） ∴AE∥__B__C__（_内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行___） ∴∠EDC=∠5（__两__直__线__平__行__，__内__错__角__相__等__） ∵∠5=∠A（已知） ∴∠EDC=__∠__A__（等量代换） ∴DC∥AB（__同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行__） ∴∠5+∠ABC=180°（两__直__线__平__行__，__同__旁__内__角__互__补__），即∠5+∠2+∠3=180° ∵∠1=∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3=180°（________等__量__代__换__________），即∠BCF+∠3=180° ∴BE∥CF（同__旁__内__角__互__补__，__两__直__线__平__行__）．
《证明三》练习题2
D C B A 图3-4EF **《证明三》练习题2***1.如图3-2，平行四边形ABCD 中，经过两对角线交点O 的直线分别交BC 于点E ，交AD 于点F . 若BC = 7, CD = 5, OE = 2, 则四边形ABEF 的周长等于（ ）.A. 14B. 15C. 16D. 无法确定分析：三角形全等，等量代换****2、如图3-4，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，EF ∥BD .求证： S △ABE = S △ADF .分析：三角形等面积变化****3.已知：四边形ABCD 的边AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , 且满足关系式a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 2ac +2bd , 则这个四边形是 四边形.分析：配方法；特殊四边形的判定***4.如图3-8，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE = CF ,AF 、DE 相交于M ，BF 、CE 相交于N . 求证：MN ∥＝ 12AB .分析：平行四边形的性质和判定的综合运用；三角形中位线***5、已知A B C D 的对角线相交于点O ，它的周长为10cm ， B C O ∆的周长比A B O ∆的周长多2cm ，则AB= cm 。
分析：平行四边形对角线构成的三角形性质***6、如图，已知E 为A B C D 内任一点，A B C D 的面积为40，那么EAB EC D S S += 。
A DE B C三角形面积与平行四边形面积的关系；数形结合D C B A O 图3-2EF N M D CB A 图3-8E F****7、已知：如图3-10，△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，BC = 15cm, AD = 13cm,AE = 12cm, F 、G 分别是AB 、AC 的中点. 求：四边形DEGF 的周长和面积.分析：挖掘图形之中隐含条件***8、如图，A B C D 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请你数一数图中共有（ ）个平行四边形。
3.2《数学证明》课件(选修1-2)
• (3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数， 则{an}为等差数列． 大前提 • 通项公式an＝2n＋3时，若n≥2. • 则 an － an － 1 ＝ 2n ＋ 3 － [2(n － 1) ＋ 3] ＝ 2( 常 数)． 小前提 • 通项公式 an＝2n＋3表示的数列为等差数列． 结论
解析： 于 y 轴对称．
ห้องสมุดไป่ตู้
显然 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关
x2＋1 1 当 x>0 时，f(x)＝lg ＝lg x＋ x. x
1 设 g(x)＝x＋ ，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞) x 上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增 函数．f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
• §2 数学证明
• 1.了解演绎推理的意义． • 2.掌握三段论的模式，并会用演绎推理即三段 论模式证明数学命题.
• 1.了解演绎推理的含义．(重点) • 2.能利用“三段论”进行简单的推 理．(重点、难点)
• 1．归纳推理的含义 部分事物 • 根据一类事物中 该类事物中 每一个都有这种属性 式称为归纳推理． • 2．类比推理的含义
合情推理
演绎推理
常用形 归纳、类比 三段论 式 归纳推理是从部 从一般性的知识的 思维运 分到整体，从 前提推出一个特 动过 特殊到一般的 殊性的知识的结 程的 推理；类比推 论，即从一般到 方向 理是从特殊到 特殊的推理 特殊的推理 主 前提与 要 结论超过了前提 结论不超过前提所 结论 区 所断定的范围， 断定的范围，前
理形式有关，不一定正确，故②不正确．
1 2．“因为对数函数 y＝logax 是增函数，而 y＝log x 是 2 1 对数函数，所以 y＝log x 是增函数”．有关这个“三段论” 2 的推理形式和推理结论正确的说法是( )
证明的格式 (2)
证明的格式证明是数学推理的基础，它用于表达和验证某种数学命题的正确性。
在证明中，我们通过逻辑推理和数学知识来展示一个命题为真的理由。
在数学领域中，有许多不同的证明方法和格式，本文将介绍一些常见的证明格式和如何使用Markdown 文本格式来书写证明。
1. 直接证明直接证明是最常见的证明方法，它直接展示了一个命题的证据。
在直接证明中，我们通常假设前提条件为真，并通过一系列逻辑推理的步骤来得出结论。
以下是一个简单的直接证明的例子：定理：若a和b都是偶数，则ab也是偶数。
证明：假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n 的形式，其中m和n是整数。
那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。
因此，ab是偶数。
证毕。
在Markdown文本中，我们可以使用以下格式来书写直接证明：**定理：** 若a和b都是偶数，则ab也是偶数。
**证明：** 假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n的形式，其中m和n是整数。
那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。
因此，ab是偶数。
证毕。
2. 间接证明间接证明是一种常见的证明方法，它通过推导出一个矛盾或错误的结论来证明一个命题的真实性。
在间接证明中，我们通常假设反命题为真，并使用逻辑推理的步骤来推出矛盾的结论。
以下是一个简单的间接证明的例子：定理：开方2是无理数。
证明：假设开方2是有理数，可以写成开方2 = p/q 的形式，其中p和q是互质的整数。
那么2 = (p/q)^2 = p2/q2。
将等式两边乘以q2，得到2q2 = p2。
因此，p2是偶数。
由于整数的平方只能是偶数或奇数，因此p也是偶数，即p = 2k（其中k是整数）。
将这个结果代入等式中，得到2q^2 = (2k)^2 = 4k2。
因此，将等式两边除以2，得到q2 = 2k2。
这意味着q2也是偶数，从而q也是偶数。
2019年课时同步练习(浙教版)八年级上1.3证明2【含答案及解析】
