高三数学概率专题复习：事件与概率条件概率古典概率几何概率

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高中概率知识点总结文库

高中概率知识点总结文库高中概率知识是数学课程中的重要内容，也是数学应用领域中不可或缺的一部分。

掌握概率知识不仅有助于理论研究，还能够应用于真实生活中的各种问题中。

因此，掌握高中概率知识对学生来说非常重要。

高中概率知识主要包括基本概率原理、古典概率、条件概率、独立事件、贝叶斯定理等内容。

以下将逐一对这些内容进行详细介绍。

1.基本概率原理概率是指某一随机现象在相同条件下发生的可能性大小。

基本概率原理是概率论的基础，它包括等可能原理和相加原理。

等可能原理：如果一个随机试验总共有n个等可能结果，而事件A包含m个结果，那么事件A发生的概率P(A)等于m/n。

相加原理：如果随机试验的样本空间S可以被划分为互不相容的事件A1、A2、…An，那么事件B发生的概率P(B)等于各事件发生概率之和，即P(B) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。

基本概率原理是概率论的基础，它为概率的计算提供了基本操作方法。

2.古典概率古典概率是指在等可能情况下，通过统计方法计算某一事件发生的概率。

古典概率主要适用于有限事件和等可能事件的情况。

古典概率计算公式为：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的结果数，n(S)表示样本空间S中结果总数。

古典概率的计算方法简单直观，但是只适用于特定的情况。

在实际应用中，往往需要考虑更为复杂的情况，因此需要更高级的概率方法进行计算。

3.条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的概念是概率论中的重要内容，它在实际应用中有着广泛的应用。

比如在医学诊断中，就需要根据已知的病情条件来计算患病的概率，这就是一个典型的条件概率问题。

4.独立事件独立事件是指两个事件A和B，如果它们的发生不相互影响，即P(AB) = P(A)P(B)，那么就称事件A和事件B是独立事件。

高三数学知识点归纳概率

高三数学知识点归纳概率概率是数学中一个非常重要的分支，它可以帮助我们理解事件发生的可能性。

在高三数学中，概率是一个必学的知识点。

本文将对高三数学概率知识点进行归纳总结，旨在帮助高三学生加深对概率的理解和掌握。

一、基础概念概率是指事件发生的可能性，用来表征事件的随机性。

它的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

常用的求概率的方法有频率法、几何法和古典概型法等。

二、事件的概率计算1.频率法频率法是通过实验的次数和结果的出现次数来计算概率的方法。

当实验的次数足够多时，事件发生的频率将逼近其概率。

2.几何法几何法是通过对样本空间的几何图形进行面积比较来计算概率。

对于连续型随机事件，可以使用几何法计算概率。

3.古典概型法古典概型法适用于样本空间元素个数有限且等可能的随机事件。

通过计算事件的有利结果个数与总结果个数之比来计算概率。

三、概率的性质与公式1.加法公式对于两个互斥事件A和B，其概率之和等于两个事件分别发生的概率之和。

2.乘法公式对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之积。

3.全概率公式全概率公式是在事件A的基础上，将样本空间划分为若干互斥事件，并计算这些事件的概率之和等于事件A的概率。

4.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

通过条件概率，我们可以计算两个事件的相关性。

四、排列与组合排列与组合是概率中常见的计数方法。

排列是指从n个不同元素中选取m个元素按照一定顺序排列的方法数，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。

组合是指从n个不同元素中选取m个元素并不考虑顺序的方法数，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。

五、常见的概率模型1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本的抽样方法，其样本容量n较小时，可以近似认为是简单随机抽样，使用古典概型法计算概率。

2.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于只有两种可能结果的重复试验。

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习

“两次取出的球的数字之和是7”，则（
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（）·P （）·P （）＝（1－）（1－）（1－）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事

件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

概率论与数理统计总复习知识点归纳

z2 , 0 z 1 f Z ( z ) FZ' ( z ) z ( 2 z ) , 1 z 2 0 , 其它
0 x 1 法二 (公式法)：注意到被积函数的非零区域G为： 0 z x 1 能否用 f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x )dx ?
若Xi ~ N( i，i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任何实数a1, a2, …, an, 有
aX1 b ~ N ( a1 b,, a2? 12 ), ?
ai i , ? i2 i2 ) a ai X i ~ N ( ?
i 1 i 1 i 1
(P( A B) B) P3 A / B) 0.3 0054 0.2 P AB) P( 0. ( 0.5 0.5 . . P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.3 0.5 0.2 0.6
P( A B ) P( A B) 1 P( A B) 0.4
于是Y的概率密度为 1 1 1/ 2 fY ( y ) f X ( y ) ( y ) f X ( y ) ( y ) 1/ 2 2 2 1 ( y ) 1/ 2 [ f X ( y ) f X ( y )] , y 0 2
f Y ( y) 0 , y 0
例1 设甲、乙、丙三人的命中率分别为0.3， 0.2，0.1。现三人独立地 A 1 向目标各射击一次，结果有两次命中目标，试求丙没有命中目标的概率。
P(Ai)—— 先验概率
A2
........
An
P(Ai /B ) 后验概率
P(B/Ai) P(B )

