波动方程偏移与反演
共偏移距道集平面波叠前时间偏移与反偏移
地 球 物 理 学 报
ＣＨ Ｉ Ｎ Ｅ Ｓ Ｅ Ｊ ＯＵＲ ＮＡ Ｌ Ｏ Ｆ Ｇ Ｅ Ｏ Ｐ ＨＹ Ｓ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ５ ２，Ｎ ｏ ． ５ ， Ｍ ａ ２ ０ ０ ９ ｙ
管路 平 ， 唐 亚 勋， 王 华 忠． 共 偏 移 距 道 集 平 面 波 叠 前 时 间 偏 移 与 反 偏 移． 地 球 物 理 学 报， ： ： ２ ０ ０ ９， ５ ２（ ５） １ ３ ０ １～１ ３ ０ ９， Ｄ Ｏ Ｉ １ ０． ／ ３ ９ ６ ９ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ０ ０ １ ５ ７ ３ ３． ２ ０ ０ ９． ０ ５． ０ １ ９ ｊ Ｇ ｕ ａ ｎＬＰ， Ｔ ａ ｎ ａ ｎ Ｃ ｏ ｍｍ ｏ ｎ ｏ ｆ ｆ ｓ ｅ ｔｐ ｌ ａ ｎ ｅ ｗ ａ ｖ ｅｐ ｒ ｅ ｓ ｔ ａ ｃ ｋｔ ｉ ｍ ｅｍ ｉ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｎ ｄｄ ｅ ｍ ｉ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． ∳ ∰‟ ｇＹ Ｘ，Ｗ ｇＨ Ｚ． ｇ ｇ （ ） ， （ ） ： ： ／ ｉ ｎＣ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ ２ ０ ０ ９， ５ ２ ５ １ ３ ０ １～１ ３ ０ ９， Ｄ Ｏ Ｉ １ ０． ３ ９ ６ ９ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ０ ０ １ ５ ７ ３ ３． ２ ０ ０ ９． ０ ５． ０ １ ９ ｊ ．
图11c是采用相同的偏移速度反偏移到偏移距200m的结果从图中可以发现在横纵向速度均剧烈变化的情况下叠前时间相移偏移也能取得基本令人满意的结果考虑到叠前时间偏移的局限更重要的是正反偏移后的结果和输入数据几乎无异这说明即使地质条件非常复杂我们也可以用比较粗糙的速度进行偏移反偏移地震数据的映射得到的结果也是比较可靠的基于此我们可以用共偏移距平面波叠前时间偏移反偏移的串联将非零偏移距数据投影到零偏移距相当于dmo处理将非零偏移距数据映射到另一个非零偏移距数据即进行地震数据规则化也可称偏移距外推及最小二乘偏移保真成像处理结论与讨论详细地讨论了共偏移距道集平面波叠前时间偏移算子与对应的反偏移算子算法的偏移孔径能够由最大慢度控制进而可以通过对最大慢度的改变而实现偏移孔径的变变孔径偏移大大提高了偏移的速度以及偏移的效果共偏移距道集平面波叠前时间偏移算子和反偏移算子的串联实现了把非零偏移距数据体映射成零偏移距数据体非零偏移距数据体映射成另一个非零偏移距数据体理论上共偏移距道集平面波叠前时间偏移只能处理介质但是从对横向变速比较剧烈的marmousi模型的数值试验结果中不难发现该算法也能得到比较令人满意的效果尽管上述地震数据映射过程中地震波的运动学特征保持得很好但是动力学特征的保持还有待改进一步的基于共偏移距道集平面波叠前时间偏移算子与对应的反偏移算子的最小二乘数据映射方法正在发展中期望会有利于映射后数据的动力学特征的改善使得地震数据的规则化方法更加完善参考文献referencesprocessingversusinversionblackwellscientificpublicationstygelmaunifiedapproachto3dseismicreflectionimagingbasicconceptsjrmathematicsofmultidimensionalseismicimagingdifferentialoffsetcontinuationseismicreflectiondatainterpolationdubrulleaanumericalmethodsforthemigrationofconstantoffsetsectionsinhomogeneousandhorizontallygazdagjwaveequationmigrationwiththephaseshift频率波数域共偏移距叠前时间偏移方法
波动方程的变形问题
波动方程的变形问题波动方程是一种描述波动现象的偏微分方程，它在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用。
然而，在实际情况中，波动系统常常受到各种外界因素的影响，导致波动方程出现各种变形问题。
本文将从数学角度探讨波动方程的变形问题及其解决方法。
一、波动方程波动方程是一种描述波动现象的偏微分方程，可以用来描述波动在空间和时间上的变化规律。
形式上，波动方程可以表示为：\begin{equation}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u\end{equation}其中，$u$是波动的物理量，比如声波中的压力、光波中的电场强度等；$t$是时间；$c$是波的速度；$\nabla^2$是拉普拉斯算子。
二、波动方程的变形问题在实际情况中，波动系统常常受到各种外界因素的影响，导致波动方程出现各种变形问题。
例如：1. 非线性波动方程当波动系统受到强烈的非线性影响时，波动方程将变成非线性波动方程。
这种情况下，波动的物理量不再满足线性规律，而是出现了明显的非线性效应。
非线性波动方程的形式如下：\begin{equation}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u + f(u)\end{equation}其中，$f(u)$是一个非线性函数。
2. 不均匀介质中的波动方程当波动系统传播介质的物理性质发生改变时，波动方程将变成不均匀介质中的波动方程。
在这种情况下，波的速度和传播介质的密度、粘度、流变性等物理量有关，因此波动方程的形式会发生变化。
不均匀介质中的波动方程可以表示为：\begin{equation}\frac{\partial}{\partial x_i} \left(p_{ij} \frac{\partial u}{\partial x_j} \right) + f_i = \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\end{equation}其中，$p_{ij}$是传播介质的物理性质张量；$f_i$是外力作用力；$\rho$是介质密度。
AVO技术及其特点
A VO技术及特点AVO是英文Amplitude Various with Offset的简写，早先称之为Amplitude Versus Offset。
A VO技术则是通过建立储层含流体性质与AVO的关系，应用A VO的属性参数来对储层的含流体性质进行检测[32]。
在实际应用中，就是利用地震反射的CDP道集资料，分析储层界面上的反射波振幅随炮检距的变化规律，或通过计算反射波振幅随其入射角q的变化参数，估算界面上的A VO属性参数和泊松比差，进一步推断储层的岩性和含油气性质[33，。
A VO应用的基础是泊松比的变化，而泊松比的变化是不同岩性和不同孔隙流体介质之间存在差异的客观事实。
基于这种事实，使我们应用A VO技术进行储层识别和储层孔隙流体性质检测成为可能。
A VO技术主要有以下几方面的特点：１、A VO技术直接利用CDP道集资料进行分析。
这就充分利用了多次覆盖得到的丰富的原始信息，而各种利用叠后资料进行解释的方法都忽视和丢掉了包含在原始道集里的很有价值的信息。
２、亮点技术的理论基础是平面波垂直入射情况下得出的有关反射系数的结论，仅用反射系数的大小和极性变化来推断界面的特性（波阻抗差）。
而A VO技术利用了振幅随炮检距(入射角q)变化的特点，也就是说，利用了整条R(q)曲线的特点，亮点技术只利用了q=0这一特殊情况下曲线的一个数值。
所以，一般说来，A VO技术对岩性和储层含流体性质的解释要比亮点技术更为可靠。
从而，亮点剖面上的一些假异常也有可能利用A VO技术进行全面识别[52]。
３、波动方程偏移技术是利用波动方程进行地震剖面成象的一个重大成果，也可看作是用波动方程进行地下构造形态的“反演”。
而直接利用波动方程进行地层弹性参数的反演(也可看作是岩性反演)的工作，虽然近几十年已进行了大量研究，但离真正用于生产还有一定距离。