2019年课时同步练习（浙教版）八年级上1.3证明2【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 从甲、乙、丙三人中选取2人去参加运动会有甲和乙、甲和丙、乙和丙3种不同的选法．抽象成数学模型，即：从3个元素中选取2个元素的组合，记作；一般地，从m个元素中选取n个元素（n≤m）的组合，记作．根据以上分析从8人中选取5人去参加运动会的不同选法有种．2. 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放人其中某个箱子内，并且（1）红箱子写着：“苹果在这个箱子里”；（2）黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子里”；（3）蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里”，已知（1），（2），（3）中只有一句是真的，则是真话（填序号），苹果在箱子里．3. 仓库员小李管理着10个库房，有一次，他把10个库房的10把钥匙搞乱了，这10把钥匙所开的锁的外形一样，无法把钥匙对上号，他只好逐个试开．如按最巧的情况，每把钥匙只试一次，就能对上号．现在要问，在最坏的情况下，在试开次后，才能把10把钥匙和10把锁对上号．4. 如图的算式中字母ABC分别表示各不相同的一个数字，则B= ．5. 元旦联欢会上，林老师跟同学们玩猜匣游戏，礼物放在一只匣子中，谁猜中谁就可以得到这个礼物．三只匣子上都各有一句话．红匣子：礼物不在黄匣中；黄匣子：礼物不在此匣中；绿匣子：礼物在此匣中．林老师向同学们交了底：这三句话中，至少有一句是真的，而且至少有一句是假的．你猜猜看，礼物放在匣子中．6. 如图，有4座岛屿，A、B、C、D岛屿之间有桥梁相连，在同一座桥不得通过两次的原则下，从A出发到D结束，不同的走法有种．7. 参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手．若这次会议握手的总次数是159，那么参加会议的成员有人，其中，第二次握手有次．8. 小明同学每天早上6：00钟起床，穿衣需要5min，煮早饭需要7min，他洗脸刷牙需要5min，吃早饭需要8min，吃完早饭就去上学，小明同学从开始起床到吃完早饭仅需要min．9. 一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有家订户．10. 甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个．从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有个球，乙袋中有个球（拿出时不能看）．11. 老李到办公室后，他总要完成以下事情：烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，准备茶叶和冲茶1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，问老李做好以上事情至少需要分钟时间．12. 如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流通过电流表A，问电阻器断路的可能情况共有种．13. A、B、C、D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A中奖，那么B也中奖；如果B中奖，那么C中奖或A不中奖；如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖；如果D中奖，那么A也中奖，则这四个人中，中奖的人数是人．14. 有一地球同步卫星A与地面四个科研机构B、C、D、E，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（如A不能同时给B、C发信息，它可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为．15. 某学生连续观察了n天的天气情况，观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数n= ．16. 某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在A、B、C三人之外；（2）C作案时总得有A作从犯；（3）B不会开车．在此案中能肯定的作案对象是．17. 我市教研室对2008年嘉兴市中考数学试题的选择题作了错题分析统计，受污损的下表记录了n位同学的错题分布情况：已知这n人中，平均每题有11人答错，同时第6题答错的人数恰好是第5题答错人数的1.5倍，且第2题有80%的同学答对．则第5题有人答对．18. 为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是．19. 甲、乙、丙、丁和小强五位同学单循环比赛象棋，到现在为止甲已经赛了四盘，乙赛了三盘，丙赛了二盘，丁赛了一盘，则小强赛了盘．20. 甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？”甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸答：是．二、解答题21. 有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．22. 暑假期间，小丽、小杰决定定期到敬老院打扫卫生，小丽每4天去一次，小杰每6天去一次，如果8月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，那么，他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日？23. 有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数学知识就够了．根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法．24. 推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．25. 10位小运动员，他们着装的运动服号码分别是1﹣10，能否将这10位运动员按某种顺序站成一排，使得每相邻3名运动员号码数之和都不大于15？26. 问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．27. 10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？28. 2007年9月，在中国举行了第五届女足世界杯，受到了世人瞩目．现假设某组有四个球队，分别为A，B，C，D四个足球队，在小组赛中她们进行循环比赛（即任意两队之间都要比赛一场），赛了若干场后，她们之间的比赛情况如下：29. 比赛场数胜的场数负的场数平的场数入球数失球数A队202036B队210143C队320120D队td30. A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强． A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入．”大家都没有说错，请问：进入前三强的是哪三个人？31. 我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】第29题【答案】第30题【答案】。
第3章《证明(三)》易错题集(2)