高三概率知识点总结

高三概率知识点总结概率是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一门重要课程。

作为高三学生，需要对概率知识有着清晰的理解和掌握。

本文将对高三概率知识点进行总结，以帮助同学们更好地应对学习和考试。

一、事件与概率概率是用来描述事件发生可能性的，并以数值的形式表示。

在概率中，我们需要了解以下几个核心概念：1.1 样本空间与事件样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，而事件则是样本空间的子集。

比如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，事件可以是“出现正面”的事件。

1.2 必然事件与不可能事件必然事件是指一定会发生的事件，概率为1；而不可能事件是指一定不会发生的事件，概率为0。

1.3 事件的概率事件的概率可以通过计算样本空间中有利结果个数与样本空间总结果个数之比来得出。

比如，抛一枚硬币出现正面的概率为1/2。

二、概率的性质与运算在概率计算中，我们需要了解以下概率的性质与运算法则：2.1 互斥事件与对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件指的是两个事件中至少有一个事件发生。

互斥事件的概率为两个事件概率之和，对立事件的概率为1减去事件的概率。

2.2 事件的相加法则如果事件A和事件B互斥，那么事件A或事件B发生的概率为事件A的概率加上事件B的概率。

2.3 事件的相乘法则如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率为事件A的概率乘以事件B的概率。

三、排列与组合排列与组合是概率计算中经常出现的概念，需要我们熟练掌握其计算方法。

3.1 排列排列是指从一组元素中按照一定顺序取出若干元素。

如果有n 个元素，取出m个元素进行排列的话，排列的方式数为A(n, m) = n! / (n-m)!3.2 组合组合是指从一组元素中按照任意顺序取出若干元素。

如果有n 个元素，取出m个元素进行组合的方式数为C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)四、条件概率与独立性条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。

高考数学概率知识点

高考数学概率知识点概率是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的可能性的数值。

在高考数学中，概率也是一个重要的考点。

本文将介绍高考数学中的概率知识点，包括样本空间、事件、概率公式、条件概率等内容。

一、样本空间和事件在概率中，样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。

而事件是指样本空间中的一个子集，表示一个或多个结果的组合。

例如，掷一个六面骰子，其样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，掷出偶数点数为一个事件。

二、概率公式在概率中，我们通常使用概率公式来计算事件发生的可能性。

概率公式有以下几种常见形式：1. 等可能概型下的概率计算在等可能概型下，每个事件发生的可能性相等。

例如，掷一枚硬币，正面和反面的可能性都是1/2。

在这种情况下，事件A发生的概率可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的可能性 / 样本空间的大小2. 加法法则加法法则适用于两个事件相互独立的情况。

如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们发生的概率可以用以下公式计算：P(A 或 B) = P(A) + P(B)3. 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

如果事件A和事件B相互独立，那么它们同时发生的概率可以用以下公式计算：P(A 且 B) = P(A) × P(B)三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

条件概率可以用以下公式计算：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)四、排列组合与概率在高考数学中，排列组合也是与概率有关的知识点。

排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排序的方法数，用P(n,m)表示。

组合是指从n个不同元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，用C(n,m)表示。

概率与排列组合有关的情况可以用以下公式计算：P(A) = 事件A的有利结果数 / 样本空间的大小五、概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率。

在高考数学中，离散随机变量的概率分布通常可以用概率分布列或概率分布图表示。

2023版高考数学一轮总复习11-1随机事件古典概型与几何概型课件

域用A表示(A⊆Ω),则P(A)= A的几何度量.
Ω的几何度量
考法一古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)

高三概率题知识点总结

高三概率题知识点总结概率题是高中数学中的一个重要部分，也是高考中必考的内容之一。

在解答概率题时，我们需要掌握一些基本的概率知识和计算方法。

本文将对高三阶段常见的概率题知识点进行总结，供同学们复习和参考。

一、基本概念1.试验和样本空间：试验是指我们进行的具体操作或观察，样本空间是指试验的所有可能结果组成的集合。

2.事件和事件的概率：事件是指样本空间中的一个子集，事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用一个介于0和1之间的实数表示。

