课时跟踪检测 (三十三) 三角函数的概念

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【2020】高中数学课时跟踪检测三三角函数的定义与公式一新人教A版必修4

3．若tanx<0，且sinx－cosx<0，则角x的终边在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：选D∵tanx<0，∴角x的终边在第二、四象限，又sinx－cosx<0，∴角x的终边在第四象限．
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cosα＝－，则m＝( )
A．8B．－8
即－2<a≤3.
2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ；③tan 2，其中符号为负的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
解析：选B∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；
∵－是第四象限角，∴cos >0；
∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B.
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：选B∵sinαcosβ<0，α，β∈(0，π)，
∴sinα>0，cosβ<0，∴β为钝角．
4．代数式sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝，
cos 210°＝－，∴sin 120°cos 210°＝ × ＝－，故选A.
(1)试判断角α所在的象限．
(2)若角α的终边上一点是M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
解：(1)由＝－，所以sinα<0，
由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，
所以α是第四象限角．

三角函数的概念

三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。

它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。

一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。

在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。

在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。

在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。

二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。

例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。

3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。

三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。

3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。

四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。

2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。

3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。

高中数学必修一课时跟踪检测(三十三) 同角三角函数的基本关系 (3)

课时跟踪检测（三十三）同角三角函数的基本关系A 级——学考合格性考试达标练1．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．2．已知sin φ＝－35，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－43B ．43C ．－34D ．34解析：选C ∵sin φ＝－35，∴cos 2φ＝1－sin 2φ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625，又|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴cos φ＝45，从而tan φ＝sin φcos φ＝－3545＝－34.3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.4．若α为第三象限角，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0， ∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3.5．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( ) A.73 B.75 C.54D.53解析：选B 1＋sin θcos θ＝sin2θ＋cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋1＋tan θtan2θ＋1＝22＋1＋222＋1＝75.6．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cos θ＝－1－sin2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 答案：－357．已知sin α－2co s α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α＝________．解析：易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.答案：－23168．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________．解析：原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°＝（sin 40°－cos 40°）2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40° 9．化简下列各式： (1)sin 760°1－cos240°；(2)tan α1sin2α－1(其中α是第二象限角)．解：(1)sin 760°1－cos240°＝sin （2×360°＋40°）sin240°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. (2)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α 1sin2α－1＝tan α 1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αs in α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15，①两边平方，得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又∵sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75.②由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α是第三象限角，若tan α＝12，则cos α＝( )A ．－55B ．－255C.55D.255解析：选B ∵tan α＝12，∴cos 2α＝11＋tan2α＝11＋14＝45，又α是第三象限角，因此cos α＝－45＝－255，故选B. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝（1＋cos α）sin α·(1－cos α)＝1－cos2αsin α＝sin2αsin α＝sin α. 3．已知角α终边上一点P 的坐标为(a ，3a )(a ≠0)，则cos α－sin αsin α＋cos α的值是( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D 由正切函数的定义可得tan α＝3，因此cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1＝－12，故选D.4．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 5．化简：tan2x ＋1tan x·sin 2x ＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x sin 2x ＝1sin xcos x ·sin 2x ＝sin x cos x ＝tan x . 答案：tan x 6．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1t an2α＝________．解析：∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin2α＋cos2αsin αcos α＝3，∴sin αcos α＝13，tan 2α＋1tan2α＝⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2tan α·1tan α＝9－2＝7.答案：1377．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2 α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．8．已知tan2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值； (2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.C 级——拓展探索性题目应用练已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解：设直角三角形的一个锐角为β，因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中， Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根．又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4，所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1，得1＋2×m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122，解得m ＝±3.当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0，sin β·cos β＝34>0，满足题意；当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝3.。

三角函数初中数学知识点之三角函数的定义与计算

三角函数初中数学知识点之三角函数的定义与计算三角函数是数学中重要的基础概念之一，在初中数学中也是必须学习的内容。

本文将介绍三角函数的定义与计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 三角函数的定义三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，用于描述直角三角形中角与边的关系。

常用的三角函数有正弦函数sin、余弦函数cos和正切函数tan，它们的定义如下：- 正弦函数sin：在直角三角形中，对于一个锐角θ，它的正弦值sinθ等于对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。

