不定积分技巧总结

→
∫
A cos2
x
dx
+
∫
d cos x cos2 x
dx
1.1.3、分母一次无常数，分子常数型
1
1
∫ Asin x + B cos x dx → ∫
dx
A2 + B2 sin(x + ϕ )
→
1 A2 +
B2
∫ csc(x + ϕ )dx
特别的，若分母带常数也可以用此方法化为 1.1.2 的形式，但是会
1
dx
。
另外，若分子为一次或三次的式子，直接凑微分就行了
∫
x x4 +
1
dx
=
1 2
∫
(x2
1
)2
+
1
d
(x2
)
Tip:分式函数的形式还有很多及其灵活方
法，难以一一列举，下面还有几个例子指出相
应代换，并计算出结果。想一想，为什么会（或
要）想到如此的代换，它们的作用各自是什
么？适用于什么类型？计算出结果，并加深映
象。
∫ dx ⎯⎯x2 =t⎯ant→ 1 ln 1 + x4 −1 + C
（1） x 1 + x4
2
x2
(2)
( ) ex 1 + ex dx ⎯e⎯x =s⎯int→ arcsin ex − 1 − e2x + C
∫ 1− e2x
(3)
∫ 1 1− x dx ⎯⎯x=c⎯ost→arccos x + ln x − ln(1+ 1− x2 ) + C
倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要），以便于积分。对
∫ 于 形 如
(x − d )n
1 ax 2
+
bx
+
dx c
的
积
分
，
可
作
倒
代
换
，
令
x
−
d
=
1 t
化简。
∫ ∫ 1
x−1= 1
⎯⎯⎯u →
−
1
2 −
(2u +1) 3 d (2u +1)
(x +1)2 (x − 2)4
2
2.3 有些时候，不要一看到就分项，多观察一下。
x)2
dx
→
a∫
A
cos x + B sin
x
dx
+
b∫
A
+
1 B sin
x
dx
其中，a
=
A2
B − B2
,b
=
A2
A − B2
左式凑微分，右式为 1.1.2 题型。
1.1.6 连续几个一次项相乘型。
∫ 如： sin x sin 3x sin 5xdx
用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。 三个积化和差积化和差公式：
a c
x
⎞ ⎟⎟⎠
【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】
[ ] ∫ sec3dx = 1 sec x tan x + ln sec x + tan x
另外，
2
最好也可以记下来，因为经常要用到，并且也不难记，括号里面是
sec x 的原函数和导数之和。
一、三角函数篇
原则是：尽量凑微分，避免万能代换。
1.1、 正余弦型
2x + 3
d (x2 + 3x −17)
就比如： ∫ x2 + 3x −17 dx = ∫ x2 + 3x −17
2.4 当分母为 x4 +1时，有如下几个结论：
( ) 1+ ∫ ∫ ∫ ( ) x4
x +
2
1
dx
→
1+ x−2 x2 + x−2
dx
→
d x − x−1 x − x−1 2 + 2
x−a b−x
2 arcsin x − a + C b−a
∫ dx
x −1= 1
⎯⎯⎯t → arcsin
x−2
+C
（7） (x −1) x2 − 2
2 x −1
(此题也可以用三角代换解决)
（8）
e3x + ex
ex + e−x
d (ex − e−x )
∫ ∫ ∫ e4x
−
e2x
dx +1
→
e2x
⎝
A+ A
1
tan
x
⎞ ⎟⎟ ⎠
+
C
1.1.2、分母一次带常数，分子常数型
∫
1 A + sin
x
dx
→
∫
A − sin x A2 − sin 2 x
dx
( ) ∫ ∫ →
A2
A − sin
2
x
dx
+
d cos x dx A2 −1 + cos2 x
特 别 的 ， 当 A =1 时 ， 原 式 就 可 化 为
A2 +1
A2 +1 A2 +1
1.2.3、有理代换
当被积函数满足 R(− sinθ ,− cosθ ) = −R(sinθ , cosθ ) 时，可
以用 t = tan x
二、分式函数篇
2.1、关于裂项（避免待定系数）
逐
项
裂
开
即
可
(x
−
A)(x
1 −
B)(x
−
C)
=
C
1 −
A
⎡
⎢ ⎣
(x
−
1 A)(x
1.1.7 有理代换
R(sinθ ,− cosθ ) = −R(sinθ , cosθ )或 当被积函数满足： R(- sinθ , cosθ ) = −R(sinθ , cosθ ) 时，
可以用 t = sinθ或t = cosθ 如：
∫1
dx ⎯t⎯=s⎯in x→
(5 + 4sin x) cos x
首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：
1
11
∫
ax 2
+
dx c
→
c
∫
a
x2
dx +1
→
c
1
ac ∫ ⎛
⎜⎜ ⎝
a c
1
2
⎞ x ⎟⎟
⎠
⎛ d ⎜⎜
⎝ +1
a c
x
⎞ ⎟⎟ ⎠
→
1 ac
⎛ arctan⎜⎜
⎝
a c
x
⎞ ⎟⎟ ⎠
∫即
1 ax 2 +
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx c
→
1 ac
arctan
⎛ ⎜⎜⎝
∫
(5
+
4t
dt
)(1+
t
)(1
−
t
)
⎯裂⎯⎯项→
∫
⎡ ⎢ ⎣
-16
9(5 + 4t
)
+
1
2(1 +
t
)
+
1
18(1 −
t
)⎥⎦⎤dt
1.1.8、其他灵活代换
就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如