二、计算概率的方法1.古典概型：指试验结果相互独立且等可能的情况下计算概率。

例如，一个骰子的点数为1至6，每个点数出现的概率为1/6。

2.几何概型：指试验结果与几何形状有关的情况下计算概率。

例如，在一个由正方形和圆形组成的图形中，我们可以通过面积比例来计算某个事件的概率。

3.频率概率：指通过大量的试验或观察来估计概率值的方法。

频率是指某个事件在多次试验中出现的次数与试验总次数之比。

4.条件概率：指在给定其他事件发生的条件下，某个事件发生的概率。

条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)计算。

三、事件运算1.事件的和：表示两个或多个事件中至少发生一个的情况。

例如，事件A和事件B的和表示为A∪B。

2.事件的积：表示两个或多个事件同时发生的情况。

例如，事件A和事件B的积表示为A∩B。

3.事件的差：表示在事件A发生的条件下，事件B不发生的情况。

例如，事件A发生时事件B不发生的概率表示为P(A-B)。

4.事件的互斥：指两个事件不可能同时发生的情况。

互斥事件的概率和为它们各自概率的和。

四、概率计算的模型1.排列模型：指在问题中涉及到次序，如从n个元素中取r个元素进行排列。

排列数记作P(n,r)。

2.组合模型：指在问题中不涉及到次序，如从n个元素中取r 个元素进行组合。

组合数记作C(n,r)。

3.基本事件模型：指对于某个事件的发生有两种可能情况的问题，将其分为两个基本事件，通过分析基本事件的概率来计算所求事件的概率。

高考数学黄金考点精析精训考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型理-人教版高三全册数学试题

考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型【考点剖析】1.最新考试说明：1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.2.命题方向预测：1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．3.名师二级结论：一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式())1(A A P P ＝－，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故().cardA mP A cardI n＝＝两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 4.考点交汇展示： (1)与函数相结合【2017某某，7】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是. 【答案】59(2)与线性规划、定积分相结合【2017届某某省某某市第八中学高三春季模拟】若从区间()0,(e e 为自然对数的底数，2.71828...e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为（）A.2e B. 1e C. 21e - D. 11e- 【答案】A【解析】可行域为0{0 x ey e xy e<<<<<，画出图像如下图所示，故概率为1212eee dxxe e⋅+=⎰.【考点分类】热点一随机事件的概率1.【2016年高考理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C2.【2018届某某省名校高三模拟一】在,,A B C 三个盒子中各有编号分别为1，2，3的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为__________．【答案】2627【解析】从1是个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为13，则从3个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为()111133327P A =⨯⨯=，所以至少有一个编号是奇数的概率概率为()12612727P A =-=3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5.6【方法总结】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．热点二古典概型1.【2018届某某省某某航天高级中学高三9月模拟】设{},0,1,2,3,4m n ∈,向量()1,2a =--,(),b m n =,则//a b 的概率为（）A.225 B. 325 C. 320 D. 15【答案】B【解析】//a b 22m n m n ⇒-=-⇒= ，所以012{,{ ,{ ,024m m m n n n ======因此概率为335525=⨯ ，选B. 2.【2017届某某省红河州高三毕业生复习统一检测】袋中有五X 卡片，其中红色卡片三X ，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两X ，标号分别为1,2；从以上五X 卡片中任取两X ，这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为（） A.13 B. 110 C. 310 D. 23【答案】C【解析】从五X 卡片中任取两X 的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，，蓝1蓝2其中两X 卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，红1蓝1，，红1蓝2，红2蓝1，故所求的概率为310P = 故答案选C3.【2016高考某某卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【方法总结】1.计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n ；②求出事件A 所包含的基本事件个数m ；③代入公式求出概率P . 2.古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 热点三几何概型1.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】2.【2018届某某省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】在[]4,4-上随机地取一个数m ，则事件“直线20x y m -+=与22220x y x ++-=有公共点”发生的概率为（） A.16 B. 13 C. 23 D. 34【答案】D【解析】由直线20x y m -+=与圆()2222220,13x y x x y ++-=++=有公共点得：13243m m -+≤⇒-≤≤ ，所以概率为()()423444--=-- ，选D. 3.【2016高考某某理数】在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y 相交”发生的概率为 . 【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即2|5k |d 31k =<+，解得33k 44-<<，而[1,1]k，所以所求概率P =33224=.4.【2018届某某省某某中学高三9月大联考】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为30310010p ==，设军旗的面积为S ，由题意可得：()22233363,1111101010S S mm πππ=∴=⨯⨯=⨯. 本题选择B 选项. 【方法总结】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．应用公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．【热点预测】1.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A ：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是（） A ．事件A 发生的概率等于15 B ．事件A 发生的概率等于25C ．事件A 是不可能事件D ．事件A 是必然事件【答案】D【解析】因为任意三个顶点连成三角形都是等腰三角形，所以事件A 是必然事件.2.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 3.在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34（B ）23（C ）13（D ）14【解析】由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A .4.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B5.【2017届某某某某中学高三摸底】已知4X 卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4X 卡片中选择1X ，则他们选择同一X 卡片的概率为（） A ．1 B ．116 C ．14 D ．12【答案】C【解析】甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)，(3,1),(3,2)，(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共16个基本事件，选择同一X 卡片的有4个，所以他们选择同一X 卡片的概率为41164P ==,故选C. 6.【2018届某某省某某昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一X 圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为 A.12 B. 1532 C. 1132 D. 516【解析】五个人的编号为12345，，，，由题意，所有事件共有5232=种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有()()()()()()()()12345131424，，，，，，，，，，，再加上()()2535，，，没有人站起来的可能有1种，共11种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为1132故答案选C .7.【2018届某某市耀华中学高三上学期第一次月考】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（） A.13 B. 23 C. 35 D. 115【答案】C【解析】所求概率为24266311155C C -=-= ,选C.8.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn【答案】C【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.9.投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数2)(ni m +为纯虚数的概率为（）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】C【解析】∵复数2)(ni m +为纯虚数∴m n =∴61666p ==⨯ 10.【2018届某某省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上期中】在区间[]0,π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（） A. 23 B. 12 C. 13 D. 16【答案】C【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到1sin 2x ≤5|066x x x πππ⎧⎫⇒≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭或，根据几何概型判断，概率为：13.3ππ=故答案选C 。