- 余弦函数cos：在直角三角形中，对于一个锐角θ，它的余弦值cosθ等于邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。

- 正切函数tan：在直角三角形中，对于一个锐角θ，它的正切值tanθ等于对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。

这些定义可以用来计算不同角度下的三角函数值，帮助我们解决与角度和边长相关的问题。

2. 三角函数的计算为了更好地理解和应用三角函数，我们需要学会如何计算不同角度下的三角函数值。

下面是一些常用的计算方法：- 利用已知角度的特殊值：在角度为30°、45°和60°时，三角函数的值是可以直接计算得到的。

例如，sin30°=1/2，cos45°=1/√2，tan60°=√3。

- 利用三角函数的性质：三角函数具有一些特殊的性质，可以帮助我们计算其他角度下的三角函数值。

例如，sin(90°-θ)=cosθ、cos(90°-θ)=sinθ，利用这些性质可以将角度转化为已知角度的三角函数值来求解。

- 利用三角函数的图像：三角函数的图像可以帮助我们直观地理解三角函数的变化规律。

通过观察图像，我们可以推断出不同角度下的三角函数值的大小关系。

- 利用计算器：在实际计算中，我们可以使用计算器来求解不同角度下的三角函数值。

现代计算器已经内置了三角函数的计算功能，只需输入角度即可得到对应的数值。

三角函数高三知识点

三角函数高三知识点三角函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中也是一个关键的知识点。

本文将全面介绍三角函数的相关知识，包括定义、性质和应用。

希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和掌握三角函数的内容。

一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，用sin表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的正弦值等于对边的长度与斜边的长度之比。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，用cos表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的余弦值等于邻边的长度与斜边的长度之比。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个无穷函数，用tan表示，定义为对于给定角的正切值等于对边的长度与邻边的长度之比。

二、三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，下面介绍几个常用的性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

3. 反函数关系：正弦函数和余弦函数是一对反函数，tan(x)=sin(x)/cos(x)。

三、三角函数的应用三角函数在数学中有广泛的应用，以下是三个常见的应用场景：1. 几何学：三角函数在几何学中被广泛应用，例如求解三角形的边长和角度、计算图形的面积和体积等。

