高一数学下学期综合试题及答案
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题含解析
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113a =，312S S =，则8a 的值为（ ） A ．137-B ．0C ．137D ．1822．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －6＝03．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（ ）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．tan15tan75︒+︒=（ ） A ．4B ．23C ．1D ．26．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，则m 的值为（ ） A ． 3B ．34-C ．2D ．3-8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．23πB ．2πC ．3πD ．π10．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 830405070根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学下期试题及答案
高一数学下期试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，下列哪个值是函数的最小值？A. 0B. 1C. 3D. 42. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}3. 已知等差数列的前三项依次为3，5，7，则该数列的第五项为：A. 9B. 11C. 13D. 154. 函数y=x^3-3x^2+3x+1的导数为：A. 3x^2-6x+3B. x^2-6x+3C. 3x^2-3x+1D. x^2-3x+15. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标是：A. (0,1)B. (-1,0)C. (1,0)D. (0,-1)6. 已知复数z满足|z|=1，且z^2=i，则z的值为：A. 1B. -1C. iD. -i7. 函数y=x/(x^2+1)的值域是：A. (-1,1)B. (-∞,-1]∪[1,+∞)C. (-∞,0]∪[0,+∞)D. (-1,0)∪(0,1)8. 圆x^2+y^2=25的圆心坐标是：A. (0,0)B. (5,0)C. (-5,0)D. (0,5)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f(a)=0，则a的值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值是：A. 1B. 2C. 5D. 6二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标为______。
12. 已知等比数列的前三项依次为2，4，8，则该数列的公比为______。
13. 圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，其半径为______。
14. 函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为______。
15. 已知向量a=(3,-4)，向量b=(2,k)，若a⊥b，则k的值为______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 解方程：2x^2-5x+2=0。
2023—2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学试题及答案
O M N Pxy2023～2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学注意事项:1.答卷前,考生务必要填涂答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．−=i 25i( ) A ．−−12iB ．−+12iC ．−12iD ．+12i2．已知=αtan 2,则=αtan 2( )A ．−34 B ．34 C ．−43 D ．43 3．已知向量a ,b 不共线,若a b a b +−k 2//)()(,则=k ( )A ．−2B ．−21 C ．21 D ．24．已知两条不同的直线m ,n 和三个不同的平面α,β,γ,下列判断正确的是( )A ．若⊂αm ,n m //,则αn //B ．若⊂αm ,⊂βn ,βm //,αn //,则αβ//C ．若⊥αγ,⊥βγ,m αβ=,则m ⊥γD ．若n αβ=,⊥m n ,⊂βm ,则⊥αβ5．已知四边形ABCD 中,(2,1AC =−),(2,4BD =),则四边形ABCD 的面积为( )A ．3B ．5C ．6D ．106．已知函数=+ωϕf x A x sin )()((其中>A 0,>ω0,2<πϕ)的部分图象如图所示,点M ,N 是函数 图象与x 轴的交点,点P 是函数图象的最高点,且∆PMN 是边长为2的正三角形,=ON OM 3,则⎝⎭⎪=⎛⎫f 31( )A ．23 B ．+4322C ．−4326D ．+43262024 . 77．某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩,并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分,由于记录员的疏忽把人数弄丢了,则据此可确定的是( )A ．这部分同学是高分人数多还是低分人数多B ．这部分同学是男生多还是女生多C ．这部分同学的总人数D ．全年级是男生多还是女生多8．已知正四棱台ABCD A B C D −1111,AB =2,半球的球心O 在底面A B C D 1111的中心,且半球与该棱台的各棱均相切,则半球的表面积为( )A ．π9B ．π18C ．π27D ．π36二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 关于复数33=+ππz cosisin (i 为虚数单位),下列说法正确的是( ) A . ⋅=z z 1 B .z 在复平面内对应的点位于第二象限 C . =z 13D . −+=z z 10210.四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果,可能出现点数6的是( )A ．平均数为3,中位数为2B ．中位数为3,众数为2C ．平均数为2,方差为2.4D ．中位数为3,方差为2.8 11.如图,在三棱锥P DEF −中,==PE PF 1,=PD 2,==DE DF=EF 点Q 是DF 上一动点,则( ) A ．过PE 、PF 、DE 、DFB ．直线PE 与平面DEF 所成角的正弦值为32C ．∆PEQD ．将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题对一空得3分,全对得5分. 12.已知a b ⋅=−1,b =1,2)(,则a 在b 上的投影向量为 ． 13.已知⎝⎭⎪+=⎛⎫θθ44cos cos2π,则=θsin 2 ． 14.已知∆ABC 是边长为2的正三角形,点D 在平面ABC 内且0DA DB ⋅=,则DA DC ⋅的最大值为 ,最小值为 ．H.RQPDCBA四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.( 13分)某学校高一新生体检,校医室为了解新生的身高情况,随机抽取了100名同学的身高数据(单位:cm ),制作成频率分布直方图如图所示．(1) 求这100名同学的平均身高的估计值(同一组数据用区间中点值作为代表)；(2) 用分层抽样的方法从165,170)[,170,175)[,175,180)[中抽出一个容量为17的样本,如果样本按比例分配,则各区间应抽取多少人？(3) 估计这100名同学身高的上四分位数．0.010.020.04x0.07/cm身高160 165 170 175 180 18516.( 15分)在非直角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足=−a c B b C 2cos cos ． (1) 求证:=C B tan 2tan ；(2) 若=A tan 3,=a 3,求∆ABC 的面积．17.( 15分)如图,已知多面体PQRABCD 中,四边形ABCD 、PABQ 、PADR 均为正方形,点H 是∆CQR 的垂心,=PA 1．(1) 证明:H 是点A 在平面CQR 上的射影； (2) 求多面体PQRABCD 的体积．频率组距PQM1A 1B 1C CBA OCBADMN18.( 17分)如图,在扇形OMN 中,半径=OM 2,圆心角∠=MON 3π,矩形ABCD 内接于该扇形,其中点A ,B 分别在半径OM 和ON 上,点C ,D 在 上,AB MN //,记矩形ABCD 的面积为S .(1) 当点A ,B 分别为半径OM 和ON 的中点时,求S 的值；(2) 设∠=θDOM (<<θ60π),当θ为何值时,S 取得最大值,并求此时S 的最大值.19.( 17分)如图,在直三棱柱−ABC A B C 111中,⊥AB BC ,==AB AA 31,=BC 1,P 是BC 1上一动点,BP BC λ=1(<<λ01),M 是CC 1的中点,Q 是AM 的中点．(1) 当=λ41时,证明:PQ //平面ABC ； (2) 在答．题卡．．的题(2)图中作出平面AB P 1与平面ACC A 11的交线(保留作图痕迹,无需证明)； (3) 是否存在λ,使得平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的余弦值为414？若存在求满足条件的λ值,若不存在则说明理由．2023~2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学 参考答案与评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABCBDBC二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ADABDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题对一空得3分,全对得5分.12. ⎝⎭ ⎪−−⎛⎫55,12(或写成b −51) 13. 1 14. 3 , −1 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)由图可知⨯++++=x 50.010.070.040.021)(,得x =0.06.…………………………2分 平均身高的估计值为:⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯182.50.025162.50.015167.50.075172.50.065177.50.045=172.25cm .………………………………………………………………………………………………6分(2)165,170)[,170,175)[,175,180)[各区间人数分别为：⨯⨯=1000.07535,⨯⨯=1000.06530,⨯⨯=1000.04520．