高三数学概率知识点总结

高三数学概率知识点总结概率是数学中的一个重要概念，也是高中数学的一个重要内容。

在高三数学中，概率概念及其相关的计算方法是学生们需要掌握的知识点之一。

下面将对高三数学概率知识点进行总结。

一、基本概念概率是指某件事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

其计算公式为：概率 = 有利事件发生的次数 / 所有可能事件发生的次数。

二、事件与样本空间事件是指某些结果的集合，而样本空间则是包含所有可能结果的集合。

样本空间的元素为基本结果，也称为样本点。

事件可以包含一个或多个样本点。

三、概率的性质1. 概率的取值范围为[0,1]，且概率为0表示不可能事件，概率为1表示必然事件。

2. 对于互斥事件，即两个事件不能同时发生，其概率计算为两个事件概率之和。

3. 对于独立事件，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，其概率计算为两个事件概率之积。

四、计算概率的方法1. 事件的概率可以通过频率计算得出，即大量重复实验中某事件发生的频率。

2. 利用等可能原则，即假设事件发生的可能性相等来计算概率。

3. 利用排列组合的方法来计算概率，例如在有限的样本空间中计算某个事件发生的概率。

五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

其计算公式为：条件概率 = A与B同时发生的概率 / A发生的概率。

其中A与B同时发生的概率可以根据事件的独立性来计算。

六、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中一个重要的定理，它用于计算在已知某事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。

其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

七、随机变量与概率分布随机变量是指用来描述试验结果的变量，它可以是离散型或连续型的。

概率分布是一个函数，用于表示随机变量的取值与其概率之间的关系。

常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布等，而连续型随机变量有正态分布、指数分布等。

高三数学复习专题：事件与概率、古典概型、几何概型知识精讲人教实验版(B)

高三数学复习专题：事件与概率、古典概型、几何概型知识精讲人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：高三复习专题：事件与概率、古典概型、几何概型二. 考纲要求1、事件与概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．（2）了解两个互斥事件的概率加法公式、知道对立事件概率之和为1的结论。

会用相关公式进行简单概率计算。

2、古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式。

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．3、随机数与几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

（2）了解几何概型的意义．三. 知识分析【知识梳理】1、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象．2、对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

3、在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。

4、概率的统计定义：一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．5、概率的基本性质：随机事件A 的概率()P A 满足0≤()P A ≤1，其中当A 是必然事件时，()P A = 1；当A 是不可能事件时，()P A = 0。