2. 物理学：三角函数在物理学中的应用也很重要，例如描述物体振动的运动规律、计算力学问题中的作用力和分力等。

3. 工程学：在工程学中，三角函数可以用于测量和计算建筑、机械等方面的问题，例如测量高楼的高度和角度、设计机械传动系统等。

总结：三角函数是高三数学中的重要知识点，它们的定义、性质和应用都非常关键。

通过学习三角函数，我们可以更好地理解和解决各种数学、物理和工程学中的问题。

新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测(三十二) 三角函数的概念

课时跟踪检测（三十二）三角函数的概念A 级——学考合格性考试达标练1．sin 780°的值为( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选B sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝32，故选B. 2．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.3．已知角α的终边过点P (－4，3)，则2sin α＋tan α的值是( ) A ．－920B ．920C ．－25D ．25解析：选B ∵角α的终边经过点P (－4，3)， ∴r ＝|OP |＝5.∴sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.∴2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎫－34＝920.故选B. 4．(2019·衢州五校高二期末联考)若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．5．计算log 2(4sin 1 110°)的结果是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 因为1 110°＝3×360°＋30°，所以1 110°角的终边与30°角的终边重合，则sin 1 110°＝sin 30°＝12，所以log 2(4sin 1 110°)＝log 2⎝⎛⎭⎫4×12＝log 22＝1.故选C. 6．若角420°的终边上有一点(4，－a )，则a 的值是_______．解析：由题意，得tan 420°＝－a 4，即tan 60°＝－a4，解得a ＝－4 3.答案：－4 37．计算sin(－1 410°)＝________．解析：sin(－1 410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案：128．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________．解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713. 答案：－7139．求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋ 64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.10．已知角α的终边上一点P (m ，－3)(m ≠0)，且cos α＝2m4. (1)求m 的值； (2)求sin α和tan α. 解：(1)由题设知r ＝|OP |＝（－ 3）2＋m 2＝3＋m 2(O 为坐标原点)，因此cos α＝m 3＋m 2＝2m4，∴22＝3＋m 2，解得m ＝±5.(2)当m ＝ 5时，sin α＝－64，tan α＝－155. 当m ＝－5时，sin α＝－64，tan α＝155. B 级——面向全国卷高考高分练1．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D 依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)即(1，－3)，则r ＝ 12＋（－3）2＝2，因此sin α＝y r ＝－32.2．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意得r ＝|OP |＝m 2＋（－6）2＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 3．若点P (sin α，tan α)在第二象限，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 因为点P (sin α，tan α)在第二象限，所以sin α<0，tan α＞0，所以α是第三象限角，故选C.4．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( ) A ．{－1，0，1，3} B ．{－1，0，3} C ．{－1，3}D ．{－1，1}解析：选C 当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝－1；当x 是第三象限角时，y ＝－1；当x 是第四象限角时，y ＝－1.故函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是{－1，3}．5．sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎫－23π4的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案：06．已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________．解析：sin(2k π＋α)＝sin α＝－35<0，则α的终边在第三或第四象限．又点P 的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t <0，又sin α＝4t 9＋16t 2，所以4t 9＋16t 2＝－35，所以t ＝－916.答案：－9167．已知角α的终边经过点P (3，4)． (1)求tan(－6π＋α)的值； (2)求sin （α－4π）cos （6π＋α）·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值．解：(1)设x ＝3，y ＝4则r ＝32＋42＝5，所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43，所以tan(－6π＋α)＝tan α＝43.(2)原式＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝⎝⎛⎭⎫452＝1625.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.C 级——拓展探索性题目应用练若α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两实根，且|α－β|≤22，求θ的范围．解：∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0， ∴cos θ≥－12.①∵|α－β|≤22，∴(α＋β)2－4αβ≤8.由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos 2 θ， ∴4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≤8. 即cos θ≤12.②由①②得－12≤cos θ≤12，利用三角函数线的定义可知π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π，k ∈Z或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π，k ∈Z . ∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π，k ∈Z .。

三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)

5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角的三角函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一三角函数的定义及函数值符号【例1】有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二求三角函数的定义域【例2】求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一般用弧度制表示.考点三诱导公式一的应用【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记忆特殊角的三角函数值.考点四三角函数线的应用【例4】利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。

三角函数性质与应用例题和知识点总结

三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。

余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。

正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。

二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。

3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。

4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。

余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。

正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。

三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。

设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。

解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。

三角函数的基本概念和性质

三角函数的基本概念和性质三角函数是数学中重要的概念之一，被广泛应用于几何、物理、工程等领域。

本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、基本概念三角函数是指在单位圆上，以圆心为原点，边长为1的圆为准，则任意一个圆周上的点P(x,y)，其对应的三角函数值可以表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ为弧度。

常用的三角函数还包括其倒数：cscθ、secθ和cotθ。

1. 正弦函数（sinθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的纵坐标y作为sinθ的值。

2. 余弦函数（cosθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的横坐标x作为cosθ的值。

3. 正切函数（tanθ）：在单位圆上，以点P(x,y)的纵坐标y除以横坐标x得到tanθ的值。

4. 余切函数（cotθ）：tanθ倒数的值，即1/tanθ。

5. 正割函数（secθ）：cosθ的倒数的值，即1/cosθ。

6. 余割函数（cscθ）：sinθ的倒数的值，即1/sinθ。

二、基本性质三角函数具有一些重要的性质，这些性质的理解和应用对于解决问题至关重要。

1. 基本关系：- cosθ = sin(90° - θ)- tanθ = sinθ/cosθ- cotθ = 1/tanθ- secθ = 1/cosθ- cscθ = 1/sinθ2. 周期性：- sinθ和cosθ的周期为360°（或2π弧度），即在一个周期内，函数值重复出现。