所以相应抽取的人数分别为：++⨯=35302017735,++⨯=35302017630,++⨯=35302017420．………………………………9分 (3)上四分位数即75%分位数． …………………………………………………………………………10分 身高在180,185)[的人数占比⨯=50.0210%,在175,180)[的人数占比⨯=50.0420%,所以75%分位数在175,180)[内．…………………………………………………………………………11分 设上四分位数为a ,则a ⨯−+⨯=−0.04(180)0.025175%． ………………………………………12分 解得=a 176.25,即估计这100名同学身高的上四分位数为176.25. ………………………………13分 16.【解析】(1)由−=c B b C a 2cos cos 及正弦定理可得−=C B B C A 2sin cos sin cos sin ,………2分 又=+=+A B C B C B C sin sin()sin cos cos sin ,所以−=+C B B C B C B C 2sin cos sin cos sin cos cos sin ,整理得=C B B C sin cos 2sin cos ,………………………………………………………………………4分 因为∆ABC 不是直角三角形,所以≠B cos 0,≠C cos 0,两边同时除以B C cos cos ,得=C B tan 2tan ．…………………………………………………………………………………………6分(2)由−−=−+=−=−=+B C BA B C B C B 1tan tan 12tan tan tan()3tan tan 3tan 2,整理得−−=B B 2tan tan 102, 所以+−=B B (2tan 1)(tan 1)0,解得=−B 2tan 1或1, ………………………………………………8分若=−B 2tan 1,则==−C B tan 2tan 1,此时B ,C 均为钝角,不符合题意,故舍去,所以=B tan 1,…9分.HOMRQPD CBA ==CB tan 2tan 2,此时=A 10sin 310,=B 2sin 2,=C 5sin 25, ……………………………11分 由正弦定理====B C A b c a 10310sin sin sin 103,可得==b B 10sin 5,==c C 10sin 22, ……………………………………………………13分所以∆ABC 的面积△==⨯⨯⨯=S bc A ABC 2210sin 522311310．………………………………15分 17.【解析】(1)连接CH ,并延长交QR 于M ,所以QR CM ⊥． ………………………………………1分由已知易得四边形BDRQ 为矩形,所以BD QR //．……………………………………………………3分BD AC ⊥,所以QR AC ⊥且=AC CM C ,所以QR ⊥平面ACM ．……………………………5分AH ⊂平面ACM ,所以⊥QR AH ．…………………………………6分同理⊥QC AH ． ………………………………………………………7分 又=QRQC Q ,所以AH ⊥平面CQR ． …………………………8分所以H 是点A 在平面CQR 上的射影．……………………9分 (2)设=ACBD O ,由题意可知BQ ⊥平面ABCD ,所以BQ 是棱柱PQR ABC −的高,且BQ OC ⊥,又由(1)知OC BD ⊥,所以OC ⊥平面QBDR , 所以OC 是棱锥C QBDR −的高．………………………………………………………………………11分 V V V PQR ABD C QBDR =+−−．…………………………………………………………………………………12分 △=⋅=−V S BQ PQR ABD ABD 21．……………………………………………………………………………13分 =⋅=⋅⋅=−V S OC C QBDR QBDR 332321121．……………………………………………………………14分所以多面体PQRABCD 的体积=+=V 236115．………………………………………………………15分18.【解析】(1)当点A ,B 分别为半径OM 和ON 的中点时,===CD AB OA 1,取CD 中点F ,连接OF ,且OF 与AB 交于点G ,则=−=−=OF OD DF 42411522, …………………………………2分 ==OG OA 2233,………………………………………………………………………………………4分 则=−=−FG OF OG 2153,…………………………………………………………………………6分 此时矩形ABCD 的面积=⋅=−S AB FG 2153．……………………………………………………7分 (2)解法一：过点D 作⊥DE OM ,垂足为E ,则=θDE 2sin ,=θOE 2cos , ……………………8分在△ADE Rt 中,∠=DAE 6π,==θAD DE 24sin , …………………………………………………9分==θAE DE 323sin ,………………………………………………………………………………10分 ==−=−θθAB OA OE AE 2cos 23sin , …………………………………………………………11分AOM NBCDE FG 矩形ABCD 的面积=⋅=−⋅=−θθθθθθS AB AD (2cos 23sin )4sin 8sin cos 83sin 2 …13分⎝⎭ ⎪=−⨯=+−=+−⎛⎫−θθθθθ234sin 2834sin 243cos 2438sin 243π1cos 2, …………15分 当+=θ322ππ,即=θ12π时,矩形ABCD 的面积S 最大,最大值为−843．………………………17分 解法二：若⎝⎭ ⎪∠=<<⎛⎫θθDOM 60π,设∠=αDOF , 则=−αθ6π,=⋅∠=αDF OD DOF sin 2sin ,…………………8分 =⋅∠=αOF OD DOF cos 2cos ,===αOG AG DF 3323sin , ……………………………9分所以=−=−ααFG OF OG 2cos 23sin , …………………10分==αAB DF 24sin ．……………………………………………………………………………………13分 ⎝⎭ ⎪=−⨯=+−=+−⎛⎫−ααααα234sin 2834sin 243cos 2438sin 243π1cos 2,…………15分 当+=α322ππ,即=α12π,即=θ12π时,矩形ABCD 的面积S 最大,最大值为−843． ………17分 19.【解析】(1)过P Q 、分别作⊥PK BC ,⊥QN AC 则PK CC //1且=PK CC 411,QN CM //且==QN CM CC 24111．……………………………………………………………………………………2分所以PK QN //且PK QN =,所以四边形PKNQ 是平行四边形．……………………………………3分从而PQ KN //,又KN ⊂平面ABC ,PQ ⊄平面ABC ,所以PQ //平面ABC ．…………………5分 (2)如图,在平面ACC A 11内,延长B P CC 、11交于D ,连接AD ,则AD 为平面AB P 1与平面ACC A 11的交线．……………………………………………………………8分BB 1P EKNPQM1A 1B 1C CAGHD 1A 1C CA(3)过B 1作B H A C ⊥111,垂足为H ,过H 作HG AD ⊥,垂足为G ,连接B G 1,……………………9分 因为三棱柱−ABC A B C 111是直三棱柱,所以⊥CC 1平面A B C 111, 又⊂B H 1平面A B C 111,∴⊥CC B H 11,又B H A C ⊥111,1111A C CC C =,∴⊥B H 1平面ACC A 11,又⊂AD 平面ACC A 11,∴⊥B H AD 1,又HG AD ⊥,B HHG H =1,∴⊥AD 平面B HG 1,又⊂B G 1平面B HG 1,∴⊥AD B G 1,所以B GH ∠1为平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的平面角．…………………………………10分假设存在满足条件的λ,即B GH ∠=4cos 141, 由已知可求得BC =21,所以BP =λ2,−−===λλλλB C PC BE BP 2212111, 所以−−=−=−=−λλλλB C B C EC BE 1111121111,又−==−λλDC B C DC EC 112111, −−−−∴===−−λλλλλCC CC DC DC DC 1(12)121211,所以DC =−λλ3(12),…………………………12分所以△=−λλS ACD 3(12),形梯=S HACC 4531,△=−λλS DHC 43(1)1,形梯△△△=+−=−λλS S S S HACC ADH ACD DHC 43(32)11,…………………………………………………13分=+=−+λλλAD AC CD 16123222, ……………………………………………………………14分△=⋅⋅S AD HG ADH 21,故△−+==−λλλAD HG S ADH 2161233(32)22． …………………………………15分 由B GH ∠=4cos 141得HGB GH B H ∠==7tan 711,又B H =231,所以−+−=λλλ2161233(32)72732．………………………………………………………16分 解得=λ31,即存在=λ31使得平面AB P 1与平面ACC A 11所成二面角的余弦值为414． ………17分。
高一数学函数综合试题答案及解析
高一数学函数综合试题答案及解析1.定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则= ．【答案】.【解析】记，，于是构造函数，则当时，；当或时，所以.即为所求.【考点】函数的最值及其几何意义.2.设，那么（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察题意所给的递推式特征可知：，所以，故选B.【考点】数列的递推公式.3.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.4.方程在区间内的所有实根之和为 .（符号表示不超过的最大整数）.【答案】2.【解析】设，当时，；当时，；当时，；当时，；即；令，得；令，得；的所有根为0,2，之和为2.【考点】新定义题、函数图像的交点.5.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，又∵，，∴，又∵，根据二次函数的相关知识，可知当，时，，综上所述，要使不等式对于任意的恒成立，实数的取值范围是.【考点】1.函数求最值；2.恒成立问题的处理方法.6.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】,故①正确；根据定义域,,所以,所以也是奇函数;故②不正确；仅是定义域变了，值域没有改变；故③不正确；是关于对称轴对称的图像，所以与其交点个数只能是偶数个，不可能是1.故④正确.【考点】1.方程根与系数的关系；2.函数奇偶性；3.抽象函数；4.函数图像.7.已知函数,则下列说法中正确的是（）A．若，则恒成立B．若恒成立，则C．若，则关于的方程有解D．若关于的方程有解，则【答案】D.