一元二次方程培优提高例题

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方

程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以

讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132+=+x x

B 02112=-+x x

C 02=++c bx ax

D 1222+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x

m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：

★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，

⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2

B.m=2,n=1

C.n=2,m=1

D.m=n=1

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242

++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422

2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582

=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。

针对练习：

★1、已知方程0102

=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31

1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值；

⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2

。 ★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622

。 ★★5、方程()()02

=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -

★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02

※※对于()m a x =+2，()()2

2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：

例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132

=--x 例2、解关于x 的方程：02

=-b ax 例3、若()()2

221619+=-x x ，则x 的值为 。 针对练习：下列方程无解的是（ ）

A.12322-=+x x

B.()022

=-x C.x x -=+132 D.092=+x

类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如()()2

2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 0222=++a ax x

典型例题：

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=x

B 3=x

C 3,2

521==x x D 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()=+=-+-+222222

2,06b 则a b a b a 。 变式2：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062

=-+x x 的解为（ ） A.2321=-=，x x B.2321-==，x x C.3321-==，x x D.2221-==，x x

例4、解方程： ()04321322=++++x x

例5、已知023222=--y xy x ,则y

x y x -+的值为 。 变式：已知02322

2=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。 针对练习：

★1、下列说法中：

①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212

x x x x q px x --=++ ② )4)(2(862

--=-+-x x x x . ③)3)(2(652

2--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-

⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x

正确的有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）

A ．0622=--x x

B ．0622

=+-x x C ．0622=-+y y D ．0622

=++y y