五数上册思维体操

二、多边形面积的计算

【思维训练】

例1.如图，长方形长是18厘米，宽是8厘米，求阴影部分的面积。

[思路点拨]

此题关键之处是两个阴影三角形的底合起来正好是长方形的长，而三角形的高与长方形的宽相等，因此阴影部分的面积就等于长方形的长乘以宽的一半，也就是长方形面积的一半。我们不妨设定两个三角形的底分别为x、y，高为长方形的宽b，用求两个三角形面积之和的方法来求证以上的分析是否成立。

以此类推，不管有多少个这样的阴影三角形只要它们下面的底连接在一起，合起来的和正好是长方形的长，最上面的角的顶点都在长方形的另一个长上，所有三角形的高都等于长方形的宽。那么阴影部分的面积之和一定是长方形面积的一半。

还可以把右边的阴影三角形进行转换和左边的阴影三角形拼成一个大三角形帮助学生理解。(如上图)

解法：

[试一试]

请仔细观察下面四个图形，并回答问题。已知四个长方形的面积完全相等。

图A 图B 图C 图D

上面各图中，阴影面积(之和)等于其空白面积(之和)的图形有______个，它们分别是图_____________!

例2.如右图所示，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3厘米，DF=2厘米，求三角形BEF的面积。

[思路点拨]

已知正方形的边长为6厘米，可求出这个正方形的面积6×6=36(平方厘米)。因为已经知道三角形AEB、三角形BFC、三角形DEF的高和底，所以可直接求出它们的面积，再用正方形的面积减去这三块的面积，剩下的就是三角形BEF的面积了。

解法：

[试一试]

求右图阴影部分的面积。(单位：厘米)

[想想做做]

1.如右图所示，梯形中阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。(单位：厘米)

2.如右图所示，A、B是平行四边形相邻两边的中点，求阴影部分的面积。(单位：厘米)

例3.如右图所示，求四边形ABCD的面积。(单位：厘米)

[思路点拨]

四边形ABCD不能直接算出它的面积，只能间接算出它的面积。用总面积减去部分面积，条件不足，只能将四边形ABCD分成两个三角形。怎样分呢?连接线段BD，光知道三角形的底，但高不知道；只能连接线段AC，这样三角形ADC和三角形ABC的底和高都知道了，问题就迎刃而解了。

解法：

[试一试]

如右图所示，平行四边形ABCD被CE分成两部分，它们的面积差是18平方厘米，问AE是多少厘米?

例4.把三角形的边延长4厘米后，面积增加了14平方厘米。求原来三角形的面积。

[思路点拨]

要求原来三角形的面积，只知道底，不知道高。分析条件得知，把三角形的边延长4厘米后，面积增加14平方厘米，14平方厘米就是新增加的三角形的面积，根据14平方厘米和4厘米可以求出新增加三角形的高，也就是原来三角形的高。这样，原来三角形的面积就可以求出了。

解法：

[试一试]

一个直角梯形的下底为10厘米。如果把它的上底延长4厘米，原来的直角梯形就变成了正方形。原来的直角梯形的面积是多少平方厘米?

[想想做做]

1.如右图所示，阴影部分的面积比空白的直角三角形的面积大40平方厘米，求空白三角形的面积。(单位：厘米)

2.如右图所示，D是AC的中点，BC边上有三等分点，已知阴影部分的面积为20平方厘米，求三角形ABC的面积。

例5.如右图所示，三角形ABC的面积为75平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?

[思路点拨]

阴影部分是个三角形，光知道底是6厘米，高无法得知，所以无法直接求出。看看给我们的条件，AC边上有6厘米和6厘米，说明AC 边上有两个等底等高的三角形，它们两个面积相等。BC边上有10厘米和5厘米，说明三角形ABD的面积是三角形ACD面积的2倍。三角形ABC的面积是75平方厘米，被平均分成三份，三角形ACD的面积是其中的一份，算式为75÷3=25平方厘米，阴影部分的面积为25平方厘米的一半。

解法：

[试一试]

如右图所示，两条对角线把梯形分成四个三角形，已知两个三角形的面积，求梯形的面积。(单位：平方厘米)

例 6.如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，其中甲的面积比乙小6平方厘米，求CE的长。

[思路点拨]

要求CE的长，条件很不充分，不能直接求。甲的面积比乙小6平方厘米这个条件也比较孤立。怎么办?不妨将甲的面积加上梯形ABCF的面积，合起来就是正方形ABCD的面积；乙的面积也加上梯形ABCF的面积，合起来就是三角形ABE的面积。这样正方形ABCD的面积仍然比三角形ABE的面积少6平方厘米。根据正方形ABCD的面积推算出三角形ABE面积，再算出三角形ABE中BE的长，最后算出CE的长。

解法：

[试一试]

如右图所示，已知甲比乙的面积大3平方厘米，求AB的长。

[想想做做]

四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形，其中三个的面积如右图所示(单位：平方厘米)，求四边形ABCD的面积。

练习二

1.等腰梯形的周长是48厘米，面积是96平方厘米，高是8厘米，则腰长是多少?

2.正方形一条对角形长10厘米，则正方形的面积是多少?

3.上底是10厘米，下底是25厘米的梯形，如果下底减少8厘米。上底不变。面积就减少84平方厘米，原梯形面积是多少平方厘米?

4.如右图所示，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米)

5.如右图所示，在三角移ABC中，BD=DE=EC，BF=FA，三角形EDF的面积等于1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少?

6.如右图所示，长方形里有四个三角形，已知其中三个三角形的面积(单位：平方厘米)，求三角形ADE的面积。

7.如右图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分的面积是多少?

8.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形(见下图)，长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米?