A VO技术严格来说虽然还不能算是一种利用波动方程进行岩性反演的方法，但它的思路，理论基础已经是对波动方程得到结果的比较精确、而且直接的利用。
地震波逆时偏移方法研究
地震波逆时偏移方法研究地震波逆时偏移方法（Reverse Time Migration，RTM）是一种新型的地震成像方法，具有较高的精度和分辨率，广泛应用于油气勘探、地震地质研究等领域。
本文介绍了地震波逆时偏移方法的基础原理、算法和应用研究现状。
地震波逆时偏移方法是利用地震波在地下传播与反射的特性实现对地下结构的成像。
其基本原理是以地震波源为中心，将地震记录数据在时间轴上倒序反演到地震波源处，然后进行反射成像。
具体来说，地震波逆时偏移方法主要包括以下步骤：1、前向传播：在地震波源处施加指定波形的地震震源，将地震波信号传播到每个模型单元。
2、反演求解：根据反演方程，利用上一时刻网格单元中的压力场信息和速度模型，计算当前时刻的速度场和压力场。
同时，计算观测数据的残差，通过残差的逆时中心分散源分布对速度模型进行校正。
3、反向传播：反推每个时刻的波场信息，得到在地震波源处反射回来的应力波形，从而实现成像。
在地震波逆时偏移方法的实现中，需要采用适当的算法来计算速度模型和波场信息。
下面分别介绍常用的有限元方法、有限差分方法和偏移算法。
1、有限元方法有限元方法是一种数值方法，通过将地下结构离散化成有限个结构单元，采用形函数法和单元刚度矩阵计算波场信息。
有限元方法的优点是可以很好地处理波传播和反射现象，但计算量较大，需要较高的计算效率和处理力。
有限差分方法是一种数值离散方法，采用差分算子计算相邻单元间的差分，采用传播规则更新波场信息。
有限差分方法计算速度模型较为简单，但需要大量的内存和计算资源。
3、偏移算法偏移算法是一种基于波动方程的成像算法，具有较高的成像精度和分辨率。
偏移算法主要由反演、卷积、积分三个部分组成。
通过从地震数据中提取反射信息，根据波动方程求解反传波场信息，再与传播波场信息卷积运算得到成像结果。
地震波逆时偏移方法已经成为研究地下结构、油气田勘探等领域的重要工具。
目前，该方法在地震资料处理、反演成像、油气勘探等方面得到广泛应用。
波动方程的双曲波问题
波动方程的双曲波问题波动方程是自然科学中具有重要意义的一类偏微分方程，它描述了许多与波动有关的现象，如机械波、电磁波等。
由于它极具实用性，被广泛应用于物理学、工程学等领域。
但是，波动方程的解法却十分困难，尤其是在存在“双曲波”问题的情况下。
本文将深入探讨波动方程的双曲波问题，旨在展示这一问题的困难之处，并探讨解决这一问题的方法与意义。
一、波动方程与双曲波问题波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述了波动在一定条件下的传播规律。
波动方程通常被表示为：∂²u/∂t²=c²∆u其中，u代表波时空分布的幅度，c代表波在空间中传播的速度，∆u代表波在空间中的扩散速度。
这个方程虽然形式简单，但是它的解却非常复杂。
在特定条件下，波动方程需要面对“双曲波”问题，这使得其解法变得十分困难。
什么是双曲波问题呢？简单而言，双曲波问题是指波在一个开放的区域中传播时，会产生大量的反射现象，导致波的能量不仅向前传播，还会向后反射，形成相反方向传播的波。
这种现象称为“双曲性”。
二、解决双曲波问题的方法对于波动方程的双曲波问题，解法十分困难。
然而，我们并没有放弃寻找解决方法的努力。
下面，将介绍两种主要的解决双曲波问题的方法。
1.改良后的正演算法正演算法是求解波动方程的一种方法，它通过模拟波的传播过程来求得波的空间分布规律。
但是，正演算法常常存在不稳定性和数值误差的问题，尤其是在处理双曲波问题时。
因此，人们尝试推出改良后的正演算法，以解决双曲波问题。
改良后的正演算法采用了更为复杂的算法，可以通过调节模型的参数来控制波的传播方向和反射率，从而使波的传播变得更加稳定和准确。
虽然这种方法的计算复杂度要高于传统的正演算法，但是它可以快速有效地解决双曲波问题，有着重要的实用价值。
2.逆时偏移逆时偏移是一种新的波动方程反演方法，它可以在同时处理多个传感器数据的情况下，以更高的精度和速度来准确地恢复波的真实情况。
在处理双曲波问题时，逆时偏移可以通过对相反传播的波进行综合处理来消除反射干扰，从而得到比正演求解方法更为准确的结果。
三大偏移方法的对比-克西霍夫偏移、有限差分、波动方程偏移
叠加偏移成像技术1.多次覆盖技术的意义。
在野外采用多次覆盖的观测方法，在室内将野外观测的多次覆盖原始记录经过抽取共中心点或共深度点或共反射点道集记录、速度分析、动静校正、水平叠加等一系列处理的工作过程，最终得到基本能够反映地下地质形态的水平叠加剖面或相应的数据体，这一整套工作称为共反射点叠加法，或称为水平叠加技术。
多次覆盖是当今地震勘探野外作业中最基本的工作方法。
多次覆盖资料既是野外工作的最终成果之一，也是室内资料处理和各种反演工作最基础、最原始的资料。
多次覆盖技术最早是由梅恩提出的，它的基本思想是按照一定的观测系统对地下某点的地质信息进行多次观测，这样可以保证即使有个别观测点受到干扰也能得到地下每一点的有效信息，从而使原始记录有了质量保证。
多次覆盖技术的最突出的作用是能够有效地压制随机噪声，提高信噪比，比如经过n 次覆盖，信噪比是原来信号的√n倍。
从而突出反射波，压制干扰波，提高信噪比，为地震资料处理解释提供较高质量的地震资料。
2.比较三大类偏移方法的优劣势。
目前，所说的三大类偏移方法指的是Kirchhoff积分法、有限差分法和频率-波数域偏移法。
下面将对这三类方法的优点和不足进行简单的比较。
（1）偏移孔径的差异Kirchhoff积分法一般需要根据偏移剖面上的倾角确定偏移范围，即孔径。
这个孔径在理论上可以取成满足90°倾角的要求。
但实际上总是取得小一些。
特别是浅层一般取±25°以内即可。
深层的孔径要大一些，但是要以最大倾角为依据。
否则，或者增加工作量，或者增强偏移噪声。
频率-波数域偏移没有孔径限制，因此它可以自然满足±90°倾角偏移。
它与Kirchhoff 积分法的控制孔径的方式不同，频率-波数域偏移法可以通过在频率-波数域中的二维滤波来控制偏移孔径。
有限差分法可以通过数值的粘滞性来控制孔径，其实质也是一种二维滤波。
另外，有限差分法常用的是一种近似方程。
波动方程反演问题的一种新的逼近方法
波动方程反演问题的一种新的逼近方法
近几十年来，波动方程反演问题一直是计算机科学领域中一个重要的研究课题，在多学科的联合研究中发挥着重要的作用。
传统的数值方法，如有限元法、有限差分法，和谱方法，可以解决一些比较简单的求解问题，但是当处理复杂的反演问题时，这些方法有其局限性。
随着计算机技术的发展，新的方法和算法被提出，逐步超越了传统数值方法。
最近，研究人员提出了一种新的、高效的逼近方法，用于解决波动方程反演问题。
这种方法结合了多步格式（multi-step format）和深度学习（Deep Learning）技术，克服了传统方法的缺点，可以有效地解决复杂的反演问题。
首先，通过提出一种新的逼近格式，来更好地解决波动方程的反演问题。
该逼近格式的灵活性非常强，可以改变与波动方程有关的参数，从而更好地拟合波动方程的真实解。
其次，通过使用深度学习技术，可以更好地提取非线性特性，以便更好地表达波动方程的真实解。
最后，通过提出一种新的多步格式，可以更快地收敛到正确的解，并且可以有效地减少计算量。
实验结果显示，这种新的逼近方法能够较好地模拟波动方程的真实解，而且可以更有效的解决复杂的反演问题。
同时，这种新的逼近方法还可以更好地应用到其他复杂的求解问题中，因此广泛应用于不同领域，发挥着重要的作用，为研究者提供了更多有价值的信息。
总之，本文提出了一种新的逼近方法，用于解决波动方程反演问
题。
这种新的逼近方法具有灵活性强、计算量少、可靠性高和可扩展性等优点，并可以有效地用于其他复杂求解问题中，发挥着重要的作用，为研究者提供了更多有价值的信息。
地震偏移方法波动方程原理
地震偏移方法波动方程原理嘿，咱今儿就来唠唠地震偏移方法波动方程原理。
你说这地震波啊，就像是个调皮的小精灵，在地下到处乱窜。
波动方程呢，就像是给这个小精灵画了一幅特别的地图，让我们能清楚地知道它是怎么跑的。
想象一下，地震波就像是在大海里涌动的波浪，而波动方程就是那掌握波浪规律的神奇密码。
它可不是随随便便就出现的哦，那可是科学家们经过无数次的研究和探索才找到的宝贝呢！通过波动方程，我们能更准确地了解地下的结构，就好像我们有了一双能穿透地下的眼睛。