6、不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

7、一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥。

8、如果事件A ，B 互斥，那么事件A ∪B 发生的概率等于事件A ，B 概率的和，即()()()P A B P A P B =+；一般地，如果事件A 1，A 2，…， A n 两两互斥，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++。

数学高考概率大题知识点

数学高考概率大题知识点高中数学概率大题是高考中的一个重要考点，考察学生对概率知识的理解和应用能力。

本文将从概率的基本概念、条件概率、独立事件和排列组合等方面，介绍一些常见的概率大题知识点。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。

在概率论中，试验是指对某个随机现象的观察或操作，事件是试验的某个结果。

概率是描述试验结果的可能性的比例。

在高考中，我们经常会遇到各种概率大题，如计算事件发生的概率、根据条件概率求解问题等。

一、概率的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指试验可能结果的集合，用Ω表示。

而事件是样本空间Ω的子集，表示我们感兴趣的一些结果。

2. 事件的概率：事件A（记作P(A)）的概率是指事件A发生的可能性。

在概率的计算中，我们常常使用频率和古典概率公式来计算概率。

3. 频率概率：频率概率是通过多次重复试验，统计实验结果出现的频率得出的概率。

频率概率计算方法是通过进行大量实验，统计某个事件发生的次数与总实验次数的比值。

4. 古典概率：古典概率基于事件发生的可能性相等的假设。

在一个有限的样本空间Ω中，古典概率P(A)等于事件A中有利的结果数除以样本空间Ω中总的结果数。

二、条件概率条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。

在计算条件概率时，我们需要考虑给定事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。

条件概率的计算方法是通过使用条件概率公式来计算。

三、独立事件在概率论中，如果两个事件A和B的概率满足P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)，则我们称事件A和B是独立事件。

独立事件是指当一个事件的发生与其他事件无关时的情况。

在许多概率大题中，我们需要判断事件之间是否是独立事件，以便进行正确的计算。

四、排列组合排列和组合是高中数学中的一个重要内容，也是概率大题中常见的题型。

排列是指从n个元素中取出m个元素进行有序排列的方式的总数。

组合是指从n个元素中取出m个元素进行无序排列的方式的总数。

在概率大题中，我们需要运用排列组合的知识，计算符合要求的事件发生的概率。

概率统计复习提纲(百度文库)解析

《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对立事件且.（3）独立性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若().（2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发生”，记为或.（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件；称为的对立事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推广5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很大时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发生的概率为：.（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域中随机地取一点落在区域中”这一事件发生的概率为：.（6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推广到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发生的条件下事件发生的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的一个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的一个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.（2）把重复独立地进行次，所得的试验称为重贝努里试验，记为．（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发生，则、为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件、独立，则与中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，而是在试验增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发生，但两者是不同的，一般说来，当、同时发生时，常用，而在有包含关系或明确的主从关系时，用.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母等表示.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的一切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）二项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是一常数，是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，有.当很大且很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即，其中（4）超几何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很大，且较小时，有（5）几何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任一实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别用和表示的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2…………则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3…………有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但大多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的非减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）非负性对任意点，若，则.式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.表3.1……┇┇…………┇┇…┇………┇┇…┇…联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性对一切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独立性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独立.设为二维离散型随机变量，与相互独立的充要条件是.设为二维连续型随机变量，与相互独立的充要条件是对几乎一切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最大值与最小值的分布则9．数理统计中常用的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有，因为.2、二维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果相互独立，则，即.说明当独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的方差设是一个随机变量，则称为的方差.称为的标准差或均方差.计算方差也常用公式.方差具有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有；（4）的充要条件是：存在常数，使.4、几种常见分布的数学期望与方差（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.5、矩设是随机变量，则称为的阶原点矩.如果存在，则称为的阶中心矩.设是二维随机变量，则称为的阶混合原点矩；称为的阶混合中心矩.6、协方差与相关系数随机变量的协方差为.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：.随机变量的相关系数为.相关系数具有如下性质：（1）；（2）存在常数，使=1，即与以概率1线性相关；（3）若独立，则，即不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数反映了随机变量和之间的什么关系？相关系数是用随机变量和的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量和之间的相关程度.当时，称与依概率1线性相关；当时，称与不相关；当时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量与相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则，故，从而，所以、不相关.（2）若、不相关，则、不一定独立.如：因为，，知、不相关.但，,,知、不独立.（3）若、相关，则、一定不独立.可由反证法说明.（4）若、不相关，则、不一定不相关.因为、不独立，，但若时，可以有，从而可以有、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，、不相关与、独立是等价的.第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量的数学期望，方差，则对任意正数，有不等式或成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定律:设是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在，且，则对任意给定的，有.（2）贝努利大数定律:设是次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的，有.贝努利大数定理给出了当很大时，发生的频率依概率收敛于的概率，证明了频率的稳定性.(3)辛钦大数定律：设相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且(),则对任意给定的，有3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，，.则对任意实数，随机变量的分布函数满足.（2）李雅普诺夫定理:设是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：,.记,若存在正数，，使得当时，有, 则随机变量的分布函数对于任意的，满足.当很大时,.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意的，恒有.疑难分析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列依概率收敛于，说明对于任给的，当很大时，事件“”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

