两个基本计数原理教案
高中数学《两个基本计数原理》教学案苏教版选修
1.1 两个基本计数原理(1)班级 姓名一、教学目标1.准确理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别；2.会运用分类计数原理和分步计数原理解决一些简单问题.二、重难点两个原理的理解与运用.三、课前预习1.分类计数原理： .2.分步计数原理： .四、典型例题例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生参加校学代会.（1） 若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2） 若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？例2、（1）在如图的电路中，仅合上一只开关接通电路，有多少种不同的方法？（2）在如图的电路中，仅合上两只开关接通电路，有多少种不同的方法？例3、一个三层书架，分别放置语文书8本，数学书5本，英语书3本.（1）从中取出一本书，共有多少种不同的取法？（2）从中取出数学、语文、英语各一本，有多少种不同的取法？五、随堂练习(1)(2)1.将3封信投入4个信箱中，不同的投法有种.2.把4名实习老师分配到5个班级实习，每个班人数不限的分配方案有种；每个班最多1名老师的分配方案有种.3.从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班.一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有种不同的方法？4.手表厂为了生产更多款式新颖的手表，给统一的机芯设计了4种形状的外壳、2种颜色的表面及3种形式的数字.问：共有种不同的款式？5.现有高中一年级学生4名，高中二年级学生5名，高中三年级学生3名.（1）从中任选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（2）从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？六、小结：。
两个基本计数原理的教学设计
两个基本计数原理的教学设计一、地位作用计数原理是数学中的一个重要的研究对象，本章所学的排列组合是组合数学的初步知识，这种以计数为特征的内容在中学数学中是较为独特的，它不仅影响广泛，是学习统计概率以及高等数学有关分支的准备知识，而且由于它的思想方法灵活独特，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。
本节课讲的两个基本计数原理是计数原理这一章的重点内容，它们不仅是推导排列数组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终。
从思想方法的角度看，两个原理一个是将问题进行分类处理，另一个是将问题进行分步处理，从而达到分解问题、解决问题的目的。
因此对两个原理的理解掌握和运用，成为本章内容的一个关键。
二、教学目标引导学生通过典型的、学生熟悉的实例归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，初步学会区分“分类”和“分步” , 能够用两个计数原理解决简单的计数问题。
通过例题引导学生体会计数原理的基本思想及应用方法。
正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，体会理论来源于实践井应用于实践的辩证唯物主义观点. 从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、内容分析分类计数原理和分步计数原理都是设计完成一件事的不同方法的总数，它们的区别在于分类计数原理是将办事方法分为若干类，每一类方法之间是相互独立的，用任一种方法都可以完成这件事情；而分步计数原理是将办事方法分成若干步进行，各个步骤相互依存，必须是各个步骤都完成了，这件事情才完成。
因此，分辨清楚办事方法是分类还是分步，是科学使用两个原理的前提，也是本节课的一个难点。
四、教学过程（一）引入课题:1、高二一班男生9 名.女生20 名.从中选出1 名男生和1名女生担任主题班会主持人，有多少不同的选法?2、把我们班的同学排成一排，共有多少种不同的排法?3、一次集会共50 人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少?设计意图:在运用排列、组合方法时.经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.（二）讲授新课1、分类加法计数原理师生活动:（1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码?（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3 班，汽车有2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?结论:分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法‘那么完成这件事共有N=m+n. 种不同的方法.（3）如果完成一件事有三类不同方案. 在第1 类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方案中有m2 种不同的方法，在第3 类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?一般归纳（略）理解:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2、分步乘法计数原理师生活动:⑷用前6个大写英文字母和1-9九个阿拉伯数字，以A1A2A3A4…,B1B2,的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码a用列举法可以列出所有可能的号码（分析略）（5）你能说说这个问趣的特征吗结论:分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=mxn 种不同的方法.如果完成一件事需要三个步骤，做第I 步有m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法，做第3 步有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?一般归纳（略）理解分步乘祛计数原理:分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后甲才算完成这件事.（6）分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点?①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.是合作完成.（三）例题讲解:课本例1 到例4（四）练习P6 1 、2、3（五）小结 1 、分类加法计数原理2、分步乘法计数原理（六）作业。
两个基本计数原理
两个基本计数原理如皋市磨头中学贾俊教学目标1.知识与技能（1）理解两个基本计数原理；（2）运用两个计数原理分析和解决一些简单的计数问题。
2.过程与方法通过对两个基本计数原理的推导，渗透由具体到一般的思想，并让学生了解归纳推理的思想。
3.情感态度与价值观学生在活动中感受数学的价值，学会用数学的思维方式观察、分析现实世界，发展数学的应用意识。
教学重点与难点1.重点：两个基本计数原理及应用。
2.难点：两个基本计数原理的区别。
教学过程活动一：创设问题情境，归纳出两个基本计数原理。
问题1.如图，从如皋到南通有3条公路，2条铁路，某人要从如皋到南通，共有多少种不同的方法？思考：如果还有2条水路，那么从如皋到南通有多少种不同的方法？假如还有1条航线呢?归纳猜想到一般结论有:分类（加法）计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，在第3类方式中有m3种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= _____________________________________ 种不同的方法。
问题2.如图，从如皋到磨头有3条道路，从磨头到南通有2条道路，那么从如皋经磨头到南通共有多少种不同的方法？分步(乘法)计数原理： _______________________________________________________________________ 问题3•结合问题1和问题2你能得出分类(加法)计数原理与分步(乘法)计数原理异 同点吗？① 相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。
② 不同点： ___________________________________________________________________________ 活动二：应用两个基本计数原理解决一些简单的计数问题。
例1 某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
“两个基本计数原理”教学设计及教学反思