【解析】绝对值不等式，当时，则，此时，所以A错误；当恒成立时，有，此时假设，则由绝对值不等式可知恒成立，此时与恒成立矛盾，再结合对A选项的分析，可知，所以B选项错误；当时，则，此时，方程，左边是正数，右边是负数，无解，所以C错误；对于D，当关于的方程有解时，由上述C选项的分析可知不可能小于0，当时，，也不满足有解，所以，此时由有解，可得，所以，所以，选项D正确，故选D.【考点】函数与绝对值不等式.8.如果二次函数不存在零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵二次函数不存在零点，二次函数图象向上，∴，可得，解得，故选D．【考点】1、函数零点；2、函数与方程的关系．9.已知函数是定义在上的奇函数，当时的解析式为.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）求函数的零点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）零点为【解析】（Ⅰ）先利用奇函数的性质求时的解析式，再求时的解析式，最后写出解析式. 本小题的关键点：（1）如何借助于奇函数的性质求时的解析式；（2）不能漏掉时的解析式.（Ⅱ）首先利用求零点的方法：即f（x）=0，然后解方程，同时注意限制范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数是奇函数，且当时，，当时，， 2分又的定义域为，当时， 2分综上可得， 2分（Ⅱ）当时，令，即，解得，(舍去) 2分当时，， 1分当时，令，即，解得，(舍去) 2分综上可得，函数的零点为 1分【考点】1、奇函数的性质；2、求方程的零点.10.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为函数的定义域为大于零的实数。
高一数学高中数学综合库试题答案及解析
高一数学高中数学综合库试题答案及解析1.编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.【答案】先写出算法，画出程序框图，再进行编程．程序框图：程序：【解析】略2.要得到函数y=sin2x的图象，只需将y=sin(2x+)的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】根据相位平移的法则易知将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度可得函数y=sin2x 的图象，故选B3.若，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略4.设、满足约束条件，则的最大值是【答案】5【解析】略5.若，则点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】略6.若函数同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数．则的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略7.下列各组函数中，表同一函数的是（）A 和B 和C 和D =和【答案】D【解析】略8.求值：= .【答案】-4【解析】略9.已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大的正整数是A．4或5 B．5或6 C．6或7 D不存在【答案】C【解析】略10.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，则该函数的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】略11.下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的是A．c > x B．x > c C．c > b D．b > c【答案】A【解析】略12.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为 .【答案】【解析】略13.数据5，7，7，8，10，11的标准差是A．8B．4C．2D．1【答案】C【解析】略14.函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是___【答案】【解析】略15.已知直线和平面．给定下列四个命题：①若∥，，那么∥；②若，且，则；③若，且，则；④若，且∥，∥，则∥．其中真命题的序号是A．①②B．①C．①④D．③【答案】B【解析】略16.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是A．B．C．D．【答案】C【解析】略17.（本大题满分10分）已知的顶点坐标分别为A（-1，1），B（2，7），C（-4，5）。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
高一数学下学期综合试题及答案
高一数学下学期数学试卷一、选择题（单项选择，每小题5分，共60分） 1．(-11400)的值是（ ）A21 B 21- C 23 D 23-2．已知b a ,为单位向量，则下列正确的是（ ）A 0=-b aB b a b a 22==+C 0||||=-b aD 1=⋅b a 3．设)33,24(),2,1(+=+=k b k a ，若b a 与共线，则k 等于( ) A 3 B 0 C -5 D 3或-5 4．的值是)55sin()35sin()55cos()35cos(0x x x x -+--+（ ） A 0 B -1 C 1± D 1 5．函数x y 2sin 32+=的最小正周期是（ ）A π4B π2C πD 2π6．有以下结论：（1）若c a b a ⋅=⋅,且0≠a ，则;c b =（2）;0),(),(21212221=+==y y x x y x b x x a 垂直的充要条件是与（3）;2)(||2b a b a b a ⋅-+=+ （4）函数102lg -=x y 的图象可由函数x y lg =的图象按向量)1,2(-=a 平移而得到。
其中错误的结论是（ ） A （1）（2） B （3）（4） C （1）（3） D （2）（4） 7．三角形中，,2||,1||||===AB BC AC 则CA CB BC AB ⋅+⋅的值是（ ）A 1B -1C 0D 28．已知=（-2，-3）、ON ＝（1，1），点)21(，x P 在线段的中垂线上，则x 等于（ ）．A ．25-B ．23-C ．27- D ．3- 9．在三角形中，02cos 2cos <-B A 是<0的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件)(0,,1||,2||.10的取值范围是，则且角，是某锐角三角形的最大的夹角与若已知λλθλλ<-+⊥==b a b a b a b a A 02<<-λ B2-<λ C 3322-≤<-λ D 0332<≤-λ 11．在三角形中，已知,10,4:3:2sin :sin :sin =+=b a C B A 且则向量在向量的投影是（ ）A 7B 6C 5D 412．把函数x x y sin cos 3-=的图象向右平移a 个单位，所得图象关于y 轴对称，则a 的最大负值是( ) A 6π-B 3π-C 32π-D 65π- 二、填空题（每小题6分，共24分）13．=-=a a a 2tan ,54cos 是第三象限的角，则且已知 . ；的取值范围是则，满足，若正数________________3.14ab b a ab b a ++= ._________________的取值范围是b a +15．已知三角形中，,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆b a S b a b AC a AB ABC则与的夹角是 .16．给出下列8种图象的变换方法：（1） 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）。
2023-2024学年北京东直门中学高一下学期6月月考数学试题+答案解析
2023-2024学年北京东直门中学高一下学期6月月考数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量若，则()A. B.C.D.2.()A.B. C.D.3.要得到函数的图象，只要将函数的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度4.在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设l 是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6.已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.如图，平面ABC ，中，，则是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能8.如图，在正方体中，与直线互为异面直线的是()A.CDB.C.D.9.已知正四棱锥，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为()A. B.2 C. D.10.设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是()①直线与直线AF垂直；②直线与平面AEF平行；③点C与点G到平面AEF的距离相等；④平面AEF截正方体所得的截面面积为A.①②B.②③C.②④D.③④12.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的细管长度忽略不计假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学综合试题及答案
高一数学综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}3. 函数f(x)=2x-1在区间[0,2]上的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标是：A. (-1/2, 0)B. (0, 1)C. (1/2, 0)D. (0, -1)5. 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中圆心坐标为：A. (-D/2, -E/2)B. (D/2, E/2)C. (-D, -E)D. (D, E)6. 若a, b, c ∈ R，且a+b+c=0，则下列等式正确的是：A. a^2+b^2+c^2=ab+bc+caB. a^2+b^2+c^2=-ab-bc-caC. a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2caD. a^2+b^2+c^2=-2ab-2bc-2ca7. 函数y=|x|的图像是：A. 一条直线B. 两条直线C. 一个V形D. 一个倒V形8. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*，则a3的值为：A. 5B. 7C. 9D. 119. 函数f(x)=x^2-2x+2的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，f'(x)=0的解是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为______。
