第1章 电动力学习题山大

随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变
化。
ò ò uv
dp= d dt dt
r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢ =
V
V
d dt
é êë
r
(uxv¢,
t)uxv¢
ù úû
dV
¢
uv
uv
uv
uv
利用公式： Ñ × (r v) = (Ñr ) ×v + rÑ × v = (Ñr ) ×v
v vdV
'
=
ò
v
jdV
'
uv
uv
uv
当然也可以利用公式： Ñ × (r v) = (Ñr ) × v + rÑ × v
计算如下：
d dt
é êë
r
(uxv¢ , t
)dV
'ùúû
=
d dt
é êë
r
(uxv¢ , t
)ùúû
dV
'+
r
d dt
dV
'
v
v
=
é ê
¶r
+
¶rv
¶
x¢
ù ú
dV
'+
r
d
¶vx¢ dV '
Ñ×B =0
Ñ ´ B = m0J
第 5 讲 课下作业:： 补充题 3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其
中各个符号的物理意义。
补充题 4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明 其中各个符号的物理意义。
补充题 5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写 Maxwell 方程组，以 包括磁荷密度 ρm 和磁流密度 Jm 的贡献。
êë ¶t ¶ x¢ ¶t úû
dt ¶x¢
=
é êë
¶r ¶t
+
Ñr
v gv
+
rÑgvv ùúû
dV
'
——7——
=
é êë
¶r ¶t
+
Ñg(r
vv)ùúû
dV
'
=
é êë
¶r ¶t
+
v
Ñg j
ù úû
dV
'
=0
∴
uv
dp dt
=
ò
r
d uxv¢ dt
dV
'
=
ò
v
r vdV
'
=
ò
v
jdV
'
方案 4：
∴
uuv
A´
(Ñ
´
uuv
A)
=
1
ÑA2
-
uuv
(A
uuv
×Ñ) A
[毕]
2
2、设 u 是空间坐标 x,y,z 的函数，证明：
Ñf (u) = df Ñu, du
ÑgA(u) = Ñug dA , du
Ñ ´ A(u) = Ñu ´ dA . du
证：(i)
Ñf
(u)
=
df
(u)
×
du
v i+
df
(u)
V
i
uuv qi xi
å å å ò uv
dp= d dt dt
i
uv qi xi =
i
uv
qi
d xi dt
=
i
uv qi vi
=
V
uvj(uxv¢,t)dV ¢
方案 2：选取系统内任一确定点 x’，此点所在的 dV’内， r(x ',t) 只与 t 相关,
x’、dV’与时间无关。
或者说，设带电系统为 n 个命名体积元，体积元的位置、体积都不随时间
Ñf (u) = df Ñu, du
ÑgA(u) = Ñug dA , du
Ñ ´ A(u) = Ñu ´ dA . du
4、应用高斯定理证明
òV dV Ñ ´ f = ÑòS dS ´ f ,
应用斯托克斯（Stokes）定理，证明
òS dS ´Ñj = ÑòL dlj.
第 3 讲 课下作业：教材第 34­35 页，5、6。
d dt
é êë
r
(uxv¢
,
t)
v x
'ùúû
=
r
v dx' dt
+
dr dt
v x'
=
r
v
v
+
(
¶r
+
¶rv
¶
v x¢
)
v x
¢
¶t ¶ x¢ ¶t
=
v j
+
¶r (
+
Ñr
vv gv) x
'
¶t
=
v j
+
[
¶r
+
Ñg(
r
vv v)]x
'
¶t
=
v j
+
( ¶r
+
Ñ g vj
)
v x
'
v ¶t
=j
∴
Ñ(AgB) = B ´ (Ñ ´ A) + (BgÑ)A + A ´ (Ñ ´ B) + (AgÑ)B
A ´ (Ñ ´ A) = 1 ÑA2 - (AgÑ)A 2
uuv uuv
uuv uuv
uuv uuv
解： (i) Ñ( A× B) = Ñ A ( A × B) + ÑB ( A× B)
uv uv uv uv uv uv uv uv uv
——3——
=
(
du
v i+
du
uv j
+
du
uv k)
× ( dA(u ) x
v i+
dA(u) y
uv j
+
dA(u ) z
uv k)
dx dy dz
du
du
du
uuv = Ñu × d A
du
v
uv
uv
i
j
k
uuv (iii) Ñ ´ A(u) =
d
d
d
dx dy dz
A(u)x A(u) y A(u)z
R3
的旋度等于标量
j
=
uv uv mg R
的梯度的负值。
即： Ñ
uuv
´A
=
-Ñ j
,
其中
R
为坐标原点到场点的距离，
R3
方向由原点指向场点。
——1——
补充题 1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意
义。并推导出真空中静电场的下列公式：
uv v ÑgE( x)
=
uv r(x)
e。
;
×
òS
d
uv
S
´
Ñf
=
uv
a
×
Ñò
v
d lf
uv 由 a 的任意性得
òS
uv
d S ´Ñf
=
ÑòL
