现代统计信号处理(第五章)
第5章2 现代信号处理：最大熵谱估计资料
C－常数，可用来确定量度熵的参考基准或熵的绝对值, N－正整数。
因此令 C (2e)1/ 4时，N维高斯分布的熵可写为：
H 1 ln det Rx ( N ) (5 105 ) 2
显然，要使熵最大，就要使
det Rx ( N )
最大。
研究熵与功率谱 S ( ) 之间的关系，即已知自相关函数的N+1个值
1) 的导数为零，得： 显然(5-106)式，即将上式对 Rx ( N＋
T 1 1 1,0,,0Rx (N )C C Rx (N )1,0,,0T 0.........( 5 107)
此式为 Rx ( N＋ 1) 的一次方程，从而求解此式，可得到合适的 同理将此
k
Ak2 exp[ j (k m)]
（5.5.2）
如果c(n)与u(n)时互不相关的，则x(n)的自相关函数为：
R(m) Ak2 exp[ j (k m)] u (m)
k 1 M
m 0,1,
, p（5.5.3）
x(n)的功率谱为：
S ( ) 2 Ai2 ( i ) u
x
jk
, B B (5 108)
外推的方法很多，但应该是与已知点上的自相关相符的功率谱中最 任意的，即具有最大熵的。这相当于扩大了自相关的信息，故得到的谱 估计比传统方法的分辨率高。
2. 最大熵谱估计：
已知{ R(0),R(1),…R(p)}, 求R(p+1),R(p+2),…
己经有学者证明，最大嫡谱与自回归模型谱(AR模型)以及全 极点线性预测谱是等价的 。
第五章 数字信号处理- 微弱信号处理
第五章微弱信号处理5.1 微弱信号检测技术中气体浓度检测仪中的应用微弱信号不仅意味着信号的幅度小，而且主要指被噪声淹没中的信号。
为了检测被背景噪音淹没的信号，就需要分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点、相关性以及噪声的统计特性，以寻找出从背景噪声中检测有用信号的方法。
因此，微弱信号检测技术的首要任务是提高信噪比。
它不同于一般的检测技术，它注重的不是传感器的物理模型和传感原理、相应的信号转换电路和仪表实现方法，而是如何抑制噪声和提高信噪比。
由于被测量的信号微弱，传感器的固有噪声、放大电路及测量仪器的固有噪声以及外界的干扰噪声往往比有用信号的幅度大得多，放大被测信号的过程同时也放大了噪声，而且必然还会附加一些额外的噪声，因此只靠放大是不能把微弱信号检测出来的。
只有在有效地抑制噪声的条件下增大微弱信号的幅度，才能提取出有用的信号。
为了表征噪声对信号的淹没程度，引入信噪比SNR来表示，它指的是信号的有效值S与噪音的有效值N之比。
而评价一种微弱信号检测方法的优劣，经常采用两种指标：一种是信噪改善比SNIR，它等于系统输出端的信噪比SNR和系统输入段oSNR之比。
SNIR越大，表明系统抑制噪声的能力越强。
i另一个指标是检测分辨率，指的是检测仪器指示值可以响应与分辨的最小输入值的变化值。
检测分辨率不同于检测灵敏度，后者表示的是检测系统标定曲线的斜率，定义为输出变化量y∆之比。
一般情况下，∆的输入变化量x∆与引起y灵敏度越高，分辨率越好。
但提高系统的放大倍数虽可提高灵敏度，但却不一定能提高分辨率，因为分辨率要受噪声和误差额制约。
5.1.1 本检测系统的噪声源广义的噪声是扣除被测信号真实值以后的各种测量值，可以分为两类：一是干扰；另一被称为电子噪声（狭义）。
干扰是指被非被测信号或非测量系统所引起的噪声。
从理论上讲，干扰是属于理想上可排除的噪声。
不少干扰源发出的干扰是有规律的，有些具有周期性，有些只是瞬时值。
现代信号处理第5章 非平稳信号处理方法
经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，
但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲 击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。
本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳
x(t ), h(t )e j 2ft
(5.1.2)
h(t ) 是中心位于 0，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 h(t ) 所观察到的信 号 x(t ) 的部分是 x(t )h(t )。 h(t )e j 2ft 是 STFT的基函数。
x(t)h(t)
h(t) 1
h(t-τ)
x(t)
0
2018年10月17日
τ
t
5
机械工程学院机自所动态室
5.1 短时傅里叶变换
窗函数 h(的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 t)
hG (t ) 1 2 e
t2 4
0
(5.1.3)
高斯窗函数的形状是：
1 ，1/4 ， 1/16
