讲义-第二章《方程与不等式》

第二章 方程与不等式

★2.1一元二次方程

1. 定义：只含有1

个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

2. 整式 单项式：数或字母的乘积，如4，a ，

4a ，

23

aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ，a-5b

分式：形如a

a 的式子，且A ，B 为整式，B 中有字母。 √且√下含有字母的式子

3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法：

（1）配方法：二次项系数化为1⇨移向（把常数项移到方程右边）⇨配方（方程的两边各加上一次项系数

一半的平方），把方程化成（x+m ）2=n 的形式⇨用直接开平方的方法求解。

（2）求根公式法：a =−a ±√a 2−4aa

2a

注意条件△=b 2-4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根，△=b 2-4ac=0时，方程有2个相等的实数根，△=b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

（3）因式分解法或直接开平方法：适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。如：x 2=9x ，

4 x 2=5等

4. 注意：一元二次方程的实数根或者有2个，或者没有。例如x 2=2x ，不能把x 约去，否则

会丢根。

★2.2不等式

1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质：a-b ＞0⇔a ＞b a-b ＜0⇔a ＜b a-b=0⇔a=b

2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。

方法是：把要比较的两个实数（或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解，直到能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。

3.不等式的基本性质：

（1）a ＞b ⇔a+c ＞b+c （或a-c ＞b-c ） 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

（2）a ＞b ，c ＞0⇔ac ＞bc （或a a ＞a a

） 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

（3）a ＞b ，c ＜0⇔ac ＜bc （或a a ＜a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。4.5.

6.解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都可以满足。例如：x-3＜0或x+4≤0的解集是？

7.在解8.一元二次不等式（一般形式ax 2+bx+c ＞0或ax 2+bx+c ＞0，a ≠0）的解法：一元二次不等

式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组），从而求出解集。

当m ＞0时，X 2≤m 2⇔|x|≤m ，即-m ≤x ≤m

X 2≥m 2⇔|x|≥m ，即x ≥m 或x ≤-m

☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗？例题： 1.解不等式|2x-3|＜1

2.解不等式 |2x-3|＞1

3.解不等式组 2x-3＞1

2x-3＜-1

注：

不等式组的解集等于各不等式的解集的交集，因为解集需要同时满足不等式组的每一项。不等式的解集需要满足不等式的性质： |x|≤m，即-m≤x≤m（取交集）

|x|≥m，即x≥m或x≤-m（取并集）

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