比如说，我们可以知道哪里有断层，哪里有岩层，这多厉害呀！这就好比我们在玩一个超级复杂的拼图游戏，而波动方程就是帮我们找到正确拼图块的关键线索。
要是没有波动方程，那我们对地下的了解可就模糊多啦。
就好像在大雾天走路，模模糊糊啥也看不清。
但有了它，嘿，那可就大不一样啦！而且啊，这地震偏移方法就像是个魔法棒，能把那些模糊不清的地震数据变得清晰起来。
它能让我们看到地下更真实的情况，这可不是一般的厉害哟！你想想看，以前我们对地下的认识可能就像是隔着一层纱，现在呢，这层纱被揭开了，一切都变得明明白白的。
这感觉，是不是特别棒？它就像是给我们打开了一扇通往地下神秘世界的大门，让我们能更好地探索地球的奥秘。
这可不是随便说说的，这可是有着实实在在的意义呢！对于地质学家来说，这就像是给了他们一双超级厉害的翅膀，能让他们在地质研究的天空中飞得更高更远。
对于我们普通人来说，这也意味着我们能更好地了解我们生活的地球呀。
所以啊，可别小看了这地震偏移方法波动方程原理，它可是有着大用处的呢！它就像是黑暗中的一盏明灯，照亮了我们探索地球的道路。
难道不是吗？。
波动方程的反问题
波动方程的反问题波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它出现在许多领域的问题中，例如地震波传播、声波传输、光学成像等等。
在实际应用中，有时候我们需要通过实验或观测得到某个物理量的变化情况，然后再通过求解波动方程的反问题来推算出波源或介质的性质。
这种方法通常称为反演，其目的在于通过观测数据推导出波源、介质或边界的未知参数，并且可以为实际问题提供有效的解决方案。
本文主要讨论波动方程的反问题，包括反演方法、数学模型等方面的内容，并将其应用于地震波传播的实际情况中。
一、波动方程的反问题波动方程可以描述波的传播规律，其基本形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2\nabla^2u=f$$其中，$u$是波的位移、$c$是介质的波速、$f$是波源。
在实际问题中，有时候我们需要通过观测得到某个参数的变化情况，例如地震波的振幅、到时等，从而推算出地下介质的情况。
这种方法被称为波动方程的反问题，它是基于被观测数据对未知物理量进行估计的数学方法。
通常，我们需要通过实验或观测得到波的传播情况，这些数据通常包括波的到达时间、振幅、波速、波形等信息。
对于反问题，我们需要将这些数据应用于波动方程的求解过程中，从而推导出与这些数据相对应的未知参数。
可是，问题是这些数据往往是受到干扰或误差的，因此我们需要设计相应的数学模型和反演方法来得到最优的结果。
二、反演方法常见的反演方法包括逆时偏移法、全波形反演、叠前深度偏移等多种方法。
这些方法基于不同的思路和数学模型，具有不同的优缺点，在不同的领域得到了广泛的应用。
1. 逆时偏移法逆时偏移法（Reverse Time Migration，简称RTM）是地震勘探中比较常用的一种反演方法。
它利用波动方程的可逆性质，反演得到地下介质的结构信息。
具体来说，该方法通过偏移反距离记录自由表面反射波数据，以地震记录的数据为观测数据，利用逆时傅里叶变换及反传播的方式来求解地下介质的结构信息。
波动方程偏移
S ( x, y, z,t ) R( x, y, z,t )dt /
t 0
R( x, y, z,t ) 2
互相关成像条件易于实现，便于并行，不存在稳定性问题，并且不会丢失波场信息， 成像结果的单位是振幅的平方，与震源能量具有任意比例，分辨率偏低。归一化互相关 成像结果与反射系数具有相同的（无量纲）单位。
2015-7-19
中国石油大学(华东)
基本原理
利用一系列脉冲测试得出结论：归一化的成像条件可以衰减浅层的成像噪声，并能补偿深层能量， 最终改善成像效果。 对比陡倾角处的能量可以看出检波归一化对陡倾角的能量稍微强一点，但是震源归一化补偿的角 度更大一些。
图3-22 不同成像条件的脉冲测试结果 (a) 互相关成像条件；(b) 震源归一化互相关成像条件；(c) 检波归一化互相关成像条件 中国石油大学(华东)
(华东) 中国石油大学 原始单炮记录
Depth/ft
多次波
Sigsbee2b速度模型剖面
应用实例
带误差补偿的频空域有限差分偏移
用此含有多次波的模型数据， 不经过任何去除多次波之类 的预处理，直接进行逆时偏移， 所得的结果
中国石油大学(华东)
应用实例
CDP
Depth/ft
下面将方框内的部
分放大，与原始速 度场进行对比
基于带误差补偿的直接下延法傅立叶有限差分法单程波偏移
基于复杂地表的RTM偏移
中国石油大学(华东)
应用实例
(a) (b) (c)
叠前深度偏移结果 (a) PS法叠前深度偏移结果；(b)基于共反射角道集的保幅偏移结果；(c)RTM成像结果
某探区实际资料的层速度模型
相对常规的相屏法叠前深度偏移RTM结果成像有了很大的改善，提供了可与保幅偏移结果比拟的成 像质量，并且浅层信息更多。 中国石油大学(华东)
频率波数域波动方程偏移
(6.4-80)2.频波域波动方程偏移的特点优点：①利用快速付氏变换，偏移效率高②适合于大倾角的地区。
（二）频率波数域波动方程偏移序：有限差分法是在时空域进行偏移，利用付氏变换可在频率波数域实现偏移 1 .偏移公式 ① 速度减半后的波动方程: _2 _ 2 ’ _ 2r u ：u 4 r u 八 0 :x :z V :t (6.4-67)对上式进行关于x 和t 的二维付氏变换，速度用常数，得 (6.4-77)式中U 二U （k x ，z,「）是波场函数u （x,z,t ）的二维付氏变换。
求解（6.4-77 ），有两个解，分别对应着上行波和下行波。
偏移研究的是上 行波的向下延拓问题，所以只取上行波解为：U(k x ,z, •) =U (k x ,0/ )exp[j(42 -k ；)2z]V 2(6.4-78 )物理意义：用地面波场的付氏变换U （k x ,0/ ）,可求出地下任何深度处的波场的付氏变换U （k x ,z/ ），是频率波数域内的常速波场延拓公式。
求地下任意深度处的波场u （x,z,t ） 对（6.4-78 ）进行反付氏变换，得 1 ■- : ■-:U (x, z,t) U (k，乙)e j( tkxx)d 皿 (6.4-79 )成像取t=0时刻的波场，由（6.4-79 )得1 ■. : ■.:—u(x,z ,0)= 2」sLoU (k,z/ )e jkxx d ■ dk x 将(6.4-78)代入1 ■-: ■-:4 -' U(k x")eX p{j[k x X (V 21-kx)2z]}d' dk x缺点：①速度横向变化大的地区不能用②必须注意采样间隔，以免出现假频（三）克希霍夫积分偏移1.用克希霍夫积分解求解波动方程 2 •维波动方程克希霍夫积分解P13 图6.1-12 克希霍夫积分示意图如果围绕着震源的封闭曲面 Q 已知Q 面上波动的位移位© （x i ,y i ,z i ,t ）及其对 时间对空间的导数，且这些值是连续的没有奇点。
时间域弹性波动方程全波形反演方法研究
Full Waveform Inversion based on the Time-domain Elastic WaveEquationsABSTRACTFull waveform inversion can obtain the parameter of the subsurface medium by calculating the minimum of the objective function which is built by the residuals between the observed and simulated seismic data. Due to its high resolution, it has become a research hotspot in recent years. Because only P-wave velocity cannot satisfy the requirements of the seismic imaging as the increase of the exploration sophistication and refinement, we conduct a study on time domain elastic full waveform inversion in this