(完整word版)反三角函数典型例题.docx

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反三角函数练习

3
)=
5 )]=4
3
5 4
(D)arctg(-2)=arcctg(4
)=cos(arccos
)
4
)
1 2
例10．函数f(x)=arcsin(tgx)的定义域（）（A）- 4 ≤x≤ 4 (B)kπ- 4 ≤X≤kπ+ 4 (K∈Z) (C)kπ+ 4 ≤x≤(k+1)π- 4（K∈Z） (D)2kπ- 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z) 例11．在[-1, 数是 ( )
3 2
]上和函数y=x相同的函
(B)y=arcsin(sinx) (D)y=cos(arccosx)
(A)y=arccos(cosx) (C) y=sin(arcsinx)
例12. 计算cos[arccos(- )+arcsin(1 1 例13．求值：arctg 2 +arctg 3
3 5
5 13
5
例6．研究函数y= arccos (x-x2)的定义域、值域及单调性。例7．作函数y=arcsin(sinx)，x∈[-π，π] 的图象，并判断它的奇偶性及单调区间。例8．计算： cos[arccos -arccos ()]
4 5
5 13
二.反三角形函数的运算
例9.下列关系式中正确的是 (A)arcos[cos((B)sin(arcsin (C)arccos(cos
)]
例14．求值：tg (arcsin ) 例15．证明arctg1+arctg2+arctg3=π1 23 563 -arccos 65
例16．函数y=arccos
(A)[0, ] (B)(0, 2

(完整word版)三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-

三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P(4，—3），则的值为( ）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0）上，则cos α－sin α的值为( ) A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα〈0,且sinα〉cosα，则α在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是( ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若,且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则( ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知，则___________三、解答题10．已知,且是第四象限的角。

（1）求；（2). 11．(1)已知,求的值；(2）已知， ,求的值.12．已知tan α2,= (1）求值： sin cos sin cos αααα+- （2）求值： ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠。

（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2）求22sin cos cos ααα+-的值。

14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求（1）sin cos θθ-的值；(2）tan θ的值.15．已知tan 2α=.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值; （2)求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算:（1)；（2）。

高中数学反三角函数练习题及讲解

高中数学反三角函数练习题及讲解### 高中数学反三角函数练习题及讲解#### 练习题1. 求值题：计算 $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ 和 $\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的值。

2. 化简题：将 $\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 化简为一个角度。

3. 应用题：在直角三角形ABC中，已知角A的正弦值为$\frac{3}{5}$，求角A的余弦值。

4. 方程题：解方程 $\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) =\frac{\pi}{4}$，其中 $x \in [-1,1]$。

5. 证明题：证明恒等式 $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) =\frac{\pi}{2}$ 对所有 $x > 0$ 成立。

6. 综合题：如果 $\sin(\theta) = \frac{4}{5}$ 且 $\theta$ 在第一象限，求 $\cos(\theta)$ 和 $\tan(\theta)$。

7. 探索题：探索并证明当 $x$ 从 0 增加到 1 时，$\sin^{-1}(x)$ 和 $x$ 之间的关系。

8. 图形题：在单位圆上，找出 $\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 对应的点，并描述该点在坐标系中的位置。

#### 讲解1. 求值题：根据特殊角的三角函数值，我们知道 $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$ 或 $\frac{\pi}{6}$ 弧度，$\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$ 或$\frac{\pi}{6}$ 弧度。

三角函数的反三角函数计算题

三角函数的反三角函数计算题三角函数是数学中常见的一类函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

而反三角函数则是与之相对应的函数，可以用来计算三角函数的逆运算。

本文将通过几个反三角函数计算题的例子，来介绍如何使用反三角函数进行计算。

1. 计算题一：已知正弦值，求角度已知某角的正弦值为0.5，要求求解该角的度数。

可以使用反正弦函数来计算。

首先，根据反正弦函数的定义，我们有sinθ = 0.5。

然后，将这个等式转化为方程，即arcsin(0.5) = θ。

使用计算器或数学表格，可以得到arcsin(0.5) ≈ 30°。

因此，求解出的角度为 30°。

2. 计算题二：已知余弦值，求角度已知某角的余弦值为0.8，要求求解该角的度数。

可以使用反余弦函数来计算。

根据反余弦函数的定义，我们有cosθ = 0.8。

然后，将这个等式转化为方程，即arccos(0.8) = θ。

使用计算器或数学表格，可以得到arccos(0.8) ≈ 36.87°。

因此，求解出的角度为 36.87°。

3. 计算题三：已知正切值，求角度已知某角的正切值为1.5，要求求解该角的度数。

可以使用反正切函数来计算。

根据反正切函数的定义，我们有tanθ = 1.5。

然后，将这个等式转化为方程，即arctan(1.5) = θ。

使用计算器或数学表格，可以得到arctan(1.5) ≈ 56.31°。

因此，求解出的角度为 56.31°。

通过以上三个计算题的例子，我们可以看到反三角函数的计算方法。

根据已知的三角函数值，可以利用反三角函数来求解相应的角度。

这对于解决实际问题中的角度计算，特别是在三角函数与几何图形的关联中十分有用。

需要注意的是，反三角函数的计算结果一般只能确定主值的范围。

在一些特殊情况下，需要考虑到多值性的情况。

另外，在进行计算时，要注意使用角度制还是弧度制，以及计算设备的设置，避免出现误差。

(完整word)1.4三角函数的图像与性质(真题)