2018年10月17日 机械工程学院机自所动态室 17
5.2 小波变换
5.2.1 多分辨分析及其工程意义
j Z; 3) 伸缩规则性： x(t ) V j x(2t ) V j 1 , (5.2.9)
性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到， 在不同的分辨率时，逼近运算相同。
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的 特性。 小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。
现代信号课件第5章谱估计2PPT共34页
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
现代信号处理复习要点总结
《信号处理技术及应用》复习要点总结题型：10个简答题，无分析题。
前5个为必做题，后面出7个题，选做5个，每个题10分。
要点：第一章：几种变换的特点，正交分解，内积，基函数；第二章：信号采样中的窗函数与泄露，时频分辨率，相关分析及应用（能举个例子最好）第三章：傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）的思想及公式，FFT校正算法、功率谱密度函数的定义，频谱细化分析，倒频谱、解调分析、时间序列的基本原理（可能考其中两个）第四章：一阶和二阶循环统计量的定义和计算过程，怎么应用？第五章：多分辨分析，正交小波基的构造，小波包的基本概念第六章：三种小波各自的优点，奇异点怎么选取第七章：二代小波提出的背景及其优点，预测器和更新器系数计算方法，二代小波的分解和重构，定量识别的步骤第八章：EMD基本概念（瞬时频率和基本模式分量）、基本原理，HHT的基本原理和算法。
看8.3小节。
信号的时域分析信号的预处理传感器获取的信号往往比较微弱，并伴随着各种噪声。
不同类型的传感器，其输出信号的形式也不尽相同。
为了抑制信号中的噪声，提高检测信号的信噪比，便于信息提取，须对传感器检测到的信号进行预处理。
所谓信号预处理，是指在对信号进行变换、提取、识别或评估之前，对检测信号进行的转换、滤波、放大等处理。
常用的信号预处理方法信号类型转换信号放大信号滤波去除均值去除趋势项理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。
经典滤波器定义：当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得以保留现代滤波器当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，用估计值去逼近有用信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样，它包含了离散和量化两个主要步骤采样定理：为避免混叠，采样频率ωs必须不小于信号中最高频率ωmax的两倍,一般选取采样频率ωs为处理信号中最高频率的2.5～4倍量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程。
现代信号处理（胡广书）第五章信号的抽取与插值,上采样,下采样理论
第5章信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。
但是，在实际工作中，我们经常会s遇到抽样率转换的问题。
一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。
例如：1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。
因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。
得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。
3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。
以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。
近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。
“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。
减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。
抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。
数字信号处理第五章习题解答
————第五章————数字滤波网络5.1 学 习 要 点本章主要介绍数字滤波器的系统函数()z H 与其网络结构流图之间的相互转换方法，二者之间的转换关系用Masson 公式描述。