paper. According to the Lagrange adjoint theory, we derive the adjoint wave equations and gradient expressions based on the 1st-order velocity-stress elastic wave equations. We adopt the convolutional perfectly matched layer (CPML) to absorb the reflections from the boundary caused by the manual intercept. With respect to the high dependency of FWI on the initial models, we apply the multi-scale inversion strategy based on the low-pass filter, reducing the dependency on the initial models and improving the inversion results. We use the 2D and 3D synthetic seismic data to perform the tests and the corresponding results show the feasibility of this algorithm. Considering that it is difficult to acquire accurate wavelet in practical seismic exploration and inaccurate wavelet may lead to the collapse of the inversion, we perform propose the source-independent elastic full waveform inversion based on the convolutional objective function, and add a time window on the reference trace to suppress the noise induced by the convolution and cross-correlation operation. In order to improve the robustness of our algorithm to the noises, we adopt the L1-, Huber- and hybrid-norm objective function. In addition, based on the filtering effect of convolution operation, we design a multi-scale inversion strategy based on this objective function. By gradually improving the dominant frequency of source wavelet, we can reduce the dependency on the initial models and improve the accuracy of inversion results. The inversion results of the synthetic seismic data show that although the wavelet is estimated inaccurately, we can still obtain the accurate inversion results. The inversion results of real seismic data further verify the reasonability and accuracy of this method. For the problems of high amount of computation and storage of seismic wavefields, we apply the source-encoding method based on the orthogonal basis of trigonometric functions to FWI, by which we can not only avoid the high storage amount, but alsoencode many individual excited sources into one super source, reducing the times of wavefield forward- and backward-propagation and improving the efficiency of FWI. More importantly, this method does not have cross-talk noises which is induced by the conventional source-encoding method. Inversion results of synthetic seismic data prove the feasibility and accuracy of this algorithm.Key Words：Elastic wave equations; Full waveform inversion; Multi-scale; Source-independent; source-encoding创新点1．针对一阶速度—应力弹性波动方程，提出了基于卷积型目标函数的不依赖子波的时间域弹性波全波形反演方法，降低或消除了子波估计不准确对于全波形反演的影响，即使是狄拉克脉冲型子波，通过该方法也可以获得一个比较准确的反演结果。
物理学中的波动方程解析
物理学中的波动方程解析波动是物理学中常见的一种现象，波动方程是描述波动现象的数学方程。
在物理学中，探索和解析波动方程是研究波动现象的基础。
本文将介绍波动方程的概念、求解方法以及应用领域。
一、波动方程的概念波动方程是描述波动现象的数学方程，通常可以用偏微分方程的形式表示。
对于一维波动，其波动方程可以写作：∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中，u是波动的位移，t是时间，x是空间坐标，v是波速。
这个方程描述了波动的传播规律，通过求解这个方程，我们可以获得波动的解析表达式。
二、波动方程的解析求解方法波动方程的解析求解方法主要有分离变量法、变量分离法和叠加法等。
这些方法的基本思想都是通过将波动方程转化为一些较简单的方程，然后逐步求解，最终得到波动的解析表达式。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解波动方程的方法。
它的基本思想是将波动方程中的变量分开，并将其作为多个方程来求解。
例如，对于一维波动方程，我们可以将其分离为两个一维方程，一个关于时间的方程，一个关于空间的方程。
然后，对这些方程进行求解，最后通过叠加原则得到波动的解析表达式。
2. 变量分离法变量分离法是另一种常用的求解波动方程的方法。
它的基本思想是假设波动的解可以表示为两个变量的乘积形式，然后将波动方程中的变量分离。
例如，对于一维波动方程，我们可以假设波动的解可以表示为u(x, t) = X(x)T(t)，然后将波动方程中的x和t分离，并将其化简为两个分别关于x和t的常微分方程。
最后，通过求解这些方程，可以得到波动的解析表达式。
3. 叠加法叠加法是一种常用的求解波动方程的方法。
它的基本思想是将波动方程中的初始条件分解为一系列简单波的叠加，然后利用叠加原理求解波动方程。
例如，对于一维波动方程，我们可以将初始条件分解为一组正弦波的叠加，然后将这些正弦波的解表达式代入波动方程进行计算，最终得到波动的解析表达式。
波动方程反演问题的一种新的逼近方法
波动方程反演问题的一种新的逼近方法波动方程反演问题是一个既重要又有挑战性的数学问题，它在物理学，工程学，医学，经济学等多个领域有广泛的应用。
其本质是从测量参数求解未知函数，这个过程称为反演。