2. 集合{1,2,3}∪{4,5,6}的结果是______。
3. 函数f(x)=x^2-6x+8的对称轴方程为______。
4. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是______。
高一数学试题及答案(8页)
高一数学试题及答案第一部分：选择题1. 设函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 0C. 1D. 22. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1 = 3，求a5的值。
A. 7B. 9C. 11D. 133. 设集合A = {x | x > 0}，B = {x | x < 5}，求A∩B的值。
A. {x | x > 0, x < 5}B. {x | x > 5}C. {x | x < 0}D. {x | x < 5, x > 0}4. 若直线y = kx + 2与圆x^2 + (y 1)^2 = 4相切，求k的值。
A. 1B. 1C. 2D. 25. 设函数g(x) = |x 1| + |x + 1|，求g(x)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 36. 若等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求bn的第5项。
A. 162B. 243C. 4D. 7297. 已知函数h(x) = x^3 3x^2 + 2x，求h(x)的导数。
A. 3x^2 6x + 2B. 3x^2 6x 2C. 3x^2 + 6x + 2D. 3x^2 + 6x 28. 若直线y = mx + 1与直线y = 2x + 4平行，求m的值。
A. 2B. 2C. 1D. 19. 设集合C = {x | x^2 5x + 6 = 0}，求C的值。
A. {2, 3}B. {1, 4}C. {2, 4}D. {1, 3}10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为(2,3)，求b的值。
A. 12B. 12C. 6D. 6答案：1. A2. C3. A4. B5. B6. D7. A8. D9. C10. B第一部分：选择题答案解析1. 解析：将x = 2代入f(x) = x^2 4x + 3中，得到f(2) =2^2 42 + 3 = 1。
高一下期数学试题及答案
高一下期数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. -πC. 1/3D. i2. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，该数列的第5项a5等于：A. 13B. 15C. 17D. 194. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. -2 < √4C. 1/2 ≤ √1/4D. -1 ≥ -25. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，圆心到直线x + y - 5 = 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}7. 若sinθ + cosθ = √2/2，那么sin2θ的值是：A. 1/2B. -1/2C. 1D. -18. 函数y = ln(x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (-∞, 0)9. 根据题目信息，第9题缺失。
10. 已知点A(-1, 2)和点B(2, -1)，直线AB的斜率k是：A. 1/3B. -1/3C. -3D. 3二、填空题（每题2分，共10分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，该数列的第3项b3等于______。
12. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极小值点是______。
13. 已知向量a = (3, 2)，b = (-1, 2)，向量a与b的点积是______。
14. 根据题目信息，第14题缺失。
15. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是______。
三、解答题（共60分）16. 解不等式：|x+2| - |x-3| ≤ 5。
广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
2023年深圳市普通高中高一年级调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{}03B x x =<<，则A B = （）A.{1,1}-B.{1,2}C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合{}1,0,1,2,{|03}A B x x =-=<<，根据集合交集的概念与运算，可得{}1,2A B = .故选：B.2.设复数z 满足i 1i z =+（i 是虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.2D.【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的除法法则求出复数z ，然后由复数的求模公式计算出z .【详解】因为i 1i z =+，所以1+i (1+i)(i)1i i i (i)z ⨯-===-⨯-，所以z =故选：D .3.已知tan 2α=，则cos 2=α（）A.35- B.35 C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α，代入求值.【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125ααααααααα---=-====-+++.故选：A ．4.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A.平均数B.中位数C.极差D.标准差【答案】B 【解析】【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断.【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：4.05.97.79.09.614.98.526+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：14.9 4.010.9-=，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：4.05.97.79.014.99622.926+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：96 4.092-=，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题错误．．的是（）A.//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m nB.//m n ，//m α，n α⊂/，则//n αC.αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D.αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥【答案】C 【解析】【分析】对于A,由线面平行的性质定理即可判定；对于B ,可利用排除的思想；对于C ,根据条件可直接判定//,m n 或者m 与n 相交，C 错误；对于D ，通过构造平面γ，利用平面与平面所成角的大小即可判定.【详解】对于A,由线面平行的性质定理可知A 正确；对于B ,//m n ，//m α，//n α∴或者n ⊂α，又n α⊂/则//n α，故B 正确；对于C ,由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则//,m n 或者m 与n 相交或者异面，则m n ⊥不一定成立，故C 错误；对于D ,若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m 与n 一定不平行，否则有//αβ，与已知矛盾，通过平移使m 与n 相交，设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α和β所成的角，又αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，故D 正确.故选:D .6.在梯形ABCD 中，若2AB DC =，且ACxAB y AD =+，则x y +=（）A.32B.2C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，222AB DC AC AD ==-，化简得12AC AB AD =+ ，即1,12x y ==，则32x y +=，故选：A.7.已知正实数m ，n 满足2m n +=，则下列不等式恒成立的为（）A.ln ln 0m n +≥B.222m n +≤C.112m n+≥ D.+≤【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可.【详解】对于A ，2ln ln ln ln ln102m n m n mn +⎛⎫+=≤== ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，取等号，所以ln ln 0m n +≤，故A 错误；对于B ，因为222m n mn +≥，所以()()2222222m nmn mn m n +≥+++=，所以()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时，取等号，所以222m n +≥，故B 错误；对于C ，()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n =，即1m n ==时，取等号，所以112m n+≥，故C 正确；对于D ，因为m n +≥()22m n m n +≥++，2≤=，当且仅当1m n ==2≤，故D 错误.故选：C.8.已知函数()e elg xxf x x -=++，则不等式()()121f x f x +>-的解集为（）A.()0,2 B.110,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.