两个基本计数原理在新课标教材中，“两个基本计数原理”是高中数学选修2-3第1章“计数原理”的起始课，在原《大纲》版教材中，这个章节的标题是“排列、组合与二项式定理”，新课标教材的内容与原人教版教材是一致的，但新课标的理念却有了很大的不同，如何在教学设计以及教学过程中充分展现新课程对数学教学的新要求？这使我在着手教学设计之时就面临挑战．1. 如何处理教材1.1目标定位教材提供了教学的素材——原理、范例、练习（习题），如何将素材整合成一个有机的教学内容？首先要分析教学内容在教材体系（乃至数学知识体系）中的地位，并确立教学的目标．《课程标准》对本章的教学侧重点做了界定：“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．”这说明，本章的教学重点是两个基本计数原理，而排列、组合、二项式定理则是两个基本计数原理的应用实例．根据上述分析，结合《课程标准》对本章的目标定位，我认为，“计数原理”这一章研究的对象是计数问题，研究的方法是“问题解决”，研究的过程是“建构方法”，在本课的学习过程中，师生将面对实际计数问题（可能是已加工过的）并加以解决，这一“问题解决”过程的目标是建构方法——两个基本计数原理．因此，将本节课的教学目标拟定为：1．通过实例分析，让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并弄清它们的区别．2．能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的计数问题．1.2重难点分析对学生而言，“计数”是其学习数学的基本能力之一，简单的计数问题，其解决方法就是“数”数，但复杂的问题呢？因此，要使学生意识到，只会机械地“数”是不够的，必须从简单的、已能解决的计数问题中，抽象出能够解决一“类”问题的方法，并明确界定适用该方法的问题的“类”．由此可知，本节课教学的重点与难点为：1．本节课的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程，从而掌握解决实际计数问题2． 本节课的难点是在具体问题解决中，区别使用计数原理．1.3课题引入由于本节课是本章的起始课，还承担着本章引入的教学任务，通过本章引入，我们将带领学生走进本章的数学学习，使学生明白本章的学习主体内容与学习任务，为学生创设良好的数学学习环境．本章的引入采用了以下的问题（情境）：● 问题情境1：掷一颗骰子，出现点数小于3的概率是多少？● 问题情境2：中新社苏州2006年12月31日电(天荣 姚静)记者今天从有关部门获悉，截至目前，苏州市城乡机动车总数已达55.53万辆， 比去年同期净增10万余辆，平均每天新增300辆，成为近几年来该市新增机动车数量最多的一年，全市机动车保有总量仅次于上海和北京．苏州市汽车牌照形式为“苏E −XXzzz ”，其中“苏E ”为地区代码，XX 可以是数字与字母的组合，zzz 是数字的组合，如果按此牌照方式编排，理论上汽车数量最多为多少？● 问题情境3：下图是某城市的街道．西北角是某同学的家，东南角是学校．从家经东西4条街，南北5条街到学校（最短距离），有几种不同的走法？通过以上的问题（情境）的引入，揭示本章的研究课题：教学片断：师：先看一个问题，掷一颗骰子出现点数小于3的概率是多少？生齐：13. 师：好!怎么算的? 我请一位同学来回答。
两个基本计数原理教案
两个基本计数原理教案第一章：概述1.1 计数原理的定义解释计数原理的概念和重要性强调计数原理在数学和实际生活中的应用1.2 两个基本计数原理介绍两个基本计数原理：排列原理和组合原理解释排列原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列方式的个数解释组合原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合方式的个数第二章：排列原理2.1 排列原理的公式介绍排列公式：P(n, m) = n! / (n-m)!解释排列公式的含义和推导过程2.2 排列原理的应用举例说明排列原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用排列原理计算不同的排列方式个数第三章：组合原理3.1 组合原理的公式介绍组合公式：C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]解释组合公式的含义和推导过程3.2 组合原理的应用举例说明组合原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用组合原理计算不同的组合方式个数第四章：排列与组合的综合应用4.1 排列与组合的区别与联系解释排列与组合的概念及其区别强调排列与组合在解决实际问题中的综合应用4.2 综合应用举例举例说明排列与组合在实际问题中的综合应用练习题：根据给定的问题，运用排列与组合原理计算不同的方式个数第五章：练习与拓展5.1 练习题提供一系列练习题，巩固排列与组合原理的应用鼓励学生自主思考，提高解题能力5.2 拓展与应用探讨排列与组合原理在其他领域的应用鼓励学生发现生活中的数学问题，运用排列与组合原理解决第六章：排列与组合在概率论中的应用6.1 排列与组合在概率计算中的作用解释排列与组合在概率计算中的重要性介绍排列与组合在计算事件概率时的应用6.2 具体案例分析通过具体案例，展示排列与组合在概率计算中的应用练习题：根据给定的概率问题，运用排列与组合原理进行计算第七章：排列与组合在日常生活中的应用7.1 排列与组合在日常生活中的实例探讨排列与组合原理在日常生活中的应用实例强调排列与组合原理在解决实际问题中的重要性7.2 练习题提供一系列与日常生活相关的练习题，运用排列与组合原理进行解答鼓励学生自主思考，提高解决实际问题的能力第八章：排列与组合在算法与编程中的应用解释排列与组合在算法与编程中的应用介绍排列与组合在解决算法与编程问题时的作用第八章：排列与组合在算法与编程中的应用8.1 排列与组合在算法中的应用解释排列与组合在算法中的重要性介绍排列与组合在算法设计中的应用实例8.2 排列与组合在编程语言中的应用探讨排列与组合在编程语言中的应用实例强调排列与组合在编程问题解决中的重要性第九章：排列与组合在数学竞赛中的应用9.1 排列与组合在数学竞赛中的题目特点分析数学竞赛中排列与组合题目的特点解释排列与组合在数学竞赛中的重要性9.2 练习题提供一系列数学竞赛中的排列与组合题目，进行练习鼓励学生自主思考，提高解决竞赛题目的能力第十章：总结与提高10.1 排列与组合原理的总结回顾本教案的主要内容，总结排列与组合原理的重要性和应用强调排列与组合原理在数学和实际生活中的重要性10.2 提高题与研究性学习提供一系列提高题，鼓励学生深入研究排列与组合原理鼓励学生开展研究性学习，探索排列与组合原理在其他领域的应用重点和难点解析六、排列与组合在概率论中的应用重点：排列与组合在概率计算中的作用，具体案例分析难点：理解排列与组合在概率计算中的应用，以及如何将实际问题转化为概率问题七、排列与组合在日常生活中的应用重点：排列与组合在日常生活中的实例，练习题难点：将抽象的排列与组合原理应用到具体的生活情境中，提高解决实际问题的能力八、排列与组合在算法与编程中的应用重点：排列与组合在算法与编程中的应用，练习题难点：理解算法与编程中排列与组合的概念，以及在实际编程中应用这些概念九、排列与组合在数学竞赛中的应用重点：排列与组合在数学竞赛中的题目特点，练习题难点：解决数学竞赛中的排列与组合问题，需要学生具备较高的逻辑思维和解题能力十、总结与提高重点：排列与组合原理的总结，提高题与研究性学习难点：巩固所学知识，进一步探索排列与组合原理在其他领域的应用全文总结与概括：本教案主要介绍了排列与组合两个基本计数原理，通过讲解排列与组合的概念、公式及其在概率论、日常生活、算法与编程、数学竞赛等领域的应用，使学生能够理解并掌握这两个基本计数原理。
两个基本计数原理教案共5页
第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
两个基本计数原理教案
§1.1 两个基本计数原理【学习目标】:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；【学习过程】一、情境引入：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C 村，共有多少种不同的走法?二、新课导学：1. 分类计数原理(又称为加法原理)：完成一件事，有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有_______________________________ 种不同的方法.2. 分步计数原理(又称为乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事有 __________________________种不同的方法.思考1：分类计数原理与分步计数原理的共同点，区别：三、例题欣赏：例1．一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？例2．(1) 在图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？(2) 在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法例3．为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？(3) 密码为4-6位，每位均为0到9这10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？例4．如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,不同的涂色方案有多少种？变题1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？变题2：若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？【针对训练】班级姓名学号1．某中学的一幢5层教学楼有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有___________不同的走法?2．在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有__________种?3．四名研究生各从A 、B 、 C 三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。
两个基本计数原理的教学设计
副班长 , 共有多少种不同的选法 ?
