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初中毕业数学试卷及答案

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2022年吉林省长春市中考数学试题(含答案解析)

2022年吉林省长春市中考数学试题(含答案解析)

2022年长春市初中毕业学业水平考试数 学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页。

全卷满分120分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．右图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是A B C D2．长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数 据1800000用科学记数法表示为 A. 51810⨯ B. 61.810⨯ C. 71.810⨯D. 70.1810⨯3. 不等式23x +>的解集是A. 1x <B. 5x <C. 1x >D. 5x >4．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是A. 0a >B. a b <C. 10b -<D. 0ab >5．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂 足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是A. sin ABBCα=B. sin BC AB α=C. sin AB ACα= D. sin ACAB α= 6．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形．若121BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数为A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°7. 如图，在ABC 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是A. AF BF =B. 12AE AC =C. 90DBF DFB ∠+∠=︒D. BAF EBC ∠=∠8．如图，在平面直角坐标系中，点P 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，其 纵坐标为2，过点P 作PQ //y 轴，交x 轴于点Q ，将线段QP 绕点Q 顺时针旋转60°得 到线段QM ．若点M 也在该反比例函数的图象上，则k 的值为（ ）A.B. C. D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．分解因式：23m m +=_______．10．若关于x 的方程20x x c ++=有两个相等的实数根，则实数c 的值为_______． 11．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人， 则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可求得 x 的值为________．12．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O 重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A 、B 两点.若5OA =厘 米，则AB 的长度为________厘米．（结果保留π）13．跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC 和等边三角形DEF 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形． 若27AB =厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．14．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（本小题满分6分）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．16．（本小题满分6分）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列 表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18．（本小题满分6分）如图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中ABC 的形状是________；（2）在图①中确定一点D ，连结DB 、DC ，使DBC △与ABC 全等： （3）在图②中ABC 的边BC 上确定一点E ，连结AE ，使ABE CBA △∽△：（4）在图③中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连结PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．19．（本小题满分7分）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是________年： （2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是_______； （3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了_______件，专利授权量年增长率提高了_______个百分点；（注：1%为1个百分点）（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量 就最小．（ ）②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上 升．这是因为 专利授权量年增长率100%-=⨯当年专利授权量上一年专利授权量上一年专利授权量，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．（ ） ③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立 自强贡献吉林力量．（ ）己知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）m=_______，n=_______；（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22．（本小题满分8分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在△≌△．的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想ADG AFG【问题解决】（1）小亮对上面ADG AFG △≌△的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形ABCD 是矩形，∴90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒． 由折叠可知，1452BAF BAD ∠=∠=︒，BFA EFA ∠=∠． ∴45EFA BFA ∠=∠=︒． ∴2AF AB AD ==． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】（2）DAG ∠的度数为________度，FGAF的值为_________； （3）在图①的条件下，点P 在线段AF 上，且12AP AB =，点Q 在线段AG 上，连结FQ 、PQ ，如图②，设AB a ，则FQ PQ +的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）23．（本小题满分10分）如图，在ABCD 中，4AB =，13AD BD ==，点M 为边AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD DB -以每秒13个单位长度的速度向终点B 运动，连结PM ．作点A 关于直线PM 的对称点A '，连结A P '、A M '．设点P 的运动时间为t 秒．（1）点D 到边AB 的距离为__________； （2）用含t 的代数式表示线段DP 的长；（3）连结A D '，当线段A D '最短时，求DPA '△的面积； （4）当M 、A '、C 三点共线时，直接写出t 的值．24．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx =-（b 是常数）经过点()2,0．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （0m ≠）．以点A 为中心，构造正方形PQMN ，2PQ m =，且PQ x ⊥轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当4BC =时，求点B 的坐标；（3）若0m >，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随x的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点．．的纵坐标之差为34时，直接写 出m 的值．2022年长春市初中毕业学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．：(3)m m + 10．14或0.25 11．812．52π或2.5π13．5414．1-1三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15.解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44==16.解：根据题意列表如下：由表可知，总的可能结果有4种，两次之和不大于3的情况有3种， 故所求概率为：3÷4=34， 即两次分数之和不大于3的概率为34． 17.解：设乙班每小时挖x 千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x )千克的土豆，根据题意有：15001200100x x=+，解得：x =400，经检验，x =400是原方程的根， 故乙班每小时挖400千克的土豆．18. 解：（1）∵222222224220,215,525AB AC BC =+==+=== ∴222AB AC BC +=, ∴ABC 是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）如图，点D 即为所求作，使DBC △与ABC 全等：（3）如图所示，点E 即为所作，且使ABE CBA △∽△：（4）如图，点P ，Q 即为所求，使得PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．19.（1）证明：AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：14BE EC =， 设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形； 4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，AB ===，∴tan BCF ∠=tan AB BEA BE a∠=== 20.（1）2020（2）18.1%（3）5479，30.2（4）①×，②√，③√21.（1）2.6（2）甲车距A 地的路程y 与x 之间的函数关系式6080y x =+ （3）300千米22.（1）见解析（2）22.5 1.（3）2a 23.（1）3（2）当0≤t ≤1时，DP =；当1＜t ≤2时，PD = （3）35（4）23或201124.（1）22y x x =-（2）()1,3B - （3）102m <≤或3m ≥ （4）38m =-或12m =或32m =．。

初中毕业考数学试卷及答案

初中毕业考数学试卷及答案

一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A解析：将x=3代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1，得到f(3) = 3^2 - 23 + 1 = 4。

2. 下列哪个数是负数？（）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 2答案：A解析：负数是小于0的数，只有A选项的-1/2是负数。

3. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm答案：C解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长=底边长+两腰长=6cm+8cm+8cm=24cm。

4. 下列哪个图形是轴对称图形？（）B. 长方形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A解析：轴对称图形是指通过某条直线将图形分成两部分，两部分完全重合。

正方形满足这个条件。

5. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的解为（）A. x1=2，x2=3B. x1=3，x2=2C. x1=-2，x2=-3D. x1=-3，x2=-2答案：A解析：通过因式分解或配方法解得方程的解为x1=2，x2=3。

二、填空题（每题5分，共50分）6. 若a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值为______。

答案：37解析：根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可得a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 26 = 25 - 12 = 13。

7. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则sinC的值为______。

答案：√3/2解析：在直角三角形中，sinC = 对边/斜边。

∠C=90°-∠B=60°，所以sinC = √3/2。

8. 若一个正方形的边长为a，则该正方形的面积为______。

解析：正方形的面积=边长×边长=a×a=a^2。

初中毕业数学试题及答案

初中毕业数学试题及答案

初中毕业数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…B. √2C. 4D. π答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 14C. 18D. 20答案：C3. 函数y=2x+3的图象与x轴的交点坐标是？A. (0,3)B. (-3/2,0)C. (3/2,0)D. (0,-3)答案：B4. 一个数的相反数是-5，这个数是？A. 5C. 0D. 1答案：A5. 若a=2b，且b=3，则a的值是多少？A. 6B. 3C. 2D. 1答案：A6. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B7. 一个长方体的长、宽、高分别是4、3、2，那么它的体积是多少？A. 24B. 36C. 48D. 60答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个数的平方根是3，这个数是？A. 9B. -9C. 3D. -3答案：A10. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角是40°，那么顶角是____。

答案：100°2. 一个数的立方根是2，那么这个数是____。

答案：83. 一个数的平方是16，那么这个数是____。

答案：±44. 函数y=x^2-4x+4的最小值是____。

答案：05. 一个圆的直径是10，那么它的周长是____。

答案：31.46. 一个长方体的体积是60，长和宽都是3，那么高是____。

答案：6.67（保留两位小数）7. 一个等差数列的首项是1，公差是2，那么第10项是____。

答案：198. 一个数的绝对值是7，那么这个数是____。

答案：±79. 一个数的倒数是2，那么这个数是____。

2022年四川省遂宁市中考数学真题(含解析)

2022年四川省遂宁市中考数学真题(含解析)

z四川省遂宁市2022年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 的倒数是（ ） A. 2B.C. D. 2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）科克曲线笛卡尔心形线阿基米德螺旋线赵爽弦图A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图3. 2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约198000公里．数据198000用科学计数法表示（ ）A.B. C. D.4. 如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A. 大B. 美C. 遂D. 宁5. 下列计算中正确的是（ ） A. B.C.D.6. 若关于x 的方程无解，则m 的值为（ ） 2-122-12-为319810´41.9810´51.9810´61.9810´339a a a ×=()3328a a -=-()31024a a a ÷-=()()2224a a a -+--=+221mx x =+zA. 0B. 4或6C. 6D. 0或47. 如图，圆锥底面圆半径为7cm ，高为24cm ，则它侧面展开图的面积是（ ）A.cm 2B.cm 2C. cm 2D. cm 28. 如图，D 、E 、F 分别是三边上的点，其中，BC 边上的高为6，且DE //BC ，则面积的最大值为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 129. 已知m 为方程的根，那么的值为（ ） A.B. 0C. 2022D. 404410. 如图，正方形ABCD 与正方形BEFG 有公共顶点B ，连接EC 、GA ，交于点O ，GA 与BC 交于点P ，连接OD 、OB ，则下列结论一定正确的是（）175π3175π2175π350πABC !8BC =DEF!2320220x x +-=32220252022m m m +-+2022-z①EC ⊥AG ；②△OBP ∽△CAP ；③OB 平分∠CBG ；④∠AOD =45°； A. ①③B. ①②③C. ②③D. ①②④二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11. 遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位数是______． 12. 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简______．13. 如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．14. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．1a+=z15. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的部分图象如图所示，设m =a -b +c ，则m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算：17 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，过点D 作DF ∥AC 交OE 的延长线于点F ，连接AF ．11tan 301π33-æöæö°++--+ç÷ç÷ç÷èøèø22221111a a a a -+æö-÷ç÷++èø4a =z（1）求证：≌；（2）判定四边形AODF 形状并说明理由．19. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？20. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；（2）补全条形统计图；（3）把短道速滑记为A 、花样滑冰记为B 、自由式滑雪记为C 、单板滑雪记为D ，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C 的概AOE △DFE △的z率．21. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．（1）求双曲线上的“黎点”； （2）若抛物线（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c 的取值范围． 22. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A 处测得塔楼顶端点E 的仰角，台阶AB 长26米，台阶坡面AB 的坡度，然后在点B 处测得塔楼顶端点E 的仰角，则塔顶到地面的高度EF 约为多少米． （参考数据：，，，）23. 已知一次函数（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数交于B 、C 两点，B 点的横坐标为．()1,1-()2022,2022-9y x-=27y ax x c =-+1a >50.2GAE Ð=°5:12i =63.4EBF Ð=°tan 50.2 1.20°»tan 63.4 2.00°»sin 50.20.77°»sin 63.40.89°»11y ax =-26y x=2-z（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x 的取值范围；（3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．24. 如图，是的外接圆，点O 在BC 上，的角平分线交于点D ，连接BD ，CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是的切线； （2）求证：∽；12y y <O !ABC !BAC ÐO!O !ABD △DCP !z（3）若，，求点O 到AD 的距离．25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为，点C 的坐标为．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，E 为边AB 上的一动点，F 为BC 边上的一动点，D 点坐标为，求周长的最小值；（3）如图2，N 为射线CB 上一点，M 是抛物线上的一点，M 、N 均在第一象限内，B 、N 位于直线AM 的同侧，若M 到x 轴的距离为d ，面积为，当为等腰三角形时，求点N 的坐标．6AB =8AC =2y x bx c =++()1,0-()0,3-的ABC !()0,2-DEF !的AMN !2d AMN !z遂宁市2022年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 的倒数是（ ） A. 2 B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：-2的倒数是，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）科克曲线笛卡尔心形线阿基米德螺旋线赵爽弦图A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图 【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A 、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；2-122-12-12-B 、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约198000公里．数据198000用科学计数法表示为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：． 故选：C ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．4. 如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A. 大B. 美C. 遂D. 宁【答案】B 【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “我”与“美”是相对面． 故选：B ．319810´41.9810´51.9810´61.9810´10n a ´11|0|a £＜n 51.9198000801=´10n a ´11|0|a £＜n n a n 10³n 1＜n an【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手．5. 下列计算中正确的是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可． 【详解】A. ，故本选项错误； B. ，故本选项符合题意； C. ，故本选项错误；D.，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 6. 若关于x 的方程无解，则m 的值为（ ） A. 0 B. 4或6C. 6D. 0或4【答案】D 【解析】【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可． 【详解】方程两边同乘，得， 整理得， 原方程无解，当时，；当时，或，此时，， 解得或，当时，无解； 339a a a ×=()3328a a -=-()31024a a a ÷-=()()2224a a a -+--=+33336a a a a +×==3333(2)(2)8a a a -=-=-102310234()a a a a -´÷-=-=-222(2)(2)()24a a a a -+--=--=-221mx x =+40m -=40m -¹0x =210x +=(21)x x +2(21)x mx +=(4)2m x -=!\40m -=4m =40m -¹0x =210x +=24x m =-0x =12x =-0x =204x m ==-z当时，，解得； 综上，m 的值为0或4； 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．7. 如图，圆锥底面圆半径为7cm ，高为24cm ，则它侧面展开图的面积是（ ）A.cm 2 B.cm 2C. cm 2D. cm 2 【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC =25cm ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．【详解】解：在中，cm ，∴它侧面展开图的面积是cm 2． 故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．8. 如图，D 、E 、F 分别是三边上的点，其中，BC 边上的高为6，且DE //BC ，则面积的最大值为（ ）12x =-2142x m ==--0m=175π3175π2175π350πRt AOC△25AC ==127251752p p ´´´=ABC !8BC =DEF !zA. 6B. 8C. 10D. 12【答案】A 【解析】【分析】过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可． 【详解】如图，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设，，， ， ， ， ，当时，S 有最大值，最大值为6，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌AN a =!DE BC ADE ABC !"!43DE a =DEF !AN a =DE BC !!,ADE B AED C \Ð=ÐÐ=ÐADE ABC \!"!DE ANBC AM \=86DE a\=2211422(6)4(3)622333DEF S DE MN a a a a a \=××=´´-=-+=--+!\3a =z握知识点是解题的关键．9. 已知m 为方程的根，那么的值为（ ） A. B. 0C. 2022D. 4044【答案】B 【解析】【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 【详解】∵m 为的根据， ∴，且m ≠0， ∴，则有原式=， 故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为得到是解答本题的关键．10. 如图，正方形ABCD 与正方形BEFG 有公共顶点B ，连接EC 、GA ，交于点O ，GA 与BC 交于点P ，连接OD 、OB ，则下列结论一定正确的是（ ）①EC ⊥AG ；②△OBP ∽△CAP ；③OB 平分∠CBG ；④∠AOD =45°； A. ①③ B. ①②③C. ②③D. ①②④【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，可得△ABG ≌△CBE （SAS ），即得∠BAG =∠BCE ，即可证明∠POC =90°，可判断①正确；取AC 的中点K ，可得AK =CK =OK =BK ，即可得∠BOA =∠BCA ，从而△OBP ∽△CAP ，判断②正确，由2320220x x +-=32220252022m m m +-+2022-2320220m m +-=32320220m m m +-=2320220x x +-=2320220m m +-=32320220m m m +-=322(32022)(32022)000m m m m m +--+-=-=2320220x x +-=2320220m m +-=∠AOC=∠ADC=90°，可得A、O、C、D四点共圆，而AD=CD，故∠AOD=∠DOC=45°，判断④正确，不能证明OB平分∠CBG，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=90°=∠GBE，∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG，即∠ABG=∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG=∠BCE，∵∠BAG+∠APB=90°，∴∠BCE+∠APB=90°，∴∠BCE+∠OPC=90°，∴∠POC=90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：z在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK=CK=OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK=CK=BK，∴AK=CK=OK=BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA=∠BCA，∵∠BPO=∠CP A，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC=∠ADC=90°，∴∠AOC+∠ADC=180°，∴A 、O 、C 、D 四点共圆， ∵AD =CD ，∴∠AOD =∠DOC =45°，故④正确，由已知不能证明OB 平分∠CBG ，故③错误， 故正确的有：①②④， 故选：D ．【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，解题的关键是取AC 的中点K ，证明AK =CK =OK =BK ，从而得到A 、B 、O 、C 四点共圆．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11. 遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位数是______． 【答案】23 【解析】【分析】将这5个数从小到大排列，第3个数就是这组数的中位数． 【详解】将这5个数从小到大排列：20、22、23、24、25， 第3个数23，则这组数的中位数为：23， 故答案为：23．【点睛】本题考查了中位数的定义，充分理解中位数的定义是解答本题的基础． 12. 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简______．【答案】2 【解析】【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴= = = =2．为1a +=102a b -<<<<，1102a b -<<<<，110,10,0a b a b +>->-<1a +|1||1|||a b a b +--+-1(1)()a b a b +----11a b a b +-+-+z故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a ，b 的取值范围是解题关键． 13. 如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4 【解析】【分析】连接，根据正六边形的特点可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上正六边形每个内角为，为对称轴则 则， 正方形BMGH 的边长为6， 设，则 解得故答案为：4BE //BE AFBE !!360180=1202°-°BE 180ABE BAF \Ð+Ð=°//AF BE \60ABE HAF Ð=Ð=°=FEB Ð30AFH Ð=°!6BH \=12AH AF =!AH x =26x x +=2x =24BA x \==z【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．14. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127 【解析】【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个）， .....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个）， 故答案：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．15. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的部分图象如图所示，设m =a -b +c ，则m 的取值范围是______．为z【答案】 【解析】【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y 轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a ，b ，c 的等量关系，然后将x =-1代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线对称轴在y 轴左侧， ∴-＜0， ∴b ＞0，∵抛物线经过（0，-2）， ∴c =-2，∵抛物线经过（1，0）， ∴a +b +c =0， ∴a +b =2，b =2-a ， ∴y =ax 2+（2-a ）x -2， 当x =-1时，y =a +a -2-2=2a -4， ∵b =2-a ＞0， ∴0＜a ＜2， ∴-4＜2a -4＜0， 故答案为：-4＜m ＜0．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证40m -<<2baz明过程或演算步骤）16. 计算：【答案】3 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可． 【详解】原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．【详解】解：∵， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，11tan 301π33-æöæö°++--+ç÷ç÷ç÷èøèø113433æö=+-+-+ç÷ç÷èø12=+3=22221111a a a a -+æö-÷ç÷++èø4a =11a +1522221111a a a a -+æö-÷ç÷++èø()22112111a a a a a -+æö=-÷ç÷+++èø()221111a a a a -+æö=×ç÷+èø-11a =+4a =11415==+z过点D 作DF ∥AC 交OE 的延长线于点F ，连接AF ．（1）求证：≌；（2）判定四边形AODF 的形状并说明理由．【答案】（1）见解析 （2）四边形AODF 为矩形，理由见解析 【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；（2）先证明四边形AODF 为平行四边形，再结合∠AOD =90°，即可得出结论． 【小问1详解】证明：∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ， ∵DF ∥AC ， ∴∠OAD =∠ADF ， ∵∠AEO =∠DEF ，∴△AOE ≌△DFE （ASA ）； 【小问2详解】解：四边形AODF 为矩形． 理由：∵△AOE ≌△DFE ， ∴AO =DF ， ∵DF ∥AC ，∴四边形AODF 为平行四边形， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， 即∠AOD =90°，∴平行四边形AODF 为矩形．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．19. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个AOE △DFE △足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元（2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个 【解析】【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【小问1详解】解：设篮球的单价为a 元，足球的单价为b 元，由题意可得：，解得，答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； 【小问2详解】解：设采购篮球x 个，则采购足球为（50-x ）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，∴，解得30≤x ≤33， ∵x 为整数，∴x 的值可为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．20. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年2351035810x y x y +=ìí+=î12090x y =ìí=î()3012090505500m m m ³ìí+-£î13z对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； （2）补全条形统计图；（3）把短道速滑记为A 、花样滑冰记为B 、自由式滑雪记为C 、单板滑雪记为D ，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C 的概率． 【答案】（1）100，800（2）补全条形统计图见解析（3）树状图见解析，抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C 的概率为 【解析】【分析】（1）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用2000乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解；（2）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解；（3）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个项目为自由式滑雪C 的有6种等可能结果．再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】解：调查的总人数为人；人；故答案为：100，800 【小问2详解】124040%100÷=200040%800´=z解：单板滑雪的人数为人， 自由式滑雪的人数为人， 补全条形统计图如下：【小问3详解】解：根据题意，画出树状图如下：从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个项目为自由式滑雪C 的有6种等可能结果．∴抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C 的概率为． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．21. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．（1）求双曲线上的“黎点”； （2）若抛物线（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c 的取值范围． 【答案】（1）上的“黎点”为， （2）10010%10´=10040201030---=61122=()1,1-()2022,2022-9y x-=27y ax x c =-+1a >9y x-=()3,3-()3,3-09c <<【解析】【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可； （2）抛物线（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．【小问1详解】 设双曲线上的“黎点”为， 则有，解得， ∴上的“黎点”为，． 【小问2详解】∵抛物线上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解，即，，， ∴． ∵， ∴．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．22. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A 处测得塔楼顶端点E 的仰角，台阶AB 长26米，台阶坡面AB 的坡度，然后在点B 处测得塔楼顶端点E 的仰角，则塔顶到地面的高度EF 约为多少米．（参考数据：，，，）9y x-=(),m m -27y ax x c =-+()270ax x c x a -+=-¹3640ac D =-=9y x-=(),m m -9m m--=3m =±9y x-=()3,3-()3,3-27y ax x c =-+()270axx c x a -+=-¹260ax x c +=-3640ac D =-=9ac =9a c=1a >09c <<50.2GAE Ð=°5:12i =63.4EBF Ð=°tan 50.2 1.20°»tan 63.4 2.00°»sin 50.20.77°»sin 63.40.89°»z【答案】塔顶到地面的高度EF 约为47米 【解析】【分析】延长EF 交AG 于点H ，则，过点B 作于点P ，则四边形BFHP 为矩形，设，则，根据解直角三角形建立方程求解即可． 【详解】如图，延长EF 交AG 于点H ，则， 过点B 作于点P ，则四边形BFHP 为矩形， ∴，．由，可设，则， 由可得，解得或（舍去）， ∴，， 设，， 在中， 即，则① 在中，， 即②由①②得，． 答：塔顶到地面的高度EF 约为47米．EH AG ^BP AG ^5BP x =12AP x =EH AG ^BP AG ^FB HP =FH BP=5:12i =5BP x =12AP x =222BP AP AB+=()()22251226x x +=2x =2x =-10BP FH ==24AP =EF a =BF b =Rt BEF △tan EFEBF BFÐ=tan 63.42ab°=»2a b =Rt EAH !tan EH EF FH EF BPEAH AH AP PH AP BF++Ð===++10tan 50.2 1.2024a b+°=»+47a =23.5b =z【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．23. 已知一次函数（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数交于B 、C 两点，B 点的横坐标为．（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x 的取值范围；（3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积． 【答案】（1），画图象见解析（2）点C 的坐标为（3，2）；当时，或（3）【解析】11y ax =-26y x=2-12y y <11y x =-12y y <2x <-03x <<2ACD S =△【分析】（1）根据B 点的横坐标为-2且在反比例函数y 2=的图象上，可以求得点B 的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可； （2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C 的坐标，然后再观察图象，即可写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围；（3）根据点B 与点D 关于原点成中心对称，可以写出点D 的坐标，然后点A 、D 、C 的坐标，即可计算出△ACD 的面积． 【小问1详解】解：∵B 点的横坐标为-2且在反比例函数y 2=的图象上， ∴y 2==-3， ∴点B 的坐标为（-2，-3），∵点B （-2，-3）在一次函数y 1=ax -1的图象上， ∴-3=a ×（-2）-1， 解得a =1，∴一次函数的解析式为y =x -1， ∵y =x -1，∴x =0时，y =-1；x =1时，y =0； ∴图象过点（0，-1），（1，0），函数图象如图所示；；【小问2详解】解：解方程组，6x6x62-16y x y x =-ìïí=ïîz解得或，∵一次函数y 1=ax -1（a 为常数）与反比例函数y 2=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为-2， ∴点C 的坐标为（3，2），由图象可得，当y 1＜y 2时对应自变量x 取值范围是x ＜-2或0＜x ＜3； 【小问3详解】解：∵点B （-2，-3）与点D 关于原点成中心对称， ∴点D （2，3），作DE ⊥x 轴交AC 于点E ， 将x =2代入y =x -1，得y =1， ∴S △ACD =S △ADE +S △DEC = =2， 即△ACD 的面积是2．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24. 如图，是的外接圆，点O 在BC 上，的角平分线交于点D ，连接BD ，CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是的切线； （2）求证：∽；（3）若，，求点O 到AD 的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点O 到AD 的距离为 【解析】【分析】（1）连接OD ，证明，则，即可得证；（2）由，，可得，根据四边形ABDC 为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽32x y =ìí=î23x y =-ìí=-î6x的(31)(21)(31)(32)22-´--´-+O !ABC !BAC ÐO !O !ABD △DCP !6AB =8AC =2OD BC ^OD DP ^BC DP ∥ACB ADB Ð=ÐP ADB Ð=Ð180Ð+Ð=°DCP ACD ABD DCP Ð=ÐABD △；（3）过点O 作于点E ，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】 证明：连接OD ， ∵AD 平分， ∴， ∴． 又∵BC 为直径， ∴O 为BC 中点， ∴． ∵， ∴． 又∵OD 为半径， ∴PD 是的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴．∵四边形ABDC 为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴∽． 【小问3详解】过点O 作于点E ， ∵BC 为直径， ∴． ∵，， ∴．又∵，DCP !OE AD ^ABD △DCP !CP BAD !DAP !,AD ED Rt OED V BAC ÐBAD DAC =ÐBD DC =OD BC ^BC DP ∥OD DP ^O !BC DP ∥ACB P Ð=ÐACB ADB Ð=ÐP ADB Ð=Ð180ABD ACD Ð+Ð=°180Ð+Ð=°DCP ACD ABD DCP Ð=ÐABD △DCP !OE AD ^90BAC Ð=°6AB =8AC=10BC ==BD DC =。