- tanθ、cotθ、secθ和cscθ的周期为180°（或π弧度）。

3. 正负关系：- sinθ、cscθ的值域在-1至1之间。

- cosθ、secθ的值域在-1至1之间。

- tanθ、cotθ在整个定义域上均无定义，只有在特定区间上有正负之分。

4. 对称性：- sin(-θ) = -sinθ- cos(-θ) = cosθ- tan(-θ) = -tanθ三、应用示例三角函数在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用，下面举例说明：1. 几何中的应用：- 利用三角函数可以计算任意角形的各个角的大小、边长和面积。

三角函数的基本概念知识点总结

三角函数的基本概念知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

要学好三角函数，首先要对其基本概念有清晰的理解。

一、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点。

角的度量通常有两种方式：角度制和弧度制。

角度制是把一个周角等分成 360 份，每一份叫做 1 度，记为 1°。

弧度制则是以长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示。

如果弧长为 l，半径为 r，圆心角的弧度数为α，那么α＝ l ／ r 。

在实际应用中，弧度制在很多数学计算中更加方便。

二、三角函数的定义在平面直角坐标系中，设点 P(x, y)是角α终边上任意一点，且点 P到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²) ），则有以下六个三角函数的定义：正弦函数：sinα ＝ y ／ r ；余弦函数：cosα ＝ x ／ r ；正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0 ）；余切函数：cotα ＝ x ／ y （y ≠ 0 ）；正割函数：secα ＝ r ／ x （x ≠ 0 ）；余割函数：cscα ＝ r ／ y （y ≠ 0 ）。

三角函数的值与角的终边位置有关，而与点P 在终边上的位置无关。

例如，对于特殊角 0°、30°、45°、60°、90°等，它们的三角函数值是固定的，需要牢记。

三、三角函数的符号根据角所在的象限，三角函数的符号有不同的情况。

在第一象限，所有三角函数值都是正的；在第二象限，正弦函数值是正的，其余为负；在第三象限，正切函数值是正的，其余为负；在第四象限，余弦函数值是正的，其余为负。

记忆口诀为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。

四、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1 。

三角函数定义的知识点总结

三角函数定义的知识点总结三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数又称为sin函数，它是以单位圆上的点的y坐标为值域的周期函数。

在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的正弦，记作sinα，即sinα=y。

2. 余弦函数余弦函数又称为cos函数，它是以单位圆上的点的x坐标为值域的周期函数。

在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的余弦，记作cosα，即cosα=x。

3. 正切函数正切函数又称为tan函数，它是以单位圆上的点的y坐标与x坐标的比值为值域的周期函数。

在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的正切，记作tanα，即tanα=y/x。

4. 余切函数余切函数又称为cot函数，它是以单位圆上的点的x坐标与y坐标的比值为值域的周期函数。

在单位圆上，点P的坐标(x, y)和点A(1, 0)之间的连线与x轴所围成的角度被称为角α的余切，记作cotα，即cotα=x/y。

这四个函数是三角函数中最基本的函数，它们可以用来描述角度和直角三角形中的边的关系，从而被广泛地应用于数学和物理中。

三角函数的性质1. 周期性正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数都是周期函数，它们的周期都是2π。

即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。

2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。

即对于任意实数x，有sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，tan(-x)=-tanx，cot(-x)=cotx。

3. 相关性正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数之间存在一定的相关性。

例如，sinx=cos(x-π/2)，tanx=cot(x-π/2)。

4. 值域正弦函数和余弦函数的值域是[-1,1]，而正切函数和余切函数的值域是实数集R。

三角函数的基本概念

三角函数的基本概念三角函数是数学中的重要概念，它与三角关系密切相关，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

本文将从基本概念、性质以及应用三个方面对三角函数进行探讨。

一、基本概念三角函数是利用一个角的两条直角边之间的比值关系来定义的。

设角A的两条直角边分别为a和b（a为对边，b为邻边），则常见的三角函数包括正弦函数sin(A)、余弦函数cos(A)、正切函数tan(A)。

1. 正弦函数（sin(A)）：定义为对边与斜边之间的比值，即sin(A) =a / c，其中c为斜边。

2. 余弦函数（cos(A)）：定义为邻边与斜边之间的比值，即cos(A) = b / c。

3. 正切函数（tan(A)）：定义为对边与邻边之间的比值，即tan(A) =a / b。

以上三个函数对于不同的角度A，其取值范围由-1到1，通过三角函数表可以得到具体的数值。

二、性质三角函数具有一系列的基本性质，这些性质是我们深入研究和应用三角函数的基础。

1. 周期性：正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期为2π；而正切函数则是以π为周期。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)；余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)；正切函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 特殊值：根据角度的变化，三角函数具有一些特殊值。