由于信号流图的基本概念及Masson 公式已在信号与系统分析课程中讲过，所以下面归纳IIR 系统和FIR 系统的各种网络结构及其特点。
5.1.1 IIR 系统的基本网络结构1. 直接型结构如果将系统函数()z H 化为标准形式(5.1)式：()∑∑=-=--=Nk kkMk kkz az bz H 11 (5.1) 则可根据Masson 公式直接画出()z H 的直接II 型网络结构流图如图5.1所示（取N=4，M=3）。
二阶直接II 型网络结构最有用，它是级联型和并联型网络结构的基本网络单元。
优点：可直接由标准形式(5.1)或差分方程()()()∑∑==-+-=Mk kN k kk n x b k n y a n y 01画出网络结构流图，简单直观。
缺点：对于高阶系统：（1）调整零、极点困难；（2）对系数量化效应敏感度高；（3）乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大。
2. 级联型结构将(5.1)式描述的系统函数()z H 分解成多个二阶子系统函数的乘积形式()()()()z H z H z H z H m 21⋅= (5.2) (),1221122110------++=zzzzz H i i i i i i ααβββ m i ,,2,1 = (5.3)画出的级联型方框图如图5.2所示。
图中每一个子系统均为二阶直接型结构，根据()z H 的具体表达式确定()z H i 的系数i i i i 1210,,,αβββ和i 2α后，可画出()z H i 的网络结构流图如图5.3所示。
优点：（1）系统结构组成灵活；（2）调整零、极点容易，因为每一级二阶子系统()z H i 独立地确定一对共轭零点和一对共轭极点；（3）对系数量化效应敏感度低。
第五章 信号处理初步
四、截断、泄漏和窗函数
截断：将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。 “窗”的含义是通过窗口只能看到原始信号的一 部分，原始信号在时窗以外的部分均视为零。 实例说明：
如下图所示，x(t)为一余弦信号，其频谱是X(f)，它是 位于±f0处的δ函数。矩形窗函数w(t)的频谱是W(f) ，它 是一个sinc(f)函数。当用一个w(t)去截断x(t)时，得到截 断后的信号为x(t)*w(t)，根据傅立叶变换关系，其频谱为 X(f)*W(f)。
频域采样
DFT在频域的一个周期fs=1/Ts中输出N个数据点，故输出 的频率序列的频率间隔 Δ f=fs/N=1/(TSN)=1/T。计算机 的实际输出是X(f)p，
时域周期延拓：
频域采样过程在时域相当于将信号与一周期脉冲信号 d(t)做卷积，其结果是将时域信号平移至各脉冲坐标位置 重新构图，从而相对于在时域中将窗内的信号波形在窗外 进行周期延拓。 频域采样后对应的时域信号为： x(t)p=[s(t) x(t)ω(t)]*d(t)
式中 FSR: 满量程电压值； n: A/D转换器的位数。 例如: 12 位的 A/D 转换器，电压范围是0~10V，则 q=10/212=0.00244V.
量化误差：量化电平与信号实际电平之间的差值称 为量化误差 (n ) 。
q (n )的最大值为 。 2
量化误差是绝对误差，所以信号越接近满量程 电压值FSR，相对误差越小。在进行数字信号处 理时，应使模拟信号幅值的大小与满量程匹配。 若信号很小时，应使用程控放大器。 提高量化精度的途径:增大A/D的字长位数n
第五章 信号处理初步
• 信号处理:对测试所得信号经过必要的加工变换
以获得所需信息的过程
• 信号分析 : 研究信号的类别.构成和特征值 • 信号处理的目的:
北邮现代信号处理第五章答案
北邮现代信号处理第五章答案设有一个随机信号x(n)服从AR(4)过程，它是一个宽带过程，参数如下：2a11.352,a2+1.338,a30.662,a40.240,w1我们通过观察方程y(n)x(n)v(n)来测量该信号，v(n)是方差为1的高斯白噪声，要求利用Weiner滤波器从测量信号y(n)中估计x(n),用MATLAB对此进行仿真。
解一个随机信号x（n）服从AR(4)过程，且滤波器系数为：a=[1-1.3521.338-0.6620.240];则可以由白噪声通过一个AR4阶的滤波器生成信号序列x(n)，然后x(n)再加上方差为1的高斯白噪声v（n）得到y(n)=x(n)+v(n),然后分别通过LMS算法对y(n)滤波得出x(n)的估计值。