2023辽宁省铁岭市中考数学真题试卷和答案

2023辽宁省铁岭市中考数学真题试卷和答案

2023年本溪铁岭辽阳市初中毕业生学业考试数学试卷※ 考试时间120分钟 试卷满分150分考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．第一部分 选择题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 2的绝对值是（ ）A. 12- B. 12 C. 2- D. 22. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A. 2323a a a +=B. 743a a a ÷=C. ()2224a a -=-D. ()2236b b =5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.401.501.601.70180人数/名13231.则这10名运动员成绩的中位数是（ ）A. 1.50mB. 1.55mC. 1.60mD. 1.65m6. 如图，直线,CD EF 被射线,OA OB 所截，CD EF ∥，若1108∠=°，则2∠度数为（ ）A. 52︒B. 62︒C. 72︒D. 82︒7. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A. 了解某种灯泡的使用寿命B. 了解一批冷饮的质量是否合格C. 了解全国八年级学生的视力情况D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多8. 某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是km/h x ，所列方程正确的是（ ）A. 1201201 1.5x x += B. 1201201 1.5x x -= C. 1201201.51x x =- D. 1201201.51x x =+9. 如图，在Rt ABC 中，9053C AB BC ∠=︒==，，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB AC ，于点E F ，，分别以点E F ，为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A. 35 B. 34 C. 43 D. 5310. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3cm AB =．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动，到点B 停止运动，同时动点Q 从点A的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在射线的AB ．设点P 的运动时间为()s x ，菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11. 截止到2023年4月底，我国5G 网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，5G 移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为___________．12. 分解因式：3244a a a -+=__．13. 如图，等边三角形ABC 是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往ABC ∆内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．14. 若关于x 的一元二次方程210x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____.15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 顶点坐标分别是()()()()00102312O A B C -，，，，，，，，若四边形OA B C '''与四边形OABC 关于原点O 位似，且四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，则第一象限内点B '的坐标为___________．的16. 如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点,B D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且2AC AO =，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为___________．17. 如图，在三角形纸片ABC 中，,20AB AC B =∠=︒，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B '处，当B D BC '⊥时，BAD ∠的度数为___________．18. 如图，线段8AB =，点C 是线段AB 上的动点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD ，连接CD ，在AB 的上方作Rt DCE ∆，使90,30DCE E ∠=∠= ，点F 为DE 的中点，连接AF ，当AF 最小时，BCD ∆的面积为___________．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19. 先化简，再求值：2211124x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A （优秀）；B （良好）；C （中）；D （合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次抽样调查的学生共有___________名；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B 等级的学生有多少名？（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 某礼品店经销A ，B 两种礼品盒，第一次购进A 种礼品盒10盒，B 种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A 种礼品盒6盒，B 种礼品盒5盒，共花费1200元（1）求购进A ，B 两种礼品盒的单价分别是多少元；（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A 种礼品盒多少盒？22. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）五、解答题（满分12分）23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y （台）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x （元）…506070…月销量y （台）…908070…（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？六、解答题（满分12分）24. 如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．（1）求证：EF 与O 相切；（2）若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．七、解答题（满分12分）25. 在Rt ABC ∆中，90°ACB ∠=，CA CB =，点O 为AB 中点，点D 在直线AB 上（不与点,A B 重的合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l BC ⊥，过点E 作EF l ⊥，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．（1）如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；（2）如图，当点D 线段AB上时，求证：CG BD +=；（3）连接DE ，CDE 的面积记为1S ，ABC 的面积记为2S ，当:1:3EF BC =时，请直接写出12S S 的值．八、解答题（满分14分）26. 如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点()40B ，，与y 轴交于点()04C ，，点E 在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH x 轴，交抛物线于点H ，点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形EFGH 的周长为11时，求线段EH 的长；（3）点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N的坐标．在2023年本溪铁岭辽阳市初中毕业生学业考试数学试卷※ 考试时间120分钟试卷满分150分考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．第一部分选择题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 2的绝对值是（ ）A.12- B. 12C. 2-D. 2【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的意义即可求解．【详解】解：2的绝对值是是2，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B 、轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据俯视图定义直接判断即可得到答案．【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，故选：C ．【点睛】本题考查几何体俯视图，解题的关键是掌握俯视图定义及熟练掌握三视图中直接看到的是实线，遮挡的是虚线．4. 下列运算正确的是（ ）A. 2323a a a += B. 743a a a ÷= C. ()2224a a -=- D. ()2236b b =【答案】B【解析】【分析】按照整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算法则进行求解即可．【详解】解：A 、2323a a a +≠，故本选项不符合题意；B 、743a a a ÷=，故本选项符合题意；C 、()2222444a a a a -=-+≠-，故本选项不符合题意；D 、()222396b b b =≠，故本选项不符合题意；故选：B ．是【点睛】此题考查了整式的加减，同底数幂的除法，完全平方公式和积的乘方运算，解答本题的关键是熟练掌握各运算法则．5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.40 1.50 1.60 1.70 1.80人数/名13231则这10名运动员成绩的中位数是（ ）A. 1.50mB. 1.55mC. 1.60mD. 1.65m 【答案】C【解析】【分析】按照求中位数的方法进行即可．【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是1.60 ，1.60，则中位数为：1.60 1.60 1.60(m)2+= 故选：C ．【点睛】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键．6. 如图，直线,CD EF 被射线,OA OB 所截，CD EF ∥，若1108∠=°，则2∠的度数为（ ）A. 52︒B. 62︒C. 72︒D. 82︒【答案】C【解析】【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．【详解】解：∵1108∠=︒，∴31108∠=∠=︒；∵CD EF ∥，∴23180∠+∠=︒，∴2180372∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键．7. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A. 了解某种灯泡的使用寿命B. 了解一批冷饮的质量是否合格C. 了解全国八年级学生的视力情况D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多【答案】D【解析】【分析】根据全面调查的特点，结合抽样调查特点，逐项分析即可．【详解】解：A 、适合抽样调查，故不符合题意；B 、适合抽样调查，故不符合题意；C 、适合抽样调查，故不符合题意；D 、适合全面调查，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全面调查即普查，对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时，不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键．8. 某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是km/h x ，所列方程正确的是（ ）A. 1201201 1.5x x += B. 1201201 1.5x x -= C. 1201201.51x x =- D. 1201201.51x x =+【答案】B【解析】【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．【详解】解：设慢车的速度是km/h x ，则快车的速度为1.5km/h x ，依题意得1201201 1.5x x-=，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．9. 如图，在Rt ABC 中，9053C AB BC ∠=︒==，，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB AC ，于点E F ，，分别以点E F ，为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A. 35 B. 34 C. 43 D. 53【答案】D【解析】【分析】过点D 作DM AB ⊥于M ，由勾股定理可求得4AC =，由题意可证明ADC ADM △≌△，则可得4AM AC ==，从而有1BM =，在Rt DMB 中，由勾股定理建立方程即可求得结果．【详解】解：过点D 作DMAB ⊥于M ，如图，由勾股定理可求得4AC ==，由题中作图知，AD 平分BAC ∠，∵DM AB AC BC ⊥⊥，，∴DC DM =，∵AD AD =，∴Rt Rt ADC ADM △≌△，∴4AM AC ==，∴1BM AB AM =-=；设BD x =，则3MD CD BC BD x ==-=-，在Rt DMB 中，由勾股定理得：2221(3)x x +-=，解得：53x =，即BD 的长为为53；故选：D ．【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．10. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3cm AB =．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动，到点B 停止运动，同时动点Q 从点A 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x ，菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x ，一个角为60︒的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．【详解】解：作PD AC ⊥于点D ，作⊥QE AB 于点E ，由题意得AP x =，AQ =，∴cos30AD AP =⋅︒=，∴12AD DQ AQ ==，∴PD 是线段AQ 的垂直平分线，∴30PQA A ∠=∠=︒，∴60QPE ∠=︒，PQ AP x ==，∴12QE AQ x ==，PQ PN MN QM x ====，当点M 运动到直线BC 上时，此时，BMN 是等边三角形，∴113AP PN BN AB ====，1x =；当点Q 、N 运动到与点C B 、重合时，∴1322AP PN AB ===，32x =；当点P 运动到与点B 重合时，∴3AP AB ==，3x =；∴当01x <≤时，2y x x x ==，当312x <≤时，如图，作FG AB ⊥于点G ，交QM 于点R ，则32BN FN FB x ===-，33FM MS FS x ===-，)33FR x =-，∴())22133332y x x x x x =-⋅--=-，当332x <<时，如图，作HI AB ⊥于点I ，则3BP PH HB x ===-，)3HI x =-，∴())21332y x x x x =⋅--=+，综上，y 与x 之间函数关系的图象分为三段，当01x <≤时，是开口向上的一段抛物线，当312x <≤时，是开口向下的一段抛物线，当332x <≤时，是开口向上的一段抛物线，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11. 截止到2023年4月底，我国5G 网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，5G 移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为___________．【答案】86.3410⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数，根据此形式表示即可．【详解】解：8634000000 6.3410=⨯；故答案为：86.3410⨯【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n 与a 的值．12. 分解因式：3244a a a -+=__．【答案】2(2)a a -【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：3244a a a -+，2(44)a a a =-+，2(2)a a =-．故答案：2(2)a a -．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．13. 如图，等边三角形ABC 是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往ABC ∆内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________．【答案】59【解析】【分析】根据概率的计算方法即可求解．【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能，∴一粒米落在阴影区域的概率为59；故答案为：59．为【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数．14. 若关于x 的一元二次方程210x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】k <-34【解析】【分析】根据一元二次方程跟的判别式，可得关于k 的一元一次不等式进行求解即可.【详解】根据题意得，224(1)4(1)0b ac k -=--+>，解得：k <-34，故答案为：k <-34.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记240b ac ->方程有两个不相等的实数根， 240b ac -=方程有两个相等的实数根，240b ac -<方程没有实数根， 240b ac -≥方程有实数根是解题的关键.15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是()()()()00102312O A B C -，，，，，，，，若四边形OA B C '''与四边形OABC 关于原点O 位似，且四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，则第一象限内点B '的坐标为___________．【答案】()46，【解析】【分析】根据位似图形的概念得到四边形OA B C '''和四边形OABC 相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵四边形OA B C '''的面积是四边形OABC 面积的4倍，∴四边形OA B C '''和四边形OABC 的相似比为2:1，∵()23B ，，∴第一象限内点 ()2232B '⨯⨯，，即()46B '，，故答案为：()46，．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16. 如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点,B D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且2AC AO =，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为___________．【答案】6【解析】【分析】延长CD 交x 轴于点F ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k 的值．【详解】解：延长CD 交x 轴于点F ，如图，由点D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，AB CD ∥，AD CD ⊥，∴CD y ⊥轴，AD OF ∥，则k DF a OF a ==，，∵AD OF ∥，∴CDA CFO △∽△，∴CD AD AC CF OF OC==，∵2AC AO =，∴23AC OC =，∴2223CD CF DF a ===，2233k AD OF a ==，∵8AD CD ⋅=，即2283k a a ⨯=，∴6k =，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．17. 如图，在三角形纸片ABC 中，,20AB AC B =∠=︒，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B '处，当B D BC '⊥时，BAD ∠的度数为___________．【答案】25︒或115︒【解析】【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．【详解】解：由折叠的性质得：ADB ADB '∠=∠；∵B D BC '⊥，∴90BDB '∠=︒；①当B '在BC 下方时，如图，∵360ADB ADB BDB ''∠+∠+∠=︒，∴1(36090)1352ADB ∠=⨯︒-︒=︒，∴18025BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒；②当B '在BC 上方时，如图，∵90ADB ADB '∠+∠=︒，∴190452ADB ∠=⨯︒=︒，∴180115BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒；综上，BAD ∠的度数为25︒或115︒；故答案为：25︒或115︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．18. 如图，线段8AB =，点C 是线段AB 上的动点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD ，连接CD ，在AB 的上方作Rt DCE ∆，使90,30DCE E ∠=∠= ，点F 为DE 的中点，连接AF ，当AF 最小时，BCD ∆的面积为___________．【解析】【分析】连接CF BF ，，B F ，C D 交于点P ，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF 垂直平分CF ，60ABF ∠=︒为定角，可得点F 在射线BF 上运动，当AF BF ⊥时，AF 最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF BF ，，B F ，C D 交于点P ，如图，∵90DCE ∠= ，点F 为DE 的中点，∴FC FD =，∵30E ∠= ，∴60FDC ∠=︒,∴FCD 是等边三角形，∴60DFC FCD ∠=∠=︒；∵线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD ，∴BC BD =，∵FC FD =，∴BF 垂直平分CF ，60ABF ∠=︒，∴点F 在射线BF 上运动，∴当AF BF ⊥时，AF 最小，此时9030FAB ABF ∠=︒-∠=︒，∴142BF AB ==；∵1302BFC DFC ∠=∠=︒，∴90FCB BFC ABF ∠=∠+∠=︒，∴122BC BF ==，∵112PB BC ==，∴由勾股定理得PC ==，∴2CD PC ==，∴11122BCD S CD PB =⋅=⨯=△【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F 的运动路径是关键与难点．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19. 先化简，再求值：2211124x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中3x =．【答案】2x +，5．【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：2211124x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()21212222x x x x x x x --+⎛⎫=-÷ ⎪--+-⎝⎭()()22121x x x x x +-+=⋅-+2x =+，当3x =时，原式325=+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A （优秀）；B （良好）；C （中）；D （合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次抽样调查的学生共有___________名；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B 等级的学生有多少名？（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．【答案】（1）60 （2）见解析（3）估计本次竞赛获得B 等级的学生有480名；（4）所选2人恰好是一男一女的概率为23．【解析】【分析】（1）根据A 组人数以及百分比计算即可解决问题；（2）求出C 组人数，画出条形图即可解决问题；（3）利用样本估计总体即可；（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．【小问1详解】解：1830%60÷=（名）答：本次抽样调查的学生共有60名；故答案为：60；小问2详解】解：C 组人数为：601824315---=（名），补全条形图如图所示：；【小问3详解】解：估计本次竞赛获得B 等级的学生有：24120048060⨯=（名），答：估计本次竞赛获得B 等级的学生有480名；【小问4详解】解：画树状图如下：【机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：238=12P =【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 某礼品店经销A ，B 两种礼品盒，第一次购进A 种礼品盒10盒，B 种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A 种礼品盒6盒，B 种礼品盒5盒，共花费1200元（1）求购进A ，B 两种礼品盒的单价分别是多少元；（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A 种礼品盒多少盒？【答案】（1）A 礼品盒的单价是100元，B 礼品盒的单价是120元；（2）至少购进A 种礼品盒15盒．【解析】【分析】（1）设A 礼品盒的单价是a 元，B 礼品盒的单价是b 元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设购进A 礼品盒x 盒，则购进B 礼品盒(40)x -盒，根据题意列不等式即可得到结论．【小问1详解】解：设A 礼品盒的单价是a 元，B 礼品盒的单价是b 元，根据题意得：10152800651200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：100120a b =⎧⎨=⎩，答：A 礼品盒的单价是100元，B 礼品盒的单价是120元；【小问2详解】解：设购进A 礼品盒x 盒，则购进B 礼品盒(40)x -盒，根据题意得：10012040()0450x x +-≤，解得：15x ≥，∵x 为整数，∴x 的最小整数解为15，∴至少购进A 种礼品盒15盒．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．22. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）【答案】（1）登山缆车上升的高度450m DE =；（2）从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4min .【解析】【分析】（1）过B 点作BC AF ⊥于C ，BE DF ⊥于E ，则四边形BEFC 是矩形，在Rt ABC △中，利用含30度的直角三角形的性质求得BC 的长，据此求解即可；（2）在Rt BDE △中，求得BD 的长，再计算得出答案．【小问1详解】解：如图，过B 点作BC AF ⊥于C ，BE DF ⊥于E ，则四边形BEFC 是矩形，在Rt ABC △中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，300m AB =，∴1150m 2EF BC AB ===，∴()600150450m DE DF EF =-=-=，答：登山缆车上升的高度450m DE =；【小问2详解】解：在Rt BDE △中，9053DEB DBE ∠=︒∠=︒，，450m DE =，∴()450562.5m sin 530.8DE BD ===︒，∴从山底A 处到达山顶D 处大约需要：()300562.519.37519.4min 3060+=≈，答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4min .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．五、解答题（满分12分）23. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y （台）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x （元）…506070…月销量y （台）…908070…（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？【答案】（1）140y x =-+（2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设销售利润为W 元，列出W 关于x 的函数关系式，即可求得最大利润．【小问1详解】解：由题意设(0)y kx b k =+≠，由表知，当50x =时，90y =；当60x =时，80y =；以上值代入函数解析式中得：50906080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1140k b =-⎧⎨=⎩，所以y 与x 之间的函数关系式为140y x =-+；【小问2详解】解：设销售利润为W 元，则(40)(40)(140)W x y x x =-=--+，整理得：21805600W x x =-+-，由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则4080x ≤≤，∵10-<，2(90)2500W x =--+，∴当90x ≤时，W 随x 的增大而增大，∴当80x =时，W 有最大值，且最大值为2400；答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．六、解答题（满分12分）24. 如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．（1）求证：EF 与O 相切；（2）若41sin 5BF AFE =∠=，，求BC 的长．【答案】（1）见解析 （2）245BC =．【解析】分析】（1）利用圆周角定理得到2EOB EAB ∠=∠，结合已知推出CAB EOB ∠=∠，再证明OFE ABC ∽△△，推出90OEF C ∠=∠=︒，即可证明结论成立；（2）设O 半径为x ，则1=+OF x ，在Rt OEF △中，利用正弦函数求得半径的长，再在Rt ABC △中，解直角三角形即可求解．【【小问1详解】证明：连接OE ，∵ =BE BE ，∴2EOB EAB ∠=∠，∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；【小问2详解】解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，。