()0,3 D.110,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判断出函数()f x 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数()e elg xxf x x -=++的定义域为{}0x x ≠，且()()ee lg e e lg xx x x f x x x f x ---=++-=++=，即()f x 是偶函数，当0x >时，()e e lg xxf x x -=++，构造e e x x y -=+，()0,x ∈+∞，令e 1x t =>，则1y t t=+在()1,+∞上单调递增，又e x t =也是增函数，则e e x x y -=+在()0,∞+上单调递增，又lg y x =是定义域内的增函数，故()e elg xxf x x -=++在()0,∞+上单调递增，不等式()()121f x f x +>-等价于()()121fx f x +>-，即12110210x x x x ⎧+>-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，平方得：222144110210x x x x x x ⎧++>-+⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得02x <<且12x ≠，则不等式()()121f x f x +>-的解集为110,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 的图象关于5π12x =对称 D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AC 【解析】【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，2π2,πT ωω===，A 正确；B 项，∵函数cos y x =关于()ππ,0Z 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，∴在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，()ππ2πZ 62x k k +=+∈，解得：()ππZ 26k x k =+∈，当π12x =-时，Z k ∉，故B 错误.C 项，在函数cos y x =中，函数关于()πZ x k k =∈对称，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，()π2πZ 6x k k +=∈，解得：()1ππZ 212x k k =-∈当1k =时，5π12x =，C 正确；D 项，在函数cos y x =中，函数在()()2π,2ππZ k k k +∈上单调递减，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，当函数单调递减时，()π2π<2+<2ππZ 6k x k k +∈，解得：()π5ππ<2<π+Z 1212k x k k -∈，∴()f x 在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()f x 在5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 错误.故选：AC .10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件【答案】ACD 【解析】【分析】列出事件A ，B ，C ，AC 的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C 的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC 的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件A B ⋃是必然事件，故正确；B.因为A B ⋂≠∅，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故错误；C.因为C B ⊆，所以事件B 包含事件C ，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618P A P C P AC ======⨯⨯⨯，所以()()()P A P C P AC ⋅=，所以事件A 与事件C 是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如， 1.22[]-=-，[1.5]1=.已知()[]f x x x =+，则（）A.11(22f =B.()f x 为奇函数C.12x x ∃>，使得()()12f x f x <D.方程()31f x x =-所有根的和为32【答案】AD 【解析】【分析】代入计算判断A ，根据奇函数性质判断B ，根据[]x 的定义对函数作差判断C ，根据[]1x x x -<≤求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D .【详解】对于A ，1111()2222f =+=，正确；对于B ，举反例，当 1.3x =时，(1.3) 1.3 1.3 2.3f =+=，而( 1.3) 1.3 1.3 1.32 3.3f -=-+-=--=-，所以(1.3)( 1.3)f f ≠-，故函数()f x 不是奇函数，错误；对于C ，根据[]x 的定义，可知对12x x ∀>，有12[][]x x ≥，所以()()1211221212[][][][]0f x f x x x x x x x x x -=+--=-+->，所以()()12f x f x >，错误；对于D ，()31f x x =-即[]31x x x +=-，所以2[]10x x --=，即[]21x x =-，又[]1x x x -<≤，所以121x x x -<-≤，解得01x <≤，当1x =时，满足方程，即1x =是方程()31f x x =-的根，当01x <<时，[]x x x +=，方程()31f x x =-化为31x x =-，解得12x =，故方程()31f x x =-所有根的和为13122+=，正确.故选：AD12.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段BC 上的动点，则（）A.11AB A M⊥B.三棱锥11C AMB -的体积不变C.11A M C M +的最小值为3+D.当M 是BC 的中点时，过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得的截面面积为26π9【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A ；1111C AMB A B C M V V --=，由底面积和高判断体积验证选项B ；11A M C M +转化为点()和点()2,2到点()0,t 的距离之和，计算验证选项C ；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.【详解】连接1A B ，如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，11ABA B 为正方形，11AB A B ⊥，90ABC ∠=︒，BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ⊥，1,A B BC ⊂平面1A BC ，1A B BC B =I ，1AB ⊥平面1A BC ，1A M ⊂平面1A BC ，11AB A M ⊥，A 选项正确；由直三棱柱的结构特征，11111111111143323C AMB A B C M B C M V V S AB B C CC AB --==⋅=⨯⨯⋅⋅= ，故三棱锥11C AMB -的体积为定值，B 选项正确；设BM t =，02t ≤≤，2MC t =-，22222221118A M A A AM A A AB BM t =+=++=+，()222221122C M C C MC t =+=+-，11A M M C +=()和点()2,2到点()0,t的距离之和，最小值为点()-到点()2,2，C 选项错误；当M 是BC 的中点时，13A M=，11AC =1C M =，2221111111112cos 22A M A C C M MA C A M A C +-∠===⋅⋅，11sin 2MA C ∠=，111111111sin 33222MA C S A C A M MA C =⋅⋅∠=⨯⨯= ，112112CC M S =⨯⨯= ，设点C 到平面11MA C 的距离为c h ，由1111C A MC A CC M V V --=，得321c h =⨯，23c h =，直三棱柱111ABC A B C -是正方体的一半，外接球的球心为1AC 的中点O，外接球的半径1112A O A C ==，点O 到平面11MA C 的距离为1123O c h h ==，则过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -263=，截面面积为26π9，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0lg 2lg 5π+-=______.【答案】0【解析】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】0lg 2lg 5πlg101110+-=-=-=.故答案为：014.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意，圆锥的母线长为3，且其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则底面周长为2π32π3r ⨯=，解得1r =，则该圆锥的体积为21π133⨯⨯=.故答案为：22π3.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，在点C 测得大厦顶A 的仰角60ACB ∠=︒，则该大厦高度AB =_____________米（精确到1米）.1.414≈ 1.732≈.【答案】212【解析】【分析】在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再解Rt ABC △即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，则45CBD ∠=︒，因为sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以3100222BC ⨯==米，在Rt ABC △中，60ACB ∠=︒，则tan ABACB BC∠==所以1501.414212AB ==≈⨯≈米.故答案为：212.16.四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得22PC PD PF ⋅=- ，然后利用数量积的运算律得22PF PF PE=⋅，设出向量夹角，从而2cos 2PC PD θ⋅= ，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为PC PF FC =+ ，PD PF FD =+，又点F 分别是CD 的中点，所以FD FC =- ，所以PD PF FC =- ，222221()()22PC PD PF FC PF FC PF FC PF CD PF ⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=- ⎪⎝⎭，又0PA PB ⋅= ，所以PA PB ⊥，又点E 分别是AB 的中点，所以112PE AB ==，因为EF PF PE =- ，所以2222()2EF PF PE PF PF PE PE =-=-⋅+ ，即22PF PF PE =⋅，设,PF PE θ= ，PF x = ，则221cos x x θ=⨯⨯⨯，所以2cos x θ=，所以2224cos 22cos 2PC PD x θθ⋅=-=-=，所以当20θ=即0θ=时，cos 2θ有最大值1，即PC PD ⋅有最大值为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin(2)f x x θ=+，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求θ；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.