( 3 ) 从中选 1 名班长 , 1 名副班长 , 共有多
多少种不同的取法 ? 对本题我们安排学生自主探究 , 合作交 流 , 进一步体会加法与乘法原理的区别 , 加强 学生在实际解题中分步 、 分类解决问题的能 力 , 能充分体现课堂的有效性 . 例 2 ( 1 ) 4 名学生报名参加数 、 理、 化竞
90 % 的学生会运用知识 ; 有效益 , 即在考试中
出成绩 .
・4・
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第 3 期 高中数学教与学
5. 课堂练习
( 1 ) 将 3个不同的球投入 4个不同的盒子
及灵活运用 .
( 2 ) 会恰当地分类与分步解决简单的计
Байду номын сангаас
数问题 , 具体问题具体分析 .
7. 布置作业 (略 )
中 , 共有多少种不同的方法 ?
( 2 ) 如图 3, 只合上其中两个开关以接通
结束语 请同学们课后找些生活中有关计数的题 目 , 并记载下来 . 若遇到不能解决的题目 , 同 学们可以互相讨论一下 , 记住要用好两个计 数原理 , 关键是分清完成一件是分类完成还 是分步完成的区别 . 事实上 , 生活与科学上很 多计数问题需要用这两个基本原理来处理 . 同样 , 我们在学习中 , 只要打好基础 , 就能灵 活运用 , 充分发挥自己的聪明才智 .
高中数学教与学 2010 年
+ y - 2 ax + a - 1 = 0 与抛物线 y
2 2 2
=
两个基本计数原理应用的教案
两个基本计数原理应用的教案一、计数原理简介计数原理是计算机科学中的基础概念，用于描述计算机系统中的数据计数和处理方法。
在计算机系统中，存在着两个基本的计数原理，即二进制计数和十进制计数。
•二进制计数：二进制计数是一种基于二进制数系统的计数方法。
二进制数系统只有两个数字0和1，通过不断累加或减少这两个数字，可以完成各种计算任务。
•十进制计数：十进制计数是我们平时最常用的计数方法。
十进制数系统由0-9这10个数字组成，通过不断累加或减少这10个数字，可以完成各种计算任务。
二、二进制计数原理应用的教案1. 了解二进制计数目标•了解二进制计数的基本原理•掌握二进制计数的转换方法教学内容1.介绍二进制计数的基本原理和特点。
2.演示如何将十进制数转换为二进制数。
3.演示如何将二进制数转换为十进制数。
教学步骤1.在黑板上绘制二进制计数的示意图，引导学生了解二进制计数的基本原理和特点。
2.指导学生通过举例子将十进制数转换为二进制数，解释转换的步骤和方法。
3.让学生自己尝试将几个十进制数转换为二进制数，并互相核对答案。
4.指导学生通过举例子将二进制数转换为十进制数，解释转换的步骤和方法。
5.让学生自己尝试将几个二进制数转换为十进制数，并互相核对答案。
6.对学生的表现进行点评和总结。
目标•掌握如何应用二进制计数解决实际问题教学内容1.演示如何使用二进制计数解决计算机存储问题。
2.演示如何使用二进制计数解决计算机网络传输问题。
教学步骤1.通过举例子演示如何使用二进制计数解决计算机存储问题，如计算机内存的容量表示、文件大小的计算等。
2.通过举例子演示如何使用二进制计数解决计算机网络传输问题，如数据传输速度的计算、网络带宽的计算等。
3.引导学生思考其他应用二进制计数的实际问题，并指导他们自己进行解决。
4.对学生的表现进行点评和总结。
三、十进制计数原理应用的教案1. 了解十进制计数目标•了解十进制计数的基本原理•掌握十进制计数的转换方法教学内容1.介绍十进制计数的基本原理和特点。
《两个基本计数原理的应用(1)》示范课教案【高中数学苏教版】
第七章计数原理7.1.2 两个基本计数原理的应用（第1课时）◆教学目标1.理解两个基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，能正确使用两个原理解决简单计数问题；2.掌握分类计数原理和分步计数原理的区别和联系．◆教学重难点教学重点：正确选择加法原理或乘法原理解决问题．教学难点：综合使用加法原理和乘法原理解决问题.◆教学过程一、情境引入前面我们学习了两个计数原理：分类计数原理和分步计数原理．分类计数原理（加法原理）：如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+m n种不同的方法．分步计数原理（乘法原理）：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1∙m2∙⋯∙m n种不同的方法．我们知道，加法原理中，类与类不相交，每一类方式中的每一种方法都可以完成指定事情，乘法原理中，步与步有关联，只有所有的步骤都完成，才能完成指定事情，缺一不可．应用这两个原理解决问题时，都要先分清“要完成的一件事”是什么，然后再根据事情确实是分类还是分步，那么具体在应用中又如何准确的进行分类和分步呢，下面我们通过几个例子来进行探究．二、应用举例例1.（1）在如图所示的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？（2）在如图所示的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？分析：图（1）电路中模块A、B为并联关系，A中的2只开关、B中的3只开关各自也是并联关系，任意合上1只都可以完成接通电路这一件事，故可根据分类计数原理求解．图（2）中模块A、B为串联关系，要接通A有2个小开关可供选择，要接通B有3个小开关可供选择，而必须同时接通A、B两模块才能完成接通电路这一件事，故可根据分步计数原理求解．解：（1）图中电路要接通，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可，根据分类计数原理，共有2+3=5种不同的方法；（2）图中电路要接通必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关，有2种选择；第二步，合上B中的1只开关，有3种选择．根据分步计数原理，共有2×3=6种不同的方法．答：（1）在图示电路中，仅合上1只开关接通电路，有5种不同方法；（2）在图示电路中，仅合上2只开关接通电路，有6种不同方法．例2.如图所示，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？问题1：①本题目中要完成的“一件事”是什么？②如何完成“这件事”？答案：①要完成的“一件事”是：从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，其中A、B两村之间有3条路，B、C两村之间有2条路，C、D两村之间有3条路．②因为要从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，所以这件事情需要分三个步骤完成：第一步，从A村到达B村，第二步，从B村到达C村，第三步，从C村到达D 村．解：李明从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，分三个步骤来完成：第一步，从A村到达B村，有3条路可选择；第二步，从B村到达C村，有2条路可选择；第三步，从C村到达D村，有3条路可选择；根据分类乘法计数原理，一共有N=3×2×3=18条路可供选择．问题2：以上解法是直接应用分类乘法计数原理，能否用分类计数原理来解决这个问题呢？答案：可以．将这件事情分两个步骤完成：第一步，从A村先经过B村到达C村，第二步，从C村到达D村．解：先考虑李明从A村经过B村到C村：从A村到B村的道路有3条，从B村到C 村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类，每一类都有2种不同的方法，共有2+2+2=2×3=6条线路可以选择．再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6=6×3=18条线路可以选择．因此，整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择．问题3：对比以上通过以上两种解法，试着说一说两个计数原理的联系．答案：两个计数原理本质上是一致的，分步计数原理的本质实际上就是分类加法计数，事实上，可以把第一步的m1种不同的方法看成有m1类，只不过每一类的方法数是相同的，因此可以运用乘法表示加法．这种关系类似于数的运算中，乘法运算本质就是特定条件下加法运算的简化．例3.3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？问题：①该题目中，要完成的“一件事”是什么？②如何完成这件事？答案：①要完成的“一件事”是：让3名同学每人从5本不同电子书中任选1本；②3人要各自选1本电子书，这个事情可以分三步完成，即3人按照第一名、第二名、第三名的顺序依次选书，故不同选法的种数可以用分步计数原理来求解．解：第一步，第一名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法；第二步，第二名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法；第三步，第三名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法．因此，根据分步计数原理，总共不同的选法种数为5×5×5=125．答：共有125种不同的选法．练习：①有5封不同的信，投到3个不同的信箱，有多少种不同的投法？