2024年黑龙江龙东地区初中数学学业考试试卷真题(含答案详解)

2024年黑龙江龙东地区初中数学学业考试试卷真题(含答案详解)

黑龙江省龙东地区2024年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（）A ．326a a a ⋅=B ．()527a a =C ．()339328a b a b -=-D ．()()22a b a b a b-++=-2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A ．3B ．4C ．5D ．64．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A ．1B ．0.8C ．0.6D ．0.55．关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠6．已知关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-7．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A ．5B ．4C ．3D ．28．如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（）A ．4.5B ．3.5C ．3D ．2.59．如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（）A B ．5C ．5D 10．如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin 10NBC ∠=；④BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为．12．在函数y =中，自变量x 的取值范围是．13．已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件可使菱形ABCD成为正方形．14．七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是．15．关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是．16．如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD∠︒．17．若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是︒．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是．19．矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为．20．如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是1322⎛⎫-⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos60m =︒．22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）23．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．24．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm ）频数A 50100x <≤3B 100150x <≤m C150200x <≤20D 200250x <≤14E250300x <≤5(1)频数分布表中m =，扇形统计图中n =．(2)本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．(3)该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm 为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？25．甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：(1)甲货车到达配货站之前的速度是km/h ，乙货车的速度是km/h ；(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．(1)求点A的坐标；(2)求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当S M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．1．C【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；C 、()339328a b a b -=-，此选项计算正确，符合题意；D 、()()()()22a b a b b a b a b a -++=-+=-，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；故选：C ．2．B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．3．B【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4．D【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：()233443+++÷=方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯-+-+-+-⎣⎦()110014=⨯+++0.5=故选：D ．5．D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．6．A【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，2(3)3kx x --=-，整理得，(2)9k x -=-，当2k =时，方程无解，当2k ≠时，令3x =，解得1k =-，所以关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解时，2k =或1k =-．故选：A ．7．B【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，依题意得：3228x y +=，3142y x ∴=-．又x ，y 均为正整数，∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩，∴共有4种不同的购买方案．故选：B ．8．A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明AFE ODE ∽，有AF AE EF OD OE DE ==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a===，可得6B y OD a ==，2B x a =，则有32BE BD DE a =-=，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，∴AF y ∥轴，DF a =，∴AFE ODE ∽，∴AF AE EF OD OE DE==，∵E 为AO 的中点，∴AE OE =，∴1AF AE EF OD OE DE===，∴AF OD =，EF DE=∴1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，∵B OD y =，∴6B y OD a ==，∴2B x a =，∴2B BD x a ==，∴32BE BD DE a =-=，∴11639 4.52222ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．9．C【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin 5MAC OBC ∠=∠=解三角形即可求出sin 5MC AC MAC =∠=，tan 5MN BM OBC =∠=．【详解】解：连接AC ，如图，∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又∵点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，∵2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===，∵8BD =，∴142OB OD BD ===，∴BC ===21tan 42OC OBC OB ===∠，∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC∠=∠∴sin sin OC MAC OBC BC ∠=∠==∴sin MC AC MAC =∠=∴55BM BC MC =-=-=，∴1tan 525MN BM OBC =∠=⨯=故选：C ．10．A【分析】连接DG，可得BD AB=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明ABM DBN ∽，即有BN BD BM AB ==212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13AHM ABM S HM S BM == ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的中点，设2AD =，即求出BH =，同理可证明AHM CBM ∽，可得23BM BH ==，即可得BN ==，进而可判断③．【详解】连接DG ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BDC BAC ADB ∠=∠=∠=︒，BD AB=90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ，∴90CDP ∠=︒，∵DF 平分CDP ∠，∴1452CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，∵90BHF BDF ∠=︒=∠，∴点B 、H 、D 、F 四点共圆，∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，∴18045HBF HFB FHB ∠=︒-∠-∠=︒，故①正确，∵AC 垂直平分BD ，∴BG DG =，∴BDG DBG ∠=∠，∵90BDF ∠=︒，∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，∴GDF DFG ∠=∠，∴DG FG =，∴DG FG BG ==，∴点G 是BF 的中点，故②正确，∵90BHF BAH ∠=︒=∠，∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，∴DHF ABH ∠=∠，∵DHF DBF ∠=∠，∴ABH DBF ∠=∠，又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，∴ABM DBN ∽，∴BN BD BM AB==，∴BN =，故④正确，∴212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，若12AH D H =，则()1122AH HD AD AH ==-，∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即13H H A A BC AD ==，∵AD BC ∥，∴AHM CBM ∽，∴13HM AH BM BC ==，∴13AHM ABM S HM S BM == ，∴3ABM AHM S S = ，∵12ABM DBN S S = ，∴26BND ABM AHM S S S == △，故⑤错误，如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD ==，∴BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，∴12HM AH BM BC ==，∴32HM BM BH BM BM+==，∴23BM BH ==，∵BN =，∴BN =，∵2BC =，∴在Rt BNC △中，23NC ==，sin NC NBC BN ∠==，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A ．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽，是解答本题的关键．11．121.390810⨯【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．【详解】1 亿81.010=⨯，13908亿48121.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：121.390810⨯12．3x ≥##3x≤【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．13．AC BD =或AB BC⊥【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．14．35【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：123205=，故答案为：35．15．102a -≤<【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由420-≥x ，得：2x ≤，由102x a ->，得：2x a >， 不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，∴这3个整数解是0，1，2，120a ∴-≤<，解得102a -≤<，故答案为：102a -≤<．16．65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵ AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒-︒=︒，故答案为：65．17．90【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336πl ⨯⨯=解得：12l =，2π1236π360n ⨯∴=，解得90n =，∴侧面展开图的圆心角是90︒．故答案为：90．18．12【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM ==，利用三角形中位线定理推出1122PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值．【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，∴124tan 2BC AC BAC ==÷=∠，∴122AM CM AC ===，∴BM ===∵P 、M 分别是CD AC 、的中点，∴1122PM AD ==．如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，最大值为12BM MP +=+，故答案为：12．19．52或72或10【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，由折叠性质可知：BB AP '⊥，∴BAP BPA BPA CBD∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD∠∠∴3tan =tan =4CD BAP CBD BC ∠∠=，∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯=∴97822PC BC BP =-=-=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴532B C AC AB ''=-=-=∴452cos 52B C PC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴538B C AC AB ''=+=+=∴4810cos 5B C PC ACB '==÷=∠；综上所述：则PC 长为52或72或10．故答案为：52或72或10．20．()1,3【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ， ，12A 的坐标，发现规律即可解决问题．【详解】解： 正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，3OM MN NP OP ∴====,OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，∴等边三角形高为2，由题知，1A 的坐标是()2,0；2A 的坐标是()2,0；3A 的坐标是1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；5A 的坐标是()3,2；6A 的坐标是5,32⎛ ⎝⎭；7A 的坐标是()1,3；8A 的坐标是()1,3；9A 的坐标是52⎫⎪⎪⎝⎭；10A 的坐标是()0,1；11A 的坐标是()0,1；12A 的坐标是12⎛ ⎝⎭；13A 的坐标是()2,0； 不断循环，循环规律为以1A ，2A ， ，12A ，12个为一组， 2024121688÷= ，∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，故答案为：()1,3．21．1m -+，12【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m-+=⋅+--1m =-+，当1cos 602m =︒=时原式12=．22．(1)作图见解析，()12,3B (2)作图见解析，()23,0B -【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB 90︒，利用弧长公式即可求出．【详解】（1）解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，（2）如图，22AB C 为所求；()23,0B -，（3）AB =，点B 旋转到点2B =．23．(1)223y x x =--+(2)存在，点P 的坐标是315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，APC △的面积最大值是278【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++得，103b c c -++=⎧⎨=⎩解得：23b c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=--+（2）解：对于223y x x =--+，令0,y =则2230,x x --+=解得，123,1x x =-=，∴()3,0A -，∴3,OA =∵()0,3C ，∴3OC =，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，∴,3,OE x AE x =-=+∴APC APE AOCPCOE S S S S =+- 梯形()111222AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯-⨯()()()()2211132332333222x x x x x x =+--++--+--⨯⨯23327228x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵302-<，∴S 有最大值，∴当32x =-时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭24．(1)8，40(2)C(3)估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A 组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B 组的人数，用C 组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【详解】（1）解：被抽取的学生数为：36%50÷=(人)故503201458m =----=（人），%205040%n =÷=，即40n =，故答案为：8，40；（2）解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，382526+<< ，5142526+<<，∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C 组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C 组，答案为：C ；（3）解：14560022850+⨯=（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25．(1)30，40(2)EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =-≤≤(3)经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知(4,105)E 和点(5.5,225)F ，再利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B 地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x 的值即可得答案．【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，所以甲货车到达配货站之前的速度是105 3.5=30÷（km/h ）∴乙货车到达配货站路程为225105=120(km)-，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，总路程为240km ，总时间是6h ，∴乙货车速度240640km /h =÷=，故答案为：30；40（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象可知(4,105)E 和点(5.5,225)F 设(4 5.5)EF y kx b x =+≤≤∴41055.5225k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：21580b k =-⎧⎨=⎩，∴甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式()802154 5.5y x x =-≤≤（3）设甲货车出发h x ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：1053012040x x -=-，解得：32x =,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：1053040120x x -=-，解得：4514x =，③甲货车在配货站卸货后驶往B 地时：0802151054012x x =---，解得：5x =，答：经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=；图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=；证明见解析【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，选②，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，构造全等三角形，得出AN AQ =，CAN QAB ∠=∠，再证明AQM ANM △≌△，得到MN QM =；在Rt QHM△中由勾股定理得222QH HM QM +=，即222122BQ BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得结论；选③方法同②【详解】解：图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=证明：∵,60,AB AC BAC =∠=︒∴ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又30CAN BAM ∠+∠=︒30BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM ∴=；∵60,60,ABQ ABC ∠=︒∠=︒∴60QBH ∠=︒，∴30,BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，2QH BQ =∴12HM BM BH BM BQ =+=+，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即222122BQ BM BQ QM ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅++=222NC B M N N B M M C ∴=⋅++图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=证明：以点B 为顶点在ABC 外作30ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又60CAN BAM ∠+∠=︒60BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM∴=在Rt BQH 中，60QBH ∠=︒，30BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，QH BQ =12HM BM BH BM BQ =-=-，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即222122BQ BM BQ QM ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅+-=222NC B M N N B M M C ∴=⋅+-27．(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元(2)共有3种购买方案(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，（1）设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；（2）设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子31002x ⎛⎫- ⎪⎝⎭个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）设商家获得总利润为y 元，即有一次函数3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元．由题意得：1052001510325a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1510a b =⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；（2）解：设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子1000153100102x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭个．由题意得：3510023161002x x x x ⎧⎛⎫≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：14586417x ≤≤，x 和31002x ⎛⎫-⎪⎝⎭均为正整数，60x ∴=，62，64，3100102x -=，7，4，∴共有3种购买方案．（3）设商家获得总利润为y 元，3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，400y x =-+，10k =-< ，y ∴随x 的增大而减小，∴当60x =时，340y =最大，答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．28．(1)点A的坐标为(A(2)()())2202233 3.6t S t t ⎧<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩(3)存在，(12,4N +，()24N，(3N -，4N ⎛ ⎝【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA 的长，根据等边三角形的性质得出6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，求出AC 的长即可；（2）分02t <≤，23t <≤和3 3.6t <<三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（32=2t =，得4OP =，分OP 为边和对角线两种情况可得点N 的坐标；当2+=+时不存在以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形【详解】（1）解：2560x x --=，解得16x =，21x =-OA 的长度是2560x x --=的根，6OA ∴=∵OAB 是等边三角形，∴6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，在Rt AOC 中，60,AOC ∠=︒∴30,OAC ∠=︒116322OC OA ∴==⨯=，∴AC ===∴点A 的坐标为(A （2）解：当02t <≤时．过P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴2OP t =，3OQ t =，30OPD ∴∠=︒∴,OD t =∴PD ==，2113222S OQ PD t t ∴=⨯⨯=⨯⨯=；当23t <≤时，过Q 作QE OA ⊥，垂足为点E∵60,A ∠=︒∴30,AQE ∠=︒又123,AQ t =-∴13622AE AQ t ==-，2t QE =又2OP t =，21222S t ⎛⎫∴=⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭当3 3.6t <<时，过O 作OF AB ⊥，垂足为F∴()1823185PQ t t t =-+=-，同理可得，132BF OB ==，∴2233OF OB BF =-=；()11533185327322S t t ∴=⨯⨯-=-+综上所述()()()223302233632321532733 3.62t t S t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩（3）解：当233263t =时，解得，2,t =∴224OP =⨯=，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，则12,2OG OP ==∴2222423,PG OP OG =--∴点P 的坐标为(2,3；当OP 为边时，将OP 沿y 轴向下平移4个单位得()2,34N ，此时()0,4M -，四边形POMN 是菱形；将OP 沿y 轴向上平移4个单位得()2,34N ，此时()0,4M ，四边形POMN 是菱形；如图，作点P 关于y 轴的对称点(2,N -，当(0,M 时，四边形PMNO 是菱形；当OP 为对角线时，设OP 的中点为T ，过点T 作TM OP ⊥，交y 轴于点M ，延长MT 到N ,使,TN TM =连接ON ,过点N 作NH x ⊥轴于点H ，则30,MOT NOT HON ∠=∠=∠=︒2,OT =∴2,ON TN =∴222ON OT TN =+,即222122ON ON ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得，ON =∴NH =2,OH =。