【答案】（1）π6θ=（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）代入π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求θ的值；（2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域.【小问1详解】ππsin 163f θ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π6θ=；【小问2详解】()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ266x +=时，即0x =，函数取得最小值12，当ππ262x +=时，即π6x =，函数取得最大值1，所以函数的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22cos b c a B =-.（1）求A ；（2）若a =，2c b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角A ；（2）根据条件结合余弦定理计算边,b c ，再代入面积公式计算即可.【小问1详解】因为ABC 中，22cos b c a B =-，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos B C A B =-，得sin 2sin()2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为a =，2c b =，所以222227423b b b b =+-=，所以3b =±，因为0b >，所以3b =，6c =，所以ABC 的面积为11393sin 362222bc A =⨯⨯⨯=.19.已知函数lo ()g a f x x =（0a >且1a ≠）在[]1,8上的最大值为3.（1）求a 的值；（2）当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）238t ≥.【解析】【分析】（1）分1a >和01a <<两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出a 的值；（2）将2()log f x x =代入不等式，参变分离化简，并求出()21log x xg x =-的最大值，可得实数t 的取值范围.【小问1详解】当1a >时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递增，则()()max 8log 83a f x f ===，解得2a =；当01a <<时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递减，则()()max 1log 103a f x f ===≠，舍去；综上可知，2a =；【小问2详解】由（1）得，2()log f x x =，当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，即2log 22log 0xx t --+≥，化简得2max 1log t x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，[]1,8x ∈构造()21log x x g x =-，[]1,8x ∈ 2log y x =和1y x=-分别在[]1,8上单调递增，()g x ∴在[]1,8上单调递增，()()2max1238log 888g x g ==-=，故实数t 的取值范围是238t ≥.20.某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40)50，，[50)60，，[60)70，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[40)50，内的产品至多1件”，事件B =“这3件产品中技术参数位于区间[50)60，内的产品至少1件”，求事件A B ⋂的概率.【答案】（1）37.5，46.7（2）12【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可；（2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件A B ⋂包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数0.01010150.02510250.03010350.0151045⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010550.00510650.005107537.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为前三组的频率之和为0.010100.025100.030100.65⨯+⨯+⨯=，第四组的频率为0.015100.15⨯=，0.650.150.80.75+=>，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x ，则0.65(40)0.0150.75x +-⨯=，解得46.7x ≈，所以第75百分数约为46.7.【小问2详解】采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间[)40,50，[)50,60，[)60,70三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间[)40,50的产品应抽取0.010620.0150.0100.005⨯=++件，记为123,,a a a ，从技术参数位于区间[)50,60的产品应抽取0.015630.0150.0100.005⨯=++件，记为12,b b ，从技术参数位于区间[)60,70的产品应抽取0.005610.0150.0100.005⨯=++件，记为c ，从这6件产品中任选3件产品，样本空间12312112212Ω{(,,),(,,),(,,),(,,),a a a a ab a a b a ac =13113213231232231121112(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a c a a b a a b a a c a b b a b c a b c 2122122312313212(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a b b a b c a b c a b b a b c a b c b b c ，则()20n Ω=，事件A B ⋂包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.则11122122313212{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B a b c a b c a b c a b c a b c a b c b b c ⋂=112212312(,,),(,,),(,,)}a b b a b b a b b ，()10n A B ⋂=，所以()101()(Ω)202n A B P A B n ⋂⋂===.21.如图，三棱锥-P ABC 的三个顶点A B C ，，在圆O 上，AB 为圆O 的直径，且6AB =，PA PC ==BC =，平面PAC ⊥平面PCB ，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点F 是圆O 上的一点，且点F 与点C 位于直径AB 的两侧.当//EF 平面PAC 时，画出二面角E BF A --的平面角，并求出它的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析，4.【解析】【分析】（1）要证明平面PAC ⊥平面ABC ，只需利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC 即可；（2）解法一：建立空间坐标系，运用空间向量求解.解法二：作出二面角E BF A --的平面角，利用正切值的定义即可求得二面角的正切值.【小问1详解】因为点C 在圆O 上，AC CB ⊥,因此4AC ==，又222PA PC AC +=，即AP PC ⊥，所以PAC △是等腰直角三角形，由平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，所以AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以可得BCPA ⊥，又BC AC ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，,PA AC A BC =∴⊥ 平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；【小问2详解】解法一：取AC 的中点M ，连接PM ，则PM AC ⊥，由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PM ∴⊥平面ABC ，连接OM ，OE ，OF ，则OM 是ABC 中BC 边的中位线，OM AC ∴⊥，OM ⊂平面ABC ，PM OM ∴⊥，即PM ，AC ，OM 两两垂直，以M 为原点，AC ，OM ，PM 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O ，E 分别是AB ，PB 的中点，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ，则有//EN PM ，PM ⊥ 平面ABC ，EN ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，BF EN ∴⊥，过N 点作FB 的垂线，得垂足S ，,,BF NS EN NS N BF ⊥=∴⊥ 平面ENS ，ES ⊂平面ENS ，ES BF ∴⊥，ESN ∴∠就是二面角E BF A --的平面角；//,OE PA OE ∴⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，//OE ∴平面PAC ，又,,OE FE E OE FE =⊂ 平面EFO ，∴平面//EFO 平面PAC ，又OF ⊂平面EFO ，//FO ∴平面PAC ，又平面PAC 平面ABC AC =，FO ⊂平面ABC ，//AC FO ∴，其中12OF AB =，()()()()()2,0,0,2,,0,0,2,1,,3,A B P E F ∴--，()()4,0,1,5,FE FB =-=- ，设平面EFB 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4050x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得4y z ==，可得()4m = ；显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，设平面ABC 与平面EFB 的二面角为α，则222cos 11m n m nα⋅==⋅ ，综上，二面角E BF A --的余弦值为11，正切值为4.