如果是3封信投到5个信箱呢？②有5个人要报名去参加3项比赛，每人只能报一项，则有多少种不同的报名方法？如果5个人同时参加了3项比赛，那么关于3项比赛的冠军，又有多少种不同可能？答案：①5封信投到3个信箱，完成这一件事可以分成五步，即依次投递第1~5封信，每封信投哪个信箱都有3种选择，根据分步计数原理，则一共有35种不同的投法．反之，若是3封信投递到5个信箱，则每封信都有5种不同的投法，依次投3封信，则一共有53种不同的投法．②5个人报名参加3项比赛，完成这件事情可以分为3步，即依次让每个人去选比赛，均有3种可能，所以根据分步计数原理，一共有35种不同的报名方法．如果是5个人去争夺3项比赛的冠军，因为每项冠军只能有一个人，故这个问题可以看成是3个项目冠军依次来从5个人中选一个当，均有5种选法，所以根据分步计数原理，一共有53种不同的冠军可能．可见，在以上该类型问题中，最重要的是按照完成这件事的步骤，分清楚谁是主动元素，谁是被动位置，比如是信选信箱还是信箱选信，是人选项目还是项目选人．例4.为了确保电子邮件的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，（1）若密码为4位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？（2）若密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？分析：（1）确定一个4位数的密码，可以按照先确定第1位、再确定第2位、再确定第3位、最后确定第4位的顺序分步进行，再根据分步计数原理求解．．（2）若密码为4~6位，则这个密码的位数有三类可能，分别为4位、5位、6位，在每一类位数的密码确定中，可以仍按照第1位、第2位、……的顺序依次确定，再根据分步计数原理求出该位数密码的总个数，最后由分类计数原理得出三类密码的总个数．解：（1）设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10=10000．（2）设置的密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106．根据分类计数原理，设置由数字0~9组成的4~6位密码的个数是104+105+106=1110000．答：满足条件的密码的个数分别为10000和1110000．三、课堂练习1.如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路，问：（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：（1）从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，根据分步计数原理，从甲地经过乙地到丙地的不同走法数量为3×2=6；（2）从甲地到丙地的路分两类，第一类，不经过乙地，共有2条路，第二类，经过乙地，由（1）知共有6条路，根据分类计数原理，从甲地到丙地的不同走法数量为2+6=8．答：（1）从甲地经乙地到丙地有6种不同的走法；（2）从甲地到丙地共有8种不同的走法．2.“要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？”尝试用多种方法来解决这个问题，并说明各种方法的不同之处．解：方法一，分类解决这个问题，第一类，“甲在左”时，不同的挂法有“甲乙、甲丙”2种，第2类，“乙在左”时，不同的挂法有“乙甲、乙丙”2种，第3类，“丙在左”时，不同的挂法有“丙甲、丙乙”2种，所以不同的挂法共有2+2+2=6种．方法二，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6．方法三，第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法：甲乙、甲丙、乙丙，第二步，将选出的两幅画挂好，分别有2种挂法，所以共有3×2=6种挂法．这种方法的核心就是先选出两幅画，再按指定位置挂好．这三种方法中，方法一是按左边画的不同分类求解，方法二是分步求解，先选左边的画，再选右边的画，两种方法本质是一样的，体现了乘法原理可以看成特定条件下加法原理的简化的这个关系，方法三是先选两幅画，再分左右挂，体现了“先选后排”解决问题的思想．四、梳理小结问题1：简单总结一下两个计数原理的区别和联系．问题2：回顾用两个计数原理解决计数问题的过程，尝试说一说其中的要点都有哪些？答案：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．五、课后作业教材P57，习题7.1理解·感受第2,4,5,6题，思考·运用第9题。
计数原理-10.1 两个基本计数原理(教案)
响水二中高三数学（理）一轮复习教案第十编计数原理主备人张灵芝总第51期§10.1 两个基本计数原理基础自测1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有种.答案122.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种.答案 53.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法.答案204.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有种.答案365.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.（2）“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法.（3）“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.例题精讲例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解方法一按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.方法二按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?解（1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；324第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）.（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040（种）（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）巩固练习1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然325后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解先分三步选号，再计算总钱数.按号段选号，分成三步.第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法.由分步计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7=1 050(注),故至少要花1 050×2=2 100(元).3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案322.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案 5 9043.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有个.答案84.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许326327同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种.（第4题） （第5题） （第6题）答案 1805.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 种. 答案 486.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有 种.答案 127.在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种.答案 2 8808.若一个m ,n 均为非负整数的有序数对（m ,n )，在做m +n 的加法时各位均不会进位，则称（m ,n )为“简单的”有序数对，m +n 称为有序数对（m ,n )的值，那么值为 1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案 300二、解答题9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解 （1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解 完成该件事可分步进行. 涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).328。
人教A版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》(理实一体化教案设计)