2022年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷及参考答案

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2022年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题〔每题4分，共24分〕1．计算23⋅的结果是〔B 〕．(A)5；(B)6；(C)23；(D)32．2．据统计，2022年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为〔C 〕．3．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是〔C 〕．(A)y＝x2－1；(B)y＝x2＋1；(C)y＝(x－1)2；(D)y＝(x＋1)2．4．如图，直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是〔A 〕．〔此题图可能有问题〕(A)∠2；(B)∠3；(C)∠4；(D)∠5．5．某事测得一周PM2.5的日均值〔单位：〕如下：50，40，75，50，37，50，40 ，这组数据的中位数和众数分别是〔A 〕．(A)50和50；(B)50和40；(C)40和50；(D)40和40．6．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论一定正确的选项是〔B 〕．(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．二、填空题〔每题4分，共48分〕7．计算：a(a＋1)＝2a a+．8．函数11yx=-的定义域是1x≠．9．不等式组12,28xx->⎧⎨<⎩的解集是34x．10．某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．11．如果关于x的方程x2－2x＋k＝0〔k为常数〕有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是1k．12．传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．13．如果从初三〔1〕、〔2〕、〔3〕班中随机抽取一个班与初三〔4〕班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三〔1〕班的概率是13．14．反比例函数k y x =〔k 是常数，k ≠0〕，在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是1(0y k x =-即可）〔只需写一个〕． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3EB ．设AB a =，BC b =，那么DE ＝23a b -〔结果用a 、b 表示〕． 16．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，他们每人五次投得的成绩如下列图，那么三人中成绩最稳定的是乙．17．一组数：2， 1， 3， x ， 7， y ， 23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a －b 〞，例如这组数中的第三个数“3〞是由“2×2－1〞得到的，那么这组数中y 表示的数为-9．18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为23t 〔用含t 的代数式表示〕．三、解答题〔此题共7题，总分值78分〕19．〔此题总分值10分〕计算：131128233--+-．233= 20．〔此题总分值10分〕解方程：2121111x x x x +-=--+．0;1(x x ==舍） 21．〔此题总分值10分，第〔1〕小题总分值7分，第〔2〕小题总分值3分〕水银体温计的读数y 〔℃〕与水银柱的长度x 〔cm 〕之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其局部刻度线不清晰〔如图〕，表中记录的是该体温计局部清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x 〔cm 〕 4.2 …8.2 9.8 体温计的读数y 〔℃〕 35.0… 40.0 42.0 〔1〕求y 关于x 的函数关系式〔不需要写出函数的定义域〕； 1.2529.75y x =+ 〔2〕用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．37.522．〔此题总分值10分，每题总分值各5分〕如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．〔1〕求sin B 的值；5,sinB sinCAE 5B DCB CAE ∠=∠=∠∴==〔2〕如果CD ＝5，求BE 的值． 23．〔此题总分值12分，每题总分值各6分〕：如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．（1） 求证：四边形ACED 是平行四边形；〔2〕联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DF GB DB=． 24．〔此题总分值12分，每题总分值各4分〕 在平面直角坐标系中〔如图〕，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,－2)．〔1〕求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；〔2〕点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；〔3〕点D 为该抛物线的顶点，设点P (t , 0)，且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值3分，第〔1〕小题总分值5分，第〔1〕小题总分值6分〕 如图1，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cos B ＝45，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F 〔点F 在点E 的右侧〕，射线CE 与射线BA 交于点G ．〔1〕当圆C 经过点A 时，求CP 的长；〔2〕联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长；〔3〕当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．图1 备用图。

2022年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷及答案

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2022年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷及答案数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）（A）9；（B）7；（C）20；（D）2．下列关于某的一元二次方程有实数根的是（）（A）某10；（B）某某10；（C）某某10；（D）某某10．3．如果将抛物线y某2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）（A）y(某1)2；（B）y(某1)2；（C）y某1；（D）y某3．4．数据0，1，1，3，3，4的中位线和平均数分别是（）（A）2和2.4；（B）2和2；（C）1和2；（D）3和2．5．如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB等于（）（A）5∶8；（B）3∶8；（C）3∶5；（D）2∶5．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）（A）∠BDC=∠BCD；（B）∠ABC=∠DAB；（C）∠ADB=∠DAC；（D）∠AOB=∠BOC．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．因式分解：a1=_____________．2222221．32222ADEBF图1C8．不等式组某10的解集是____________．2某3某3b2a=___________．9．计算：ab10．计算：2(a─b)+3b=___________．11．已知函数f某2，那么f2=__________．某112．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为___________．3第1页13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为___________．y(升)__________升．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．318．如图5，在△ABC中，ABAC，BC8，tanC=，如果将△ABC2沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为__________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分48分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．计算：8BA图2图5C1210()1．某y220．解方程组：2某某y2y02．y1某b经2121．已知平面直角坐标系某oy（如图6），直线y过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，1）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；k（k是常量，k0）某的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，EAB1430，ABAE1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：in37°≈0.60，co37°≈0.80，tan37°≈0.75．）第2页FEFE023．如图8，在△ABC中，ABC=90，BA，点D为边AB的中点，DE∥BCEFAAAAC于点E，交CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DEEF；图7-1图7-2（2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：BADGC．图7-3CA2DEF24．如图9，在平面直角坐标系某oy中，顶点为M的抛物线ya 某b某(a0）经过点A和某轴正半轴上的点B，AOOB=2，AOB120．0B图8C（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在某轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．于点Q，25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BCyA垂足为点M，联结QP（如图10）．已知AD13，AB5，设AP 某，BQy．（1）求y关于某的函数解析式，并写出某的取值范围；OB某M （2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求某图的值；9（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EFEC4，求某的值．ADBQ图10备用图CBC第3页第4页。

2024年四川省遂宁市中考数学真题卷及答案解析

2024年四川省遂宁市中考数学真题卷及答案解析

秘密★启用前2024年遂宁市初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各数中，无理数是（ ）A. 2-B. 12C. D. 02. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）A. B. C. D.3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）A. 60.6210⨯B. 66.210⨯C. 56.210´D. 56210⨯4. 下列运算结果正确是（ ）A. 321a a -=B. 236a a a ⋅=的C ()44a a -=- D. ()()2339a a a +-=-5. 不等式组32212x x x -<+⎧⎨≥⎩的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C.D.6. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）A. 36︒B. 40︒C. 45︒D. 60︒7. 分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（ ）A. 3m >- B. 3m >-且2m ≠-C. 3m < D. 3m <且2m ≠-8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB 为1米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）A. 1π6B. 1π6C. 2π3-D. 11π64-9. 如图1，ABC 与111A B C △满足1A A ∠=∠，11AC A C =，11BC B C =，1C C ∠≠∠，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在ABC 中，AB AC =，点,D E 在线段BC 上，且BE CD =，则图中共有“伪全等三角形”（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x -，且该抛物.线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2-，()0,3-之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①0abc >；②930a b c -+≥；③213a <<；④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n -<<<．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11. 分解因式：4ab a +=______．12. 反比例函数1k y x-=的图象在第一、三象限，则点()3k -,在第______象限．13. 体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．甲88798乙6979914. 在等边ABC 三边上分别取点D E F 、、，使得AD BE CF ==，连结三点得到DEF ，易得ADF BED CFE ≌≌，设1ABC S =△，则13A EF D D FS S =-△△如图①当12AD AB =时，111344DEF S =-⨯=△如图②当13AD AB =时，211393DEF S =-⨯=△如图③当AD 1AB 4=时，37131616DEF S =-⨯=△……直接写出，当110AD AB =时，DEF S =△______．15. 如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是AB 边的中点，将正方形纸片沿EC 折叠，点B 落在点P 处，延长CP 交AD 于点Q ，连结AP 并延长交CD 于点F ．给出以下结论：①AEP △为等腰三角形；②F 为CD 的中点；③:2:3AP PF =；④3cos 4DCQ ∠=．其中正确结论是______．（填序号）三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算：11sin4512021-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．17. 先化简：2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．18. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．（1）实践与操作①任意作两条相交的直线，交点记为O ；②以点O 为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA OB OC OD 、、、；③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD ．于是可以直接判定四边形ABCD 是平行四边形，则该判定定理是：______．（2）猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =．求证：四边形ABCD 是矩形．19. 小明的书桌上有一个L 型台灯，灯柱AB 高40cm ，他发现当灯带BC 与水平线BM 夹角为9︒时（图1），灯带的直射宽(),DE BD BC CE BC ⊥⊥为35cm ，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30︒时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C 到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin90.16,cos90.99,tan90.16≈≈≈︒︒︒）20. 某酒店有A B 、两种客房、其中A 种24间，B 种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A B 、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．（1）求A B 、两种客房每间定价分别是多少元？（2）酒店对A 种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A 种客房每间定价为多少元时，A 种客房一天的营业额W 最大，最大营业额为多少元？21. 已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．（1）求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．22. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：的xx 小组关于xx 学校学生“五一”出游情况调查报告数据收集调查方式抽样调查调查对象xx 学校学生数据的整理与描述景点A ：中国死海B ：龙凤古镇C ：灵泉风景区D ：金华山E ：未出游F ：其他数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，m =______，“B ：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；（2）请补全条形统计图；（3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A 、B 、C 、D 四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．23. 如图，一次函数()10y kx b k =+≠的图象与反比例函数()20m y m x=≠的图象相交于()()1,3,1A B n -，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作直线OB ，交反比例函数图象于点C ，连结AC ，求ABC 的面积．24. 如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，点D 是 AC 的中点，DN AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，连结DB 交AC 于点G ．（1）求证：AF DF =；（2）延长GD 至点M ，使DM DG =，连接AM ．①求证：AM 是O 的切线；②若6DG =，5DF =，求O 的半径．25. 二次函数()20y ax bx c a =++≠图象与x 轴分别交于点()()1,03,0A B -，，与y 轴交于点()0,3C -，P Q ，为抛物线上的两点．（1）求二次函数表达式；（2）当P C ，两点关于抛物线对轴对称，OPQ △是以点P 为直角顶点的直角三角形时，求点Q 的坐标；（3）设P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m +，试探究：OPQ △的面积S 是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．的的秘密★启用前2024年遂宁市初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各数中，无理数是（ ）A. 2- B. 12 C. D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数， 2、无限不循环小数，3、含有π的数．【详解】解： 2-，12，0是无理数，故选：C ．2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是，故选：A ．3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）A. 60.6210⨯ B. 66.210⨯ C. 56.210´ D. 56210⨯【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数即可求解，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：62万56.210=⨯，故选：C ．4. 下列运算结果正确的是（ ）A. 321a a -= B. 236a a a ⋅=C. ()44a a -=- D. ()()2339a a a +-=-【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方运算、平方差公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：A 、32a a a -=，该选项错误，不合题意；B 、235a a a ⋅=，该选项错误，不合题意；C 、()44a a -=，该选项错误，不合题意；D 、()()2339a a a +-=-，该选项正确，符合题意；故选：D ．5. 不等式组32212x x x -<+⎧⎨≥⎩的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．【详解】解：32212x x x -<+⎧⎨≥⎩①②，由①得，3x <，由②得，2x ≥，∴不等式组解集为23x ≤<，∴不等式组的解集在数轴上表示为，故选：B ．6. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）A. 36︒B. 40︒C. 45︒D. 60︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为n ，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和360︒除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，则()21801080n -⨯︒=︒，∴8n =，∴这个正多边形的每个外角为360845︒÷=︒，故选：C．的7. 分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（ ）A. 3m >- B. 3m >-且2m ≠-C. 3m < D. 3m <且2m ≠-【答案】B 【解析】【分析】本题考查了解分式方程及分式方程解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．【详解】解：方程两边同时乘以1x -得，21x m =--，解得3x m =+，∵分式方程2111mx x =---的解为正数，∴30m +>，∴3m >-，又∵1x ≠，即31m +≠，∴2m ≠-，∴m 的取值范围为3m >-且2m ≠-，故选：B ．8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB 为1米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）A.1π6B.1π6C.2π3- D.11π64-【答案】A 【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点O 作OD AB ⊥于D ，由垂径定理得11m 22AD BD AB ===，由勾股定理得OD =，又根据圆的直径为2米可得OA OB AB ==，得到AOB 为等边三角形，即得60AOB ∠=︒，再根据淤泥横截面的面积的AOB AOB S S =- 扇形即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．【详解】解：过点O 作OD AB ⊥于D ，则11m 22AD BD AB ===，90ADO ∠=︒，∵圆的直径为2米，∴1m OA OB ==，∴在Rt AOD 中，OD ===，∵OA OB AB ==，∴AOB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴淤泥横截面的面积2260π1111πm 36026AOB AOB S S ⎛⨯=-=-⨯= ⎝⎭扇形，故选：A ．9. 如图1，ABC 与111A B C △满足1A A ∠=∠，11AC A C =，11BC B C =，1C C ∠≠∠，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在ABC 中，AB AC =，点,D E 在线段BC 上，且BE CD =，则图中共有“伪全等三角形”（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】D 【解析】【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ABE 中，,,B B AB AB AD AE ∠=∠==，在,ACE ACD △△中，,,C C AC AC AE AD ∠=∠==，在,ABD ACD △△中，,,B C AB AC AD AD ∠=∠==，在,ACE ABE 中，,,B C AE AE AC AB ∠=∠==综上所述，共有4对“伪全等三角形”，故选：D ．10. 如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x -，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2-，()0,3-之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①0abc >；②930a b c -+≥；③213a <<；④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n -<<<．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得0a >，20b a =>，32c -<<-，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为()3,0-，即可判断②错误；将c 和b 用a 表示，即可得到332a -<-<-，即可判断③正确；结合抛物线2y ax bx c =++和直线1y x =+与x 轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知0a >，∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线=1x -，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，∴12bx a=-=-，0a b c ++=，则20b a =>，∵抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点B 在()0,2-，()0,3-之间，∴32c -<<-，则<0abc ，故①错误；设抛物线与x 轴另一个交点(),0x ，∵对称轴为直线=1x -，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，∴()111x --=--，解得3x =-，则930a b c -+=，故②错误；∵32c -<<-，0a b c ++=，20b a =>，∴332a -<-<-，解得213a <<，故③正确；根据抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()3,0-，直线1y x =+过点()1,0-和()0,1，如图，方程21ax bx c x +=++两根为,m n 满足31m n -<<<，故④正确；故选：B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11. 分解因式：4ab a +=______．【答案】()4a b +【解析】【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a 即可解答．【详解】解：()44ab a a b +=+故答案为：()4a b +12. 反比例函数1k y x-=的图象在第一、三象限，则点()3k -,在第______象限．【答案】四##4【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出1k >，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数1k y x-=的图象在第一、三象限，∴10k ->∴1k >∴点()3k -,在第四象限，故答案为：四．13. 体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．甲88798乙69799【答案】甲【解析】【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键．【详解】解：甲的平均数为8879885++++=，∴()()()()()22222288887898880.45S -+-+-+-+-==甲，乙的平均数为6979985++++=，∴()()()()()2222226898789898 1.65S -+-+-+-+-==乙，∵22SS <甲乙，∴甲成绩更稳定，∴应选甲参加比赛，故答案为：甲．14. 在等边ABC 三边上分别取点D E F 、、，使得AD BE CF ==，连结三点得到DEF ，易得ADF BED CFE ≌≌，设1ABC S =△，则13A EF D D FS S =-△△如图①当12AD AB =时，111344DEF S =-⨯=△如图②当13AD AB =时，211393DEF S =-⨯=△如图③当AD 1AB 4=时，37131616DEF S =-⨯=△……直接写出，当110AD AB =时，DEF S =△______．【答案】73100##0.73【解析】【分析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n 时，22213313DEF n n n S n n --+=-⨯=△，代入10n =即可．【详解】解：根据题意可得，当1AD AB n =时，22213313DEF n n n S n n --+=-⨯=△，则当110AD AB =时，221031037310100DEF S -⨯+==△，故答案为：73100．15. 如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是AB 边的中点，将正方形纸片沿EC 折叠，点B 落在点P 处，延长CP 交AD 于点Q ，连结AP 并延长交CD 于点F ．给出以下结论：①AEP △为等腰三角形；②F 为CD 的中点；③:2:3AP PF =；④3cos 4DCQ ∠=．其中正确结论是______．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】设正方形的边长为2a ，1=2=∠∠α，根据折叠的性质得出EA EP =，根据中点的性质得出AE EB =，即可判断①，证明四边形AECF 是平行四边形，即可判断②，求得tan 42BPAP∠==，设AP x =，则2BPx =，勾股定理得出AP =，进而判断③，进而求得AQ ，DQ ，勾股定理求得CQ ，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解．【详解】解：如图所示，∵E 为AB 的中点，∴AE EB=设正方形的边长为2a ，则AE EB a ==∵折叠，∴12,BP EC ∠=∠⊥，EP EB a ==∴EA EP=∴AEP △是等腰三角形，故①正确；设1=2=∠∠α，∴1802AEP α∠=︒-∴34α∠=∠=∴23∠∠=∴AF EC ∥又∵AE FC∥∴四边形AECF 是平行四边形，∴CF AE a ==，∴CF FD =a =，即F 是CD 的中点，故②正确；∵BP EC ⊥，AF EC ∥∴BP AF⊥在Rt ADF 中，AF ===，∵2tan tan 12BC aBE aα=∠===∴tan 42BP AP∠==设AP x =，则2BP x =，∴2AB a==∴x =∴AP =，PF =-=，∴:2:3AP PF =，故③正确；连接EQ ，如图所示，∵90QAE ∠=︒，90QPE EPC EBC ∠=∠=∠=︒，AE EP =又EQ EQ =∴AEQ PEQ≌∴AQ PQ =又∵EA EP =∴EQ AP⊥∴90AQE AEQ ∠+∠=︒又∵490AEQ ∠+∠=︒∴4AQE α∠=∠=∵tan 2α=∴2AEAQ=∴2a AQ =∴13222QD a a a =-=在Rt QDC中，52QC a===∴332cos 552aDQ DCQ QC a ∠===，故④不正确故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：11sin4512021-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．【答案】2024【解析】【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．【详解】解：11sin4512021-⎛⎫︒-++ ⎪⎝⎭122021=+-++2024=．17. 先化简：2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】1x -；2【解析】【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．【详解】解： 2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭()2111·12x x x x ---=--1x =-∵1,2x ≠∴当3x =时，原式312=-=18. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．（1）实践与操作①任意作两条相交的直线，交点记为O ；②以点O 为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA OB OC OD 、、、；③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD ．于是可以直接判定四边形ABCD 是平行四边形，则该判定定理是：______．（2）猜想与证明通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）先证明180ABC BCD ∠+∠=︒，再证明ABC DCB △≌△，可得90ABC DCB ∠=∠=︒，从而可得结论．【小问1详解】解：由作图可得：OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；【小问2详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，∴180ABC BCD ∠+∠=︒，∵AC BD =，BC CB =，∴ABC DCB △≌△，∴90ABC DCB ∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键．19. 小明的书桌上有一个L 型台灯，灯柱AB 高40cm ，他发现当灯带BC 与水平线BM 夹角为9︒时（图1），灯带的直射宽(),DE BD BC CE BC ⊥⊥为35cm ，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30︒时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C 到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin90.16,cos90.99,tan90.16≈≈≈︒︒︒）【答案】此时台灯最高点C 到桌面的距离为57.3cm 【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，cos9BC BM =⋅︒，在图2中求得CN ，进而根据灯柱AB 高40cm ，点C 到桌面的距离为AB CN +，即可求解．【详解】解：由已知，BM AE ∥，在图1中，DE BM ∥∵,BD BC CE BC ⊥⊥∴BD CE∥∴四边形BDEM 是平行四边形，∴35BM DE ==在Rt BMC △中，cos9BC BM =⋅︒在图2中，过点C 作CN BM ⊥于点N ，∴1sin 30cos9sin 30350.9917.3cm 2CN BC BM =︒=⋅︒⋅︒=⨯⨯≈∵灯柱AB 高40cm ，点C 到桌面的距离为AB CN +=4017.357.3cm +=答：此时台灯最高点C 到桌面的距离为57.3cm ．20. 某酒店有A B 、两种客房、其中A 种24间，B 种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A B 、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．（1）求A B 、两种客房每间定价分别是多少元？（2）酒店对A 种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A 种客房每间定价为多少元时，A 种客房一天的营业额W 最大，最大营业额为多少元？【答案】（1）A 种客房每间定价为200元，B 种客房每间定价为为120元；（2）当A 种客房每间定价为220元时，A 种客房一天的营业额W 最大，最大营业额为4840元．【解析】【分析】（1）设A 种客房每间定价为x 元，B 种客房每间定价为为y 元，根据题意，列出方程组即可求解；（2）设A 种客房每间定价为a 元，根据题意，列出W 与a 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【小问1详解】解：设A 种客房每间定价为x 元，B 种客房每间定价为为y 元，由题意可得，2420720010103200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得200120x y =⎧⎨=⎩，答：A 种客房每间定价为200元，B 种客房每间定价为为120元；【小问2详解】解：设A 种客房每间定价为a 元，则()222001124442204840101010a W a a a a -⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵1010-<，∴当220a =时，W 取最大值，4840W =最大值元，答：当A 种客房每间定价为220元时，A 种客房一天的营业额W 最大，最大营业额为4840元．21. 已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．（1）求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等实数根；（2）如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．【答案】（1）证明见解析；的（2）11m =或22m =-．【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据根的判别式证明0∆>恒成立即可；（2）由题意可得，122x x m +=+，121⋅=-x x m ，进行变形后代入即可求解．【小问1详解】证明：()()22Δ24118m m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-=+⎣⎦，∵无论m 取何值，280m +>，恒成立，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：∵12,x x 是方程()2210x m x m -++-=的两个实数根，∴122x x m +=+，121⋅=-x x m ，∴()()()22221212121232319x x x x x x x x m m +-=+-=+--=，解得：11m =或22m =-．22. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：xx 小组关于xx 学校学生“五一”出游情况调查报告数据收集调查方式抽样调查调查对象xx 学校学生数据的整理与描述景点A ：中国死海B ：龙凤古镇C ：灵泉风景区D ：金华山E ：未出游F ：其他数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，m=______，“B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；（2）请补全条形统计图；（3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．【答案】（1）100，10，72︒；（2）见解析；（3）144；（4）1 4【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率；（1）根据F组的人数除以占比，即可得出总人数，进而求得C组的人数，得出m的值，根据B的占比乘以360︒，即可得出对应圆心角的度数；（2）根据C组的人数补全统条形计图，（3）用1800乘以E组的占比，即可求解．（4）用列表法求概率，即可求解．【详解】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为30100 30%=，C组的人数为：10012202083010-----=，∴10%100%10%100m=⨯=，∴10 m=B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是2036072 100⨯︒=︒故答案为：100，10，72︒．（2）根据（1）可得C 组人数10人，补全统计图，如图所示，（3）解：81800144100⨯=答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为144人；（4）列表如下，ABCDAAA AB AC AD BBABBBC BDCCACBCCCDDDADBDCDD共有16种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有4种，∴他们选择同一景点的概率为41164=23. 如图，一次函数()10y kx b k =+≠的图象与反比例函数()20my m x=≠的图象相交于()()1,3,1A B n -，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出12y y >时，x 的取值范围；为（3）过点B 作直线OB ，交反比例函数图象于点C ，连结AC ，求ABC 的面积．【答案】（1）反比例函数表达式为23y x=，一次函数表达式为12y x =+ （2）30x -<<或1x > （3）8【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据函数图象即可求解；（3）如图，设直线12y x =+与y 轴相交于点D ，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ，求出点D 坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点C 坐标，根据ABC BOD CON ADOM AMNC S S S S S =++- 梯形梯形计算即可求解；本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．【小问1详解】解：把()1,3A 代入2m y x=得，31m =，∴3m =，∴反比例函数表达式为23y x=，把(),1B n -代入23y x=得，31n -=，∴3n =-，∴()3,1B --，把()1,3A 、()3,1B --代入1y kx b =+得，313k bk b =+⎧⎨-=-+⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式为12y x =+；【小问2详解】解：由图象可得，当12y y >时，x 的取值范围为30x -<<或1x >；【小问3详解】解：如图，设直线12y x =+与y 轴相交于点D ，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ，则()0,2D ，∴2OD =，∵点B C 、关于原点对称，∴()3,1C ，∴312MN =-=，1CN =，3ON =∴ABC BOD CONADOM AMNC S S S S S =++- 梯形梯形()()111123231132312222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯8=，即ABC 的面积为8．24. 如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，点D 是 AC 的中点，DN AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，连结DB 交AC 于点G ．（1）求证：AF DF =；（2）延长GD 至点M ，使DM DG =，连接AM ．①求证：AM 是O 的切线；②若6DG =，5DF =，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析。