1.4三角函数的图像与性质（真题）一、选择题（本大题共29小题，共145。

0分）1.已知sin（75°+α）=，则cos（15°—α）的值为（）A. -B.C. —D。

2.若α是第三象限角，则y=+的值为（）A. 0B. 2 C。

-2 D。

2或-23.角α是第一象限角，且sinα=,那么cosα（）A。

B. —C。

D. -4.已知角α的终边经过点P(0,3）,则α是（)A。

第一象限角B。

终边在x轴的非负半轴上的角C。

第四象限角 D. 终边在y轴的非负半轴上的角5.已知，且，则tanφ=（)A. B. C。

D。

6.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( ）A。

y=2sin（2x+) B。

y=2sin（2x+)C。

y=2sin（2x—）D。

y=2sin（2x-)7.已知函数f（x）=sin(ωx+φ）（ω＞0，|φ｜≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f(x）在（,）上单调，则ω的最大值为（）A. 11B. 9C. 7 D。

58.函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（)A。

y=2sin（2x-）B。

y=2sin(2x—）C。

y=2sin（x+）D。

y=2sin（x+）9.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A。

x=—（k∈Z) B。

x=+（k∈Z）C. x=-（k∈Z）D。

x=+(k∈Z）10.函数f（x)=cos2x+6cos(—x）的最大值为( )A。

4 B. 5 C. 6 D. 711.已知曲线C1：y=cos x,C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是( ）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C212.设函数f（x）=cos(x+）,则下列结论错误的是（)A。

反三角函数的求法练习题

反三角函数的求法练习题一、选择题1. 已知sinθ = 0.5，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 30°B. θ = 150°C. θ = 210°D. θ = 330°2. 已知cosθ = 0.8，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 143.13°B. θ = 216.87°C. θ = 323.13°D. θ = 336.87°3. 已知tanθ = 1，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 45°B. θ = 135°C. θ = 225°D. θ = 315°二、填空题4. 已知sinθ = 0.6，求θ的值，θ = _______°。

5. 已知cosθ = 0.4，求θ的值，θ = _______°。

6. 已知tanθ = 3，求θ的值，θ = _______°。

三、解答题7. 已知sinθ = 0.8，求θ在第二象限的值。

8. 已知cosθ = 0.7，求θ在第三象限的值。

9. 已知tanθ = 2，求θ在第一象限的值。

10. 已知sinθ = 0.3，求θ在第四象限的值。

11. 已知cosθ = 0.9，求θ在第一象限的值。

12. 已知tanθ = 0.5，求θ在第二象限的值。

四、综合题13. 已知sinθ = 0.75，求θ在第一象限和第二象限的值。

14. 已知cosθ = 0.4，求θ在第三象限和第四象限的值。

15. 已知tanθ = 1.5，求θ在第一象限和第三象限的值。

五、应用题16. 一个直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值为0.6，求该锐角的度数。

17. 在一个直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值为0.8，求该锐角的度数。

18. 一个物体从地面向上抛出，其运动轨迹与水平面的夹角的正切值为1.2，求该夹角的度数。

三角函数练习题100题(Word版,含解析)

三角函数习题100题练兵（1-20题为三角函数的基本概念及基本公式，包括同角三角函数关系，诱导公式等，21-40题三角函数的图象与性质，41-55题为三角恒等变形，56-70为三角函数基本关系及角度制与弧度制等，包括象限角弧长与扇形面积公式等，71-90题为三角函数的综合应用，91-100为高考真题。