“四学一导”信息化教学教案同学们思考一下：“作为一个受过高等教育的人去解这道题，会怎么做？先仔细想一下。
我自己的思路这样子的：从A 到B ，分为5步：向右、向右、向右、向上、向上。
顺序可以换，只要从这5步里选3个向右的就是路径的总数量了，既10C 35=当然，从5步里选2个向上的也可以，10C 25=如果从来没有学过排列组合呢？该怎么办？（奥数）标数法，简易展示如下：此处引用博主dog250的原文：我会解这道题那完全是因为我懂排列组合的概念并且记得排列组合的公式，仅此而已。
换句话说，拿到题后，我并没有进行除了我该用根据学习经验完成计算与思考示学部分：展示各组存在的问题10分钟检学部分：通过思考与认知，完成计算，检验学习成果10分钟注：两个箭头相对处路径数相加学生活动一：外卖小哥从A到B有多少种不同走法（只能向右和向下两个方向走，不能折返）？学生活动二：外卖小哥从A到B有多少种不同走法？（只能向左和向下两个方向走，不能折返）哪个数学公式之外的任何思考，简单点说，我没有进行思考。
…所以我更想知道一个不懂排列组合公式的人是怎么想的。
…因为这是一道数学题，是题就要解，所以大多数人会去有意地将它归为某一类问题，然后用公式去解。
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三、拓展学习事实上，在计算的过程中，你可能已经注意到标数法和杨辉三角的关联了：标数法一个节点的标数等于它左边节点标数和下面节点标数之和。
这正是杨辉三角生成的规则：可是遗憾的是，百度谷歌“标数法杨辉三角二项式系数”结果寥寥，很少有人把这些关联起来。
苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》参考教案
1.1《两个基本计数原理》教案一、教学目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.二、教学重难点1、理解分类计数原理与分步计数原理2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题三、教学过程一、问题情况问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.二、学生活动探究：你能说说以上两个问题的特征吗？三、数学构建一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有=N+mn种不同的方法.分类记数原理的另一种表述:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m种不同的方法,在第二1类办法中有m种不同的方法，……，在第n类办法中有n m种不同的方法.那么完2成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.问题1解答：分析:从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法.所以，从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.问题2解答：分析:从A 村经B 村去C 村有两步：第一步,由A 村去B 村有3种方法,第二步,由B 村去C 村有2种方法,所以，从A 村经 B 村去C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法.四、数学运用例 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 1m = 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共有2m = 3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有3m = 2 种不同的方法.A 南 北所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有N = 4+3+2= 9 种.点评:解题的关键是从总体上弄清楚这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”.例2 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个).二、分步记数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.例 3 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数有多少？首位数字是0的号码数又有多少？分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位、第四位,需分为四步完成：第一步,1m =10;第二步,2m = 10; 第三步,3m =10，第四步，4m = 10.根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 =410种四位数的号码. 答:首位数字不为0的号码数有N =9×10×10 ×10 = 9×310种,首位数字是0的号码数有N = 1×10×10 ×10 =310种.由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数.分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法.若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集.分步记数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.练习：练习1 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？投影完成解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m= 3种,1第二步,m= 2种,2第三步,m= 1种,3第四步,m= 1种.4所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.练习2 如图,该电路,从A 到B 共有多少条不同的线路可通电？解:从总体上看由A 到B 的通电线路可分三类,第一类, 1m = 3 条，第二类,2m =1条，第三类,3m =2×2 = 4条.所以, 根据分类记数原理, 从A 到B 共有N = 3 + 1 + 4 = 8条不同的线路可通电. 点评: 我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.五、课堂小结1．主要学习了分类记数原理和分步记数原理2.两个原理的异同点：共同点是：它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事.分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.这也是本节课的重点.A B。
高中数学 1.1.1《两个基本计数原理》教案 新人教版A选修2-3
课题：选修2-3§1．1两个基本原理教学目标准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。
教学重点两个原理的理解与应用教学难点学生对事件的把握教具准备作图工具教学过程设计思路情境设计1、从学校南大门到图艺中心有多少种不同的走法？2、从学校南大门经图艺中心到食堂有多少种不同的走法？（请画分析图）3、课件中提供的生活实例。
引出两个原理新知教学引出原理：分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在第二类方式,中有m2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m n种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+m n种不同的方法.分步计数原理：完成一件事,需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。
巩固原理例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