第3章《证明（三）》易错题集（2）第3章《证明（三）》易错题集（2）选择题361．（2006•杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）362．（2006•滨州）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四等于（）边形ANME363．（2006•青海）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）364．（2003•内蒙古）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位．C D．365．（2009•同安区质检）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）366．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则367．（2009•临沂一模）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形．C D．369．如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE．有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠B=∠C；④∠B=∠3．其中一定正确的结论有（）个．370．如图，在△ABC中，DE为中位线，则S△ADE：S梯形BCED等于（）．C D．371．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）372．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为（）373．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．374．（2006•柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的375．（2005•武汉）小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的376．为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形可以是（）377．一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第378．（2010•泰安）如图，E 是▱ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F ，若∠FCD=∠D ，则下列结论不成立的是（）379．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF=∠EAF ；③△ECF 是等边△；④CG ⊥AE ．380．（2011•达州）如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确的是（ ）DF． ． ． D ．382．（2008•贵阳）根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）383．（2008•达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）384．（2007•雅安）如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）385．（2007•威海）△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）386．（2007•金华）国家级历史文化名城﹣﹣金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）387．（2006•双柏县）如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（）389．（2005•襄阳）如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（）第3章《证明（三）》易错题集（2）参考答案与试题解析选择题361．（2006•杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）AC=×EF=GF=AG=×362．（2006•滨州）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四等于（）边形ANMEBCDM=BD AD S SBC=S=DM=BCBNBD=ADS，：=1363．（2006•青海）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）CE=364．（2003•内蒙古）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位．C D．，推导出第二个三角形的周长×××…×）365．（2009•同安区质检）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）366．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则的周长为（367．（2009•临沂一模）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形．C D．，，第二个中点三角形的周长是（；第二个中点三角形的周长是第一个中点三角形的第三个中点三角形的周长是第二个中点三角形的中点三角形的周长为（××××）．369．如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE．有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠B=∠C；④∠B=∠3．其中一定正确的结论有（）个．370．如图，在△ABC中，DE为中位线，则S△ADE：S梯形BCED等于（）．C D．=h=DE（h=371．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）372．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为（）AC=8cm373．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．374．（2006•柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的375．（2005•武汉）小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的376．为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形可以是（）377．一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第378．（2010•泰安）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）379．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE．380．（2011•达州）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）DF==DF．．．D．382．（2008•贵阳）根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）383．（2008•达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）384．（2007•雅安）如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）385．（2007•威海）△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）386．（2007•金华）国家级历史文化名城﹣﹣金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）387．（2006•双柏县）如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（）AC=6BD=5389．（2005•襄阳）如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（）参与本试卷答题和审题的老师有：ln_86；117173；lhf3-3；王岑；438011；py168；心若在；hnaylzhyk；lanchong；mmll852；开心；399462；bjy；星期八；haoyujun；zhehe；CJX；Linaliu；zxw；127078；张超。
12.2证明(第1、2、3课时)
12.2证明（1）教学目标：1、了解证明的含义，体验、理解证明的必要性和推理过程中要步步有据。