如下方框图：clearall;closeall;wv=randn(150,1);%AR系统系数a=[1-1.3521.338-0.6620.240];%由白噪声通过一个AR4阶的滤波器生成信号序列x(n)x=filter(1,a,wv);k1=length(x)y=x+randn(1,k1)';%-------学习步长固定为C=0.015----------mu=0.015%学习步长%systemorder=10k=10;w=zeros(1,k)%权系数设抽头数为10N=150;%节点训练序列error=zeros(1,N);fori=k:Nu=y(i:-1:i-k+1);z(i)=w*u;e=y(i)-w*u;w=w+(mu*e)*u';error(i)=error(i)+e.^2;%误差累积end;t=1:150;figure(3)plot(t,x(t));holdonplot(t,z(t),'r-');xlabel('n');ylabel('期望和通过LMS算法所得的估计');figure(4) plot(error);legend('LMS算法1次实验误差平方的均值曲线');holdon;。
现代信号处理 第5讲
1 x(t ) lim T 2T
57
Hale Waihona Puke TTx(t )dt E[ X (t )] xp( x)dx
3
2、时间自相关函数以概率1等于其集平均的自相关函数：
1 x(t ) x (t ) lim T 2T
*
T
T
x(t ) x* (t )dt E[ X (t ) X * (t )]
E ( x1 y1 ) 0 即：Rxy (0) 0 p( x1 , y2 ) p( x1 ) p( y2 ) E ( x1 y2 ) E ( x1 ) E ( y2 )
1.2.3 典型的随机信号 一、高斯随机信号
通信系统的三类噪声：单频噪声、脉冲噪声、起伏噪声 单频噪声：时间上连续，频谱集中在某个频率附近很窄范围 脉冲噪声：时间上持续很短、间隔较长且无规则，频谱很宽 起伏噪声：时间上连续、无规则，普遍存在
类似定义平稳随机信号的互功率谱密度函数，简称互功率谱
E X T ( )YT* ( ) S XY ( ) lim T T
平稳随机信号互功率谱的主要性质：
X T ( )YT* ( ) S XY ( ) lim 随机信号各态历经时， T T
* S XY ( ) SYX ( ) 互功率谱的共轭对称性：
if mx 0 and / or m y 0 Rxy ( ) 0
随机信号x(t)和y(t)正交： 对x(t)的任一时刻t1和y(t)的任一时刻t2，均有
E ( x1 y2 ) 0 即：Rxy ( ) 0
57 13
实际中常将正交理解为：对x(t)和y(t)的任一时刻t1，有
现代信号处理_17[sby]
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模糊自适应信号处理
基本概念
举例
模糊逻辑的基本概念
模糊集合
下图给出模糊集会的隶属函数,分别是为一辆汽车"慢速" 下图给出模糊集会的隶属函数,分别是为一辆汽车"慢速", 中速" 快速"时对应的隶属函数.例中,论域U为 "中速","快速"时对应的隶属函数.例中,论域 为 U=[0,Vmax] = 式中V 为汽车的最大速度.举例来说, 式中 max为汽车的最大速度.举例来说,
- 当车速为45公里 小时时,模糊集会"慢速"的隶属函数取值为0.5,即 当车速为 公里/小时时 模糊集会"慢速"的隶属函数取值为 即 公里 小时时 模糊集会
慢速 45 0.5 ( )=
慢速 1.0 中速 快速
- 此时,模糊集会"中速"的隶属函数取值亦为 即 模糊集会"中速"的隶属函数取值亦为0.5,
l i l 1 l 2 l n l
A→ B (x, y ) = min{ A (x), B ( y )} (最小值推理规则)
( 2a )
(2b)
(3 a )
A→ B (x, y ) = A (x) B ( y ) (乘积推理规则)
式中
F
l 1
l 1
A
(x) = F l ×...× F l (x) 定义采用如下规则: 定义采用如下规则:
模糊发生器
作用
将一个确定的 x = [ x ,..., x
1 n
]T ∈ U 映射为U上的一个模糊集合
A′
常用映射形式
单值模糊发生器:若 A′ 对支撑集 A′ 为模糊单值, 则对某一点 单值模糊发生器 若 为模糊单值 x ′ = x 有 A ′ x ′)= 1 而对其余所有的 x ′ ≠ x , x ′ ∈ U 有 A ′ x ′)= 0 ( ( ;
现代信号处理思考题(含问题详解)
第一章 绪论1、 试举例说明信号与信息这两个概念的区别与联系。
信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性。
信号是传载信息的物理量是信息的表现形式，如文字、语言、图像等。
如人们常用qq 聊天，即是用文字形式的信号将所要表达的信息传递给别人。
2、 什么是信号的正交分解？如何理解正交分解在机械故障诊断中的重要价值？P9正交函数的定义信号的正交分解如傅里叶变换、小波分解等，即将信号分解成多个独立的相互正交的信号的叠加。
从而将信号独立的分解到不同空间中去，通常指滤波器频域内正交以便于故障分析和故障特征的提取。