解法二：取BC 的中点M ，连接,,EM OM OE ，如下图所示：又点E 是PB 的中点，所以//EM PC ，EM ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以//EM 平面PAC ；又O 是AB 的中点，所以//OM AC ，OM ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OM 平面PAC ；,,EM OM M EM OM =⊂ 平面EOM ，所以可知平面//E O M 平面PAC ，又平面EOM ⋂平面ABC OM =，平面PAC 平面ABC AC =，所以//AC OM ，又//EF 平面PAC ，所以EF ⊂平面EOM ，又F 在平面ABC 内，所以,,F O M 三点共线，即//AC FM ；所以四边形ACMF 为直角梯形，易知4,5AC CM MF OF OM ===+=，作AT MF ⊥于点T ，如下图所示：则1FT =，AT =，所以AF =取AC 的中点为Q ，连接PQ ，作//QN AF 交BF 于点N ，连接PN 由（1）可知PQ ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以PQ BF ⊥，又AF BF ⊥，所以QNBF ⊥，且QN PQ Q ⋂=，,QN PQ ⊂平面PQN ，所以BF ⊥平面PQN ，PN ⊂平面PQN ，所以BF PN ⊥；所以PNQ Ð即为二面角P BF A --的平面角，也即E BF A --的平面角；在四边形ACBF 中，QN 交FM 于点S ，如下图所示：易知6QS AF ==2AQ FS ==，5sin 230MBNSMFB BF∠==，可得63NS =，所以463QN QS SN =+=；又2PQ =，所以26tan 4463PQ PNQ QN ∠==；即二面角E BF A --的正切值为64.22.已知函数21()4f x x x =-，()g x kx =，()f x 与g()x 的图象恰有三个交点.（1）求实数k 的取值范围；（2）用max{,}αβ表示,αβ中的最大值，设函数{}()max (),()x f x g x ϕ=(16)x ≤≤，用M ，m 分别表示()ϕx 的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M m -的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的性质，并得到()0,0是两函数的一个交点，考虑0k ≤时，不满足要求，再考虑0k >时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；（2）在（1）的基础上，分3k 14≤<，1324k ≤<，1412k <<和104k <≤，求出相应的M ，m ，和M m -的取值范围.【小问1详解】由题意得()2221,041,0441,44x x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()0f x ≥，且()0,0是函数()f x 与g()x 的图象的一个交点，当0k <时，()0g x <在()0,∞+上恒成立，与()f x 的图象无交点，在(),0∞-上，()g x 与()f x 的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当0k =时，()g x 与()f x 的图象有且仅有2个交点()()0,0,4,0，不合要求，舍去；当0k >时，若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则方程2211,44x x kx x x kx -+=-=均有正根，解得1244,44x k x k =-=+，由0440440k k k >⎧⎪->⎨⎪+>⎩，可得01k <<，所以实数k 的取值范围是()0,1；【小问2详解】由（1）可知，当()0,1k ∈时，()f x 与()g x 的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为1244,44x k x k =-=+，当()10,x x ∈时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当[]12,x x x ∈时，()()f x g x ≤，()(){}()max ,f x g x g x =，当()2,x x ∈+∞时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当3k 14≤<时，121,6x x <>，()()()16x g x x ϕ=≤≤，()66M k ϕ==，()1m k ϕ==，155,54M m k ⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭，当1324k ≤<时，1212,6x x <≤≥，()()()11,1,6f x x x x g x x x ϕ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，()f x 在[)11,x 上为增函数，且()g x 为增函数，故()x ϕ在[]1,6上为增函数，()66M k ϕ==，()314m f ==，39156,444M m k ⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭.当1412k <<时，1223,56x x <<<<，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===>，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()314m f ==，94M m -=；当104k <≤时，1234,45x x ≤<<≤，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===≤，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()()214444m f x f k k k ==-=-+，29443,34M m k k ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭；综上，当3k 14≤<时，6,M k m k ==；当1324k ≤<时，36,4M k m ==；当1412k <<时，33,4M m ==；当104k <≤时，23,44M m k k ==-+，M m -的取值范围为9,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
高一数学高中数学综合库试题答案及解析
高一数学高中数学综合库试题答案及解析1.为三角形的一个内角，若，则三角形的形状为（）.A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】略2.已知函数（1）若函数无零点，求实数的取值范围；（2）若函数在有且仅有一个零点，求实数的取值范围【答案】（1）原方程可化为：要原方程无实根，有下面两种情况：①方程（1）无实数根，由，得；②方程（1）的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入（1）得m=2。
综上所述：或（2）或【解析】略3.直线当变动时，所有直线都通过定点A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）【答案】C【解析】略4.如果命题“非或非”是假命题，则在下列各结论中正确的是（）①命题“且”是真命题；②命题“且”是假命题；③命题“或”是真命题；④命题“或”是假命题；A．①③B．②④C．②③D．①④【答案】A【解析】略5.函数过定点【答案】(-2,-1)【解析】略6.设是关于的方程的两个实根，则的最小值是（）A．B．18C．8D．【答案】C【解析】略7.已知集合A=且，则实数的取值范围是【答案】【解析】略8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为，值域为{1，7}的“孪生函数”的所有函数值的和等于（）A．32B．64C．72D．96【答案】C【解析】解：由题意可得，当函数解析式为y=2x2-1，值域为{1，7}时，函数的定义域可能为：{-2，-1}，{-2，1}，{2，-1}，{2，1}，{-2，-1，1}，{-2，-1，2}，{-1，1，2}，{-2，1，2}，{-2，-1，1，2}，共9个∴所有的函数值的和为（7+1）×9=72故选C9.在等差数列中，公差，前项的和，则=______【答案】10【解析】略10.已知集合，，若,求实数、的值．【答案】【解析】，………………………………………2分……………………………………6分解得……………………………………8分经检验不合题意，舍去……………………………………10分……………………………………12分11.取一个边长为1的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率为【答案】【解析】略12.（12分）顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得的弦长|AB|=，求此抛物线的方程。
高一下册数学试题及答案
高一下册数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，其顶点坐标为（）。
A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)2. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a4=16，则公比q为（）。
A. 2B. 4C. 1/2D. -23. 函数y=sin(x)的周期为（）。
A. 2πB. πC. π/2D. 1/2π4. 若直线l：y=2x+b与圆x^2+y^2=4相切，则b的值为（）。
A. 0B. 2C. -2D. ±2√25. 已知向量a=(3, -2)，b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ满足（）。
A. cosθ=1/5B. cosθ=-1/5C. cosθ=5/13D. cosθ=-5/136. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞, +∞)上是（）。
A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减7. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线的离心率为（）。
A. √3B. √2C. 2D. 38. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)>0，则x的取值范围为（）。