其中1-55为选择题，56-70为填空题，71-100为解答题。

）1.函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则A. B. C. D.【解答】解：函数且的图象恒过定点，角的终边经过点，，，．故选B2.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.【解答】解：角的终边上有一点，，则．故选C．3.若，且，则角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解：，则角的终边位于一二象限，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选择．4.已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值A. B. C. D.【解答】解：是第二象限角，为其终边上一点且，，解得，，．故选A．5.已知角的终边过点，且，则的值为A. B. C. D.【解答】解：由题意，角的终边过点，可得，，，所以，解得，故选A．6.若点在角的终边上，则A. B. C. D.【解析】解：点在角的终边上，，则，，．故选B．7.在平面直角坐标系中，，点位于第一象限，且与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是A. B. C. D.【解答】解：设，则，，故故选C．8.的大小关系为A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选C．9.已知角的终边上有一点，则的值为A. B. C. D.【解答】解：根据三角函数的定义可知，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知，故选A．10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则A. B. C. D.【解答】解：因为角的终边过点，所以是第一象限角，所以，，因为，，所以为第一象限角，，所以，所以，故选：．11.若角的终边经过点，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，，，因为的正负不确定，则正负不确定．故选C．12.下列结论中错误的是A.B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点，则D.若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度【解答】解：．，故A正确；B.因为为第二象限角，，所以，当为偶数时，为第一象限的角，当为奇数时，为第三象限角，故B正确；C.当时，，此时，故C错误；D.若扇形的周长为，半径为，则弧长为，其圆心角的大小为弧度，故正确．故选C．13.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么A. B. C. D.【解答】解：因为内部小正方形的内切圆面积为，所以内部小正方形的内切圆的半径为，所以内部小正方形的边长为，外部大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的边长为，设大直角三角形中长直角边为，斜边为，则，则，所以，所以大直角三角形中短直角边为，所以，，则．故选D．14.己知是第四象限角，化简为A. B. C. D.【解答】解：是第四象限角，故，又，，则．故选B．15.函数的最小正周期为A. B. C. D.【解答】解：，所以的最小正周期．故选C．16.函数的值域是A. B. C. D.【解答】解：，令，，则，，由二次函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，当时取的最小值，其最小值为，当时取得最大值，其最大值为．故函数的值域为．故选B．17.已知，，且，，则A. B. C. D.【解答】解：由题可知，，，所以，所以，又，所以，所以，当时，．因为，所以，不符合题意，当时，同理可得，故选：．18.已知，则的值为A. B. C. D.【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选A．19.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为A. B. C. D.【解答】解：，由正弦定理化简得：，整理得：，，；则．当且仅当时等号成立，可得的最小值为．故选：．20.若的内角满足，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：因为为的内角，且，所以为锐角，所以．所以，所以，即．所以．故选A．21.已知函数给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【解答】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．22.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将该图象上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得函数的图象，则解析式是A. B.C. D.【解答】解：由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点横坐标缩短为原来的一半，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点纵坐标伸长为原来的倍，得到新函数解析式为．故选A．23.如图函数的图象与轴交于点，在轴右侧距轴最近的最高点，则不等式的解集是A.，B.，C.，D.，【解答】解：由在轴右边到轴最近的最高点坐标为，可得．再根据的图象与轴交于点，可得，结合，．由五点法作图可得，求得，不等式，即，，，求得，，故选：．24.函数的图像的一条对称轴是A. B. C. D.【解答】解：令，解得，函数图象的对称轴方程为，时，得为函数图象的一条对称轴．故选C25.已知函数，若相邻两个极值点的距离为，且当时，取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为A. B. C. D.【解答】解：函数，所以，，相邻两个极值点的横坐标之差为，所以，所以，又，所以，当时，取得最小值，所以，，而，所以，所以，将的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，，即．所以的最小正值为．故选A．26.函数的定义域为A. B.C. D.【解答】解：根据对数的真数大于零，得，可知：当时，，故函数的定义域为．故选A．27.设函数若是偶函数，则A. B. C. D.【解答】解：，因为为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选B．28.函数的部分图像如图所示，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，因为，所以，，由时，可得，所以，结合选项可得函数解析式为．故选A．29.已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④【解答】解：对于①，，，①正确；对于②，，由，即存在常数恒有成立，②正确；对于③，，令，，则设，，令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，则的最大值为，③错误；对于④，当时，，所以在上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：．30.已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.【解答】解：由题意得最小正周期，，即，直线是图象的对称轴，，又，，故选A．31.已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数向左平移半个周期得的图象，由，可得，由于在上的值域为，即函数的最小值为，最大值为，则，得．综上，的取值范围是．故选D．32.若，则实数的取值范围是A. B. C. D.解：，，，．，，．33.如图，过点的直线与函数的图象交于，两点，则等于A. B. C. D.【解答】解：过点的直线与函数的图象交于，两点，根据三角函数的对称性得出；，，，，．是的中点，，．故选B．34.已知函数，若函数恰有个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为A. B. C. D.解：画出函数的图象，如图：结合图象可知要使函数有个零点，则，因为，所以，所以，因为，所以，且，可设，其中，所以，所以，所以的取值范围是．故选A．35.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A. B. C. D.【解答】解：根据函数的部分图象，则：，，所以：，解得：，当时，，即：解得：，，因为，当时，，故：，现将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到：函数的图象．故选C．36.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．37.设，则函数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以，所以故选A．