傅里叶变换将信号分解成各个正交的傅里叶级数，将信号从时域转换到频域从而得到信号中的各个信号的频率。
正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中；正交性保证了这些独立频带中状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断的信息。
3、 为什么要从内积变换的角度来认识常见的几种信号处理方法？如何选择合适的信号处理方法？ 在信号处理各种运算中内积变换发挥了重要作用。
内积变换可视为信号与基函数关系紧密程度或相似性的一种度量。
对于平稳信号，是利用傅里叶变换将信号从时域变为频域函数实现的方式是信号函数x （t ）与基函数i t e ω 通过内积运算。
匹配出信号x （t ）中圆频率为w 的正弦波.而非平稳信号一般会用快速傅里叶变换、离散小波变换、连续小波变换等这些小波变换的内积变换内积运算旨在探求信号x （t ）中包含与小波基函数最相关或最相似的分量。
“特征波形基函数信号分解”旨在灵活运用小波基函数 去更好地处理信号、提取故障特征。
用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息。
不同类型的机械故障会在动态信号中反应出不同的特征波形，如旋转机械失衡振动的波形与正弦波形有关，内燃机爆燃振动波形是具有钟形包络的高频波；齿轮轴承等机械零部件出现剥落。
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2分数阶统计历史
• • • • • • • • 高斯 拉普拉斯 柯西 Levy（1925、1937） Doblin（1939） Mandelbrot（1960） Stuck（1978） Nikias（1993）、Fabricius
School of EIE 4 12/15/2014
ˆ
0.0050 (2.16%) 0.0050 (1.69%) 0.0050 (1.77%)
ˆ eˆ lnˆ
• 基于特征函数估计
Method McCulloch (分位数) Koutrouvelis (特征函数) KogonWilliams School of EIE (特征函数)
ˆ
• 性质
o 关于随机变量和对称参数对称 o 有界且任意阶导数存在
• 对a>1的标准SaS可以渐近递推求解
School of EIE 12/15/2014 13
2.7SaS分布的随机过程
• 对实随机向量 x=[x1,…,xn] 的联合特征函数具有下列 形式，则 x=[x1,…,xn]是联合SaS分布，或 x=[x1,…,xn]服从SaS分布。
2.2 a稳定分布
• 概念
高斯变量之和仍然服从高斯分布
和的分布仍然服从相同分布，PDF形状稳定 o 稳定分布 o a稳定随机变量 Sa ( , , ) o a稳定特征函数
a • 特征指数 • 倾斜参数 • 比例参数/分散系数 • 定位参数 School of EIE
a a exp j | | 1 jsign( )tg ( ) a 1 2 ( ) 2 a exp j | | 1 j sign( ) ln | | a 1
2 a
6
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2.3特殊的a稳定分布
• 高斯分布
S2 ( ,0, ) N ( ,2 2 )
f ( x) (2 )1 exp(( x ) / 4 2 )
• 柯西分布
S1 ( ,0, ) / f ( x) ( x )2 2
0
5
0 -5
0
5
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x
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参量的变化
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a分布噪声-图像纹理
高斯纹理 SaS(a=1.5) 柯西(α=1.0 β=0)
Sa(α=1.2 β=-1)
SaS(α=1.2 β=0)
Sa(α=1.2 β=1)
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Sn ( X1 X n ) / an bn
• 其中 X i 是IID的。 • 特别的，如果 X i 是具有有限方差，高斯分布是 其极限分布---一般的CLT • PDF拖尾
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2.6 a稳定分布的概率密度函数
• PDF级数展开
1 (1) k 1 x ak k (ak 1)( ) sin[ (a )] 0 a 1 x k! r 2 1 f ( x; a, ) k k 1 1 ( 1 ) k x k ( 1)( ) ak sin[ (a )] 1 a 2 a r 2a x k 1 k!