2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
教学重点：证明的含义和表述格式。
教学难点：按规定格式表述证明的过程。
教学内容：一、自主探究通过观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段。
通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是得出的结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证明。
1.课本147页/试一试2.课本147页/议一议二、自主合作1. 课本148页/做一做(1)当x= -5、 -1/2、0、2、3时，分别计算代数式x2-2x+2的值，并与同学交流(2)换几个数字试试，你发现了什么？2. 课本148页/数学实验室1题数学实验室2题三、自主展示1. 课本149页/练一练2.如图，BC⊥ AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD证明：∵BC⊥AC( )∴ (垂直的定义)∵ (已知)∴∠A+∠ACD=90°（）∴（同角的余角相等）又∵∠EBC=∠A（）∴∠ EBC=∠BCD，∴BE∥CD（）四、自主拓展1．证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。
证明过程的具体表述（略）注意：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内. 2.证明命题的步骤：（1）画出命题的图形。
先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。
还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。
把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。
在以上第二个五、自主评价作业布置：P154/1 、 2.教学后记：21cb a N MHG FE D C B A 12.2证明（2）教学目标：1.理解并掌握证明、定理的定义；证明的过程包括几个推理，每个推理应包括因、果2.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。
1.3《证明》(2)教案
1.3证明（2）教案课题证明（2）单元第一章学科数学年级八年级学习目标情感态度和价值观目标学生在学完证明之后，能够对数学的逻辑推理严密思维有一定的体验和感受，并利用这种思维解决更多的问题。
能力目标通过简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力和自主探究能力知识目标1．掌握三角形的内角和定理及推论，并能进行简单的运用；2．了解证明命题的格式和一般步骤．重点探索三角形内角和定理的证明难点复杂命题的证明，多个定理的运用学法自主探究教法讲授法、引导法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回忆旧知上节课我们学习了证明的概念，以及平行线性质的相关证明题。
下面来做题巩固练习。
1.如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB=AC．证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2。
（角平分线的定义）∵AE∥BC，∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C。
（两直线平行，内错角相等）∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
（等角对等边）回忆旧知，做练习引导学生回忆所学，通过对比引出新知2.证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题。
思考：这一题与上一题最大的不同在哪里？上一题已知和求证是给出的，这一题需要将文字转化为数学语言。
讲授新课画：根据题意,画出图形写：找出命题的条件和结论。
“已知”----条件，“求证”----结论.已知:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线求证：CD=AB.证：在“证明”中写出推理过程证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AD=BD=CD=DE，∴CD=AB．思考回答问题通过做题来归纳证明的步骤总结归纳证明几何命题的一般格式：思考总结及时总结归纳⑴按题意画出图形；⑵分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；⑶在“证明”中写出推理过程小试牛刀分析下列命题的条件和结论，画出图形，写出做练习做题检测巩固已知和求证1、等腰梯形的对角线相等已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．求证：AC＝BD．2、在一个三角形中，等角对等边已知:如在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，求证:AB＝AC思考总结及时小结总结归纳证明几何命题的一般步骤：⑴按题意画出图形；⑵分清命题的条件和结论，结合图形，在“已∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°总结归纳• 1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）• 2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.• 3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.总结思考让学生明白辅助线的作用以及添加方式讲授新知如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的∠ACD，这样的角叫做该三角形的外角。
相似三角形判定定理的证明 (2)
相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 【学情分析】本课时的教学内容是相似三角形的判定定理证明。
而在这之前，学生已对“平行线分线段成比例”这个基本事实熟练掌握，充分了解相似三角形的概念。
因此为即将学习相似三角形判定定理的证明打下基础。
可能会出现的问题有1、证明的思路和方法不清晰2、添加平行线的意图和作用不明确。
【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．【教学过程】情景导入 生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥B C ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页． 知识模块二 相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD.证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED.∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD.典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠AB D ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE.求证：△DBE ∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BEBD，即：BC BE ＝ABBD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC. 对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE.∴ED ＝DF ＝EF.△E DF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE ＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝ADAB.∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD·AC.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明 知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD ∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA. 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA.∴△ABD ∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________【教学反思】在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。
