2-1-1函数的概念及表示

{ 真题演练集训 }

1．[2015·全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

答案：C

解析：∵ －2<1，

∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.

∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.

∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.

2．[2015·浙江卷]存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )

A ．f (sin 2x )＝sin x

B ．f (sin 2x )＝x 2＋x

C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|

D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|

答案：D

解析：取特殊值法．

取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；

取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；

取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；

取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．

综上可知，故选D.

3．[2014·江西卷]已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．－1

答案：A

解析：由已知条件可知，f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.

4．[2014·上海卷]设f (x )＝⎩⎨⎧

(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小

值，则a 的取值范围为( )

A ．[－1,2]

B ．[－1,0]

C ．[1,2]

D ．[0,2]

答案：D

解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，

又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.

当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时，等号成立．

要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，

∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.

5．[2017·全国卷Ⅲ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，＋∞ 解析：当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>2x >2>1； 当0

⎪⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12>2x >1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝

⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1＝2x ＋32， ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12>1⇒2x ＋32>1⇒x >－14，即－14