热点专题8 动态几何问题(解析版)

热点专题8动点几何问题

考向1图形的运动与最值

1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．

【解析】如图，

过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E，

⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB，

⊙，

⊙AB＝4，

⊙AE＝AB+BE＝4+BE，

⊙，

⊙BE最大时，最大，

⊙四边形ABCD是矩形，

⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，

过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线，

⊙⊙GME＝90°，

在Rt⊙BCD中，BD＝＝5，

⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC，

⊙⊙BHC⊙⊙BCD，

⊙，

⊙，

⊙BH＝，CH＝，

⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA，

⊙⊙BHG⊙⊙BAD，

⊙＝，

⊙，

⊙HG＝，BG＝，

在Rt⊙GME中，GM＝EG•sin⊙AEP＝EG×＝EG，

而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，

⊙GE最大时，BE最大，

⊙GM最大时，BE最大，

⊙GM＝HG+HM＝+HM，

即：HM最大时，BE最大，

延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝，

过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F，

⊙BE最大时，点E落在点F处，

即：BE 最大＝BF ，

在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝，

⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙

最大值为1+＝3，

故答案为：3．

2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．

【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．

易证⊙EHD ⊙⊙DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，

⊙AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊙BC ，

⊙BN ＝

1

2

BC ＝AN = ⊙G ⊙BC ，AN ⊙BC ， ⊙DG ⊙AN ， ⊙

2BG BN

DG AN

==，

⊙BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；

易证⊙HED ⊙⊙GMD ，于是HE HD

GM GD =

，x GM ，即MG 2= ，

所以S ⊙BDE

＝ 1

2BM ×HD ＝1

2×(2x 2)×(4

- 2x )＝25

2

x -+＝

2

582x ⎛-+ ⎝⎭

，

当x 时，S ⊙BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，⊙MAN ＝60°，若⊙ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当⊙ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．

【解析】如图，过点B作BC1⊙AN，垂足为C1，BC2⊙AM，交AN于点C2

在Rt⊙ABC1中，AB＝2，⊙A＝60°

⊙⊙ABC1＝30°

⊙AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，

在Rt⊙ABC2中，AB＝2，⊙A＝60°

⊙⊙AC2B＝30°

⊙AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，

当⊙ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．

故答案为：＜BC＜2．

4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边⊙EFG，连接CG，则CG的最小值为．

【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将⊙EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到⊙EFB⊙⊙EHG

从而可知⊙EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上

作CM⊙HN，则CM即为CG的最小值

作EP⊙CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝

故答案为．

5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边⊙ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把⊙ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1⊙AC，则BB′的长度为；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，⊙ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求⊙ACB′面积的最大值．

【解析】（1）如图1中，

⊙⊙ABC是等边三角形，

⊙⊙A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，

⊙PB＝4，

⊙PB′＝PB＝P A＝4，

⊙⊙A＝60°，

⊙⊙APB′是等边三角形，

⊙AB′＝AP＝4．

故答案为4．