v
d lf
[证毕]
第 3 讲 课下作业：教材第 34­35 页，5、6。
ò uuv
5、已知一个电荷系统的偶极距定义为： P(t) =
r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢
V
——5——
ò uv
利用电荷守恒定律 Ñ × j
——6——
\
dp dt
=
ò
jdV
'
-
ò
Ñg(
jx)dV
'
= ò jdV ' - ÑòS dSg(jx)
ò 注d意upv到=在积分uvj(边uxv界¢,上t)djnV=0， ¢ 则有
dt V
方案 3：
随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变
化。
uv
dp dt
=
d dt
òV
r (uxv¢ , t )uxv¢dV
uv
dp dt
=
ò
v
jdV
'
[证毕]
——8——
6、若
uuv m
为常矢量，证明除
R
=
0
点以外，矢量
uuv A
=
uuv uuv m´ R
R3
的旋度等于标量
j
=
uv uv mg R
的梯度的负值。
即： Ñ
uuv
´A
=
-Ñ j
,
其中
R
为坐标原点到场点的距离，
R3
方向由原点指向场点。
证：
左边：
Ñ
´
uuv A
=
uuv uuv uuv
uuv uuv
uuv uuv uuv uuv uuv
得： Ñ( A× B) = A´(Ñ ´ B) + B ´(Ñ ´ A) + (B ×Ñ)B + ( A×Ñ)B
uuv uuv
(ii) 上式中令 A = B ：
uuv uuv uuv
uuv uuv uuv
则：Ñ( A× A) = 2 éë A´ (Ñ ´ A) + (A×Ñ)Aùû
uv uv
uv
uv uv
左边： òS éëÑ ´ (fa)ùû × d S = òS éëfÑ ´ a + (Ñf)´ aùû × d S
uv uv uv uv
= òS éëÑf ´ aùû × d S = a × òS d S ´Ñf
右边：
Ñò L f
uv
a
×
d
v
l
=
uv
a
×
Ñò
f
d
v
l
即：
uv
a
变化，但该体积元的电荷密度随时间变化，既体积元固定，电荷流动。
故有：
dp dt
=
ò
¶r ¶t
x
'
dV
'
QÑ × j + ¶r = 0 ¶t
\
dp dt
=
-ò (Ñgj)x
' dV
'
Ñg(jx) = (Ñgj)x + (jgÑ)x
= (Ñgj)x + jg(Ñx)
= (Ñgj)x + j
(Ñgj)x = Ñg(jx) - j
ò uuv
5、已知一个电荷系统的偶极距定义为： P(t) =
r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢
V
ò uv
利用电荷守恒定律 Ñ × j
+
¶r
=
0
uuv ,证明 P
的变化率：
uv dp
=
uvj(uxv¢,t)dV ¢
¶t
dt V
6、若
uuv m
为常矢量，证明除
R
=
0
点以外，矢量
uuv A
=
uuv uuv m´ R
+
¶r
=
0
uuv ,证明 P
的变化率：
uv dp
=
uvj(uxv¢,t)dV ¢
¶t
dt V
证明：
方案 1：（参考教材第 163­164 页）
将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合，第 i 个带电离子具有电荷 qi 和 位置 xi, 速度 vi。
则， vi
=
dxi dt
ò uuv
P(t) =
å r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢ =
v
∵
Ñ
æ ×ç è
r r3
ö ÷ ø
=
0
∴左边
=
uuv
é êÑ ë
×
(
R r3
ù uuv )ú m û
-
uuv (m ×Ñ)
uuv R R3
=
uuv -(m ×Ñ)
uuv R R3
（R≠0）
右边
=
uuv -Ñ(m
×
uuv R R3
)
uuv uv uuv
uv uuv uv uv
uuv uv uuv
利用：Ñ( f × g) = f ´(Ñ ´ g) + ( f ×Ñ)g + g ´ (Ñ ´ f ) + (g ×Ñ) f
∵ a ´(b´c) = b(a × c) - c(a ×b)
（1）
uuv
uuv
uuv uuv uuv uuv
∴ B ´ (Ñ ´ A) = Ñ A (B × A) - (B ×Ñ) A
uuv
uuv
uuv uuv uuv uuv
A´ (Ñ ´ B) = ÑB ( A× B) - ( A×Ñ)B 代入（1）式
=
( dAz
×
du
-
dAy
×
du
v )i
du dy du dz
+(
dAx
×
du
-
dAz
×
du
uv )j
+
( dAy
×
du
-
dAx
×
duLeabharlann Baidu
uv )k
du dz du dx du dx du dy
v uv uv
i jk
uuv
= du du du = Ñu ´ d A
[毕]
dx dy dz
du
dAx dAy dAz du du du
Ñò ò ï
ï
Ñò ò í
S
vv dSgf =
V
v
dV Ñgf
ï v S
事实上，右边三个等式恒成立：
V
Ñò ò ïî
dSj = dV Ñj
S
V
ò Ñò （2） 证明
dS ´ Ñj = dlj.