例如，sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0。

4. 互余关系：对于同一角度A，sin(A)和cos(A)被称为互余角，它们之间满足sin(A) = cos(90°-A)，cos(A) = sin(90°-A)。

三、应用三角函数在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

以下介绍一些常见的应用：1. 几何学：利用三角函数可以计算三角形的各个边长和角度。

例如，根据已知的两边长和夹角，可以通过三角函数求解第三边的长度。

2. 物理学：在物理学中，三角函数广泛应用于描述波动、振动等现象，如正弦函数可以描述周期性的波动。

高中数学课时跟踪检测(三十二)--三角函数的概念

新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册

三角函数的概念一、复习巩固1．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A 、55B ．－55C 、255D ．－255解析：因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55，所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55、答案：B2．设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( ) A ．－25B 、25C ．－25或25D ．1解析：由三角函数的定义可知sin α＝－342＋(－3)2＝－35，cos α＝442＋(－3)2＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，选A 、答案：A3．若sin θ cos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ>0且cos θ>0或sin θ<0且cos θ<0，所以θ在第一或第三象限．答案：B4．若点P 坐标为(cos 2 014°，sin 2 014°)，则点P 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为2 014°＝5×360°＋214°，故角2 014°的终边在第三象限，所以cos 2 014°<0，sin 2 014°<0，所以点P 在第三象限，故选C 、答案：C5．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析：∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2、答案：C6．已知α为第二象限角，则sin α·cos α________0(填>，<)．解析：因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α·cos α<0、答案：< 7．计算sin 14π3＝________，cos ⎝⎛⎭⎫－25π4＝________、解析：sin14π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋2π3＝sin 2π3＝32， cos ⎝⎛⎭⎫－25π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22、答案：32 228．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α＝________、解析：因为r ＝|OP |＝x 2＋5，所以cos α＝x x 2＋5＝24x 、又因为α是第二象限角，所以x <0，所以x ＝－3，所以sin α＝5x 2＋5＝104、答案：1049．计算下列各式的值： (1)cos ⎝⎛⎭⎫－116π＋sin 125π·tan 6π； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－330°)cos(－660°)．解析：(1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋sin 12π5·tan 0＝cos π6＋0＝32、 (2)原式＝sin(360°＋60°)·cos(720°＋30°)＋sin(－360°＋30°)·cos(－720°＋60°) ＝sin 60°·cos 30°＋sin 30°·cos 60°＝32×32＋12×12＝34＋14＝1、二、综合应用10．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x |tan x |的值域为( )A ．{－1,3}B ．{－1,1,3}C ．{－1,0,1,3}D ．{－3，－1,1,3}解析：由题可知y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x |tan x |的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z }．当x 在第一象限时，各三角函数值均大于0，则y ＝3；当x 在第二象限时，只有sin x ＞0，则y ＝1－1－1＝－1；当x 在第三象限时，只有tan x ＞0，则y ＝－1－1＋1＝－1；当x 在第四象限时，只有cos x ＞0，则y ＝－1＋1－1＝－1、所以函数的值域为{－1,3}．答案：A11．对下列各式的符号，判断正确的是( ) ①sin 105°·cos 230°； ②sin7π8·tan 7π8； ③cos 6·tan 6、 A ．全正 B ．全负 C ．两正D ．两负解析：①∵105°，230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105°>0，cos 230°<0、于是sin 105°·cos 230°<0、 ②∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0、 ∴sin7π8·tan 7π8<0、 ③∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0、故选B 、答案：B12．已知角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．解析：r ＝16＋b 2，∴cos α＝－b r ＝－35，∴b 2＝9，b ＝±3、又cos α＝－35<0，∴－b <0，b >0，∴b ＝3、答案：313．设α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是第________象限角．解析：因为角α是第二象限角，所以2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z )，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，又因为⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，即cos α2<0，所以α2是第三象限角．答案：三14．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．解析：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或y 轴的负半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或x 轴的正半轴上的角．综上可知α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45，又α是第四象限角，所以m <0，所以m ＝－45，由正弦函数的定义知sin α＝－45、15．已知直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，点A 在x 轴的上方，O 是坐标原点．(1)求以射线OA 为终边的角α的正弦值和余弦值； (2)求以射线OB 为终边的角β的正切值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝22，y 1＝22，或⎩⎨⎧x 2＝－22，y 2＝－22.∵点A 在x 轴上方， ∴点A ，B 的坐标分别为(22，22)，(－22，－22)． ∴sin α＝22，cos α＝22、 (2)由(1)得tan β＝－22－22＝1、。