2024年湖北省武汉市中考数学试题(含答案)

2024年湖北省武汉市中考数学试题(含答案)

2024年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟．2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效．5．认真阅读答题卡上的注意事项．预祝你取得优异成绩！一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.确定性事件【答案】A【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，故选：A ．3.如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可．【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，故选：B ．4.国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A.50.310⨯B.60.310⨯ C.5310⨯ D.6310⨯【答案】C 【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．【详解】解：5300000310=⨯，故选：C ．5.下列计算正确的是（）A.236a a a ⋅= B.()1432a a = C.()2236a a = D.()2211a a +=+【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．【详解】解：A.235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B.()4312a a =，故该选项正确，符合题意；C.()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；D.()22121a a a +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．6.如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D ．7.小美同学按如下步骤作四边形ABCD ：①画MAN ∠；②以点A 为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，D ；③分别以点B ，D 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C ；④连接BC ，CD ，BD ．若44A ∠=︒，则CBD ∠的大小是（）A.64︒B.66︒C.68︒D.70︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD 是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：作图可得AB AD BC DC ===∴四边形ABCD 是菱形，∴,AD BC ABD CBD ∠=∠ ∵44A ∠=︒，∴44MBC A ∠=∠=︒，∴()()11180180446822CBD MBC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．8.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A.19B.13 C.49D.59【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．【详解】解：列树状图如图所示，共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，∴至少一辆车向右转的概率是59，故选：D ．9.如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O 的半径是（）A.63B.223C.32D.22【答案】A 【解析】【分析】延长AB 至点E ，使BE AD =，连接BD ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接AF，即可证得()SAS ADC EBC ≌，进而可求得cos 452AC AE =︒⋅=60AFC ∠=︒，结合三角函数即可求解．【详解】解：延长AB 至点E ，使BE AD =，连接BD ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠=︒∴ADC CBE ∠=∠∵45BAC CAD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒∴BD 是O 的直径，∴90DCB ∠=︒∴DCB △是等腰直角三角形，∴DC BC =∵BE AD=∴()SAS ADC EBC ≌∴ACD ECB ∠=∠，AC CE =,∵2AB AD +=∴2AB BE AE +==又∵90DCB ∠=︒∴90ACE ∠=︒∴ACE △是等腰直角三角形∴cos 45AC AE =︒⋅=∵60ABC ∠=︒∴60AFC ∠=︒∵90FAC ∠=︒∴26sin 603AC CF ==︒∴1623OF OC CF ===故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．10.如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =-+-的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++ 的值是（）A.1-B.0.729- C.0 D.1【答案】D 【解析】【分析】本题坐标规律，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出123911190y y y y y y +++++= ，进而转化为求1020y y +，根据题意可得100y =，201y =，即可求解．【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，∴0.1 1.90.2 1.80.9 1.11222+++==⋅⋅⋅=，∴123911190y y y y y y +++++= ，∴12319201020y y y y y y y +++++=+ ，而()101,0A 即100y =，∵32331y x x x =-+-，当0x =时，1y =-，即()0,1-，∵()0,1-关于点()1,0中心对称的点为()2,1，即当2x =时，201y =，∴12319201020011y y y y y y y +++++=+=+= ，故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．11.中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作_________℃．【答案】2-【解析】【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作2-℃．，故答案为：2-．12.某反比例函数ky x=具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是__________．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小，∴0k >故答案为：1（答案不唯一）．13.分式方程131x x x x +=--的解是______．【答案】3x =-【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以()()31x x --完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．【详解】解：131x x x x +=--，等号两边同时乘以()()31x x --，得()()()131x x x x -=-+，去括号，得2223x x x x -=--，移项、合并同类项，得3x =-，经检验，3x =-是该分式方程的解，所以，该分式方程的解为3x =-．故答案为：3x =-．14.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是__________m ．（参考数据：tan632︒≈）【答案】51【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，根据tan632︒≈，求出51m DC AD =≈，即可求解．【详解】解：延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D，如图，由题可知，102m BD =，设AD x =，∵45DCA ∠=︒∴DC AD x ==∴102tan632BD DC x︒==≈∴51mDC AD =≈∴1025151m AB BD AD =-=-≈故答案为：51．15.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E ，F ，记正方形ABCD 的面积为1S ，正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>，则用含k 的式子表示12S S 的值是___________．【答案】221(1)k k +-【解析】【分析】作EG AN ⊥交AN 于点G ，不妨设MN a =，设1EG =，通过四边形MNPQ 是正方形，推出45EMG PMN ∠=∠=︒，得到1EG MG ==，然后证明AEG ABN ∽，利用相似三角形对应边成比例，得到111AE AG AB BN AN k ===+，从而表示出AG ，MN 的长度，最后利用2122AB BN AN S ==+和222S MN a ==表示出正方形ABCD 和MNPQ 的面积，从而得到12S S ．【详解】解：作EG AN ⊥交AN 于点G ，不妨设MN a =，设1EG = 四边形MNPQ 是正方形45PMN ∴∠=︒45EMG PMN ∴∠=∠=︒1EG MG ∴==在AEG △和ABN 中，EAG BAN ∠=∠，90AGE ANB ∠=∠=︒AEG ABN ∴ ∽AE EG AGAB BN AN∴==(1)BE kAE k => (1)AB AE BE AE k ∴=+=+111AE AG AB BN AN k ∴===+1BN k∴=+由题意可知，ABN DAM△≌△1BN AM k∴==+11AG AM GM k k∴=-=+-=111AG AG k AN AM MN k a k ∴===++++21a k ∴=-2211AN AG GM MN k k k k∴=++=++-=+∴正方形ABCD 的面积222221222(1)()(1)(1)S AB BN AN k k k k k ==+=+++=++，正方形MNPQ 的面积2222222(1)(1)(1)S MN a k k k ===-=+-222221(1)(1)(1)(1)k k k k S S +++-∴=1k > 2(1)0k ∴+≠22121(1)k S S k +-∴=【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．16.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>；③若1a =-，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】②③④【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴11022m -+-<<，即可判断①，根据()1,1-，(),1m 两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过()1,1-得出2c b =+，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴111224m -+-<≤-，解不等式，即可求解．【详解】解：∵2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．∴对称轴为直线122bm x a -+=-=，11022m-+-<<，∵02bx a =-<，a<0∴0b <，故①错误，∵01m <<∴()11m -->，即()1,1-，(),1m 两点之间的距离大于1又∵a<0∴1x m =-时，1y >∴若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>，故②正确；③由①可得11022m-+-<<，∴1022b-<<，即10b -<<，当1a =-时，抛物线解析式为2y x bx c=-++设顶点纵坐标为224444ac b c b t a ---==-∵抛物线2y x bx c =-++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1-，∴11b c --+=∴2c b =+∴()222224411122144444c b b ct b c b b b --+===+=++=++-∵10b -<<，104->，对称轴为直线2b =-，∴当0b =时，t 取得最大值为2，而0b <，∴关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无解，故③正确；④∵a<0，抛物线开口向下，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，又12124x x x +=>-，∴点()11,A x y 离14x =-较远，∴对称轴111224m -+-<≤-解得：102m <≤，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17.求不等式组3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②的整数解．【答案】整数解为：1,0,1-【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．【详解】解：3121x x x +>⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得：2x >-解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x -<≤，∴整数解为：1,0,1-18.如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，AF CE =．（1）求证：C ABE DF ≌△△；（2）连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】（1）见解析（2）添加AF BE =（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出AB CD =，B D ∠=∠，结合已知条件可得DF BE =，即可证明C ABE DF ≌△△；（2）添加AF BE =，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AD BC =，B D ∠=∠，∵AF CE =，∴AD AF BC CE -=-即DF BE =，在ABE 与CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CDF ≌；【小问2详解】添加AF BE =（答案不唯一）如图所示，连接EF．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，即AF BE ∥，当AF BE =时，四边形ABEF 是平行四边形．19.为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a 2151b 06根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m ，n 的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．【答案】（1）60m =，15n =，众数为3分（2）该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人【解析】【分析】本题考查了样本估计总体，求众数，频数分布表与扇形统计图；（1）根据成绩为2分的人数除以占比，求得m 的值，根据成绩为3分的人数的占比，求得18a =，进而求得9b =，即可得出n 的值；（2）根据得分超过2分的学生的占比乘以900，即可求解．【小问1详解】解：依题意，156025%m ==（人），6030%18a =⨯=（人），6012181569b =----=（人），∴9%100%15%60n =⨯=，∴15n =，∵3分的人数为18个，出现次数最多，∴众数为3分，【小问2详解】解：181290045060+⨯=（人）答：该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人.20.如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D ，底边BC 与半圆O 交于E ，F 两点．（1）求证：AB 与半圆O 相切；（2）连接OA ．若4CD =，2CF =，求sin OAC ∠的值．【答案】（1）见解析（2）45【解析】【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA 、OD ，作ON AB ⊥交AB 于N ，根据等腰三角形三线合一可知，AO BC ⊥，AO 平分BAC ∠，结合AC 与半圆O 相切于点D ，可推出ON OD =，得证；（2）由题意可得出OAC COD ∠=∠，根据OF OD =，在Rt ODC △中利用勾股定理可求得OD 的长度，从而得到OC 的长度，最后根据CD sin OAC sin COD OC∠=∠=即可求得答案．【小问1详解】证明：连接OA 、OD ，作ON AB ⊥交AB 于N ，如图ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点AO BC ∴⊥，AO 平分BAC∠AC 与半圆O 相切于点DOD AC∴⊥由ON AB⊥ ON OD∴=AC ∴是半圆O 的切线【小问2详解】解：由（1）可知AO BC ⊥，OD AC⊥90AOC ∴∠=︒，90ODC ∠=︒18090OAC OCA AOC ∴∠+∠=︒-∠=︒，18090COD OCA ODC ∠+∠=︒-∠=︒OAC COD∴∠=∠sin sin CD OAC COD OC∴∠=∠=又 OF OD =，2CF =∴在Rt ODC △中，4CD =，2OC OF FC OD =+=+ 222OC CD OD =+，∴222(2)4OD OD +=+解得：3OD =442325CD CD sin OAC sin COD OC OD ∴∠=∠====++21.如图是由小正方形组成的34⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD 交BC 于点D ，使AD 平分ABC 的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD 上画点E ，使ECB ACB ∠=∠；（3）在图（2）中，先画点F ，使点A 绕点F 顺时针旋转90︒到点C ，再画射线AF 交BC 于点G ；（4）在（3）的基础上，将线段AB 绕点G 旋转180︒，画对应线段MN （点A 与点M 对应，点B 与点N 对应）．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析（4）作图见解析【解析】【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．（1）作矩形HBIC ，对角线HI 交BC 于点D ，做射线AD ，即可；（2）作OP BC ∥,射线AR OP ⊥于点Q ，连接CQ 交AD 于点E ，即可；（3）在AC 下方取点F ，使AF CF ==ACF △是等腰直角三角形，连接CF ，AF ，AF 交BC于点G ，即可；（4）作OP BC ∥，交AG 于点M ，作ST AG ∥，交BC 于点N ，连接MN ，即可．【小问1详解】如图，作线段HI ，使四边形HBIC 是矩形，HI 交BC 于点D ，做射线AD ，点D 即为所求作；【小问2详解】如图，作OP BC ∥,作AR OP ⊥于点Q ，连接CQ 交AD 于点E ，点E 即为作求作；【小问3详解】如图，在AC 下方取点F ，使AF CF ==CF ，连接并延长AF ，AF 交BC 于点G ，点F ，G 即为所求作；【小问4详解】如图，作OP BC ∥，交射线AG 于点M ，作ST AG ∥，交BC 于点N ，连接MN ，线段MN 即为所求作．22.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．【答案】（1）①115a =-，8.1b =；②8.4km （2）2027a -<<【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）①将()9,3.6代入即可求解；②将2115y x x =-+变为2115151524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即可确定顶点坐标，得出 2.4km y =，进而求得当 2.4km y =时，对应的x 的值，然后进行比较再计算即可；（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ，求得227a =-，即可求解．【小问1详解】解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km ∴抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+均经过点()9,3.6∴3.6819a =+，13.692b=-⨯+解得115a =-，8.1b =．②由①知，18.12y x =-+，2115y x x=-+∴22111515151524y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴最大值15km4y =当151.352.4km 4y =-=时，则212.415x x -+=解得112x =，23x =又∵9x =时， 3.6 2.4y =>∴当 2.4km y =时，则418. 2.12x +=-解得11.4x =()11.438.4km -=∴这两个位置之间的距离8.4km ．【小问2详解】解：当水平距离超过15km 时，火箭第二级的引发点为()9,819a +，将()9,819a +，()15,0代入12y x b =-+，得181992a b +=-⨯+，10152b=-⨯+解得7.5b =，227a =-∴2027a -<<．23.问题背景：如图（1），在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接BD ，EF ，求证：BCD FBE ∽△△．问题探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 在边BC 上，2AD CF =，EF 与BD 交于点G ，求证：BG FG =．问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG ，AD CD =，AG FG =，直接写出EG GF 的值．【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：55【解析】【分析】问题背景：根据矩形的性质可得90AB CD EBF C =∠=∠=︒，，根据点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，可得12BE BF AB BC ==，即可得证；问题探究：取BD 的中点H ，连接,EH HC ，得EH 是ABD △的中位线，根据已知条件可得EH 平行且等于FC ，进而可得EFCH 是平行四边形，得EF HC ∥，则GFB HCB ∠=∠，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB HC =，进而可得HBC HCB ∠=∠，等量代换可得GBF GFB ∠=∠，等角对等边，即可得证；问题拓展：过点F 作FM AD ⊥，则四边形MFCD 是矩形，连接AF ，根据已知以及勾股定理得出55AM AF =；根据（2）的结论结合已知可得GA GF GB ==，证明EF 垂直平分AB ，进而得出FA FB =，证明AFG BFG ≌，进而证明BEG FMA ∽，进而根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】问题背景：∵四边形ABCD 是矩形，∴90AB CD EBF C =∠=∠=︒，，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点∴12BE BF AB BC ==，即12BE BF CD BC ==，∴BCD FBE ∽△△；问题探究：如图所示，取BD 的中点H ，连接,EH HC ，∵E 是AB 的中点，H 是BD 的中点，∴12EH AD =，EH AD∥又∵2AD CF =，∴EH CF =，∵AD BC ∥，∴EH FC∥∴四边形EHCF 是平行四边形，∴EF CH∥∴GFB HCB∠=∠又∵90BCD ∠=︒，H 是BD 的中点，∴12HC BD BH==∴HBC HCB∠=∠∴GBF GFB ∠=∠，∴GB GF =；问题拓展：如图所示，过点F 作FM AD ⊥，则四边形MFCD 是矩形，连接AF ，∵2AD CF CD ==，∴12AM MD FC AD ===，设2AD a =，则2MF CD a ==，AM a=在Rt AMF 中，AF ==，∵AG FG =，由（2）BG FG=∴AG BG =，又∵E 是AB 的中点，∴EF 垂直平分AB∴AF BF =，90BEG ∠=︒，在,AFG BFG 中，AG BG GF GF FA FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AFG BFG ≌设GBF GFB α∠=∠=，则GAF GFA α∠=∠=∴2BGE GBF GFB α∠=∠+∠=，又∵AD BC∥∴2MAF AFB GFA GFB α∠=∠=∠+∠=∴MAF EGB∠=∠又∵90BEG AFM ∠=∠=︒∴BEG FMA ∽∴55EG EG AM GF BG AF ====．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24.抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的右边），交y 轴于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图（1），连接AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥，交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ，求点P 的坐标；（3）如图（2），点D 与原点O 关于点C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点E 在x 轴下方），线段DE 交抛物线于另一点G ，连接FG ．若90EGF ∠=︒，求直线DE 的解析式．【答案】（1）()1,0A ，()5,0B -，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）92,2P ⎛⎫--⎪⎝⎭（3）152y x =--【解析】【分析】（1）分别令,0x y =，解方程，即可求解；（2）分别求得直线,AC BC ，根据PQ AC ∥得出PQ 的解析式，设215,222P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进而求得Q 点的坐标，进而根据BC 平分线段PQ ，则PQ 的中点在直线BC 上，将点M 的坐标代入直线BC 解析式，即可求解．（3）过点G 作TS x ∥轴，过点,E F 分别作TS 的垂线，垂足分别为,T S ，证明ETG GSF ∽，得出ET FS GS TG ⋅=⋅，先求得点D 的坐标，设直线EF 的解析式为11y k x =，直线ED 的解析式为225y k x =-，联立抛物线解析式，设,E F x e x f ==，G x g =，根据一元二次方程根与系数的关系，得出5ef =-，5eg =，224e g k +=-，进而求得,ET FS ，代入ET FS GS TG ⋅=⋅，化简后得出5e g +=-，即2245k -=-，进而即可求解．【小问1详解】解：由215222y x x =+-，当0x =时，52y =-，则50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭当0y =，2152022x x +-=解得：125,1x x =-=∵A 在B 的右边∴()1,0A ，()5,0B -，【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠将()1,0A ，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得，52k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得：5252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线AC 的解析式为5522y x =+∵PQ AC∥设直线PQ 的解析式为152y x b =+∵P 在第三象限的抛物线上设215,222P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，()50t -<<∴215152222t b t t +=+-∴2115222t b t =--∴2150,222t Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭设PQ 的中点为M ，则22352,22t t t M ⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭由()5,0B -，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BC 的解析式为152y k x =-，将()5,0B -代入得，15052k =--，解得：112k =-∴直线BC 的解析式为1522y x =--，∵BC 平分线段PQ ，∴M 在直线BC 上，∴22351522222t t t +--⨯-=解得：122,0t t =-=（舍去）当2t =-时，21592222t t +-=-∴92,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；【小问3详解】解：如图所示，过点G 作TS x ∥轴，过点,E F 分别作TS 的垂线，垂足分别为,T S，∴90T S EGF ∠=∠=∠=︒∴90EGT FGS GFS∠=︒-∠=∠∴ETG GSF∽∴ET TG GS FS=即ET FS GS TG⋅=⋅∵点D 与原点O 关于点50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，∴()0,5D -,设直线EF 的解析式为11y k x =，直线ED 的解析式为225y k x =-联立直线EF 与抛物线解析式11215222y k xy x x =⎧⎪⎨=+-⎪⎩可得，2112222k xx x =+-，即()21152022x k x +--=联立直线ED 与抛物线解析式222515222y k x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩可得，22125222k x x x -=+-即()22152022x k x +-+=设,E F x e x f ==，G x g =，∴5ef =-，5eg =，224e g k +=-，∴f g=-()()221515122422222ET e e g g e g e g ⎛⎫=+--+-=++- ⎪⎝⎭，()()221515122422222FS f f g g f g f g ⎛⎫=+--+-=++- ⎪⎝⎭∵ET FS GS TG⋅=⋅∴()()()()()()114422g e f g e g e g f g f g --=++-⨯++-，将f g =-代入得：5e g +=-∴2245k -=-，∴21 2k=-，∴直线DE解析式为152y x=--．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