第三章(2)戴得金定理证明6页word
Ⅰ 戴德金定理；Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理．在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． Ⅰ⇒Ⅱ：（戴德金定理⇒单调有界数列必收敛定理）证明：设数列{n x }单调递增且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 的构造可知α不是{n x }的上界，N N +∃∈使N x α>，则N x B ∈，且为数列{n x }的上界，由数列{n x }单调递增可知，,n N ∀>均有n N x x =，从而{n x }极限存在．若B 中有最小数，不妨设为β，现在证明β即为数列{n x }的极限．事实上，β是数列{n x }的上界，且对0,εβε∀>-不属于B ，从而不是{n x }的上界，即,N N N x βε+∃∈>-使，又因为{n x }的单调性，从而：,.N n n N x x βεβ∀>-<≤<也即，数列{n x }收敛于β． Ⅰ⇒Ⅲ：（戴德金定理⇒确界原理）证明：设数集E 非空且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 构造可知α不是数集E 的上界，从而存在,E ξ∈ξα>使．即B ξ∈为E 的上界，因此sup E ξ=，数集E 的上确界存在．若B 中有最小数，不妨设为β，则对0,A εβε∀>-∈不是E 的上界．从而,E ξ∃∈ 使：βεξβ-<≤．也即sup E ξ=，E 的上确界存在．Ⅰ⇒Ⅳ：（戴德金定理⇒闭区间套定理）证明：设{[],n n a b }是递缩的闭区间列，数列{n a }的上界构成集合B ，则我们可知{1,2,n b n =}B ⊂，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空，不漏，有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，类似前面证明可知，数列{n a }自某一项之后恒为常数，从而数列{n a }的极限存在，设lim n n a c →∞=，则：lim()lim()lim()n n n n n n n b c b a a c →∞→∞→∞-=-+-000.=+= 即lim lim .n n n n a c b →∞→∞== 点c 唯一且属于所有的闭区间．若B 中有最小数，不妨设为c ，则对n N +∀∈，有：n n a c b <≤．且因lim()0.n n n b a →∞-= 可知：0lim()lim()0.n n n n n c a b a →∞→∞≤-≤-=从而lim lim .n n n n a c b →∞→∞== 点c 唯一且属于所有的闭区间．[7]Ⅰ⇒Ⅴ：（戴德金定理⇒致密性定理）证明：对任意有界数列{n x }，x R ∀∈定义()J x 为{}n J x =的子集：(){n J x x J =∈︱}.n x x ≤令{()A x R J x =∈为有限集或空集}；{()B x R J x =∈为无限集}．根据上述定义，显然可以得出/A B 是实数集R 的一个分划，由戴德金定理可知.R β∃∈ 有且仅有下列两种情况：（1）.A β∈即max .A β=，此时存在0N ，当0n N >就有n x β>，但另一方面inf B β=因此0,A εβε∀>-∈，从而有无穷多个n x 满足n x βε<+．今取：1ε=，则10,N N ∃>使11N x β<+；1/2ε=，则21,N N ∃>使21/2N x β<+；1/k ε=，则1,k k N N -∃>使1/kN x k β<+；于是得到{n x }的一个子列{k N x }，其中1/k N x k ββ<<+，这说明lim k N k x β→∞=．（2）.B β∈ 即min .B β= 这说明0,()J εβε∀>-为有限集，()J β为无限集，即(,)βεβ-内有无限多个{n x }中的点，同上可得到数列{n x }的收敛子列{k n x }且lim k n k x β→∞=．Ⅰ⇒Ⅵ：（戴德金定理⇒柯西收敛准则）证明：类似上述讨论，数列{n x }有收敛子列{k n x }，即对0,,.K N k K ε+∀>∃∈∀> 均有：/2.k n x βε-<又因为{n x }为柯西列，对上述0,,,.N N n N m N ε+>∃∈∀>> 有：/2.m n x x ε-<因而取0max{1,1}K N K =++，则011k N n n N N +≥≥+>，从而对上述0,.n N ε>∀> 有：k k n n n n x x x x ββ-≤-+-/2/2.εεε<+= 即lim n n x β→∞=．数列{n x }收敛．Ⅰ⇒ Ⅶ：（戴德金定理⇒有限覆盖定理）证明：假设闭区间[],a b 被开区间集E 所覆盖，若闭区间[],a b 没有被开区间集E 有限覆盖，则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间没有被有限覆盖，记为[]11,a b ，依此类推，得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，根据戴德金定理推出闭区间套定理的结果可知，有唯一的一个点c 属于所有的闭区间，又因为闭区间[],a b 被开区间集E 所覆盖，则对点c 的某一邻域(,)c δ⋃必存在E 中一个区间i ∆，使得(,)i c δ⋃⊂∆，又当n 充分大时有[],(,)n n i a b c δ⊂⋃⊂∆，即[],n n a b 被区间i ∆所覆盖，这与{[],n n a b }的取法矛盾．Ⅱ⇒Ⅰ：（单调有界数列必收敛定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值 事实上，我们可作严格递缩的闭区间列{[],n n a b }，其中：,,1,2,3,n n a A b B n ∈∈=则由分划/A B 的构造可知数列{n a }单调递增且有上界，{n b }单调递减且有下界，根据单调有界数列必收敛定理，数列{n a }，{n b }的极限均存在，可设lim .n n a ξ→∞= lim .n n b η→∞= 则：0lim()0.n n n b a ηξ→∞≤-≤-=即.ηξ= 若ξA ∈，因A 中没有最大值，则0x A ∃∈使0x ξ>，又l i m.n n b ηξ→∞== 则显然对0,,N N n N ε+∀>∃∈∀>，有：n b ξεξε-<<+，即n b ξε>-．因而0n x b ε>-，由ε的任意性，可知0n b x B ≤∈，这与/A B 为实数集R 的分划相矛盾．因而ξB ∈，且对任意的n b B ∈均有n b ξ≤，ξ为B 的最小数． Ⅲ⇒Ⅰ：（确界原理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，A 非空且有上界，从而其上确界存在，不妨设sup A ξ=，A ξ∉，否则A 中有最大数ξ，与假设矛盾．从而ξB ∈且为B 的最小值，因为若存在ηB ∈且ηξ<，则因为ξ为A 上确界，对02ξηε-=>必有ζA ∈，使得22ξηξηζξεξη-+>-=-=>，因而我们有ζB ∈，矛盾．