课时跟踪检测(三) 三角函数的定义与公式一

课时跟踪检测（三）三角函数的定义与公式一A 级——学考水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2.若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边位于第四象限． 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 4．计算log 2(4sin 1 110°)的结果是( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C 因为1 110°＝3×360°＋30°，所以1 110°角的终边与30°角的终边重合，则sin 1 110°＝sin 30°＝12，所以log 2(4sin 1 110°)＝log 2⎝⎛⎭⎫4×12＝log 22＝1.故选C. 5．给出下列各三角函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan 5；④sin7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：选C 因为－1 000°＝80°－3×360°，所以sin(－1 000°)＝sin 80°>0；易知cos(－2 200°)＝cos(－7×360°＋320°)＝cos 320°>0；因为5∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以tan 5<0；sin 7π10cos πtan17π9＝－sin 7π10tan ⎝⎛⎭⎫2π－π9＝－sin7π10－tan π9>0.故选C. 6．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与射线y ＝3x (x ≥0)重合，则cos θ＝________.解析：根据题意，在射线上取一点P (1,3)，则x ＝1，y ＝3，r ＝12＋32＝10，所以cos θ＝x r ＝1010.答案：10107．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值．(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4； (4)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. (4)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋π2＋tan π－2cos 0＋tan ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π2＋tan π－ 2cos 0＋tan π4－sin π3＝1＋0－2＋1－32＝－32.10．已知角α的终边上一点P (－3，m )，且sin α＝24m ，求cos α，tan α的值．解：由于r ＝x 2＋y 2＝3＋m 2，又sin α＝yr ＝m3＋m 2，由已知，得m 3＋m 2＝24m ，所以m ＝0或m ＝5或m ＝－ 5.当m ＝0时，r ＝3，y ＝0，所以cos α＝－1，tan α＝0. 当m ＝5时，r ＝22，y ＝5，所以cos α＝－64，tan α＝－153. 当m ＝－5时，r ＝22，y ＝－5，所以cos α＝－64， tan α＝153. B 级——高考能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C.22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若点P (sin α，tan α)在第三象限，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选D 因为点P (sin α，tan α)在第三象限，所以sin α<0，tan α<0，所以α是第四象限角，故选D.4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意得r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎫－23π4的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.答案：06．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z)，则t ＝________.解析：sin(2k π＋α)＝sin α＝－35<0，则α的终边在第三或第四象限．又点P 的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t <0，又sin α＝4t9＋16t 2，所以4t9＋16t 2＝－35，所以t＝－916.答案：－9167．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.8．已知角α满足sin α<0，且tan α>0. (1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限；(3)试判断sin α2·cos α2·tan α2的符号．解：(1)由sin α<0，知角α的终边在第三、四象限或在y 轴的非正半轴上．又tan α>0，所以角α的终边在第三象限，故角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，角α2的终边在第二象限；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，角α2的终边在第四象限．故角α2的终边在第二、四象限．(3)由(2)知，当α2的终边在第二象限时，sin α2>0，cos α2<0，tan α2<0，所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正；当α2的终边在第四象限时， sin α2<0，cos α2>0，tan α2<0，所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正．综上，sin α2·cos α2·tan α2的符号为正．。