S
L
根据斯托克斯（Stokes）定理：
òS (Ñ ´ A)gdS = ÑòL Agdl.
uuv uv
uv
令： A = fa ，其中 a 为任意非 0 的常矢量
Ñ
´
éuuv êm ë
´
(
uuv R R3
ù )ú û
uuv uv uv uuv
uv uuv uuv uv
uuv uv
利用Ñ ´( f ´ g) = (g ×Ñ) f + (Ñ × g) f - ( f ×Ñ)g - (Ñ × f )g
uuv
f 为常矢=(Ñ
×
uv uuv g) f
-
uuv (f
×
uv Ñ)g
×
du
uv j
+
df
(u)
×
du
uv k
du dx du dy du dz
=
df
(
du
v i
+
du
uv j
+
du
uv k)
=
df
(u) Ñu
du dx dy dz
du
(ii)
uuv Ñ × A(u)
=
dA(u ) x
×
du
+
dA(u) y
×
du
+
dA(u ) z
×
du
du dx du dy du dz
¢
=
òV
d dt
é êë
r
(uxv¢,
t)uxv¢dV
¢ùúû
d dt
éêë r
(uxv¢,
t)uxv¢dV
'ùúû
=
r
d uxv¢ dt
dV
'+
uxv ¢
d dt
éë
r dV
'ùû
由于电荷既不会产生，也不会消失，所以，
d dt
éë
r dV
'ùû
º
0
uv
dp dt
=
ò
r
d uxv¢ dt
dV
'
=
ò
r
第 6 讲 课下作业： 补充题 6：场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场
能量密度和能流密度表达式。
补充题 7：场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密 度和动量流密度表达式。
——2——
习题解答：
第 2 讲 课下作业：教材第 33­34 页，1、2、4。
1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：
4、应用高斯定理证明
òV dV Ñ ´ f = ÑòS dS ´ f ,
应用斯托克斯（Stokes）定理，证明
òS dS ´Ñj = ÑòL dlj.
ò Ñò 证：（1）证明
dV Ñ ´ f = dS ´ f ,
V
S
设 C 为任意非 0 的常矢量，则
——4——
cgÑòS dS ´ f = ÑòS dSgf ´ c
第 1 章 习题
第 2 讲 课下作业：教材第 33­34 页，1、2、4。 1、根据算符▽的微分性与矢量性，推导下列公式：
Ñ(AgB) = B ´ (Ñ ´ A) + (BgÑ)A + A ´ (Ñ ´ B) + (AgÑ)B A ´ (Ñ ´ A) = 1 ÑA2 - (AgÑ)A
2
2、设 u 是空间坐标 x,y,z 的函数，证明：
uv v Ñ ´ E(x) = 0
第 4 讲 课下作业：教材第 35 页，10。 10、证明两个闭合的恒定电流圈之间的作用力大小相等，方向相反（但两
个电流元之间的作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
补充题 2：直接给出毕奥­萨伐尔定律的数学表达式，写明其中各个符号的 物理意义，并推导出真空中静磁场的下列公式。
ÑòS dSgf ´ c = òV Ñg(f ´ c)dV
QÑg(f ´ c) = (Ñ ´ f )gc - f g(Ñ ´ c) = (Ñ ´ f )gc
\cgÑòS dS ´ f =cgòV Ñ ´ fdV
\ ÑòS dS ´ f =òV dV Ñ ´ f
vv
v
ì dS ´ f = dV Ñ ´ f