1 sin 2 x cos 2 x 时，可以把分子变成 sin 2 x + cos 2 x 并拆开。
1.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型
∫ ∫ 1 A + sin2 x dx 或
cos2 x
A
+
sin
2
dx x
右式可通过变形，分离常数化为左式。而
∫
A
+
1 sin
2
x
dx
→
∫
sec2 x Asec2 x + tan 2
x
dx
→
∫
(A
d tan x
+ 1)tan 2 x
+
A
→
→
1
A(A
+
1)
⎛ arctan⎜⎜
(sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x ，
或
者
对
于
sin 4 x + cos4 x
，
有
1 = (sin 2 x + cos2 x)2 = sin 4 x + cos4 x + 2 sin 2 x cos2 x 。 等
等……
∫ sin x cos x dx
求解(1) sin x + cos x
e dx x
（
）代回到原式中去，简化计算量。
当 sin x和cos x 的次数之和为偶数时，又可以想到分子分母同除以
x cos n ，将分母化为正切，分子凑出 d tan x
如
∫
sin
x
1 cos3
dx x
→
∫
sec4 xdx tan x
→
∫
tan2 x + tan x
1d
tan
x
当 分 子 含 有 sin x cos x时 ， 也 可 以 想 到
复杂一点，此时可以考虑万能代换了。
1.1.4、分母一次无常数，分子一次型
∫
C sin A sin
x x
+ +
D B
cos cos
x x
dx
→
∫
k
(
A sin
x
+
B cos x)+
Asin x +
j ( A sin
B cos x
x
+
B
cos
x)'
dx
1.1.5、分母带常数括号平方，分子常数型
∫
(A
+
1 B sin
−
B)
−
(x
−
1 B)(x
⎤
−
C)
⎥ ⎦
若分母含有二次项则可以用如下方法：
( ) ( ) x2
+
1
A (x
+
B)
→
⎛ ⎜ ⎝
A
1 +
B
⎞ ⎟ ⎠
(x2
+
A) x2
− +
(x +
A (x
B)( x
+ B)
−
B)
( ) →
⎛ ⎜ ⎝
A
1 +
B
⎞⎡
⎟⎠⎢⎣ (x
1 +
B
)
−
x−B ⎤
x2
+
A
⎥ ⎦
2.2 关于倒代换
+
e−2x
dx −1
→
(ex − e−x )2 + 1
（9）
∫ ∫ ⎜⎛1+
x
+
1
⎟⎞e
x
+
1 x
dx
→
x+ 1
ex
+
(x −
1
)e
x
+
1 x
dx
⎝
x⎠
x
x+ 1
x+ 1
∫ → (xe x )'dx = xe x
∫ 还有，在求不定积分
xe x ex −
2
dx
时，令
t
=
ex − 2 时，
得到 e x = t 2 + 2 直接两端微分，就得到 e x dx = 2tdt 把整个
1.2.2、分母正切一次带常数型
∫ ∫ 1 dx ⎯令⎯t=⎯θ⎯−x→ −
1
dx
A + tan x
A + tanθ − tan t
1+ tanθ tan t
∫ 其中tanθ = 1
⎯⎯⎯⎯⎯A→ 得到 −
1+ tanθ tan t dx
A + tanθ
∫ ∫ → − A + tan t dx → − A − 1 tan tdt
sin α cos β = 1 [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
sin α sin β = 1 [cos(α − β )− cos(α − β )]
2
cosα cos β = 1 [cos(α − β )+ cos(α − β )]
2
方法：从右往左记，先想右边的展开式，约掉的约掉，剩下的就是 左边的式子了。
∫ cos4 x + sin 4 x dx
(2) cos2 x − sin 2 x
1.2、正切正割型
1.2.1、通常通过分子分母同乘上 cosn x 化为上
述正余弦型，不作详细介绍。
如
sec x
cos x
d sin x
∫ A tan2 x + B dx → ∫ Asin2 x + B cos2 x dx → ∫ ( A − B)sin2 x + B
x 1+ x
∫ (4)
1− ln x (x − ln x)2
x=1
⎯⎯t →
x
x − ln x
+C
(5)
∫ dx
⎯⎯x +⎯x+⎯1⎯=t →
1+ x + x +1
( ) x − 1 ln
x+
x +1 + x −
x(x +1)
+C
2
2
2
(6)
∫ ( )( ) dx
⎯x⎯−a=⎯(b−⎯a)si⎯n2 t，⎯b−⎯x=(b⎯−a)⎯co⎯s2 t →
=
1 2
⎛ arctan⎜⎜⎝
x
2 −1 2x
⎞ ⎟⎟⎠
+
C
x2 −1
1− x−2
( ) d x + x−1
∫ ∫ ∫ ( ) x4 +1 dx → x2 + x−2 dx → x + x−1 2 − 2
1 x2 − 2x +1
= ln
+C
2 2 x2 + 2x +1
∫ 请用上述结论求解
x
1 4+
不定积分技巧总结
作者:蔡浩然
题记：不定积分，是一元函数积分学的基础，题型极多，几乎是每
一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，
结果是一做题就凭感觉乱闯，运气好，有时可以闯出来，有很多时
候是闯不出来，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。为了在求
不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。