（1）若学校分配给该班1名代表，有多少不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各一名，有多少种不同的选法？解：见书本第6页例1（让学生明确是一件什么样的事）练习1、乘积()()1231234a a ab b b b++⋅+++⋅()12345c c c c c++++展开后共有多少项？例2（1）在下图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？（2）在下图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？BA（1）BA（2）解：见书本第6页例2（1）在学中教，在学中悟（2）把数学知识与生活实际联系起来，让学生体会到数学的用途（3）培养学生有条理的思考问题（让学生明确是一件什么样的事，结合物理知识进行原理运用）例3、为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中,（1）密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?（2）密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A 到Z 这26个英文字母中的1个,这样的密码共有多少个? （3）密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个? 解：见书本第7页例3（学生先练习分析，老师小结）例4、用4种不同颜色给下图示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 共有多少种不同的涂法？解：见书本第8页例4解：见书本第8页例4（结合课本的思考对问题进行变换分析，着色问题是难点不急于一次到位）课堂随练 课本P9：练习1--5小结与作业课堂小结1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事.让学生自己小结本课作业课本P9：习题1—5；6--12作业随堂本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）（1） （2） （4）（3）。
1.1 两个基本计数原理
两个基本计数原理一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能够利用两个基本计数原理解决一些简单的计数问题。
2、过程与方法：经历由实际问题归纳概括出两个基本计数原理。
体验发现数学、应用数学的过程。
3、情感态度价值观：体会数学源于实际并应用于实际的道理，提高学生学习数学、研究数学的兴趣。
二、教学重、难点1、教学重点：如何从实际问题中总结得出两个基本计数原理，并应用原理更加方便的解决实际问题。
2、教学难点：如何正确选择计数原理解决问题。
三、教学过程教师活动教学过程学生活动同学们还记不记得我们高中数学第一个知识点讲的是什么？集合计数在我们生活中是广泛存在的，那么我们如何计数？如何更好地计数？这节课我们就一起来学习两个简单的计数方法。
假期要到了，同学们是想外出旅游呢，还是想回家呢？不管是外出还是回家，都要面临一个问题，那就是乘车。
（一）引入思考：2元集合A={aa21、}的子集有多少个？n元集合A={a1、aa n2⋯⋯}}的子集有多少个？总结：这就是我们数学上的一类问题，计数问题。
（二）讲新问题一：从重庆到贵州，可坐直达火车火车和直达汽车，火车有2个班次，汽车有3个班次，那么从重庆到贵州共有多少种不同的方法？思考对于一般情况，如果完成一件事有n 类不同方案呢？强调：分类加法的核心在于：将解决问题的方案分类，每一类中的每一种方法都能直接完成这件事。
我们知道，重庆有很多特产，回家呢，我想给我家人买一些重庆的特产回去。
从重庆坐直达车可以到贵州，但是呢，车费比较贵，如果去武隆转车的话会节约大概一半的车费分析：1、要我们完成的事情是什么？2、完成这个事情有几类方法？3、每类方法能否独立完成这件事情？4、每类方法中分别有几种不同的方法？5、完成这件事情共有多少种不同的方法？2+3=5 种思考：你能举出类似的例子吗？总结：都是为了完成一件事。
完成一件事情，有两类不同方案第1类方案有m种不同方法第2类方案有n种不同方法那么，完成这件事情共有m+n种不同方法。
《两个基本计数原理的应用(2)》示范课教案【高中数学苏教版】
第七章计数原理7.1.2 两个基本计数原理的应用（第2课时）1.理解两个基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，能正确使用两个原理解决简单计数问题；2.掌握分类计数原理和分步计数原理的区别和联系．教学重点：正确选择加法原理或乘法原理解决问题．教学难点：综合使用加法原理和乘法原理解决问题.一、情境导入前面我们学习了两个计数原理，知道了他们回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事．事实上，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单问题的计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来从而得到原问题的答案．下面我们就通过一些具体问题来示例．二、应用举例例1.要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？问题1：本题中要完成的一件事是什么？答案：用四种颜色给如图所示的五个区域涂色，且相邻区域不同色．问题2：你会如何完成这件事情？答案：因为图中的区域有相邻，不相邻，所以选定一个区域开始涂色，根据其他区域与开始区域的相邻关系进行分类，然后按区域依次分析求解．◆教学目标◆教学重难点◆教学过程解：从区域A开始考虑，因为区域A与B、D、E均相邻，与C不相邻，所以按A与C颜色的相同和相异分类求解：第一类，A、C同色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有1中选择；第三步，给区域B涂色，有3种选择；第四步，给区域E涂色，有2种选择；第五步，给区域D涂色，有2种选择．则根据分步计数原理，一共有为4×1×3×2×2=48种不同的选择；第二类，A、C异色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有3种选择；第三步，给区域B涂色，有2种选择；第四步，给区域E涂色，只有1种选择；第五步，给区域D涂色，只有1种选择．则根据分步计数原理，一共有为4×3×2×1×1=24种不同的选择；综合以上，根据分类计数原理，该图形的不同涂色方案共有48+24=72种．问题3：你还有其他解决这个问题的方法吗？答案：观察图形中的位置，A、C对角，可以同色，B、D对角，也可以同色，因为总共只有4种颜色，所以A、C和B、D中至少会有一对同色，从而可以将这个问题的解决方案分三类：第一类：A、C同色，B、D不同色，此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再依次确定B、E、D的颜色，分别有3，2，1种可能，所以共有4×3×2×1=24种不同的可能；第二类：A、C不同色，B、D同色，方法同第一类，也共有24种不同的可能；第三类：A、C同色，B、D同色，此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再确定B、D的颜色，有3种可能，再确定E的颜色，有2种可能，所以共有4×3×2=24种不同的可能．根据分类计数原理，该图形不同的涂色方案共有24+24+24=72种．例2.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．（1）1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？问题1：说一说本题目两个问题中分别要完成的一件事是什么？如何完成？答案：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”．由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可．解：（1）用下图表示1个字节．1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536.这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.例3. 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示．其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？问题1：该题目中要完成的“一件事情”是什么？答案：“最多能发放多少张汽车号牌”，意为“满足上面编码规则的不同号码牌一共有多少个”，所以本问题要解决的“一件事情”就是：“从10个数字和除O，I外的24个英文字母中选5个，其中字母至多2个，再将5个符号排序编码成一个汽车牌照序号”，简单地说，就是“按照规则生成一个汽车牌照序号”．问题2：说一说你会如何完成这“一件事情”？答案：因为编码规则要求字母至多2个，所以这个事情可以分三大类来考虑：①没有字母，②有1个字母，③有2个字母．在有字母的类中，可以以字母所在的位置为分类标准，将有1个字母的序号分为5类，将有2个字母的序号分为10类，依次进行分析解决．总的来说就是，先分大类，再分小类，小类中再分步．解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张．根据分类计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张．于是，这类号牌张数一共为576000×10=5760000．综合（1）（2）（3），根据分类计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000．三、课堂练习1.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法可能有多少？解：只从一面上山，而从其他任意一面下山，一共有四类可能：若从东面上山，走法数量为：2（3+3+4）=20；若从西面上山，走法数量为：3（2+3+4）=27；若从南面上山，走法数量为：3（2+3+4）=27；若从北面上山，走法数量为：4（2+3+3）=32．故只从一面上山，而从其他任意一面下山总的可能走法数量为20+27+27+32=106．2.用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有多少种涂法？解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A、B、C、D，然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，所以总的涂色方法有4×3×2×（2+1）=72种．四、梳理小结问题：回顾用两个计数原理解决计数问题的过程，尝试说一说其中的要点都有哪些？答案：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．五、课后作业教材P57，习题7.1理解·感受第7,8题，思考·运用第10题，拓展·探究第13题。
