人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件

情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利 用 a b ≥ ab（a，b都是正数），也可使用a＋b≥ 2 ab ．
2 你还有哪些变形呢？
(a b)2 ≥ 4ab ，ab ≤ ( a b)2． 2
新知探究
例1
已知ab＞0，求证：ba
a b
≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 b 0 ，a 0 ， ab
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，两式相加即可得到．
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证： （1）（a＋b）2≥4ab； （2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得 a2＋b2＋2ab≥4ab，
即（a＋b）2≥4ab；
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证： （1）（a＋b）2≥4ab； （2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既 有联系，又有区别． 区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以 看成例2结论的一种特殊情况． 假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的 面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab， 当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．
作业布置
作业：教科书P76练习B 3．
作业布置
补 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋1 ）（1＋1 ）≥9．
a
b
因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以 1 1 ＝1 a b ＝ 2 b．
a
a
a
同理 1 1 ＝ 2 a．
b
b
故 (1 1 )(1 1) ＝ (2 b )(2 a ) ＝ 5 2( b a ) ≥ 5 4 ＝ 9．
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a， c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；
ab
ab
ab
所以
(1
1 a
)(1
1 b
)
Hale Waihona Puke ≥9，当且仅当a＝b＝
1 2
时取等号．
再见
7. 必须提醒自己：放下你的浮躁，静下心来阅读;放下你的贪婪，有失必有得;放下你的自卑，相信你自己;放下你的虚荣，别自以为是;放下你 容易被诱惑的眼睛，听从自己的内心;放下你的自私，学会懂得感恩;放下你的懒惰，该好好努力了。一起勉励! 17 、青年人，更重要的是看到明天，抓住今天，在宁静中奋进，也许在明天旭日出山之前，你又创造了奇迹! 12 、让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧! 11 、做正确的事，再把事情做正确。 4 、人生没有彩排，每一个细节都是现场直播。 18) 人生的十二种财富：积极的精神态度;良好的体格;人际关系的和谐;脱离恐惧;未来成功的希望;信念的容量;与人分享自己的幸福的愿望;热爱 自己的工作;对所有的事物有开放的内心;严于自律;理解人的能力;经济保障。 1 、在人生中只有曲线前进的快乐，没有直线上升的成功。只有珍惜今天，才会有美好的明天;只有把握住今天，才会有更辉煌的明天! 8. 地球是运动的，一个人不会永远处在倒霉的位置。 7 、成功的秘诀在于坚持自已的目标和信念。 10 、因为在这个世界上，到头来我们注定都是孤独的。 3 、时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 5 、目标和信念给人以持久的动力，它是人的精神支柱。 9 、用心观察成功者，别老是关注失败者。 20 、目标的实现建立在我要成功的强烈愿望上。
证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得 2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，
又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为 a2 b2 ≥ ( a b )2 ．
an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？ （1）均值不等式有哪些变形？如何证明？ （2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？
利用均值不等式证明不等式的注意点： （1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立． （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用． （3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．
2
2
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
新知探究
方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）无附加条 件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若 不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆 项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．（2）有附加 条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰 当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时
整体概览
问题1 阅读课本第71~75页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质 以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用 均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑 推理等素养．
新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学 实验： （1）任取多组三个正教a，b，c，计算 a b c 和 3 abc 运后，比较它
3 们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地，a1 a2 n
等号成立．
an ≥ n a1a2
根据均值不等式，得 b a ≥ 2 b a 2 ，即 b a ≥ 2 ，
ab
ab
ab
当且仅当 b a ，即a2＝b2时，等号成立． ab
因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．
新知探究
例2 已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab． 并说明等号成立的条件．
证明：因为a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0， 所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab． 等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．