高考数学概率知识点整理总结

高考数学概率知识点整理总结高考数学概率知识点整理一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高中数学概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式.(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式.高中数学古典概率公式P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算附：由概率定义得出的几个性质：1、02、P(Ω)=1，P(φ) =0[1]概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件(AB=φ)，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1 推论3： P(A)=1-P(A)推论4：若B包含A，则P(B-A)= P(B)-P(A)推论5(广义加法公式)：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)[1]条件概率条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)0，P(A|B)=P(AB)/P(B)[1]乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[1]全概率公式设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。

高三数学知识点总结概率

高三数学知识点总结概率概率是数学中一个重要的概念，也是高中数学中的一大难点之一。

概率的研究对象是随机事件，通过概率的计算和分析，可以解决实际生活中很多的问题。

高三数学课程中的概率部分主要包括基本概率、条件概率、排列组合与概率、随机变量和分布等内容。

本文将对这些知识点进行总结和概述。

一、基本概率基本概率是概率论中最基础的概念之一。

当一个试验有n个等可能的结果，其中有m个结果是我们感兴趣的，那么事件发生的概率就是m/n。

基本概率在日常生活中有着广泛的应用，比如掷硬币、掷骰子、抽奖等。

二、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。

当事件A和B同时发生时，A事件发生的条件概率是指在B已经发生的情况下，A发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。