也即B 中有最小值．Ⅳ⇒Ⅰ：（闭区间套定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,,,a b a A b B ∈∈ 则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中元素，又含有B 中元素，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，则由闭区间套定理，有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间，因为A 中无最大值，又因为数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值．否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅴ⇒Ⅰ：（致密性定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,a A b B ∈∈ 则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中点，又含有B 中点，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，则因为数列{n a }有界，从而数列{n a }有收敛子列{k n a }，不妨假设lim k n k a ξ→∞=，即对0,,K N k K ε+∀>∃∈∀>，均有：/2.k n a ξε-<又因为数列{n x }单调递增，对,K n n ∀> 均有12,,k K k K >> 使得：12k k n n n <<，12.k k n n n a a a ≤≤即12.k k n n n a a a εξξξε-<-≤-≤-< 从而数列{n a }收敛于点ξ．即l i m n n a ξ→∞=，又因为：lim lim()lim .n n n n n n n b b a a ξ→∞→∞→∞=-+= 即有唯一的一个点属于所有的闭区间．因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅵ⇒Ⅰ：（柯西收敛准则⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,,,a b a A b B ∈∈则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中元素，又含有B 中元素，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，构造新数列{n x }={1122,,,,a b a b ,,,n n a b }，由lim()0n n n b a →∞-=且数列{n a }单调递增数列{n b }单调递减显然可知数列{n x }为柯西列，从而数列{n x }收敛，不妨设lim n n x ξ→∞=，则其子列{n a }，{n b }均收敛，且可得：lim lim .n n n n b a ξ→∞→∞== 因而有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间，因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅵ⇒Ⅰ：（柯西收敛准则⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,,,a b a A b B ∈∈则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中元素，又含有B 中元素，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，构造新数列{n x }={1122,,,,a b a b ,,,n n a b }，由lim()0n n n b a →∞-=且数列{n a }单调递增数列{n b }单调递减显然可知数列{n x }为柯西列，从而数列{n x }收敛，不妨设lim n n x ξ→∞=，则其子列{n a }，{n b }均收敛，且可得：lim lim .n n n n b a ξ→∞→∞== 因而有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间，因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅶ⇒Ⅰ：（有限覆盖定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,a A b B ∈∈则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中点，又含有B 中点，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，令()111,1E a b =-+，[],n n n I a b =，如果[]1,n n n a b ∞=是空集，则有开区间集,1,2,n E I n -=,n ,覆盖了闭区间[]11,a b ，从而由有限覆盖定理可知有有限个开区间设为12,,n n E I E I --,k n E I -覆盖了闭区间[]11,a b ，从而我们可以得到闭区间[]()()1111,1,,1kkn n a b a a bb ⊂-+，这显然与闭区间列{[],n n a b }的构造相矛盾．又因为lim()0n n n b a →∞-=，从而有且仅有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间[],n n a b ．因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂-这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证．。
第2讲 数学证明(教师版)
第2讲 数学证明方法基础知识自主梳理一．直接证明方法1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过演绎推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．二．间接证明方法1．反证法：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论． 难点疑点清零1.综合法与分析法（1）综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．（2）分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．(3)综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．(4)分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．(5)分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.2．反证法（1）证明的基本步骤是：1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)（2）反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的． 题型探究探究点一：综合法证题例1：在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ①，由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π②，由①②，得B ＝π3③，由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ④，由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C ⑤。
11.3证明(2)
探索新知
已知：如图，直线AB、CD被 直线EF所截，AB∥CD. 求证：∠1=∠2.