A. (-∞, 1)∪(3, +∞)B. (-∞, 1)∪(3, 7)C. (1, 3)D. (-∞, 1)∪(7, +∞)9. 已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1, 2)在抛物线上，则|PF|的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0，则x的值为（）。
A. 1或3B. -1或3C. 1或-3D. -1或-3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{an}的前三项为1，2，3，则该数列的通项公式为an=________。
12. 函数f(x)=x^3-3x的导数为f'(x)=________。
福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题及答案
龙岩市2022～2023学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数3z a i =+，()2,z bi a b R =+∈，则a b += A.-1B.1C.-5D.52.已知向量a ，b ，满足3a = ，4b = ，a 与b 的夹角的余弦值为34，则向量a 在向量b 上的投影向量为A. aB. 3aC. 94bD. 916b 3.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为 A.15B.25C.35D.454.已知某班4012340,,,,x x x x ⋅⋅⋅，经计算全班数学平均成绩90x =，且4021324400ii x==∑，则该班学生此次数学成绩的标准差为A.20B.C.10D.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是A.若1E BD ∈，F BD ∈，则EF AC ⊥B.若1E BD ∈，F BD ∈，则平面BEF ⊥平面11A BCC.若E AC ∈，1F CD ∈，则1EF AD ∥D.若E AC ∈，1F CD ∈，则EF ∥平面11A BC6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A 点，纪念碑的最底端记为B 点（B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，测得CD 的长为15米，45ACB ∠=°，30CBD ∠=°，30ADB ∠=°，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为A.14米B.15米C.16米D.17米7.已知等边三边形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，将ADB △沿AD 折到1ADB △，使得1B CD △为等边三边形，则直线1B D 与AC 所成的角的余弦值为A. B.0 C.12D.148.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos cos sin sin B B A C A C +−=，a =，则ABC △周长的取值范围是A. (+B. (3++C. (3+D. (二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
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高一数学下学期综合试题及答案
高一数学下学期数学试卷一、选择题1．sin(-11400)的值是 A 1133 B ?C D ? 22222．已知a,b为单位向量，则下列正确的是 A a?b?0 B a?b?2a?2b C |a|?|b|?0 D a?b?1 3．设a?(k?1,2),b?(24,3k?3)，若a 与b共线，则k等于() A 3 B 0 C -5 D 3或-5 4．cos(35?x)cos(55?x)?sin(35?x)sin(55?x)的值是 A 0 B -1 C ?1 D 1 5．函数y?3?sin22x的最小正周期是 A 4? B 2? C 6．有以下结论：若a?b?a?c,且a?0，则b?c; a?(x1,x2)与b?(x2,y2)垂直的充要条件是x1x2?y1y2?0; 0000? D ? 2(a?b)2?2a?b; x?2函数y?lg的图象可函数y?lgx的图象按向量a?(2,?1)平移而得到。
10|a?b|?其中错误的结论是A
B C D 7．三角形ABC中，|AC|?|BC|?1,|AB|?2,则AB?BC?CB?CA的值是 2 12A 1 B -1 C 0 D 8．已知=、ON＝，点P(x，)在线段MN的中垂线上，则x等于．537B．?C．? D．?3 2229．在三角形ABC中，cos2A?cos2B?0是B-A A．?A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件10.已知|a|?2,|b|?1,a?b,若a??b与a??b的夹角?是某锐角三角形的最大角，且??0，则?的取值范围是()2323???0 D ?3311．在三角形ABC中，已知sinA:sinB:sinC?2:3:4,且a?b?10,则向量AB在向量 A ?2???0 B ???2 C ?2????AC的投影是A 7 B 6 C 5 D 4 12．把函数y?3cosx?sinx的图象向右平移a个单位，所得图象关于y轴对称，则a的最大负值是() A ??6 B ??3 C ?2?5? D ? 36
二、填空题4,且a是第三象限的角，则tan2a?_____________________ . 5 14.若正数a，b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是________________；a?b的取值范围是_________________. 15．已知三角形ABC中，AB?a,AC?b,a?b?0,S?ABC?15,|a|?3,|b|?5, 4则a与b的夹角是_________________________ . 13．已知cosa?? 16．给出下列8种图象的变换方法：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的1倍。
2 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍；。
将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍；。
将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍；。
将图象向左平移将图象向右平移13?个单位。
3?个单位。
3?将图象向左平移个单位。
6?将图象向右平移个单位。
6需要且只要用上述3种变换可函数y?sinx的图象得到y?3sin(2x??3)的图象，那么这3种变换正确的顺序是
___________________________
高一数学下学期数学试卷班级_______________学号_______________姓名________________ 一、选择题 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 二、填空题13. ________________________________ .
14. _________________________ ；_________________________ . 15. ________________________________ .
16.
_________________________________ . 三解答题17．已知sina?3,sin(a??)??4,(0?a??,0????),求sin?的值. 552218．已知|a|?2,|b|?3,a与b的夹角为?，且tan(???)??2?3, 4(1)求a?b的值；求|a?b|的值。
19．如图，某观测站C在城A的南偏西20?方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40?，在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一辆正沿着公路向城A驶去，
行驶了20千米后到达D处，测得C、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？
20. 已知，x，y，z?R?，且x?y?z?1，求证x? y?z?3．22．在三角形ABC中，点D分BC之比为1：2，点E分BA分之比为2：1，设BC?a，BA?b。
设EP?tEC，试用a,b和实数t表示BP; 试用a,b表示BP；(3) 在边AC上有F点，使得AC?5AF,，求证：B,P,F三点共线。
A E P
B C D 答案一．选择题DCDAD CBACC AD 7.△ABC为等腰直角三角形，，且AC?BC，AB?BC?CB?CA= s35?0??1 AB?BCco1?8．M(?2，?3)，N(1，1)，中点为Q(?4），1，?1)．2?＝-＝或(3) (5) (1)或方案二：或或三、解答题
17．解：?0????2,0????2???2??????2 (3)
分又sin(???)??43,sin?? 5534?cos(???)?,cos??...... 7分55?cos?(??)?co?ssin?(??)?sin??sin[?? (???)]?sin= 3344???(?)?1 ...... 13分5555tan(??)?1???3?3418．解：tan??tan[(??)?]==?3 (2)
分?441?tan(??)?1?34又0????180????60? (4)
分?1?3 ......6分? b 22221如图a?b?a?b?2abcos??4?9?2?2?3??7 2 (1)a?b?a?bcos??2?3??a?b?7 (13)
分19．解：在?BCD中，CD?21，BD?20，BC?31，余弦定理得: 212?202?3121cos?BDC???,
2?21?207所以sin?BDC?1?cos?BDC?247．……4分7sin?ACD?sin(?BDC?60?)? 在?ACD中，CD＝21，?CAD?20??40??60?，sin?BDC?cos60??cos?BDC?sin60??正弦
定理得AD?CD?sin?ACD? sin?CAD53．……9分1421?5314?15．所以此车距城A有15千米．……13分32 20．证明：要证x?y?z?3，只需证x?y?z?2(xy?只需证xy?xz?∵x，y，z?R?，xz?yz)?3，……3分yz?1．……5分∴x?y?2xy，x?z?2xz，y?z?2yz，……9分∴2(x?y?z)?2(xy?xz?∴xy?xz?∴x?yz)，yz?1成立．y?z?3．……13分222BA?b?EC?EB?BC?a?b ……2分333222 ?BP?BE?EP?BE?tEC?b?t(a?b) ?ta?(1?t)b ①……4分333111 设DP?kDA,BD?BC?a,DA?DB?BA?b?a 333111?BP?BD?DP?a?k(b?a)?(1?k)a?kb ②……6分33312①、②得，ta?(1?t)b?(1?k)a?kb 3321.题意BE??1?1t?(1?k)?3?t?7??,解得? 24?(1?t)?k?k?7?3??BP?14a?b ……9分77AC?BC?BA?a?b，得AF?11AC?(a?b) ……11分55114714?BF?BA?AF?b?(a?b)?a?b?(a?b)
5555777?BF?BP，即BF与BP共线……13分5又BF与BP有公共点B，?B,P,F三点共线。
……14分。