条件概率的概念对于解决很多实际问题非常重要，如疾病的诊断、产品的质量检验等。

三、排列组合与概率排列与组合是数学中常见的概念，也是概率论中经常用到的工具。

排列是指从n个不同元素中挑选r个元素按照一定顺序排列的方式，其排列数为A(n,r)=n!/(n-r)!。

组合是指从n个不同元素中挑选r个元素，不考虑排列顺序的方式，其组合数为C(n,r)=n!/((n-r)!r!)。

在概率的计算中，排列和组合的公式经常被用于计算事件的数目。

四、随机变量和分布随机变量是指在随机试验中可能取多个值的变量。

随机变量分为离散和连续随机变量。

离散随机变量只能取一些离散的值，如掷骰子的点数；而连续随机变量可以取任意实数值，如测量体重的误差。

随机变量的概率分布描述了随机变量各个取值的概率。

常见的概率分布有离散分布如二项分布、几何分布，以及连续分布如正态分布等。

综上所述，概率是高中数学中的重要知识点之一，包括基本概率、条件概率、排列组合与概率、随机变量和分布等内容。

通过深入理解和熟练掌握这些概念和方法，可以帮助我们更好地解决实际问题，提高数学应用能力。

高考数学复习考点知识专题讲解与训练53---随机事件的概率与古典概型

高考数学复习考点知识专题讲解与训练专题53 随机事件的概率与古典概型【考纲要求】1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.【知识清单】知识点1. 随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．S S S S S(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．2．频率与概率(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率． (2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.,,,A B C S n A n A A n A A ()A n n f A n =A A A ()n f A ()p A A A AB A B φ=A B A B 12,,,n A A A 12,,,n A A A对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件)若且，那么称事件与事件相等或) )A B A B A B A B A B B A A B A B +AB互斥为不可能事件，么称事件与事件互为对立事件且5.随机事件的概率事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.[来源:Z#xx#]由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率：.[来源:学.科.网](3)不可能事件的概率：.B A A B φ=B =ΩA A nm A ()p A ()01p A ≤≤10()01p A ≤≤()1p A =()0p A =(4)互斥事件的概率加法公式：①(互斥)，且有． ② (彼此互斥)．(5)对立事件的概率：．知识点2. 古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=. 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古()()()p A B p A p B =+,A B ()()()1p A A p A p A +=+=()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++12,,,n A A A ()()1P A P A =-n 1n m典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[常用结论]1．频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．2．互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．3．概率加法公式的注意点(1)要确定A ，B 互斥方可运用公式．(2)A ，B 为对立事件时并不一定A 与B 发生的可能性相同，即P (A )＝P (B )可能不成立．【考点梳理】考点一：随机事件间的关系【典例1】（2020·云南高二月考）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球【答案】C【解析】至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件不是对立事件；至少有1个白球；都是红球，是互斥事件和对立事件.故选：C【典例2】（2020·云南丽江第一高级中学高二期中）抽查8件产品，设“至少抽到3件次品”为事件M，则M的对立事件是（）A．至多抽到2件正品B．至多抽到2件次品C．至多抽到5件正品D．至多抽到3件正品【答案】B【解析】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，事件“至多抽到2件正品”、“至多抽到5件正品”、“至多抽到3件正品”与“至少抽到3件次品”能同时发生，不是对立事件；只有事件“至多2件次品”与“至少抽到3件次品” 不能同时发生且他们的和事件为必然事件，是M的对立事件，故选：B．【总结提升】事件间的关系的判断方法1.判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．2.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．3.判断互斥、对立事件的2种方法:(1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2) 集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B ＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．【变式探究】1.（2019·湖南长郡中学高二期中）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（）A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C．“都是白球”与“至少有一个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.2.（多选题）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片不全为红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色【答案】BD【解析】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2 张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件．故选：BD.考点二：随机事件的频率与概率【典例3】设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A ．事件A ⊆B ，则P （A ）＜P （B ）B ．若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立C ．若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D ． P （A ）+P （B ）≤1【答案】C【解析】若事件B 包含事件A ，则P （A ）≤P （B ），故A 错误；若事件A 、B 互斥，则P （AB ）＝0，若事件A 、B 相互独立，则P （AB ）＝P （A ）P （B ）＞0，故B 错误，C 正确；若事件A ，B 相互独立，且P （A ）12>，P （B ）12>，则P （A ）+P （B ）＞1，故D 错误．故选：C ．【典例4】（2016高考新课标2文选）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A 的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求()P B的估计值；【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）0.3.【解析】（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200+=，故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200+=，故P(B)的估计值为0.3.【总结提升】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的．而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．3．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．【变式探究】1．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750；③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（）.A．①B．②C．①③D．②③【答案】B【解析】：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；2.(2019·沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解析】 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考点三：互斥事件与对立事件的概率【典例5】（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B+，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【典例6】（多选题）中国篮球职业联赛（CBA ）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）A ．()0.55P A =B ．()0.18P B =C ．()0.27P C =D ．()0.55P B C +=【答案】ABC【解析】由题意可知，()550.55100P A ==，()180.18100P B ==，事件A B +与事件C 为对立事件，且事件A 、B 、C 互斥，()()()()110.27P C P A B P A P B ∴=-+=--=，()()()0.45P B C P B P C +=+=.故选：ABC.【规律方法】1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2. 判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此A A A UA AA U =A A φ=,AB A B +,A B ,A B A B +A B B A A ()p A A ()()1P A P A =-事件的对立事件的概率.对于个互斥事件，其加法公式为.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.【变式探究】1. （2018·全国高考真题（文））若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++= 因为()()P A 0.45,P AB 0.15==n 12,,,n A A A ()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++所以()P B 0.4=，故选B.2.（多选题）（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）A ．事件A 发生的概率为12 B ．事件A B 发生的概率为1120 C ．事件A B 发生的概率为25D ．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15【答案】BC【解析】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含114520C C =个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：()1,5，()1,6，()2,5，()2,6，()3,3，()3,5，()3,6，()4,2，()4,3，()4,5，()4,6，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：()2,5，()2,6，()3,3，()3,5，()3,6，()4,3，()4,5，()4,6，共8个基本事件；即事件B 是事件A 的子事件；因此事件A 发生的概率为1120，故A 错；事件A B 包含的基本事件个数为11个，所以事件A B 发生的概率为1120；故B 正确；事件A B 包含的基本事件个数为8个，所以事件A B 发生的概率为82205=，故C 正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：()2,1，()2,2，()2,3，()2,5，()2,6共5个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15，即D 错误.故选：BC.【特别提醒】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点四：简单的古典概型【典例7】（2020·全国高考真题（文））设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A【解析】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C{,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D{,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105.故选：A【典例8】（2017课标II，文11）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A.110B.15C.310D.25【答案】D【总结提升】1.计算古典概型事件的概率可分三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；(2)分别计算基本事件的总个数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝mn求出事件A 的概率．2. 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.【变式探究】1.（2019·全国高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c，剩余的2只为,A B，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B{,c,},{,c,}b A b B共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105，选B．2.（2017·全国高考真题（文））从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．25【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=42. 105【特别提醒】1. 古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．2.古典概型中的基本事件都是互斥的考点五：复杂的古典概型【典例9】通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________【答案】16【解析】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==.故答案为：16【典例10】（2020·云南省保山第九中学高三月考（文））某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）815；（Ⅲ）3175. 【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是2:1，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率1146210815p C C C==；（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率112166322121105105131475p C C C C C C C C C =+=．【特别提醒】1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．【变式探究】1．（2020·浙江高三月考）在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为____________.【答案】62528 125【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有45625种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程，其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案212 54280C C A=种，其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案2225422260 C C AA=种，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为806028 625125+=故答案为：28 625,1252.（浙江高考真题（文））一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球. 已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从中任意摸出2个球，至少得到1 个白球的概率是. 求：（1）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（2）袋中白球的个数【答案】（1）215；（2）5个.【解析】（Ⅰ）由题意知，袋中黑球的个数为记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B.设袋中白球的个数为x，则得到x=5故袋中白球个数为5个考点六：古典概型的交汇问题【典例11】设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量(),a m n=，()1,3b=-，则事件“a b⊥”发生的概率为__________；事件“a b≤”发生的概率为__________.【答案】11816【解析】（1）由题意知，{1,2,3,4,5,6}m ∈、{1,2,3,4,5,6}n ∈，故(m ，n )所有可能的取法共36种.当a b ⊥时，得m -3n =0，即m =3n ，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件a b ⊥的概率213618P ==. （2）当a b ≤时，可得m 2+n 2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，其概率61366P ==. 故答案为：118；16. 【典例12】（2019·上海市建平中学高三）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取,{1,2,3,4,5}a b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________.【答案】825【解析】所有可能的(),a b的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c=，所以1c=，所以1a b-=±，则满足条件的有：()()()()()()()()1,2,2,3,3,4,4,5,5,4,4,3,3,2,2,1，共8组，所以概率为：825 P=.故答案为：8 25.【特别提醒】求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识(平面向量、直线与圆、函数、统计等)转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：【变式探究】1．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2,()34P A a P B a =-=-，则实数a的取值范围为_____．【答案】（4332，]【解析】因为随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，所以有：0()1021430()10341320()()102341P A a P B a a P A P B a a <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<-<⇒<≤⎨⎨⎪⎪<+≤<-+-≤⎩⎩. 故答案为：43(,]322.（2020·安徽高二期中（理））已知向量(2,1),(,)a b x y =-=.若,x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b ⋅=-的概率.【答案】112【解析】,x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，有序数对(),x y 可能情况有36种，。