E 3
证明：因为AB∥CD（已知）， 所以∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）。 因为∠1=∠3 （对顶角相等）， 所以 ∠1=∠2 （等量代换）。
A
1 2
B
C F
D
注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 检查表达过程是否正确,完善
课堂练习
课本P137练习第1、2题
小结与思考
（1）回顾我们这两节课的数学活动，你有哪 些收获？
（2）这两节课我们初步体验了数学证明的思路， 并从基本事实出发证明得到了有关平行线的定 理等。依据基本事实你还能证明哪些熟悉的结 论？
初中数学八年级下册 （苏科版）
11.3 证明（2）
回顾与思考
1.我们曾探索是如何证明“同旁内角互补,两直线平 行”的?
3.从基本事实“两直线平行，同位角相等”可 以证明那些结论？
探索新知
从基本事实“两直线平行，同位角相等”出 发，如何证明“两直线平行，内错角相等”？ 1.画出图形，并根据图形写出已知、求证； 2.说出你的证题思路； 3.完成证明，并与同学交流.
例2. 已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°. 求证：∠2=130°。
1 5 2
4 3
c
d
分析：思考方法一： c∥d→∠3+∠5=180°,→∠1+∠2=180°→∠2=130°. 思考方法二： ∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°,∠2=130°. 请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.
探索新知
结论：
定理：两直线平行，内错角相等.
例题讲解
九年级上册第三章《证明(三)》3.2.2菱形与正方形
九年级上册第三章《证明（三）》3.2.2特殊平行四边形—菱形和正方形【学习目标】1．理解并掌握菱形及正方形性质、判定定理，并应用定理来解决问题；2．在合作交流中体验定理的证明过程，融合解题的技巧。
【学习过程】一、自主探究及巩固：菱形的定义：探究1：菱形都有哪些性质，你能证明吗？菱形的性质定理：性质1：性质2：性质3：性质4：对称性：【自我巩固与积累】1．如图1，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD 的周长为__________2．如图2，菱形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AB=5㎝，AO=4㎝，则BD=__________㎝。
3．如图3，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．18 C．16 D．15【感悟与积累】（1）由于菱形的四边相等，对角线互相垂直且平分对角，所以，有关计算通常要用到勾股定理或含30°角的直角三角形中线段之间的数量关系，在学习时应加以熟练。
（2）由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积等于两条对角戏乘积的一半，请务必记住并加以推广到：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角戏乘积的一半。
探究2：如何判断一个平行四边形（四边形）是菱形？你能证明吗？菱形的判定定理：判定1：判定2：判定3：【自我巩固与积累2】4．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形，如：①②⑤⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：______⇒ABCD是菱形；______ ABCD是菱形。
5．如图4，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是_____________。
证明三例题分析2
证明三例题分析1 专题2：提高作图分析能力例1：一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为 （ ） A ︒30 B ︒45 C ︒60 D ︒75例2：在直角三角形ABC 中，∠ACB =︒90，∠A =︒30，AC =cm 3，则AB 边上的中线长为 （ ）A cm 1B cm 2C cm 5.1 Dcm 3例3：等边三角形的一边上的高线长为cm 32，那么这个等边三角形的中位线长为 （ ） A cm 3 B cm 5.2 C cm 2 D cm 4例4：已知菱形的周长为cm 40，一条对角线长为cm 16，则这个菱形的面积是 ； 例5：在Rt ⊿ABC 中，∠C =︒90，周长为cm )325(+；:斜边上的中线CD =cm 2，则Rt ⊿ABC 的面积为 ；例6：已知菱形ABCD 的周长为cm 20；，对角线AC + BD =cm 14，求AC 、BD 的长； 例7、（2010湖北孝感）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .拓展练习题1、下列判定正确的是 （ ） A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B 两角相等的四边形是等腰梯形 C 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D 两条地对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（ ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形3．直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ）A 相等B 不相等C 可能相等也可能不相等D 互相垂直4．已知菱形的周长为cm 40，一条对角线长为cm 16，则这个菱形的面积为 ； 5．⊿ABC 中，AB = AC =13，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，则D 点到AB 的距离为 ；6．在⊿ABC 中，∠C =︒90，周长为cm )325(+，斜边上的中线CD =cm 2，则Rt ⊿ABC 的面积为 ；7、（2010年遵义）下列命题中，真命题是 （ ）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形8．（2011江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 9、（2010山东青岛市）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 .cm 2．10、（2009年江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度．11、（2011年江西）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案.设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是 .12、如图，在⊿ABC 中，∠BAC =︒90，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFG 是菱形；ABC F E'A（'B ） D1ABCxyABDCEFG。
苏科版12.2证明(2)(3)教案