由于传统反演方法的计算复杂度和模型误差问题，迫切需要一种新的反演方法来提高反演效率和精度。
本文提出了一种新的反演方法，用于求解波动方程反演问题。
我们将波动方程模型化为一个非线性最优化问题，分别使用快收敛的误差函数法和混合粒子群优化算法来求解未知参数。
在实验室数据的基础上，我们将反演方法应用于几种典型的波动方程模型，并进行了详细的分析。
结果表明，与传统方法相比，本文提出的反演方法具有更高的反演准确性和更快的收敛速度。
1.动方程反演问题波动方程反演问题是指从测量参数求解未知函数，这类问题在多个领域（如物理学，工程学，医学，经济学等）有着重要的应用。
传统的反演方法包括拟牛顿迭代法，反演积分法，局部最小二乘法，最小范数法和最小距离法等，但这些方法存在模型误差问题，计算复杂度大等缺点。
为了提高计算效率和反演精度，人们提出了一种新的反演方法，即数值优化。
在数值优化方法中，最常用的是最优化算法，它将反演问题转化为一个最优控制问题。
最优化算法可以有效地求解复杂的优化问题，其中包括粒子群优化算法，蚁群算法，模拟退火算法，遗传算法，混合粒子群优化算法等。
2.的反演方法本文提出一种新的反演方法，通过将波动方程模型化为一个非线性最优化问题来求解未知参数。
我们将波动方程模型的反演问题转换为一个约束最优化问题，将实测的数据作为目标函数，引入一种收敛快的误差函数作为最优化函数。
该误差函数可以快速将优化过程聚焦于最优解，并且不会收敛于局部最优解。
同时，为了提高反演精度，我们将混合粒子群优化算法应用于解决未知参数问题。
该算法结合了粒子群优化算法和基于模拟退火的优化算法，可以有效搜索全局最优解，而且算法收敛速度快、效率高、可靠性高。
3.验结果为了验证本文提出的反演方法的有效性，我们将其应用于几种典型的波动方程模型，并以实验室数据为基础进行分析。
波动方程的作用
波动方程的作用引言波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将探讨波动方程的作用，包括其在自然科学和工程技术中的应用，以及对人类社会的影响。
波动方程的定义与基本性质波动方程是一类偏微分方程，描述了波动传播的行为。
一维情况下的波动方程可以表示为：∂2u ∂t2=v2∂2u∂x2其中，u是波函数，t是时间，x是空间位置，v是波速。
波动方程具有以下基本性质： 1. 线性性：波动方程是线性偏微分方程，满足叠加原理。
2. 波速性：波动方程中的波速v描述了波动的传播速度，是波动方程的一个重要参数。
3. 能量守恒：波动方程满足能量守恒定律，能量在波动传播过程中保持不变。
自然科学中的应用光学光学是波动方程在自然科学中的一个重要应用领域。
光是一种电磁波，可以通过波动方程来描述其传播行为。
波动方程在光学中的应用包括： 1. 光的传播与衍射：波动方程可以用来描述光在不同介质中的传播行为，以及光通过小孔或物体边缘时的衍射现象。
2. 光的干涉与破坏：波动方程可以用来描述光的干涉现象，如双缝干涉和薄膜干涉；同时也可以用于分析光的破坏现象，如光的散焦。
声学声学是研究声波传播的学科，也是波动方程的一个重要应用领域。
声波是一种机械波，可以通过波动方程来描述其传播行为。
波动方程在声学中的应用包括： 1. 声波传播与反射：波动方程可以用来描述声波在不同介质中的传播行为，以及声波与物体边界的反射现象。
2. 声音的共振与谐波：波动方程可以用来分析声音共振的现象，如管道的共振和乐器的音色。
工程技术中的应用地震勘探地震勘探是利用地震波在地下介质中传播的特性来获取地下结构信息的一种技术。
波动方程在地震勘探中的应用包括： 1. 地震波传播模拟：波动方程可以用来模拟地震波在地下介质中的传播过程，从而预测地震波在地表的观测结果。
2. 地震成像与反演：通过对地震波观测数据进行处理和分析，可以利用波动方程进行地下结构成像和参数反演，从而获得地下地质信息。
波动方程反移动源问题
第 43 卷第 3 期2024年 5 月Vol.43 No.3May 2024中南民族大学学报（自然科学版）Journal of South-Central Minzu University（Natural Science Edition）波动方程反移动源问题郭军，于群意*，李瑞红（中南民族大学数学与统计学学院，武汉430074）摘要考虑三维波动方程的反移动源问题，其移动源项为F(x，t)=f(x-a(t))g(t). 波场在可测量球面上的Dirichlet数据已知，利用Fourier变换将波动方程问题转化为频域的Helmholtz方程，建立了源项与观测数据的积分等式.利用Fourier逆变换和一阶微分方程解的存在唯一性定理，证明了轨迹函数a(t)的存在唯一性.最后，利用积分不等式来分析反演a(t)的稳定性.关键词反移动源问题；Fourier变换；唯一性；稳定性中图分类号O175.27 文献标志码 A 文章编号1672-4321（2024）03-0428-05doi：10.20056/ki.ZNMDZK.20240319Inverse moving source problems for the wave equationGUO Jun，YU Qunyi*，LI Ruihong（College of Mathematics and Statistics，South-Central Minzu University，Wuhan 430074，China）Abstract The inverse moving source problem of three-dimensional wave equation is investigated，and F(x，t)=f(x-a(t))g(t) is the moving source term. The Dirichlet data of the wave field in the measurement sphere is known， then by using the Fourier transform， the problem of wave equation can be transformed into the Helmholtz equation on frequency-domain，which enables us to establish the integral equality of the source term and the observation data. Based on the inverse Fourier transform as well as the existence and uniqueness theorem of first-order ODE，the existence and uniqueness of orbit function a(t) is demonstrated. Finally， by the integral inequality， the stability can be proved. Keywords inverse moving source problem； Fourier transform； uniqueness ； stability带源项的声波在均匀介质中以声速c=1传播，其偏微分方程模型为：∂tt u(x，t)-Δu(x，t)=F(x，t)，x∈R3，t>0.其中，u(x，t)表示波场，Δ是Laplace算子，F(x，t)表示声源项且具有紧支撑集D×(0，T0)，D⊂R3，T0是一个正常数.假设u(x，t)满足如下齐次初始条件：u(x，0)=0，u t(x，0)=0，x∈R3.众所周知，当源项已知且满足F()x，t∈L2(()0，T0 L2()D)时，根据椭圆正则性结果［1-2］，上述初值问题具有稳定的唯一解：u(x，t)∈C1([0，+∞]；L2(R3))∩C([0，+∞]；H1(R3)).源项已知情况下求解波场u(x，t)的问题称为正问题.记B r：={x∈R3，|x|<r}，Γr：={x∈R3，|x|=r}，r是一个足够大的常数使得D⊂Br，本文考虑的反问题是根据声波的边界测量数据{u(x，t)；|x|=r，t>0}来确定源项F(x，t).对于一般的源项，由于非辐射源的存在，该反问题的解往往不具有唯一性，因此需要源项的更多信息.关于此类问题的反问题研究可参考YAMAMOTO等人的研究结果［3-4］.