《两个基本计数原理》示范课教案【高中数学苏教版】
第七章计数原理7.1.1 两个基本计数原理1.理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别；2.会运用分类计数原理和分步计数原理分析和解决一些简单的问题；3.经历实际计数问题的解决过程，建构方法并归纳抽象出两个计数原理，提升数学抽象和逻辑推理能力．教学重点：理解分类计数原理和分步计数原理．教学难点：在解决具体问题中，区别使用两个基本计数原理．一、新课导入情境：在生活中，与计数有关的问题是普遍存在的，如电话号码的编排、密码的设定、体育赛事的设计、集成电路的布线安排，以及生物遗传的可能，等等．当数值较小时，我们可以通过列举或数形图解决问题，但是，当数值较大或情况比较复杂时，计数就比较困难，今天我们就来研究这样的计数问题．设计意图：通过设置情境，明确学习目标．二、新知探究问题1：如图，从甲地到乙地有3条公路、2条铁路，那么从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？追问1：从甲地到乙地有几类方式？每一类分别有几种方法？答案：从甲地到乙地有两类方式：第一类：走公路，有3种不同方法；第二类：走铁路，有2种不同方法．追问2：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？答案：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”．追问3：从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？答案：从甲地到乙地共有3+2=5（种）不同的方法．问题2：用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程多少种不同的号码？追问1：完成这件事情有几类方式？每一类分别有几种方法？答案：有两类方式：第一类：用大写英文字母，有26种不同方法；第二类：用一个阿拉伯数字，有10种不同方法．追问2：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？答案：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”．追问3：总共能编出多少种不同的号码？答案：共有26+10=36（种）不同的方法．思考：你能由前两个问题归纳出一般结论吗？答案：完成一件事有两类不同方式，在第1类方式中有m种不同的方法，在第2类方式中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法．追问：如果完成一件事不只有两类“不同方式”，每一类方式中还有多种方法，那该如何计数呢？分类计数原理：如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法．说明：分类计数原理又称为加法原理．归纳：分类计数原理特点（1）各类方式之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加；（2）要先根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数．设计意图：通过问题、归纳、操作确认、解释说明等环节，得出分类计数原理．问题3：如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？追问1：从甲地经乙地到丙地要分几步？每一步有几种方法？答案：分两步：第一步：先从甲地到乙地，有3种不同方法；第二步：再从乙地到丙地，有2种不同方法．追问2：“每一步”与“完成这件事”有什么关系？答案：“每一步”都不能独立“完成这件事”．追问3：从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？答案：共有3×2=6（种）不同的方法．问题4：春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会．她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？追问1：完成这件事要分几步？每一步有几种方法？答案：分两步：第一步：先选上衣，有3种不同方法；第二步：再选裤子，有4种不同方法．追问2：“每一步”与“完成这件事”有什么关系？答案：“每一步”都不能独立“完成这件事”．追问3：完成这件事，共有多少种不同的方法？答案：共有3×4=12（种）不同的方法．思考：你能由前面两个问题归纳出一般结论吗？答案：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法．追问1：“分步方法”与“完成这件事”有什么关系？答案：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存．追问2：如果完成一件事需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么如何计数呢？分步计数原理：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n不同的方法，则完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法．说明：分步计数原理又称为乘法原理．归纳：分步计数原理特点：（1）各步骤相互依存, 每步都完成才算完成此事；（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数．设计意图：借助具体问题，使学生理解分步乘法计数原理；通过设问，加深学生对原理的理解．说一说：你能总结出分类计数原理和分步计数原理的区别与联系吗？相同点：都是回答完成一件事的不同方法种数．不同点：分类计数原理针对“分类”问题，各类方式相互独立，每类方式中各种方法相互独立，任何一类中的任何一种方法都能单独完成这件事．分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事.设计意图：明确两个原理的联系和区别，培养学生概括问题的能力．三、应用举例例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？分析：考虑选择分“类”还是分“步”：分类计数原理中每种方法都可以解决这件事情；分步计算原理中连续几个步骤合起来共同完成一件事情．解：（1）选出1名代表有两类方式：第一类：从男生中选出1名代表，有28种不同的选法；第二类：从女生中选出1名代表，有20种不同的选法．根据分类计数原理，共有不同的选法种数是28 +20 = 48．（2）选出男、女生代表各1名，可以分成两个步骤完成：第一步：选1名男生代表，有28种不同的选法；第二步：选1名女生代表，有20种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是28 ×20 =560．答：选出1名代表有48种不同的选法；选出男、女生代表各1名，有560种不同的选法．设计意图：学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用.四、课堂练习1.学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤．(1) 若只吃一种菜或汤，有________种不同的选择；(2) 若要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出________种不同的品种．2.如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？3.某校学生会由高一年级5人、高二年级6人、高三年级7人组成．(1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？参考答案：1.解：(1) 有5+3+2=10种不同的选择．(2) 第一步，配1种荤菜，有3种不同的选择；第二步，配1种素菜，有5种不同的选择；第三步，配1种汤，有2种不同的选择．故共有5×3×2=30种不同的品种．2. 解：先考虑李明从A村经过B村到C村：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类，每一类都有2种不同的方法，共有2+ 2+2=2×3=6条线路可以选择．再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6= 6×3=18条线路可以选择．因此，整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择．3.解：(1)从3个年级共5+6+7=18名学生中选出1名代表，共18种选法．(2)从每个年级中各选1人，根据分步计数原理知，共5×6×7=210种选法．五、课堂小结分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题．不同点在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；而分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事．六、布置作业教材第56页练习第1，2，3题．。
