南京大学理论力学期末考试样题

南京大学2010—2011学年第一学期《理论力学》期末考试A卷（闭卷）
院系年级学号姓名
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
共五道题，满分100分。各题分数标在题前，解题时写出必要的计算步骤。
一、（19分）如图所示，三根弹簧连结两个质量为m的质点于距离为4a的两面固定的墙内，各弹簧的质量可以忽略，其弹性系数与自然长度已由下图标出。求解该系统作水平方向小幅振动时的运动情形，并找出其简正模式和简正频率。
（1）以 为广义坐标，其中 ，写出负电荷的拉格朗日函数；
（2）写出 对应的广义动量和负电荷的哈密顿函数；
（3）根据（2）的结果，写出描述负电荷运动的关于哈密顿特征函数的哈密顿-雅可比方程，并用分离变量的方法求解哈密顿特征函数（写出积分式即可）。
（1）证明变换 为正则变换，并求出生成函数 ，其中 为虚数单位；
（2）用变换后的正则变量 求解该简谐振子的运动。
五、（21分）质量为m的带负电-e的点电荷置于光滑水平面（x-y平面）上，它受到两个均带正电+e且分别固定于x=-c,y=0和x=c,y=0的点电荷的吸引，其势能为 ，其中 和 分别为负电荷到两个正电荷之间的距离，如图所示。
二、（20分）质量为m,长为a,宽为b的长方形匀质薄板绕其对角线作匀速转动，角速度为 。用欧拉动力学方程求薄板所受到的力矩（提示：采用主轴坐标系）。
三、（20分）一力学系统的哈密顿函数为 ，其中 为常数，请证明该系统有wenku.baidu.com动积分 ，这里t表示时间。
四、（20分）考虑一维简谐振子，其哈密顿函数为 ， 为质量， 为固有频率：