收稿日期2023-05-11 * 通信作者于群意，研究方向：波动方程反源问题，E-mail：**************作者简介郭军（1980-），男，讲师，博士，研究方向：逆散射理论，E-mail：**************基金项目中南民族大学大学生创新训练计划资助项目（XCX2253）第 3 期郭军，等：波动方程反移动源问题当F (x ，t )=f (x )g (t )，即源项关于时间和空间变量是分离的，利用Carleman 估计以及唯一延拓原理可以得到反源问题的唯一性与稳定性的一些结果，如文献［5-6］.此外根据Fourier 分析和惠更斯原理，也可获得部分反问题的解，如文献［7-8］.进一步考虑源项为移动源的情形，即F (x ，t )=f (x -a (t))g (t ).物理上，空间移动的源函数可以看作是由移动天线发射的脉冲信号的近似值，而时间函数通常用于模拟源幅度在时间上的演化.文献［9］考虑了电磁场散射中此类反问题的唯一性，但没有考虑其稳定性.作者利用Fourier 变换把时间域的散射模型转化为频域的Maxwell 方程，然后根据积分等式的性质得到源轮廓函数f (x )的唯一性，并进一步得到轨迹函数a (t )的唯一性.我们在利用积分等式证明轨迹函数的唯一性时，得到关于a (t )的一个常微分方程，根据常微分方程解的存在理论证明了该结论.1 问题模型考虑如下时域声波方程：ìíîïï∂tt u -Δu =f ()x -a ()t g ()t x ∈R 3，t >0，u ()x ，0=∂t u ()x ，0=0 x ∈R 3.（1）其中，f (x -a (t ))：R 3→R 3是源轮廓函数，g (t )：R +→R 是时间函数，a (t )=(a 1(t )，a 2(t )，a 3(t ))：R +→R 3是移动源的轨迹函数.假设轮廓函数f (x )具有紧支撑B r ：={x ∈R 3，}||x <r ，r 为一个正常数；源只在一个有限时间段[0，T 0]内有辐射，即g (t )=0，t ≥T 0，t ≤0，且只在一个有限区域移动，即|a (t )|≤r 1，r 1为一个正常数.显然，r >r +r 1，取T =T 0+r +r 1+r ，由惠根斯原理可知：u (x ，t )=0，x ∈B r ，t >T .进一步假设函数f (·)，g (t )已知，本文研究如何利用边界测量数据{u (x ，t )；|x |=r ，t ∈(0，T )}来唯一确定移动源的轨迹函数a (t )，并分析反演a (t )的稳定性.2 主要结果及证明本节研究了波动方程（1）反问题的解，证明了解的存在性和稳定性，即定理1和定理2.为了证明主要结果需要用到以下结论.函数f (x ，y )在矩形域R ：|x -x 0|≤a ，|y -y 0|≤b上连续，若存在常数L >0，使得不等式|f (x ，y 1)-f (x ，y 2)|≤L |y 1-y 2|对于所有(x ，y 1)，(x ，y 2)∈R 都成立，则称函数f (x ，y )在R 上关于y 满足Lipschitz 条件.一阶微分方程解的唯一性存在定理如下：引理1［10］ 考虑一阶微分方程d yd x =f (x ，y )，若f (x ，y )在矩形域R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程存在唯一的解y =φ(x )，定义于区间|x -x 0|≤h 上，这里h =min (a ，bM )，M =max ()x ，y ∈R|f (x ，y )|.定理1 假设a (t )∈C 2(0，+∞)，|a'(t )|<1且a (0)=0.f (·)，g (t )已知，且f (·)∈L (-∞，∞)∩C 1(-∞，∞)，g (t )∈C 1(0，+∞)，g (t )>0，则轨迹函数a (t )可由波场的边界测量数据{u (x ，t )；|x |=r ，t ∈(0，T )}唯一确定.证明 对（1）中声波方程作Fourier 变换得Δu (x ，k )+k 2u (x ，k )=-∫0T f (x -a (t ))g (t )⋅e -iktd t ，（2）其中，u (x ，k )是u (x ，t )关于t 的Fourier 变换.将方程（2）两边同时乘以e -ikx ⋅d 并在可测量球面ΓR 内区域D 积分，即∫D ()Δu ()x ，k +k 2u ()x ，k ⋅e -ikx ⋅dd x =-∫D∫0T f ()x -a ()t g ()t ⋅e -ikt⋅e-ikx ⋅dd t d x .（3）根据Fourier 变换的平移性质(f (x -a ))∧=e -iaξf (ξ)，对方程（3）右式，有-∫D ∫0T f ()x -a ()t g ()t ⋅e -ikt⋅e -ikx ⋅dd t d x =-∫0T ∫Df ()x -a ()tg ()t ⋅e -ikx ⋅d⋅e -iktd x d t =-f (kd )∫0T e -ik ()a ()t ⋅d +tg (t )d t ，（4）对于方程（3）左式类似可得429第 43 卷中南民族大学学报（自然科学版）∫D()Δu ()x ，k +k 2u ()x ，k ⋅e -ikx ⋅dd x =∫D(Δu (x ，k )⋅e -ikx ⋅d-u (x ，k )⋅Δe -ikx ⋅d)d x +∫DΔu (x ，k )⋅(Δe -ikx ⋅d+k 2e -ikx ⋅d)d x .（5）由于e -ikx ⋅d 满足方程Δe -ikx ⋅d +k 2e -ikx ⋅d =0，进一步地，对（5）式应用奥-高公式，可得∫D()Δu ()x ，k +k 2u ()x ，k ⋅e -ikx ⋅dd x =∫ΓR(∂u ∂ν⋅e -ikx ⋅d -u ∂∂νe -ikx ⋅d)d s (x )，（6）结合（4）、（6），此时（3）式可化为-∫ΓRikd ⋅νe -ikx ⋅d u (x ，k )+∂νu (x ，k )e -ikx ⋅d d s (x )=f (kd)∫T e -ik ()a ()t ⋅d +t g ()t d t .（7）记data ：=-∫ΓRikd ⋅νe-ikx ⋅du (x ，k )+∂νu (x ，k )e -ikx ⋅d d s (x )，若d ∈R 3给定，可求解得到data 的表达式.接下来，令d =(1，0，0)，则∫0T e-ik ()a ()t ⋅d +tg (t )d t =∫0T e-ik ()a 1()t +tg (t )d t ，（8）令v (t )=a 1(t )+t .根据假设，由a (t )∈C 2(0，+∞)，|a'(t )|<1，则v'(t )>0，即v (t )是严格递增且连续的，则其反函数v -1也为连续函数.令τ=a 1(t )+t ，T 1=a 1(T )+T ，那么∫T e -ik ()a 1()t +tg (t )d t =∫T 1e -ikτg (v -1(τ))d v -1()τ.又∫T 1e-ikτg (v -1(τ))d v -1(τ)=∫T 1e-ikτg (v -1(τ))v -1'(τ)d τ=((g ∘v -1)v -1')(k )，（9）由（7）式，可知((g ∘v -1)v -1')(k )=dataf ()kd ，（10）根据假设，f (·)及边界测量数据已知，因此可求得((g ∘v -1)v -1')(k )表达式.记h (k )：=((g ∘v -1)v -1')(k )，运用Fourier 逆变换，即(h (k ))∨=∫0∞e ikτh (k )d k =()()g ∘v -1v -1'(τ)，令p (τ)=-∫0∞∫ΓR()ikd ⋅νe-ikx ⋅du ()x ，k +∂νu e -ikx ⋅df ()kdd s (x )d k ，（11）则由（10）式可得g (v -1(τ))(v -1)'(τ)=p (τ)，即(v -1)'(τ)=p ()τg ()v -1()τ，（12）记y ：=v -1，p ()τg ()y=φ(τ，y )，那么方程（12）为d yd τ=φ(τ，y )，（13）易知（13）为一阶微分方程，且φy (τ，y )=-p (τ)⋅g'()yg 2()y .由于g ∈C 1(0，∞)，g (t )>0，且根据正问题的适定性，可推出p (τ)连续有界，则φy (τ，y )连续，从而φy (τ，y )在区域[0，T 1]×[0，T ]上有界，即∃L >0，|φy(τ，y )|≤L .由拉格朗日中值定理，∀()τ，y 1，(τ，y 2)∈[0，T 1]×[0，T ]，存在一点η，使得φ(τ，y 2)-φ(τ，y 1)=φy(τ，η)(y 2-y 1)因此，|φ(τ，y 1)-φ(τ，|y 2)=|φy(τ，η)|⋅|y 1-y 2|≤L |y 1-y 2|. 