两个计数原理教案陈志珍
第一章计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理作者陈志珍教学目标1.运用分析实例，让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并理解它们的区别．2.会初步运用两个计数原理分析和解决一些简单的计数问题．3.学习分类讨论以解决问题的数学思想方法4.在小组合作交流中学会与人合作，获得情感体验，发展个性。
教学重点和难点重点：1 经历对实际问题进行方法建构的过程，从而掌握解决实际计数问题的流程，即：分析问题→构造方法→选择原理→解决问题．2 理解两个计数原理的概念。
难点：在具体问题解决中，区别使用两个计数原理．教学用具：多媒体教学教学过程设计一本章的引入：展示问题问题1：掷一颗骰子，出现点数为3的倍数的概率是多少？这是一个古典概型的问题，记事件A为“掷出的点数为1或2”，要计算P(A) = ，那么，m，n如何计算？——问题转化为一个“计数”问题．日常生活，生产中类似计数问题也大量存在。
问题2：杭州市汽车号牌的容量是否足够应对汽车数量的激增？资料：浙江在线09月10日讯，截至2009年8月，杭州市机动车保有量已达148.6027万辆，其中杭州市区机动车保有量超过47万辆，杭州每月平均增加近6000辆机动车。
仅次于北京、上海，排位全国第三。
昨天，浙江省公安厅交通管理局正式发布消息，浙江的规则已经定好啦！新投放的车牌组合模式(后五位)为“浙A−zzzzX”数字+字母，其中zzzz是4位采用阿拉伯数字的组合，X是A、B、C、D、E的任一字母。
10月6日起，我省新注册登记的小型汽车车主，都可按照这个规则“订做”车牌。
如果按此牌照方式编排，理论上汽车数量最多为多少？问题3：下图是某城市的街道．西北角是某同学的家，东南角是学校．从家经东西4条街，南北5条街到学校（最短距离），有几种不同的走法？（图略）虽然用列举所有各种可能的方法，即一个一个地数，可以求出相应的数，但当这个数很大时，用列举法很难实施，如何能不通过一个一个的数而确定出这个数？通过以上的问题情境的引入，揭示本章的研究课题：——利用怎样的模型刻画和解决计数问题？引出本章课题：计数原理我们先来探究下数数的方法——分类加法计数原理和分步乘法计数原理（出现课题）二新课讲解1分类加法计数原理（一）创设情境问题1.1：从衢州到上海，可以乘火车，也可以乘汽车，若一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从衢州到上海共有多少种方法？问题1.2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？（二）自主探究：（分组进行，第1，2组讨论第1个问题，第3，4组第2个问题）要完成一件什么事情？怎么完成？分类进行？第二个问题也是吗？两个问题有什么共同点？（两组分别讨论完后共同讨论）（三）建构数学模型：如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ （四 ） 得出数学理论：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N +=种不同的方法.（五 ） 数学运用：例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：分析问题→构造方法→选择原理→解决问题．由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：略变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？（六 ） 再建构数学模型：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？推广：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法2 分步乘法计数原理（一） 创设情境问题2.1从常山到上海，先从衢州乘汽车到衢州，再于次日从衢州乘火车到上海。
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第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
现要配成一荤一素一汤的套餐。
问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）（2）若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？思考：有0、1、2、3、4、5六个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（四）课堂总结1、什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理呢？分类时用加法原理，分步时用乘法原理．2、分类与分步怎么区别呢？分类时要求各类办法能独立完成；分步时要求各步不能独立完成．分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点的理解：①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.（五）板书设计：（六）及时训练1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。
从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 两个基本计数原理 1、分类计数原理： N=m 1 +m 2 +……+m n 2、分类计数原理： N=m 1×m 2 ×……×m n 例1． 例2． 小结： ① ③④ ②① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 图一 图二 图三（七）作业布置1、课本第8页第1、2、3、4、5题；2、课本第9页第1、2、3、4、5、6、7、8、9题教学反思：分类加法计数原理比较好掌握，分类乘法计数原理不太好理解.有些题不知道是用加法原理还是用乘法原理.例题书上都有，看过书后，教师讲课感觉不到新鲜.还有部分不会做题的学生通过看书也能得到答案，不能反映他们的真实水平.1、学生主体观课堂教学过程是在教学目标的指引下，由师生共同动态“生成”的．其中，学生的反馈是重要的，它决定了教学的进程．聆听学生是教师的必备技能，不要将学生作为“答案发生器”，不要沉浸在“我的学生都会做了”这种虚假的成功喜悦中，而应该让学生关注解决问题的过程、策略及思想方法，让他们充分地展示思想，完整地、数学地表达自己的想法，甚至于应该给予他们犯错的机会，也帮助他们提高分析错误、更正错误的能力．学生在解题时，往往对答案很在意，也很在行．例如在问题“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少个？”的解决中，学生极快地报出了答案“10”，但在叙述他的解题过程时，却说不太清楚．一开始说出了5×4的做法，但很快又自我否定（因为答案不对），当然，他一定觉得用“数”数的方法可以解决，但难以表述．这种“两难”处境需要教师的协助来化解，在教师的鼓励下，他用“数”数的方法完成了问题，并对计数的对象——二元集进行了分类，利用分类加法计数原理重新阐述了做法，得到了师生的共同认可．在这一过程中，不仅是这名学生，而是全体，都体验了不要“轻易言败”的心理历程，这也在一定程度上实现了新课程所倡导的“情感、态度、价值观”的目标．2、让学生自我发展如何让学生的主动学习模式从课内延伸到课外？如何让学有余力的同学有更大的收获？学生在课后常会问一些问题，多数是课上未听懂或习题的方法未理解掌握，但也有一些同学就某一问题提出新看法、新解法，对他们而言，一个具备思辨价值的问题是更好的研究素材，例如在本课最后，提出了问题“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M为定义域，P为值域的不同函数有几个？②从M到P 不同的映射有多少个？”——这个问题需要学生对函数、映射相关知识先做一个回顾，再利用所学的两个基本计数原理加以解决．记得当时一下课，有学生上来问我：“是不是9”？我没有回答，而是让他自主验证．第二天，他坚定地说，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我对他的答案进行认可了，因为他已学会了自我认可．这种自我认可的能力，不也是数学课程需要达到的目标么？。