第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识教学内容提要1. 空间直角坐标系；2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式；3. 简单的曲面方程。

教学目的与要求1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式；2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。

教学重点与难点常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程：一、空间直角坐标系1．空间直角坐标系的建立过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点且一般具有相同的长度单位。

这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。

通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-=特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++=。

例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。

二、曲面及其方程的概念1．曲面方程在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。

例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。

三、几种常见的曲面及其方程1、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面.例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B -C =0, 或 C =-3B .将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为 y -3z =0.例4 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为P (a , 0, 0)、Q (0, b , 0)、R (0, 0, c )三点, 求这平面的方程(其中a ≠0, b ≠0, c ≠0). 解 设所求平面的方程为 Ax +By +Cz +D =0.因为点P (a , 0, 0)、Q (0, b , 0)、R (0, 0, c )都在这平面上, 所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程, 即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA由此得 a D A -=, b D B -=, c D C -=.将其代入所设方程, 得0=+---D z cD y b D x a D ,即 1=++cz b ya x .上述方程叫做平面的截距式方程,而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距. 2、柱面例5 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 方程x 2+y 2=R 2在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2, 且平行于z 轴的直线一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.柱面: 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程x 2+y 2=R 2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2. 一般地, 只含x 、y 而缺z 的方程F (x , y )=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C : F (x , y )=0.例如, 方程y 2=2x 表示母线平行于z 轴的柱面, 它的准线是xOy 面上的抛物线y 2 =2x , 该柱面叫做抛物柱面.又如, 方程 x -y =0表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面的直线 x -y =0, 所以它是过z 轴的平面.类似地, 只含x 、z 而缺y 的方程G (x , z )=0和只含y 、z 而缺x 的方程H (y , z )=0分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.例如, 方程 x -z =0表示母线平行于y 轴的柱面, 其准线是zOx 面上的直线 x -z =0. 所以它是过y 轴的平面.3、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似, 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面.怎样了解三元方程F (x , y , z )=0所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法.研究曲面的另一种方程是伸缩变形法:设S 是一个曲面, 其方程为F (x , y , z )=0, S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面. 显然, 若(x , y , z )∈S , 则(λx , y , z )∈S '; 若(x , y , z )∈S ', 则S z y x ∈) , ,1(λ.因此, 对于任意的(x , y , z )∈S ', 有0) , ,1(=z y x F λ, 即0) , ,1(=z y x F λ是曲面S '的方程.例如，把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩ab 倍, 所得曲面的方程为2222)(z a y b a x =+, 即22222z by a x =+.(1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面.圆锥曲面在y 轴方向伸缩而得的曲面.把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面称为椭圆锥面22222z by a x =+.以垂直于z 轴的平面z =t 截此曲面, 当t =0时得一点(0, 0, 0); 当t ≠0时, 得平面z =t 上的椭圆1)()(22=+bt y at x .当t 变化时, 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆, 当|t |从大到小并变为0时, 这族椭圆从大到小并缩为一点. 综合上述讨论, 可得椭圆锥面的形状如图. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面. 球面在x 轴、y 轴或z 轴方向伸缩而得的曲面.把x 2+y 2+z 2=a 2沿z 轴方向伸缩a c 倍, 得旋转椭球面122222=++cz a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b倍, 即得椭球面1222222=++cz b y a x . (3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面.把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕z 轴旋转, 得旋转单叶双曲面122222=-+cz a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 即得单叶双曲面1222222=-+cz b y a x .(4)双叶双曲面由方程1222222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕x 轴旋转, 得旋转双叶双曲面122222=+-cy z a x ; 再沿y 轴方向伸缩c b 倍, 即得双叶双曲面1222222=--cz b y a x .(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面.把zOx 面上的抛物线z a x =22绕z 轴旋转, 所得曲面叫做旋转抛物面z a y x =+222, 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面叫做椭圆抛物面z by a x =+2222(6)双曲抛物面.由方程z by a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面又称马鞍面.用平面x =t 截此曲面, 所得截痕l 为平面x =t 上的抛物线22a t z b y -=-, 此抛物线开口朝下, 其项点坐标为) ,0 ,(2a t t . 当t 变化时, l 的形状不变, 位置只作平移, 而l的项点的轨迹L 为平面y =0上的抛物线 22ax z =.因此, 以l 为母线, L 为准线, 母线l 的项点在准线L 上滑动, 且母线作平行移动, 这样得到的曲面便是双曲抛物面例6 分析方程22y x z +=，22y x z +=及222R y x =+，并作出它们的图形。

作业：练习册第33次§7.2 多元函数的概念、极限与连续教学内容提要1.二元函数的定义与二元函数的定义域；二元函数的几何表示。

2. 二元函数的极限；3. 二元函数的连续性与间断点。

教学目的与要求1.理解多元函数的概念；了解二元函数的几何表示。

2.了解二元函数的极限概念；3. 了解二元函数的连续性与间断点。

教学重点与难点二元函数的几何表示. 二元函数极限；二元函数的连续性与间断点。

教学时数 4 教学过程：一、平面区域 1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。

邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为 U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U，即}||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集． 闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域． 例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．二、二元函数的定义1．引例例1 圆柱体的体积V 和它的底面半径r 、高h 之间具有关系h r V 2π=。