2023年甘肃省武威市中考数学真题(答案解析)

2023年甘肃省武威市中考数学真题(答案解析)

武威市2023年初中毕业、高中招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C【解析】解：9的算术平方根是3，故选C2.【答案】A【解析】解：等式两边乘以2b ，得6ab =，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：()222222a a a a a a a +-=+-=，故选：B4.【答案】D【解析】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D ．5.【答案】C【解析】解：∵BD 是等边ABC 的边AC 上的高，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒，∵DB DE =，∴30DBE DEB ∠=∠=︒，故选C6.【答案】A【解析】去分母得()21x x +=，解方程得2x =-，检验:2x =-是原方程的解，故选A ．7.【答案】B【解析】解：∵将矩形ABCD 对折，使边AB 与DC ，BC 与AD 分别重合，展开后得到四边形EFGH ，∴EF GH ⊥，EF 与GH 互相平分，∴四边形EFGH 是菱形，∵2FH AB ==，4GE BC ==，∴菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=．故选：B8.【答案】D【解析】解：A 选项，年龄范围为9899-的人数为10人，对应的百分比为10%，则可得1010%100÷=（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；B 选项，由A 选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则1005%5m =⨯=，故选项正确，不符合题意；C 选项，由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在9293-岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在9293-岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；D 选项，《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在9697-岁的人数估计有112200242100⨯=人，故选项错误，符合题意．故选：D ．9.【答案】B【解析】解：如图，过B 作BQ ⊥平面镜EF ，∴90QBE QBF ∠=∠=︒，ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠，而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒，∴5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠，∴20CBQ ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，故选B ．10.【答案】C【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==，运动路程为0或4，结合函数图象可得(4,M ，故选C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.【答案】()21a x -【解析】解：()()2222211ax ax a a x x a x -+=-+=-，故答案为：()21a x -12.【答案】2-（答案不唯一，合理即可）【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，∴224144160c c ∆=-⨯⨯=->，解得14c <，当2c =-时，满足题意，故答案为：2-（答案不唯一，合理即可）13.【答案】10907-【解析】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．14.【答案】35【解析】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为:35．15.【答案】【解析】解：在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，160,302DAB DCB BAC DAC DCF DAB ∴∠=∠=︒∠=∠=∠=∠=︒，DF CD ⊥Q ，90DFC ∴∠=︒，9060DFC DCF ∴∠=︒-∠=︒，在Rt CDF △中，12DF CF =，603030,ADF DFC DAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ,FAD ADF ∴∠=∠11,23AF DF CF AC ∴===同理，13CE AC =，13EF AC AF CE AC ∴=--=，12EF AE ∴=，在Rt ABE △中，cos3032AB AE ==︒12EF AE ∴==故答案为：16.【答案】5π【解析】150********n r l πππ⨯⨯===故填：5π．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】32⨯==-=18.【答案】21x -<≤【解析】解：解不等式组：6234x x x x >--⎧⎪⎨+≤⎪⎩①②，解不等式①，得2x >-．解不等式②，得1x ≤．因此，原不等式组的解集为21x -<≤．19.【答案】4ba b+【解析】解：原式22(2)2()()a b a b a b a b a b a b a b +--=-⋅+-+-22a b a b a b a b+-=-++4b a b =+．20.【答案】见解析【解析】解：如图，即点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．理由如下：如图，连接,,,,,,,AE DE AC DC OE OH OG AH ，由作图可得： AB BC CD==，且OA OB AB ==，∴AOB 为等边三角形，60AOB ∠=︒，同理可得：60BOC COD ∠=∠=︒，∴180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴A ，O ，D 三点共线，AD 为直径，∴=90ACD ∠︒，设CD x =，而30DAC ∠=︒，∴2AD x =，AC =，由作图可得：DE AE AC ===，而OA OD x ==，∴⊥EO AD ，OE ==，∴由作图可得AG AH ==，而OA OH x ==，∴22222OA OH x AH +==，∴90AOH =︒∠，同理90AOG DOG DOH ∠=︒=∠=∠，∴点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．21.【答案】（1）13（2）19【解析】（1）P （小亮抽到卡片A ）13=．（2）列表如下：小刚小亮A B C A(),A A (),A B (),A C B (),B A (),B B (),B C C(),C A (),C B (),C C 或画树状图如下：共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C 的结果有1种，所以，P （两人都抽到卡片C ）19=．22.【答案】新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm【解析】解：过点A 作AH MN ⊥，垂足为H ．由题意得，35ABH DBN ∠=∠= ，22ACH ECN ∠=∠= ，在Rt AHB △中，tan tan 350.70AH AH AH BH ABH ==≈∠︒．在Rt AHC 中，tan tan 220.40AH AH AH CH ACH ==≈∠︒．∵CH BH BC -=，∴90.400.70AH AH -=，∴()8.4cm AH =．答：新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm ．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23.【答案】（1）16（2）35（3）八年级，理由见解析【解析】（1）解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，由统计图知A 组4人，B 组10人，C 组10人，则中位数在C 组，第20、21位的成绩分别是16，16，则中位数是1616162+=；故答案为：16；（2）解：612003540+⨯=(人)，这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，故答案为：35；（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．24.【答案】（1）()3,2B（2）32n m =-+（3）863y x =-【解析】（1）解：∵点()3,B a 在反比例函数()60y x x =>的图象上，∴623a ==，∴()3,2B ．（2）∵点()3,2B在一次函数y mx n =+的图象上，∴32m n +=，即32n m =-+．（3）如图，连接OB ．∵192OAB B S OA x =⋅⋅=△，∴1392OA ⋅⨯=，∴6OA =，∴()0,6A -，∴6n =-，∴326m -+=-，∴83m =，∴一次函数的表达式为：863y x =-．25.【答案】（1）见解析（2）245【解析】（1）证明：∵ AC AC=，∴ADC B ∠=∠．∵OB OC =，∴B OCB ∠=∠．∵CO 平分BCD ∠，∴OCB OCD ∠=∠，∴ADC OCD ∠=∠．∵CE AD ⊥，∴90ADC ECD ∠+∠=︒，∴90OCD ECD ∠+∠=︒，即CE OC ⊥．∵OC 为O 的半径，∴CE 是O 的切线．（2）连接OD ，得OD OC =，∴ODC OCD ∠=∠．∵OCD OCB B ∠=∠=∠，∴ODC B ∠=∠，∵CO CO =，∴OCD OCB ≌，∴CD CB =．∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴3sin 1065AC AB B =⋅=⨯=，∴8CB ==，∴8CD =，∴324sin sin 855CE CD ADC CD B =⋅∠=⋅=⨯=．26.【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；（2DF BD =+，理由见解析；（3）【解析】（1）①证明：∵ABC 和BDE 都是等边三角形，∴AB BC =，BE BD =，60ABC EBD ∠=∠=︒，∴ABC CBE EBD CBE ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴()SAS ABE CBD ≅△△．∴AE CD =．②AD DF BD =+．理由如下：∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =．∵AE CD =，∴AE DF =．∴AD AE DE DF BD =+=+．（2DF BD =+．理由如下：如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒．∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴22DE BD =．∵ABC 是直角三角形，AB AC =，∴=45ABC ∠︒，2AB BC =，∴ABC CBE EBD CBE ∠-∠=∠-∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴sin sin ABE CBD ∠=∠，∴AE CD AB BC=，∴AE BC CD AB ⋅=⋅，∴22AE CD =．∴22222222AD AE DE =+=+=+，即DF BD =+．（3）∵33BD CD DF ==，34DF DF DF =+=，∵AD =2DF DC ==，∴6BD =．如图，过点A 作AH BD ⊥于点H ．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，BC ==∴2222AF AC BC ===．∴cos5HF AFB AF ∠===．27.【答案】（1）23y x x=-+（2）四边形OCPD 是平行四边形，理由见解析（3）【解析】（1）解：∵抛物线2y x bx =-+过点()4,4B -，∴1644b -+=-，∴3b =，∴23y x x =-+；（2）四边形OCPD 是平行四边形．理由：如图1，作PD OA ⊥交抛物线于点D ，垂足为H ，连接PC ，OD ．∵点P 在y x =-上，∴OH PH =，45POH ∠=︒，连接BC ，∵4OC BC ==，∴OB =，∵BP =，∴OP OB BP =-=，∴22222OH PH ===，当2D x =时，4322D DH y ==-+⨯=，∴224PD DH PH =+=+=，∵()0,4C -，∴4OC =，∴PD OC =，∵OC x ⊥轴，PD x ⊥轴，∴PD OC ∥，∴四边形OCPD 是平行四边形；（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ．在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，∵4OC BC ==，BC OC ⊥，∴45CBP ∠=︒，∴CBP MOQ ∠=∠，∵BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM =，∴()SAS CBP MOQ △≌△，∴CP MQ =，∴CP BQ MQ BQ MB +=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），∴CP BQ +的最小值为MB ，∵454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴MB ==即CP BQ +的最小值为．。