高三概率论知识点总结

高三概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生规律和可能性。

在高三的概率论学习中，我们掌握了许多基本概念和方法，下面对其中的知识点进行总结。

一、基本概念1. 随机试验：具有不确定性的试验，试验的结果不完全确定。

2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。

3. 随机事件：随机试验的一个结果或一组结果的集合。

4. 必然事件：样本空间S中的所有可能结果。

5. 不可能事件：包含0个结果的事件。

6. 事件的运算：包括事件的并、交和补运算。

二、概率的定义及性质1. 频率：事件A发生的次数与试验次数的比值，在大量重复试验时，频率趋近于概率。

2. 古典概型：所有事件发生的可能性相等的情况下，概率等于事件的数目与样本空间数目的比。

3. 几何概型：通过几何模型得到概率，如点、线、面、体等的概率。

4. 加法定理：对于任意两个事件A和B，概率可以通过求并集和交集来计算。

5. 乘法定理：对于两个事件A和B，求A与B同时发生的概率可以通过求积来计算。

三、排列与组合1. 排列：指定元素的顺序，如从n个元素中取出m个元素进行排列，可表示为A(n, m)。

2. 组合：不考虑元素的顺序，如从n个元素中取出m个元素进行组合，可表示为C(n, m)。

3. 二项式定理：(a+b)^n的展开式中，各项的系数即为二项式系数，可应用于概率计算。

四、独立事件与条件概率1. 独立事件：事件A与事件B同时发生的概率等于两个事件发生概率的乘积。

2. 条件概率：事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率，记为P(A|B)。

3. 贝叶斯定理：根据条件概率和全概率公式，计算事件的后验概率。

五、样本空间的离散型和连续型1. 离散型随机变量：取有限个或可数个数值的随机变量，可以使用概率分布函数表示。

2. 连续型随机变量：取实数集内某一区间内任意一个数值的随机变量，可以使用概率密度函数表示。

3. 随机变量的数学期望：表示随机变量平均值的一种指标。