故φ(τ，y )关于变量y 满足Lipschitz 条件，又φ(τ，y )在矩形域[0，T 1]×[0，T ]上连续，且y 满足初值条件y (0)=v -1(0)=0.根据引理1，∃T 1'<T 1，使得方程（13）在区间[0，T 1']上存在唯一的解y =v -1(τ).因此，函数v (t )唯一存在，从而a 1(t )=v (t )-t是存在且唯一的.类似可证明a 2(t )，a 3(t )存在且唯一.定理1证毕.定理2 令f (x )=-δ(x )，其中δ(x )为狄拉克函数，则问题（1）的解关于边界数据u 1(x ，t )和u 2(x ，t )是稳定的.证明 设两个轨迹函数a (t )=(a 1()t ，a 2()t ，)a 3()t ，b ()t =()b 1()t ，b 2()t ，b 3()t ，分别对应可测量球面ΓR上的边界数据u 1(x ，t )和u 2(x ，t )，令u =u1-u 2.由于狄拉克函数δ(x )的Fourier 变换满足δ(ζ)=∫R dδ(x )e -iζ⋅xd x =1，430第 3 期郭军，等：波动方程反移动源问题则f (kd )=-∫Dδ(x )e -ikx ⋅dd x =-1.注意到g ∘v-1(τ)=g ∘v-1(v (t ))=g (t )，且v -1'(τ)=1v'(t )，所以p (τ)=g (t )1+a 1'(t )，（14）令τ=a 1(t )+t ，τ'=b 1(t )+t ，结合（11）、（14）式可知g (t )1+a 1'(t )-g (t )1+b 1'(t )=∫0∞∫ΓR()ikd ⋅νe-ikx ⋅du (x ，k )+∂νu (x ，k )e -ikx ⋅d ()eikτ-e ikτ'd s (x )d k. （15）因此，可得到∫0∞||||||g (t )1+a 1'(t )-g (t )1+b 1'(t )2d t =∫0∞|||||∫0∞∫ΓR ()ikd ⋅νe-ikx ⋅du (x ，k )+∂νu (x ，k )e -ikx ⋅d ()e ikτ-e ikτ'd s (x )d k |||||2d t ≤c 1∫0∞∫ΓR||ikd ⋅νu (x ，k )+∂νu (x ，k )2d s (x )d k .基于频域DtN 映射ìíîïïïïΔu (x ，k )+k 2u (x ，k )=-∫0Tf (x -a (t ))g (t )⋅e -ikt d t x ∈D ，t >0，u (x ，k )=h x ∈ΓR .其中DtN ： h →|||∂u ∂νΓR是有界算子［11］.因此有∫0∞||||||g (t )1+a 1'(t )-g (t )1+b 1'(t )2d t ≤c 1∫0∞∫ΓR||ku (x ，k )2+||∂νu (x ，k )2d s (x )d k ≤c 2∫ΓR∫0∞||ku (x ，k )2+|u (x ，k )|2d k d s (x ).由Parseval 等式，有∫ΓR∫0∞||ku (x ，k )2+||u (x ，k )2d k d s (x )≤c 3∫ΓR∫0∞||∂t (x ，t )2+||u (x ，t )2d t d s (x )=c 3(∂t u (x ，t )2L2(0，T ；L 2(ΓR ))+ u (x ，t )2L2(0，T ；L 2(ΓR ))).从而可得到不等式∫0∞||||||g (t )1+a 1'(t )-g (t )1+b 1'(t )2d t ≤c 3(∂t u (x ，t )2L2(0，T ；L 2(ΓR ))+ u (x ，t )2L2(0，T ；L 2(ΓR )))， （16）另一方面，由函数g (t )连续，其在闭区间[0，T ]上有界.同时，根据假设|a'(t )|<1，|b'(t )|<1，可知|(1+a 1'(t ))(1+b 1'(t ))|≤4.所以有如下不等式∫0∞||||||g (t )1+a 1'(t )-g (t )1+b 1'(t )2d t ≥∫0T||||||g (t )1+a 1'(t )-g (t )1+b 1'(t )2d t =∫0T|||(a 1'(t )-b 1'(t ))g (t )(1+a 1'(t ))(1+b 1'(t ))|||2d t ≥c 44∫0T |a 1'(t )-b 1'(t )|2d t =c44a 1'(t )-b 1'(t )2L 2[0，T ]，（17）最后，结合（16）、（17）式可得a 1'(t )-b 1'(t )2L 2[0，T ]≤c (∂t u (x ，t )2L 2(0，T ；L 2(ΓR))+ u (x ，t )2L 2(0，T ；L 2(ΓR)))=c u (x ，t )2H 1(0，T ；L 2(ΓR))， （18）由于a 1(0)=b 1(0)=0，记ψ(t )：=a 1(t )-b 1(t )，即ψ(0)=0，则ψ(t )-ψ(0)=ψ(t )=ψ'(ξ)t ， 0<ξ<t .从而∫0T |a 1(t )-b 1(t )|2d t =∫T ||ψ(t )2d t =∫0T |ψ'(ξ)|2⋅|t |2d t ≤c 5∫0T |ψ'(ξ)|2d t ≤c 5∫0T |ψ'(ξ)|2d ξ=c 5∫0T |a 1'(t )-b 1'(t )|2d t .即a 1(t )-b 1(t )2L 2[0，T ]≤c 5 a 1'(t )-b 1'(t )2L 2[0，T ]， （19）结合（18），（19）式，最终可得a 1(t )-b 1(t )2L 2[0，T ]≤C u ()x ，t 2H 1(0，T ；L 2(ΓR)).同理可证a 2(t )，a 3(t )也满足上述不等式.从而可证 a (t )-b (t )2L 2[0，T ]≤C u ()x ，t 2H 1(0，T ；L 2(ΓR)).故方程（1）的解对初始数据是连续依赖的.定理2证毕.3 结语本文研究了三维波动方程带移动源项的反源问题，在f (·)，g (t )已知的情况下，根据边界测量数据u (x ，t )可得到源项的轨迹函数a (t )是存在且唯一的.此外，在f (·)为狄拉克函数的前提下，进一步证明了反演a (t )的稳定性.我们正在考虑将该文中证431第 43 卷中南民族大学学报（自然科学版）明唯一性以及稳定性的方法推广到Maxwell方程，以及弹性散射模型.由于这两种波场是向量场，积分等式不同于标量场，可以预见推广并不平凡.参考文献［1］HSIAO G C，WENDLAND W L. 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波动方程反射波旅行时反演方法研究
波动方程反射波旅行时反演方法研究
波动方程反射波旅行时反演方法是地震勘探中常用的一种方法，它可以通过地震波在地下的传播情况，推断出地下的地质结构和物性参数。
这种方法的基本原理是利用地震波在地下的反射和折射，通过对反射波的分析，推断出地下的地质结构和物性参数。
在波动方程反射波旅行时反演方法中，首先需要进行地震勘探，即在地面上布置一定数量的地震仪器，然后通过地震仪器记录地震波在地下的传播情况。
接着，将记录下来的地震波数据进行处理，得到地下的反射波数据。
最后，通过对反射波数据的分析，推断出地下的地质结构和物性参数。
在波动方程反射波旅行时反演方法中，最关键的是反演过程。
反演过程是指通过反射波数据，推断出地下的地质结构和物性参数的过程。
反演过程需要利用波动方程和反射波数据进行计算，得到地下的地质结构和物性参数。
反演过程中需要考虑到地下介质的非均匀性和复杂性，以及地震波在地下的传播规律，才能得到准确的结果。
波动方程反射波旅行时反演方法在地震勘探中具有广泛的应用。
它可以用于石油勘探、地质灾害预测、地下水资源调查等领域。
随着计算机技术的不断发展，波动方程反射波旅行时反演方法的计算速度和精度也得到了大幅提高，使得这种方法在地震勘探中的应用更加广泛。
波动方程反射波旅行时反演方法是地震勘探中一种重要的方法，它可以通过地震波在地下的传播情况，推断出地下的地质结构和物性参数。
在反演过程中需要考虑到地下介质的非均匀性和复杂性，以及地震波在地下的传播规律，才能得到准确的结果。
随着计算机技术的不断发展，波动方程反射波旅行时反演方法的计算速度和精度也得到了大幅提高，使得这种方法在地震勘探中的应用更加广泛。
基于深度学习的波动方程反演方法研究