2023年黑龙江省绥化市(初三学业水平考试)数学中考真题试卷含详解

2023年黑龙江省绥化市(初三学业水平考试)数学中考真题试卷含详解

二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟2．本试卷共三道大题，28个小题3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内一、单选题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.计算052-+的结果是（）A.3- B.7C.4- D.63.如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（）A. B. C. D.4.纳米是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =，把0.000000001用科学记数法表示为（）A.9110-⨯ B.8110-⨯ C.8110⨯ D.9110⨯5.下列计算中，结果正确的是（）A.333()pq p q -= B.3228x x x x x ⋅+⋅= C.5=± D.()326a a =6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，125∠=︒，230∠=︒，则3∠的度数为（）A.55︒B.65︒C.70︒D.75︒7.下列命题中叙述正确的是（）A.若方差22s s >乙甲，则甲组数据的波动较小B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（）组别参赛者成绩A7080x≤<B8090x≤<C90100x≤<D100110x≤<E110120x≤<A.该组数据的样本容量是50人B.该组数据的中位数落在90~100这一组C.90~100这组数据的组中值是96D.110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51︒9.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，2BC=，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数kyx=（0x>）的图像经过点B，D，则k的值是（）A.1B.2C.3D.3210.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是（）A.11142x += B.11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C.1111142x⎛⎫++= ⎪⎝⎭ D.11111442x⎛⎫++= ⎪⎝⎭11.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）A. B. C. D.12.如图，在正方形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分BFG ∠交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为（）①2AB BF AE =⋅；②:2:3BGF BAF S S =△△；③当AB a =时，22BD BD HD a -⋅=A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题13.因式分解：2x xy xz yz +--=_______．14.若式子5x x有意义，则x 的取值范围是_______．15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．16.已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．17.化简：2222142442x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷=⎪--+-⎝⎭_______．18.如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）19.如图，在平面直角坐标系中，ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，已知点(2,0)A ，点(,)C a b ，90C ∠=︒．则点C '的坐标为_______．（结果用含a ，b的式子表示）20.如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．连接AF，EF ，DF ，则CDF 周长的最小值是______．21.在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= _______．（结果用含n 的代数式表示）22.已知等腰ABC ，120A ∠=︒，2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒，得到A BC ''△，延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______．三、解答题23.已知：点P 是O 外一点．（1）尺规作图：如图，过点P 作出O 的两条切线PE ，PF ，切点分别为点E 、点F ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒．求EDF ∠的度数．24.如图，直线MN 和EF 为河的两岸，且MN EF ∥，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE 的B 点测得30CBE ∠=︒，从B 点沿河岸FE 的方向走40米到达D 点，测得45CDE ∠=︒．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D 点继续沿DE 的方向走12)+米到达P 点．求tan CPE ∠的值．25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A 、B 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A 、B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．26.已知：四边形ABCD 为矩形，4AB =，3AD =，点F 是BC 延长线上的一个动点（点F 不与点C 重合）．连接AF 交CD 于点G ．（1）如图一，当点G 为CD 的中点时，求证：ADG FCG ≅△△．（2）如图二，过点C 作CE AF ⊥，垂足为E ．连接BE ，设BF x =，CE y =．求y 关于x 的函数关系式．（3）如图三，在（2）的条件下，过点B 作BM BE ⊥，交FA 的延长线于点M ．当1CF =时，求线段BM 的长．27.如图，MN 为⊙O 的直径，且15MN =，MC 与ND 为圆内的一组平行弦，弦AB 交MC 于点H ．点A 在¼MC上，点B 在»NC上，90OND AHM ∠+∠=︒．（1）求证：MH CH AH BH ⋅=⋅．（2）求证： AC BC=．（3）在⊙O 中，沿弦ND 所在的直线作劣弧 ND 的轴对称图形，使其交直径MN 于点G ．若3sin 5CMN ∠=，求NG 的长．28.如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A -，(2,0)B -，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．（1）求抛物线和一次函数的解析式．（2）点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．（3）将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？二〇二三年绥化市初中毕业学业考试数学试卷一、单选题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．2.计算052-+的结果是（）A.3-B.7C.4-D.6【答案】D【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：052-+516=+=，故选：D．【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的关键．3.如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据左视图的意义判断即可．【详解】根据题意，该几何体的左视图为：，故选B ．【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键．4.纳米是非常小的长度单位，1nm 0.000000001m =，把0.000000001用科学记数法表示为（）A.9110-⨯B.8110-⨯ C.8110⨯ D.9110⨯【答案】A【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为整数．【详解】解：90.000000001110-=⨯．故选：A ．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a 与n 的值是解题的关键．5.下列计算中，结果正确的是（）A.333()pq p q -=B.3228x x x x x ⋅+⋅=C.5=± D.()326a a =【答案】D【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．【详解】解：A.333()pq p q =--，故该选项不正确，不符合题意；B.43222x x x x x ⋅+⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C.5=，故该选项不正确，不符合题意；D.()326a a =，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，125∠=︒，230∠=︒，则3∠的度数为（）A.55︒B.65︒C.70︒D.75︒【答案】C【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．【详解】解：依题意，190345∠+︒=∠+︒，∵125∠=︒，∴370∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．7.下列命题中叙述正确的是（）A.若方差22s s >乙甲，则甲组数据的波动较小B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【答案】D【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.若方差22s s >乙甲，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；C.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（）组别参赛者成绩A 7080x ≤<B 8090x ≤<C 90100x ≤<D 100110x ≤<E110120x ≤<A.该组数据的样本容量是50人B.该组数据的中位数落在90~100这一组C.90~100这组数据的组中值是96D.110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51︒【答案】B【分析】根据C 组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得8090x ≤<的人数为15，进而根据中位数的定义，即可判断B 选项，根据组中值为901002+=95，即可判断C 选项，根据110~120的占比乘以360︒，即可判断D 选项．【详解】解：A 、该组数据的样本容量是1224%50÷=，故该选项不正确，不符合题意；B 、8090x ≤<的人数为：5041212715----=，41525+<，4151225++>，该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；C 、90~100这组数据的组中值是95，故该选项不正确，不符合题意；D 、110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为736050.450⨯︒=︒，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键．9.在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，点D 在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数ky x=（0x >）的图像经过点B ，D ，则k 的值是（）A.1B.2C.3D.32【答案】C【分析】设()3,B m ，则()()3,2,1,2C m D m ++根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．【详解】设()3,B m ，∵点B ，C 的横坐标都是3，2BC =，AC 平行于x 轴，点D 在AC 上，且其横坐标为1，∴()()3,2,1,2C m D m ++，∴32m m =+，解得1m =，∴()3,1B ，∴313k =⨯=，故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键．10.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程，正确的是（）A.11142x += B.11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C.1111142x⎛⎫++= ⎪⎝⎭ D.11111442x⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x 天，由题意列方程11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．11.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，根据已知条件得出ABD △是等边三角形，进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒，当04t <<时，M 在AB 上，当48t ≤<时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，当04t <<时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，BE ==∵2,AM x AN x ==，∴2AM ABAN AE==，又A A ∠=∠∴AMN ABE ∽∴90ANM AEB ∠=∠=︒∴MN ==，∴2122y x x ==当48t ≤<时，M 在BC 上，∴1122y AN BE x =⨯=⨯=，综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当48t ≤<时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．12.如图，在正方形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分BFG ∠交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为（）①2AB BF AE =⋅；②:2:3BGF BAF S S =△△；③当AB a =时，22BD BD HD a -⋅=A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】D【分析】①根据题意可得90ABF BAF DAE ∠=︒-∠=∠，则cos cos ABF EAD ∠=∠，即BF ADAB AE=，又AB AD =,即可判断①；②设正方形的边长为a ，根据勾股定理求得AF ，证明GAB GED ∽，根据相似三角形的性质求得GE ，进而求得FG ，即可判断②；过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N ，根据②的结论求得BH ，勾股定理求得BD ，即可判断③．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ADE ∠=∠=︒，AB AD =∵BF AE⊥∴90ABF BAF DAE ∠=︒-∠=∠∴cos cos ABF EAD ∠=∠即BF ADAB AE=，又AB AD =,∴2AB BF AE =⋅，故①正确；设正方形的边长为a ，∵点E 为边CD 的中点，∴2a DE =,∴1tan tans 2ABF EAD ∠=∠=,在Rt ABE △中，AB a ===，∴5AF a =在Rt ADE △中，2AE ==∴55352510EF AE AF a =-=-=，∵AB DE ∥∴GAB GED ∽∴2AG ABGE DE==∴136GE AE a ==∴25615FG AE AF GE a a a a =--=--=∴322515AF FG ==∴:2:3BGF BAF S S =△△，故②正确；∵AB a =，∴22222BD AB AD a =+=,如图所示，过点H 分别作,BF AE 的垂线，垂足分别为,M N，又∵BF AE ⊥，∴四边形FMHN 是矩形，∵FH 是BFG ∠的角平分线，∴HM HN =，∴四边形FMHN 是正方形，∴FN HM HN ==∵25252,515BF AF a FG a ===∴13MH FG BM BF ==设MH b =，则34BF BM FM BM MH b b b =+=+=+=在Rt BMH中，BH ==，∵5BF a =∴45a b =解得：10b a =∴52102BH a a ==，∴222222B a D BD HD a a =--⋅⨯=，故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题13.因式分解：2x xy xz yz +--=_______．【答案】()()x y x z +-【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：2x xy xz yz +--=()()()()x x y z x y x y x z +-+=+-，故答案为：()()x y x z +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．14.若式子5x x有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】5x ≥-且0x ≠##0x ≠且5x ≥-【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子5x x有意义，∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥-且0x ≠，故答案为：5x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是_________．【答案】12##0.5【分析】根据题意列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，1234111 1=1213142221=212=232142=333 1=3 2313=344441=42 2=43414=共有16种等可能结果，符合题意的有8种，∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是81162=，故答案为：12．【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．16.已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．【答案】23-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出121246x x x x +==-，，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+，即2460x x --=，的两根为1x 与2x ，∴121246x x x x +==-，，∴1211+x x 12124263x x x x +===--，故答案为：23-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17.化简：2222142442x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______．【答案】12x -##12x-+【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯--()()2222442x x x x x x x x ---+=⨯--12x =-；故答案为：12x -．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．18.如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）【答案】22π3cm 3⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】根据折叠的性质得出AOC 是等边三角形，则60AOC ∠=︒，1OD CD ==，根据阴影部分面积AOC AOC S S =- 扇形即可求解．【详解】解：如图所示，连接,OA OC ，设,AB CO 交于点D∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC AO =，OC AB ⊥又OA OC =∴OA OC AC ==，∴AOC 是等边三角形，∴60AOC ∠=︒，1OD CD ==，∴AD ==,∴阴影部分面积)226012π22πcm 36023AOC AOC S S =-=⨯-⨯= 扇形故答案为：22πcm 3⎛-⎝．19.如图，在平面直角坐标系中，ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，已知点(2,0)A ，点(,)C a b ，90C ∠=︒．则点C '的坐标为_______．（结果用含a ，b 的式子表示）【答案】(62,2)a b --【分析】过点,C C '分别作x 轴的垂线,CD C D ''垂足分别为,D D '，根据题意得出2AD AD '=，则2,AD a CD b =-=，得出()224,0D a '-+，即可求解．【详解】解：如图所示，过点,C C '分别作x 轴的垂线,CD C D ''垂足分别为,D D '，∵ABC 与AB C ''△的相似比为12∶，点A 是位似中心，(2,0)A ∴2AD AD '=∵(,)C a b ，∴2,AD a CD b =-=,∴24,2A D a C D b '''=-=，∴()224,0D a '-+∴C '(62,2)a b --故答案为：(62,2)a b --．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．20.如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF 周长的最小值是______．【答案】3+3+【分析】根据题意，证明CBE CAF ≌，进而得出F 点在射线AF 上运动，作点C 关于AF 的对称点C '，连接DC '，设CC '交AF 于点O ，则=90AOC ∠︒，则当,,D F C '三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ''''+=+=，进而求得C D '，即可求解．【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC ∠=∠=︒∵将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ．ABC 是边长为6的等边三角形，∴,60,CE CF ECF BCA BC AC=∠=∠=︒=∴CBE CAF≌∴30CAF CBE ∠=∠=︒，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C '，连接DC '，设CC '交AF 于点O ，则=90AOC ∠︒在Rt AOC 中，30CAO ∠=︒，则132CO AC ==，则当,,D F C '三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ''''+=+=∵6CC AC '==，ACO C CD '∠=∠，CO CD=∴ACO C CD' ≌∴90C DC AOC '∠=∠=︒在C DC ' 中，C D '==,∴CDF 周长的最小值为3CD FC CD CD DC '++=+=+故答案为：3+【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．21.在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= _______．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -##22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．22.已知等腰ABC ，120A ∠=︒，2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒，得到A BC ''△，延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______．【答案】44+-【分析】根据题意，先求得BC =，当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E ，当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒，过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F ，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AM BC ⊥于点M ，∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∴112AM AB ==，BM CM ===∴BC =，如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E ，∵120BAC ∠=︒，∴60DA B '∠=︒，30A EB '∠=︒，在Rt A BE ' 中，24A E A B ''==，BE ==∵等腰ABC ，120BAC ∠=︒，2AB =．∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∵ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒，∴45ABA '∠=︒，∴180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒在A BD ' 中，1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒,∴D EBD ∠=∠，∴EB ED ==∴4A D A E DE ''=+=+如图所示，当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒，过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F ，在BFD △中，45BDF CBC ∠'=∠=︒，∴DF BF=在Rt DC F ' 中，30C '∠=︒∴3'3DF FC =∴33BC BF BF =+=∴33DF BF ==∴2623DC DF '==-∴63243A D C D A C ''''=-=-=-，综上所述，A D '的长度为423-或43+，故答案为：423-或43+．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题23.已知：点P 是O 外一点．（1）尺规作图：如图，过点P 作出O 的两条切线PE ，PF ，切点分别为点E 、点F ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒．求EDF ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）75EDF ∠=︒或105︒【分析】（1）①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画圆，两圆交于点,M N 两点，作直线MN交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，（2）根据切线的性质得出90PEO PFO ∠=∠=︒，根据四边形内角和得出150EOF ∠=︒，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【小问1详解】解：如图所示，①连接PO ，分别以点,P O 为圆心，大于12PO 的长为半径画弧，两弧交于点,M N 两点，作直线MN 交OP 于点A ，②以点A 为圆心，OA 为半径画圆，与O 交于,E F 两点，作直线,PE PF ，则直线,PE PF 即为所求；【小问2详解】如图所示，点D 在O 上（点D 不与E ，F 两点重合），且30EPF ∠=︒，∵,PE PF 是O 的切线，∴90PEO PFO ∠=∠=︒，∴360909030150EOF ∠=︒-︒-︒-︒=︒，当点D 在优弧 EF 上时，1752EDF EOF ∠=∠=︒，当点D 在劣弧 EF上时，18075105EDF ∠=︒-︒=︒，∴75EDF ∠=︒或105︒．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．24.如图，直线MN 和EF 为河的两岸，且MN EF ∥，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE 的B 点测得30CBE ∠=︒，从B 点沿河岸FE 的方向走40米到达D 点，测得45CDE ∠=︒．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D 点继续沿DE 的方向走312)+米到达P 点．求tan CPE ∠的值．【答案】（1）河两岸之间的距离是20320米（2）5tan 2CPE ∠=【分析】（1）过点C 作CM EF ⊥于点M ，设CM a =米，在Rt MCB △中，3MB a =，在Rt MCD △中，MD MC a ==，根据40BD =，建立方程，解方程即可求解；（2）根据题意求得MP 的长，进而根据正切的定义，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点C 作CM EF ⊥于点M ，设CM a =米，∵30CBE ∠=︒∴3tan tan 303CM CBM PB ∠==︒=，∴3MB a =，在Rt MCD △中，tan tan 451CM CDM MD∠==︒=，∴MD MC a ==∴340BD MB MD a a =-=-=解得：320a =答：河两岸之间的距离是20320米；【小问2详解】解：如图所示，依题意，40(12312)523PB BD DP =+=+=+，∴((32035212383MP MB PB =-=++=+在Rt CMP △中，2035tan 2883CM CPM MP ∠===+，∴5tan 2CPE ∠=．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A 、B 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A 型车每辆租金500元，B 型车每辆租金600元．若5辆A 型和2辆B 型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4辆B 型车坐满后共载客340人．（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A 型和B 型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A 、B 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t 为何值时两车相距25千米．【答案】（1）每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人（2）共有4种租车方案，租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱（3）在甲乙两车第一次相遇后，当3t =小时或113小时时，两车相距25千米【分析】（1）设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出m 的值，设总租金为w 元，根据一次函数的性质即可求解；（3）设s kt =甲，1s k t b =+乙，由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．求出函数解析式，进而即可求解．【小问1详解】解：设每辆A 型车、B 型车坐满后各载客x 人、y 人，由题意得5231034340x y x y +=⎧⎨+=⎩解得4055x y =⎧⎨=⎩答：每辆A 型车、B 型车坐满后各载客40人、55人．【小问2详解】设租用A 型车m 辆，则租用B 型车(10)m -辆，由题意得()()500600105500405510420m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩解得：2583m ≤≤m 取正整数，∴5m =，6，7，8∴共有4种租车方案设总租金为w 元，则500600(10)1006000w m m m =+-=-+ 1000-<w ∴随着m 的增大而减小∴8m =时，w 最小∴租8辆A 型车，2辆B 型车最省钱．【小问3详解】设s kt =甲，1s k t b =+乙．由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．∴75s t =甲，10050s t =-乙25s s -=乙甲，即100507525t t --=解得3t =。

2024年河北省中考数学真题卷含答案解析

2024年河北省中考数学真题卷含答案解析

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）A. B. C.D.2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.3. 如图，与交于点O ，和关于直线对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A.B. C.D.4. 下列数中，能使不等式成立的x 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）A. 角平分线B. 高线C. 中位线D. 中线6. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）A. B. C. D.7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A若，则 B. 若，则C. 若x减小，则y也减小D. 若x减小一半，则y增大一倍8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A. B. C. D.9. 淇淇在计算正数a平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（）A. 1B.C.D. 1或10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．证明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四边形是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，11. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（）A. B. C. D.12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D13. 已知A为整式，若计算的结果为，则（）A. xB. yC.D.14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（）A. B. C. D.15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A. “20”左边的数是16B. “20”右边的“□”表示5C. 运算结果小于6000D. 运算结果可以表示为16. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（）A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．18. 已知a，b，n均为正整数．（1）若，则______；（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．19. 如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为______；（2）的面积为______．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D ，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求的大小及的值；（2）求的长及的值．23. 情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．24. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x （分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当时，；当时，．（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．25. 已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；（3）设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．26. 如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t 为常数，且），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点．请选择其中一人说法进行说理．（3）当时，①求直线PQ的解析式；②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．（4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为得到，，∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A．2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．3. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，∴，∴B、C、D选项不符合题意，故选：A．4. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．【详解】解：∵，∴．∴符合题意的是A故选A．5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（）A. 角平分线B. 高线C. 中位线D. 中线【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B6. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、．故选：D．7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若x减小，则y也减小D. 若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴，∴，当时，，故A不符合题意；当时，，故B不符合题意；∵，，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A．9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（）A. 1B.C.D. 1或【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．证明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四边形是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【详解】证明：∵，∴．∵，，，∴①．又∵，，∴（②）．∴．∴四边形是平行四边形．故选：D．11. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．【详解】解：正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，∴，∴，∵，∴，故选：B．12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】B【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．【详解】解：设，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．13. 已知A为整式，若计算的结果为，则（）A. xB. yC.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．由题意得，对进行通分化简即可．【详解】解：∵的结果为，∴，∴，∴，故选：A．14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，，∴，∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，∴，∴，∴是的正比例函数，∵，∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C．15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A. “20”左边的数是16B. “20”右边的“□”表示5C. 运算结果小于6000D. 运算结果可以表示为【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：则由题意得：，∴，即，∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；当时，则，如图：，∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴上面的数应为，如图：∴运算结果可以表示为：，∴D选项符合题意，当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D．16. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．【答案】89【解析】【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．根据众数的定义求解即可判断．【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，89出现的次数最多，以上数据的众数为89．故答案为：89．18. 已知a，b，n均为正整数．（1）若，则______；（2）若，则满足条件a的个数总比b的个数少______个．【答案】①. ②.【解析】【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；（1）由即可得到答案；（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．【详解】解：（1）∵，而，∴；故答案为：；（2）∵a，b，n均为正整数．∴，，为连续的三个自然数，而，∴，，观察，，，，，，，，，，，而，，，，，∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），故答案为：．19. 如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为______；（2）的面积为______．【答案】①. ②.【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．【详解】解：（1）连接、、、、，∵的面积为，为边上的中线，∴，∵点，，，是线段的五等分点，∴，∵点，，是线段的四等分点，∴，∵点是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面积为，故答案为：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三点共线，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D ，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．【小问1详解】解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，∴，，，∴；【小问2详解】解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，∴，∴，解得：；21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．【答案】（1）（2）填表见解析，【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可；（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：当时，，，，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；【小问2详解】解：补全表格如下：∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，∴和为单项式的概率为．【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求的大小及的值；（2）求的长及的值．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；【小问2详解】解：∵，，∴，如图，过作于，∵，设，则，∴，解得：，∴，∴．23. 情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．【答案】（1）；（2），；的长为或．【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，。

