2-1-1函数的概念及表示

{ 真题演练集训 }
1．[2015·全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案：C
解析：∵ －2<1，
∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.
∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.
∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.
2．[2015·浙江卷]存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )
A ．f (sin 2x )＝sin x
B ．f (sin 2x )＝x 2＋x
C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
答案：D
解析：取特殊值法．
取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；
取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；
取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；
取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．
综上可知，故选D.
3．[2014·江西卷]已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．－1
答案：A
解析：由已知条件可知，f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.
4．[2014·上海卷]设f (x )＝⎩⎨⎧
(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小
值，则a 的取值范围为( )
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
答案：D
解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，
又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.
当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时，等号成立．
要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，
∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.
5．[2017·全国卷Ⅲ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞ 解析：当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>2x >2>1； 当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12>2x >1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1＝2x ＋32， ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12>1⇒2x ＋32>1⇒x >－14，即－14<x ≤0. 综上，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.。