基于深度学习的波动方程反演方法研究随着工业和科技的发展，波动方程反演在地质勘探、医学成像、气象预测等领域中扮演了越来越重要的角色。
波动方程反演就是根据输入的数据来预测地下介质的物理特性，最终得到一个可靠的模型。
近年来，深度学习技术的应用使得波动方程反演的精度大大提高。
本文将介绍深度学习在波动方程反演中的应用和优势。
1. 深度学习在波动方程反演中的应用图像分类、语音识别等领域中，深度学习已经表现出了强大的优势。
类似地，在波动方程反演中，深度学习也可以用于数据建模和精确反演。
具体来说，深度卷积网络（DCN）、卷积自编码器（CAE）和生成对抗网络（GAN）等深度学习方法可以用于波动方程反演中。
DCN是一种深度学习方法，可用于自动提取信号中的特征。
DCN的每一层都是一个特征提取器，可在不同的分辨率下提取特征。
通过逐层提取特征，DCN能够捕捉数据中的非线性特征，从而提高波动方程反演的精度。
CAE是一种深度学习方法，可用于数据降维和去噪。
CAE的结构类似于卷积神经网络，但它的输出是输入的重构版本。
通过调节网络的结构和参数，CAE能够提取输入数据的最重要信息并去除噪声。
因此，CAE可以用于波动方程反演中的数据降维和去噪。
GAN是一种深度学习方法，可用于图像生成和数据重构。
GAN由生成器和判别器组成，生成器用于生成假数据，判别器用于区分真实数据和生成的数据。
通过对抗的方式，生成器可以生成接近真实数据的假数据。
因此，GAN可以用于波动方程反演中的数据重构和生成。
2. 深度学习在波动方程反演中的优势相对于传统方法，深度学习在波动方程反演中具有许多优势。
以下是其中的几点：（1）自动特征提取。
传统反演方法需要手动选择特征并进行提取。
而深度学习可以通过逐层提取特征，自动学习数据特征，提高波动方程反演的效果。
（2）复杂非线性关系建模。
波动方程反演涉及到多个变量之间的非线性关系。
传统方法通常采用线性或半线性模型，无法处理高度非线性的关系。
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V1=3000m/s
1.0
VRMS1=3030m/s
1.1
t
V2=4000m/s VRMS2=3030m/s
绝对差
30m/s 1000m/s
第一层
3000m/s 3000m/s
第二层
3030m/s（按上
图的模型计算）
相对差
1% 33%
VRMS
层速度
4000m/s
（四）、叠后偏移与叠前偏移
2 [2 tv 2 rms (t ) / v0 )dt ]1/ 2 0 t
关于深度偏移的速度模型误差的敏感度问题可参考如下论 文： Geophysics 2005 ，70（2）和 The Leading EDGE，2005，24（4）作者与论文名称：Pon and Lines ，“Sensitivity analysis of Seismic depth migration” TLE的编者称其为亮点文章 Geophysics bright spots 见 p.394
R |h 0 r 4 4F
第一Fresnel 带半径R与传播距 离 h和波长λ的关系图
式中 V 为地震波速度，F 为主频。
提高地震勘探的分辨率
R—第一菲涅尔 带半径（未做 偏移） r- 做了三维偏 移的第一菲涅 尔带半径 椭圆（长轴R， 短轴r）做了二 维偏移的结果 R r
y
x
三维偏移使 第一菲涅尔 带由大圆 （半径为R） 变为小圆 （半径为r）， 二维偏移使 其成为以R、 r为长、短半 轴的椭圆。
波动方程偏移与反演
（一）、波动方程偏移概述
（一）偏移的作用与类别
1、提高分辨率（横向），使断点、尖灭点，边缘、小异常体和地层、 岩性变化部位清晰 2、使波场正确归位，消除界面弯曲、倾斜等造成的各种假象（如回 转波、大角度倾斜断面波等）
3、绕射波、倾斜界面反射波等的归位，能使干涉带分解，从而提高
地 震记录的信/噪比
地质模型
某盆地邛西qx4井区域含裂 缝岩性构造剖面模型及层速 度分布(右)及其地震正演 (左下)与偏移剖面(右下)
水平叠加剖面
偏移剖面
地质模型（上）
零炮检距剖面（中）
偏移剖面（下）
深度偏移能使盐丘下 部的界面正确成像
偏移的类别
二维偏移与三维偏移
时间偏移与深度偏移
叠前偏移与叠后偏移
有限差分法
频率-波数域法（Stolt 的F-K 法和Gazdag的相移法等） 克希荷夫积分（求和）法 混合域（ω -X ，k-τ ）等 几何射线偏移、声学波动方程偏移、弹性波动方程偏移
地质深 度模型
正演
地震深 度图象
时间偏移的基本模型
深度偏移的基本模型
地震正演和反演（偏移）的联合应用研究
(正演与偏移等联合)
实际地震剖面（偏移后） 地质、测井、钻井资 料
地质模型建立 整地 质 模 型 调 不吻合 吻合 程度 吻合 建立最 终地质 模型
地震正演
地震偏移
地震正演与偏移结合、多源信息综合有利于储 层的确定性解释和预测
偏移速度不正确对时间偏移和 深度偏移的影响
地质模型（左上）、正演记录（左下）、时间偏移剖面（右上）和深度偏移剖 面（右下）。两个剖面的速度误差均为10%
深度域的问题较时间域的复杂
深度域采用层速度,波形用波 数 k 度量;时间域采用均方速度, 波形用频率 f 度量。地震资料处 理时，频率域的时不变子波要求 易达到。而深度域的空（间）不 变子波要求很难达到。如下表所 示：深度域层速度变化大，子波 的变化也大，将使地震的处理与 解释产生较多的问题。横向变速 情况将更复杂。 层位与速度
偏移与反演相结合的方法
上述各类方法的组合
（二）偏移的基本问题
地质模型、速度模型与偏移成像的相互关系是不确定的， 存在“为了求答案必须事先给出答案”的“死结”问题，需 要用迭代或逐步逼近的思路与方法 RMS速 度模型
地震表示 反演 时间偏移 地震表示 反演
层速度 模型
深度偏移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ层状介 质模型
正演
地震时 间图象
加强地震正演和反演的联合应用研究
(风化剥蚀面下的溶蚀洞穴)
T56 T60 T70 T72 T74 T56 T74
含串珠状地震剖面
按该地震剖面建立的地质模型
T74
用MIVMAS法形成的地震记录
相应的地震偏移剖面
（三）、时间偏移与深度偏移
公式：
1 vK x2 Q 1 i Q i Q z 2 v v0 z
v
图a为原始的地质模型，设第一层为海水，速度v1=1500m/s,下 层速度v2=4000m/s，第一层的厚度为900m，若上下层的速度 误差均为20%，经深度偏移以后，速度低20%的图b中，第一 层的厚度减为720m,误差为-20%。而速度高20%的图c中，第 一层的厚度增为 1380m ，误差为 +53.3%。同样的模型，采用 时间偏移，则引起的深度误差要小些！利用 Stolt的 F—k 时间 偏移的时深转换公式：
4、提供属性参数处理、解释的中间数据
是使地震资料能用于地震、地质解释的基本方法和步骤
提高地震勘探的分辨率
设未经偏移的第一菲涅尔带宽半 径为 R ，三维偏移后第一菲涅尔带宽半 径为r，则
R h 2 4
2
式中 为地震波主波长， h 为 反射界面至地面的距离。偏移意味着 h 0 这时 V
（以150方程为例）绕射项
+ 薄透镜项 深度偏移 时间偏移
特征
1、公式的应用
只用绕射项
同时利用绕射项和薄透镜项
2、横向速度变化 不变或中、弱变，RMS 速度强变化，层速度、 与速度模型 速度，单斜或水平层状模 速度深度模型 型 3、射线是否折射 4、垂线标度 否 时间 是 深度或时间深度
深度偏移对速度模型的误差更敏感
rms 并设 =1500m/s,=1500m/s,12 00m/s和1800m/s,得到 对应图b的误差为 +25%，图c的误差为17%。总体误差水平 小于深度偏移的误差。 当然深度偏移的误差 与上下地层的速度差 异有关，差异大，误 差就越大。但就速度 误差对偏移结果的影 响而言，深度偏移的 误差远比时间偏移的 大，即深度偏移对速 度误差更为敏感。
叠后偏移是在CMP叠加或Zero offset剖面上完成的， 使用的是叠加速度。由于叠加速度与地层倾角有关，在 t0值相同，倾角不同时，叠加速度只能取一个，通常取 倾角为00的叠加速度做NMO。于是地层倾角大于00的必然 受到削弱。这是断层面、盐丘构造的两翼等难以正确成 像的根本原因。解决办法有二： 1）做等效叠前偏移即 NMO + DMO + 叠后偏移。或 叠前部分偏移PSPM； 2）叠前偏移