2 tan(p / 2) E X C( p, )C( p, ) ,0 p min( ,1) sin( p / ) C ( p, ) E X E e
1 j sgn( ) ( , )
1 sgn( ) 0 1
, (0,2]
1 1
0 0 0
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2
1引言
二阶统计 分数低阶统计 高阶统计
0
0.5
1
1.5
2
3
4 统计量的阶数
二阶统计：应用广泛但有约束条件：LS、线性系统、最小相位 高阶统计：保留的非高斯信号的幅度/相位信息、可应用于非 最小相位系统 分数阶统计：二阶及高阶不存在，需要新的优化准则
a , ( ) exp
School of EIE
a
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14
例子：两元a分布的概率密度
α=0.9 β=1 γ=1
School of EIE
α=1.6 β=1 γ=1
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2.8 稳定分布的仿真
• • • •
高斯 柯西 Levy a稳定分布
T T a ( ) exp j u s F (ds) S
Hale Waihona Puke • SaS随机过程: 对随机变量集合{X(t),t∈T},随机变量 X(t1),X(t2),…X(tn)为联合SaS分布,且具有相同特征 指数,则{X(t),t∈T}称为SaS随机过程 • 特殊SaS分布，可以获得其概率密度函数
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2.4性质
• • • • • • • 分布拖尾情况 SaS分布 高斯分布与分数低阶a稳定分布 u的作用 Y X c ~ S ( , , c) 加性 X i是IID的, X ~ S ( , , ) 对称性 1 1 n d 1 , X X n X ( n n ) i 1 无限二阶统计 i 1
• 经典二阶统计中 • 对数阶随机变量x
ˆ arg min ˆ 2 ( x u)
ˆ arg minS0 ( x u ) ˆ arg min E log x u
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2.11共变（“协方差”）
• 共变定义
• 性质
① ② ③ 和的性质 独立条件下共变为零 与FLOM有关
[ X , Y ]a 0
E ( XY p 1 ) E( Y )
P
X , Y
E ( XY p 1 ) E( Y )
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P
y
[Y , Y ]a y
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XY
Gaussian pdf
()
0 -5
f(x)
0
5
0 -5
0
5
= 1, = 1, = 0, =0
1 0.3162
Cauchy pdf
()
0 -5
f(x)
0
5
0 -5
0
5
= 0.5, = 1, = 0, =0
1 0.2624
Levy pdf
()
0 -5
f(x)
2.1稳定分布-引言
• 历史
o 广义傅立叶变换
f N ( x)
o N=a，a稳定分布 o 广义中心极限定理 o 应用
1
0
exp( t N ) cos( tx)dt
• 特性
o 唯一一类符合广义中心极限定理的分布 o 更加广义的高斯分布，适用更广 o 与实际相吻合
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c S0 ( xc ) S0 ( x)
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2.10零阶矩
• 与FLOS的关系
p 1/ p o 定义FLOS的p阶矩推导的尺度参数为 S p ( E[| x | ]) S p S0 S p , p 0 o 那么几何功率与FLOS的0阶相关 S 0 lim p 0 o 均值估计
[ X , Y ]a xy
S a 1
u (ds )
z
z sgn( z )
• 共变系数定义
X ,Y
[ X , Y ]a [Y , Y ]a
[ AX1 BX2 , Y ]a A[ X1, Y ]a B[ X 2 , Y ]a
[ X , AY1 BY2 ]a A 1[ X , Y1 ]a B 1[ X , Y2 ]a
p p/a E [| x | ] C ( p , a ) ,1 p a, 0 ② 负阶矩
③ 零阶矩（下一页）
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2.10零阶矩
• 定义
o Gonalez的ZOS理论：p的选择 E[log | x |] o 对数阶 o a稳定分布过程称为对数阶过程
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2.9分数阶统计量(FLOS)
p E [| x | ] ① FLOM定义
o a<2的分数低阶a稳定分布，其二阶矩不存在 o 矩与分散系数的关系，u=0时 o 与随机变量x无关 p 1 p 1 2 ( ) ( p / a ) p/a C ( p , a ) 0 p a 2 p C ( p , a ) E[| x | ] a ( p / 2) pa
• 最大似然方法
/2 1/( 1) /( 1) f ( x ) x v ( ) exp[ x v( )]d 0 1
• 基于负阶矩的参数估计
o 负阶矩法
E X
p p
p p log X
o Log|SaS|法 Y log X • 定义Y • 性质
1.7005 (2.60%) 1.6988 (1.66%) 1.6994 (1.95%)
ˆ
0.1045 (110.72%) 0.0989 (108.21%) 0.0957 (110.59%)