初中毕业考试试题(数学)及答案

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初中毕业考试试题及答案数 学（全卷共6页，共五个大题，26个小题，满分100分，时间90分钟）题号 一 二三 四 五 总分总分人19 20 21 2223 24 25 26 得分一、 填空题：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）把答案直接填写在题中横线上．1、计算： －3＋|－1| ＝________2、已知点P （－2，3），则点P 关于x 轴对称的点坐标是（ ）3、据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18200000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为 千瓦4、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的 箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要____________________ （单位：mm ）(用含x 、y 、z 的代数式表示)5、方程 x 2 = x 的解是______________________6、圆内接四边形ABCD 的内角∠A:∠B:∠C=2：3：4，则∠D ＝________°7、已知一个梯形的面积为222cm ，高为2 cm ，则该梯形的中位线的长等于________cm8、 如图，在⊙O 中，若已知∠BAC=48º,则∠BOC=_________º9、若圆的一条弦长为 6 cm ，其弦心距等于 4 cm ，则该圆的半径等 于________ cm ．10、函数b ax y +=的图像如图所示，则y 随 x 的增大而 11、万州区某学校四个绿化小组，在植树节这天种下白杨树的棵数如 下：10，10，x ，8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是 ．12、如图，AD 、AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请写出两个正确的结得分 评卷人论：（1） __________________； （2） ______________。

（只写出两个你认为正确的结论即可）二、选择题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13、下列式子中正确的是（ ）A 632a a a =⋅ B 633)(x x =C 933=D bc c b 933=⋅14、如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）A AB ∥CD B AD ∥BCC ∠B=∠DD ∠3=∠415、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）A (a+ab)(a －ab)B a (a 2－b 2)C a(a+b)(a －b)D a(a －b)216、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）A 正三角形B 正五边形C 等腰梯形D 菱形 17、在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A x ≥2 B x>2 C x ≤2 D x<218、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示 水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图像是( ).得分评卷人三、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤.19、（本题满分8分）计算：－22+ (12－1)0 + 2sin30º20、（本题满分8分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x 221132，并把解集在数轴上表示出来。

初中毕业升学考试数学试卷(WORD版)及答案09

初中毕业升学考试数学试卷(WORD版)及答案09

初中毕业、升学考试数学试题一、选择题(本大题共有8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1．-3的绝对值是A ．3B ．-3C ．31D ．-31 2．5月31日，参观上海世博会的游客约为505 000人．505 000用科学记数法表示为 A ．505×310 B ．5．05×310 C ．5．05×410 D ．5．05×5103．下列计算正确的是A ．624a a a =+B ．2a ·4a =8aC ．325a a a =÷D ．532)(a a =4．下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是5．为了解我市市区及周边近170万人的出行情况，科学规划轨道交通，2010年5月，400名调查者走入1万户家庭，发放3万份问卷，进行调查登记．该调查中的样本容量是A ．170万B ．400C ．1万D ．3万6．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体是A ．棱柱B ．正方体C ．圆柱D ．圆锥7．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是A ．点MB ．格点NC ．格点PD ．格点Q8．平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9．写出1个比一1小的实数_______．10．计算(a-3)2的结果为_______．11．若α∠=36°，则∠α的余角为______度．D C BA12．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_______．13．函数y=11-x 中自变量x 的取值范围是________． 14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≤-.12,32x x 的解集是_______． 15．如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)_____P(4)(填“>”、“=”或“<”)．16．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆的半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，则弦AB 的长为_______cm ．17．如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为________．18.用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．三、解答题(本大题共有10小题，共74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(本题6分)计算： 、 (1)921201010+--）（； (2)xx x x x 4)41642-÷+-+（ 20.(本题6分)2010年4月，国务院出台“房贷新政”，确定实行更为严格的差别化住房信贷政策，对楼市产生了较大的影响．下面是某市今年2月～5月商品住宅的月成交量统计图(不完整)，请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1)该市今年2月～5月共成交商品住宅______套；(2)请你补全条形统计图；(3)该市这4个月商品住宅的月成交量的极差是____套，中位数是_______套．2l·(本题6分)甲、乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，游戏规则为：双方都做出“石头”、“剪子”、 “布”三种手势(如图)中的一种，规定“石头”胜“剪子”， “剪子”胜“布”， “布”胜“石头”，手势 相同，不分胜负.若甲、乙两人都随意做出三种手势中的一种，则两人一次性分出胜负的概率是多少?请用列表或画树状图的方法加以说明.22．(本题6分)在5月举行的“爱心捐款”活动中，某校九(1)班共捐款300元，九(2)班共捐款225元，已知九(1)班的人均捐款额是九(2)班的1．2倍，且九(1)班人数比九(2)班多5人．问两班各有多少人?23．(本题8分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上， CE ∥BF ，连接BE 、CF ．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．24．(本题8分)如图，小明在楼上点A 处观察旗杆BC ，测得旗杆顶部B 的仰角为30°，测得旗杆底部C 的俯角为60°，已知点A 距地面的高AD 为12m ．求旗杆的高度．25．(本题8分)如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)求△AOC 的面积；(3)求不等式kx+b-xm <0的解集(直接写出答案)．26．(本题8分)如图①，梯形ABCD 中，∠C=90°．动点E 、F 同时从点B 出发，点E 沿折线 BA —AD —DC 运动到点C 时停止运动，点F 沿BC 运动到点C 时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s ．设E 、F 出发t s 时，△EBF 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：(1)梯形上底的长AD=_____cm ，梯形ABCD 的面积_____cm 2；(2)当点E 在BA 、DC 上运动时，分别求出y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)；(3)当t 为何值时，△EBF 与梯形ABCD 的面积之比为1：2.27．(本题8分)如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点 M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ， 连接EP ．(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM 的周长=_____cm ；②求证：EP=AE+DP ；(2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合)，△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由．28．(本题10分)如图，已知二次函数y=423412++-x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴 交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ；(2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个?。

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韶关市高中阶段学校招生考试数学试卷说明：1．全卷共4页，分为选择题和非选择题两部分，考试时间为90分钟，满分为120分． 2．考生答题必须全部在答题卡上作答，写在试卷上的答案无效．3．答卷前考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号按要求写、涂在答题卡指定位置上，用2B 铅笔将试室号、座位号填涂在答题卡指定位置上．4．做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．做非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求将答案写在答题卡指定位置上，不能用铅笔、圆珠笔或红笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用涂改液和涂改带． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个答案，其中只有一个正确）1．点()53P -，关于原点对称的点的坐标是（ ） Ａ．()53-，Ｂ．()53--，Ｃ．()35-，Ｄ．()35-，2．据统计，今年“五一”黄金周来韶关旅游的游客人数为476000 人．用科学记数法表示游客人数，正确的是（ ） Ａ．347610⨯Ｂ．447.610⨯Ｃ．54.7610⨯Ｄ．60.47610⨯3．下列计算正确的是（ ） Ａ．326a a a =Ｂ．()236aa -= Ｃ．2a a =Ｄ．22a b a b -=-4．已知函数y mx =与ny x =在同一直角坐标系中的图象大致如图，则下列结论正确的是（ ）Ａ．0m >，0n > Ｂ．0m >，0n <Ｃ．0m <，0n > Ｄ．0m <，0n < 5．已知O 的半径为5cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为5.5cm ，那么直线l 和O 的位置关系是（ ） Ａ．相交 Ｂ．相切 Ｃ．相离 Ｄ．相交或相离6．设1x ，2x 是方程210x x --=的两根，则2212x x +=（ ）Ａ．3- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．37．如右图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最第4题图小值为（ ） Ａ．2 Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．58．已知ABC △中，90C =∠，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，且3c =，1b =，则sin A =（ ）Ａ．63Ｂ．33Ｃ．22Ｄ．29．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） Ａ．()2218y x =++Ｂ．()21818y x =+- Ｃ．()22189y x =-+Ｄ．()2218y x =--10．如右图，已知ABC △的周长为1，连结ABC △三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，则第10个三角形的周长为（ ） Ａ．19Ｂ．110Ｃ．912⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：()021122006π33-+---=__________．12．对甲、乙两台机床生产的同一种型号的零件进行抽样检测（零件个数相同），其平均数、方差的计算结果是：机床甲：15x =甲，20.03s =甲；机床乙：15x =乙，20.06s =乙．由此可知：__________（填甲或乙）机床性能较好． 13．用换元法解方程215122x x x x -++=+-，如果设21x y x -=+，那么原方程化为关于y 的整式方程是__________．第7题图第9题图ABC第10题图14．如右图，A ，B ，C ，D 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留π）15．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）三、解答题（本大题共5小题，其中第16，17小题各6分，第18，19，20小题各7分，共33分）16．先化简，再求值：222121111x x x x x ++----，其中31x =+．17．解不等式组20145x x x -⎧⎪+⎨<⎪⎩≤，并把解集在数轴上表示出来．18．尺规作图：已知直线l 和l 外一点A ，求作A ，使A 与直线l 相切．（保留作图痕迹，不必写作法和证明）19．希望中学在今年的校园科技文化节中举行了初三年级数学竞赛，李老师将参赛学生的成第14题图绩（得分均为整数，满分为100分）进行整理后分成五组，绘制了右边的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第二、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.40，0.10，0.05，第三小组的频数为15．请你帮助李老师完成下列问题： （1）求第三小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）参赛学生成绩的中位数落在第几小组内？（3）若成绩在80分以上（不含80分）的学生就能获得一等奖，求这次比赛中获得一等奖的学生人数．20．如图，某人从楼顶A 看地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是60和45．已知10m CD =，B ，C ，D 在同一直线上，求楼高AB ．（精确到0.1m ，参考数据：2 1.414=，3 1.732=）四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．已知某种型号的摩托车油箱中的剩余油量Q （升）是它行驶的时间t （小时）的一次函数．某天老李骑该种摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油8升，行驶了1小时后，他发现已耗油1.25升．（1）求油箱中的剩余油量Q （升）与行驶的时间t （小时）的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 分数频率 组距（2）在给定的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）从开始行驶算起，如果摩托车以每小时50千米的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为5.5升时，该摩托车行驶了多少千米？22．如图，在ABC △中，60C =∠，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知O 的半径为23．（1）求证：CDE CBA △∽△； （2）求DE 的长．23．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a 元，则可卖出()32010a -件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？（每件商品的利润＝售价-进货价）2 4 6 8 2468（升） （小时）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）24．如图，在ABC △中，AB AC ≠，BAC ∠的外角平分线交直线BC 于D ，过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥分别交直线AB ，AC 于E ，F ，连结EF ． （1）求证：EF AD ⊥；（2）若DE AC ∥，且1DE =，求AD 的长．25．如图，在ABC △中，AB AC =，E 是高AD 上的动点，F 是点D 关于点E 的对称点（点F 在高AD 上，且不与A ，D 重合）．过点F 作BC 的平行线与AB 交于G ，与AC 交于H ，连结GE 并延长交BC 于点I ，连结HE 并延长交BC 于点J ，连结GJ ，HI ． （1）求证：四边形GHIJ 是矩形；（2）若10BC =，6AD =，设DE x =，GHIJ S y =矩形． ①求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②点E 在何处时，矩形GHIJ 的面积与AGH △的面积相等？韶关市2006年高中阶段学校招生考试数学参考答案与评分标准一、选择题：Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 二、填空题：11．14 12．甲13．22520y y -+=（或2512y y +=或25102y y -+=） 14．π15．开放题，答案不唯一：填小于或等于8的实数都正确三、解答题：16．原式()()()21211111x x x x x +=--+-- ····················································· 2分 ()()2221221111x x x x x x +---=-=--- ······························································· 3分 ()231x x -=- ····························································································· 4分当31x =+时，原式323-=································································· 6分 17．由20x -≤，得2x ≥ ······································································ 2分由145x x +<，得4x <． ·········································································· 4分 所以原不等式组的解集是：24x <≤． ······················································ 5分该解集在数轴上表示为：··························································· 6分 18．评分要点：（1）以点A 为圆心，任意长为半径作弧， 交直线l 于B ，C 两点； ·························· 2分 （2）分别以点B ，C 为圆心，大于12BC ·· 4分 （3）作直线AD ，交直线l 于点E ；·········· 5分 （4）以点A 为圆心，AE 长为半径作圆． ···················································· 7分 19．（1）10.300.400.100.050.15----=； ············································· 1分 补全频率分布直方图（见下图） ································································· 2分 （2）第二小组． ····················································································· 4分 （3）15人． ·························································································· 7分20．依题意：30CAB =∠，45DAB =∠，45ADB =∠， ························· 1分 在Rt ABD △中，45DAB =∠，BD AB ∴=． ······································· 2分 在Rt ABC △中，30CAB =∠，3tan 303BC AB AB ∴==． ··············· 4分 3103AB AB ∴+=． ············································································· 5分 ()10353323.731AB ∴==+≈-． ·························································· 6分 答：楼高AB 约是23.7m ． ······································································· 7分 四、解答题：21．设这个一次函数的解析式是Q kt b =+ ··················································· 1分 依题意，它的图象经过点()08，，()16.75，86.75bk b =⎧∴⎨=+⎩······················································································ 3分 解得： 1.258k b =-⎧⎨=⎩ 1.258Q t ∴=-+ ··························································· 4分 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 分数频率 组距由 1.2580t -+=，得 6.4t =t ∴的取值范围是：0 6.4t ≤≤．······························································ 5分 （2）作出一次函数的图象（如下图） ·························································· 7分 （3）由5.5 1.258t =-+得2t =． 250100s t v ==⨯=所以，摩托车行驶了100千米． ·································································· 8分22．（1）证明：四边形ABED 为O 的内接四边形， CED A ∴=∠∠（或CDE B =∠∠） ························································ 2分 又C C =∠∠， ······················································································ 3分CDE CBA ∴△∽△． ·············································································· 4分 （2）解法1：连结AE ． 由（1）得DE CEBA CA=， ··························· 5分 AB 为O 的直径， 90AEB AEC ∴==∠∠． ····················· 6分在Rt AEC △中，60C =∠，30CAE ∴=∠． ··················································································· 7分12DE CE BA CA ∴==，即23DE =． ···························································· 8分 （说明：若连结BD 后正确求得DE 长，可参照解法1给分） 解法2：连结DO ，EO ．AO DO OE OB ===A ODA ∴=∠∠，B OEB =∠∠ ······························································· 5分 四边形ABED 为O 的内接四边形A CED ∴=∠∠，B CDE =∠∠， 而120CDE CED +=∠∠，360A B ADE DEB +++=∠∠∠∠，24 6 82 4 6 8 （升） （小时）120ODE OED ∴+=∠∠ ······································································· 7分 则60DOE =∠，ODE ∴△为等边三角形23DE OB ∴== ·················································································· 8分23．解法1：设每件商品的售价定为x 元， ··················································· 1分 则()()1832010400x x --= ···································································· 3分 整理得2506160x x -+= ········································································· 4分122x ∴=，228x =． ············································································· 5分()18125%22.5+=，而2822.5>，22x ∴=．········································ 6分 卖出商品的件数为3201022100-⨯=． ······················································ 7分答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件． ························· 8分 （说明：若直接建立关于a 的方程且求解正确，则不扣分） 解法2：设售价为x 元，卖出件数为y 件，则 ················································ 1分()32010(1)18400(2)y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩············································································· 3分 （1）代入（2）并整理得：2506160x x -+=． ··········································· 4分 下同解法1． 五、解答题： 24．（1）AD 是EAF ∠的平分线， EAD DAF ∴=∠∠．DE AE ⊥，DF AF ⊥，90DEA DFA ∴==∠∠．又AD AD =，DEA DFA ∴△≌△． ····························· 2分 EA FA ∴=． ························································································· 3分 方法1：又AG AG =，EAG FAG ∴△≌△．EGA FGA ∴=∠∠． ·············································································· 4分 又E ，G ，F 三点在同一条直线上，EF AD ∴⊥． ····································· 5分 方法2：EA FA ∴=，ED FD =，AD ∴是EF 的垂直平分线． 即AD EF ⊥． ······················································································· 5分 （2）DE AC ∥，90DEA FAE ∴==∠∠． ······································································ 6分又90DFA =∠，∴四边形EAFD 是矩形． ················································· 7分第11页 共11页 由（1）得EA FA =，∴四边形EAFD 是正方形． ········································· 8分1DE =，2AD ∴=． ········································································ 9分 25．（1）F ，E 关于点D 对称FE ED ∴= ··························································································· 1分 又GH BC ∥，FGE EID ∴=∠∠，而GEF DEI =∠∠，GEF IED ∴△≌△，GE EI ∴= ··········································· 2分 同理可证EH JE = ································· 3分∴四边形GHIJ 是平行四边形 ··················· 4分AB AC =，GH BC ∥，AD BC ⊥， AF ∴垂直平分GHEF HI ∴∥（三角形中位线定理）， HI GH ∴⊥，四边形GHIJ 是矩形． ········ 5分 （2）①由（1）得，22DF ED x ==，GH BC ∥，AGH ABC ∴△∽△，AF GH AD BC∴=． 62610x GH -∴=．即()510621033GH x x =-=-． 210202102033GHIJ S HI GH x x x x ⎛⎫∴==-=-+ ⎪⎝⎭矩形． ······························ 6分 620AF x =->，3x ∴<．03x ∴<<． ························································································· 7分 ②解法1：()11106210223AGH S AF GH x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭△ 102103GHIJ S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭矩形 依题意，得：()110106*********x x x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·································· 8分 解得：11x =，23x =（3x <，舍去），即：当点E 与点D 的距离为1时，四边形GHIJ 的面积与AGH △的面积相等． ································································· 9分 解法2：要使矩形GHIJ 的面积等于AGH △的面积，则需2AF DF =， ··········· 8分 即624x x -=，1x ∴=．∴当点E 与点D 的距离为1时，四边形GHIJ 的面积与AGH △的面积相等． ····· 9分。

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