怀文中学2012—2013学年度第二学期教学设计初一数学(12.2证明3)主备：叶兴农审校：陈秀珍日期：2013年5月16日教学目标：1．能从基本事实出发证实曾探索得到的三角形内角和定理及推论的结论的正确性，并能简单应用这些结论；初步养成推理习惯，发展初步的演绎推理能力2．培养学生热爱数学，独立思考、勇于创新的学习精神，形成良好的个性品质教学重点：利用基本事实与定理证明有关三角形方面的定理。
教学难点：辅助线的的添加。
一、自主学习情景导入：1.有关平行线方面有什么基本事实与定理？2.三角形三个内角的和等于多少度？3.你是如何知道的？4.这个结论正确吗？二、合作、探究、展示1.如何证明“三角形三个内角的和等于180°”这个结论？已知：△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：如图，画△ABC 的边BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB。
∵CE∥AB（辅助线画法）∴∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）还有别的方法吗，给学生介绍其它方法，并进行概括证明本题的关键是什么？添加平行线转移角。
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
关于辅助线：1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线（辅助线通常画成虚线）2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要，平时做题时要注意总结.三角形的一个外角与三角形内角的有怎样的数量关系？由三角形内角和定理，可以推出：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.阅读课本完成书上例2例：已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°Array求证：∠2=130°分析：思考方法一：c∥d→∠3+∠5=180°→∠1+∠2=180°→∠2=130°思考方法二：∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°∠2=130°三、巩固提高：1.做书上练一练以下各题先画出相关的图形，并根据所画图形写出已知、求证，并进行证明。
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
2
a b 2 ab 2ab;
2
1 a b (a b) 2 , (a b) 2 4ab; 2
ab 2 ab （a>0，b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2( ab 0). a b a b
1 x 2 x
1 1 综上所述： x 2 或 x 2 x x
由例1可得一个重要的不等式：
x
由因导果
1 2 ( x 0) x
例2.已知
a, b, c 是不全相等的正数,求证
a(b 2ห้องสมุดไป่ตู้ c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
证明： xy 0, 1 xy 2 xy y x 2 x y
1 y x xy 4 xy x y
当且仅当x=y时等号成立.
a b 2. 已知 a b 0, 0 c d , 求证： c d
证明： a b, c 0, a b (1) c c 又 0 c d, b 0
loga (a 1) loga (a 1) 1
例4已知a1, a 2,...a n R , 且a1a 2...a n 1，求证 （ 1 a1 （ 1 a 2）（ 1 a n） 2 . ）
n
1 y x 练习：1.已知xy 0, 求证：xy 4 xy x y
1 1 ，b 0 c d
b b c d
(2)
a b 由(1)(2) 可知 c d
3 . 已知a>0，b>0，c>0，且 a+b+c=1，求证：
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1 BE BD. 2 1 BE AC. 2
由此可得推论:直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半.
推论(直角三角形性质):直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半.A NhomakorabeaD C B
在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD, 1 CD AB. 2
直角三角形的判定
猜一猜，也许你正确
有位农场主有一大片土地，其形状是一个平行四边 形，他的曾祖父打了一口井，位于图上的O点，农场 主临死之前留下遗嘱，把两块三角形的田地（即图上 的△AOB和△COD）给大儿子，剩下的全部给小儿子， 至于这口井呢，作为两家公用，由于平行四边形两边 长不同，所以遗嘱公布之后，亲 友们七嘴八舌，议论纷 纷，也有人埋怨老头子 有偏袒之心，你认为分 配公正吗？
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且 AP和BP分别分别平分∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少? △APB的面 D P 积是多少? C
A
Q
B
证明三 平行四边形 一、知识回顾： 1、n边形的内角和是 ，外角和 是 . 2、从n边形的一个顶点可以引出 条对角 线；n边形对角线的总条数为 顶点引出的对角线把n边形分成 形． 条;n边形的每个 个三角
3、三角形中位线定理：三角形的中位线
第三边，且等于 .
4、平行四边形是
对称图形．
对称图形而不是
四边形之间的关系
矩形 平行四边形 正方形 菱形 四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
直角三角形的性质
议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE 是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段? BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线. 它与AC有什么大小关系?为什么? BE等于AC的一半. ∵ AC=BD,BE=DE,
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半,那么这个三角形是直角三角形. 1 已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 CD AB. 求证:△ABC是直角三角形 ∵ AD=BD,CD=ED, ∴四边形ACBE是平行四边形.
2
A C
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
D
E B
∵AB=2CD,CE=2CD, ∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形.
如图,四边形ABCD四边的中点分别为 E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?
你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?
A H D E B
平行四 边形
G
矩 形
F C
正方形
菱形