38.人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则下列说法正确的是A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值【解答】解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：则此人收缩压；舒张压，所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．故选C．39.设函数，下述四个结论：①的图象的一条对称轴方程为；②是奇函数；③将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.①③D.②③④【解答】解：由题意．对①，的对称轴为，即，故是的对称轴故①正确；对②，，故为偶函数，故②错误；对③，将的图象向左平移个单位长度得到故③正确；对④，当时，，因为是的减区间，故④错误．综上可得①③正确．故选C．40.如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由图象知．因为，所以，解得，所以这段时间水深的最大值是．故选C．41.若，且，则等于A. B. C. D.【解答】解：，，则，又，，则．故选：．42.若，则A. B. C. D.【解答】解：，且，，，两边同时平方得，解得或舍去，，故选B．43.，，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选：．44.若，均为锐角，，，则A. B. C.或 D.【解答】解：为锐角，，，且，，且，，，．45.在中，已知，那么的内角，之间的关系是A. B. C. D.关系不确定【解答】解：由正弦定理，即，所以，即，所以，则，所以．故选B．46.设，，则A. B. C. D.【解答】解：根据二倍角公式可得，解得，由，可得，所以，故选A．47.设，，且，则下列结论中正确的是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以．故选A．48.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【解答】解：已知是锐角，，若，，则．故选A．49.化简的值等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．50.已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，由得．．故选B．51.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数，由函数在上单调递减，且，得解得，又，，实数的取值范围是．故选A．52.函数的最大值为A. B. C. D.【解答】解：函数，其中，函数的最大值为，故选C．53.计算：等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．54.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，即，即，，由正弦定理可得，又，所以由余弦定理可得，故选D．55.函数取最大值时，A. B. C. D.【解答】解：，其中由确定．由与得．若，则，，，此时．所以，最大值时，，，．故选．56.已知点在第一象限，且在区间内，那么的取值范围是___________．【解答】解：由题意可知，，，借助于三角函数线可得角的取值范围为．故答案为．57.已知角的终边经过点，则实数的值是【解答】解：设，由于正切函数周期为，则，又终边经过点，所以，解得，故答案为．58.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴的非负半轴，，若点是角终边上的一点，则的值是____．【解答】解：因为点是角终边上的一点，所以，由，，则在第一象限，又，所以．故答案为．59.已知，，则____________．【解答】解：，，，，．故答案为．60.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为__________．【解答】解：由题意可得，则．故答案为．61.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________．【解答】解：因为，所以扇形面积公式．故答案为．62.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．【解答】解：由于，若，，则．63.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为___________．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为，连接，过作交于，交于，交于，过作于，记扇形的面积为，由题中的长度关系易知，同理，又，可得为等腰直角三角形，可得，，，，，解得，，故答案为．64.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为______________写正数值：如果小轮的转速为转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______________．【解答】解：因为大轮有齿，小轮有齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角为，如果小轮的转速为转分，则每秒的转速为转秒，由于大轮的半径为，那么大轮周上一点每转过的弧长是．故答案为．65.终边在直线上的所有角的集合是____________．【解答】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为，终边落在射线的角的集合为：，终边落在直线的角的集合为：．故答案为．66.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解答】解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．67.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________________________．【解答】解：由题意，得与终边相同的角可表示为，与终边相同的角可表示为，故角的集合是，故答案为．68.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关若，则与的终边相同若，则是第二或第三象限的角．其中正确的命题是填序号【解答】解：①是第二象限角，是第一象限角，但，①错误；②三角形内角有的直角，但它不是象限角，不属于任何象限，②错误；③角的度量是角所在扇形中它所对的弧长与相应半径的比值，与扇形半径无关，③正确④与的正弦值相等，但它们终边关于轴对称，④错误；⑤余弦值小于零，的终边在第二或第三象限或非正半轴上，⑤错误．故答案为③69.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．解：设扇形的半径为，圆心角为，弧长，此扇形的周长为，，解得：，则扇形的面积为．故答案为．70.地球的北纬线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山东经，西至普兰东经，“英雄城市”武汉东经也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰东经为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为__________用含的代数式表示【解答】解：地球半径为，所以北纬的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经和东经，相差，即，所以两地在北纬的纬线长是．故答案为．71.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．求的值；若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．【参考答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．，．因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，从而．72.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？【参考答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时在弧的四等分点处．73.如图，圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设，在右侧为优弧不含端点上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为．求关于的函数关系；求的最大值及此时的大小．解：如下图所示：圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，，到的距离，若，则，到的距离，故令则，，的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，故当，即时，取最大值．74.如图，在中，，，为，，所对的边，于，且．求证：；若，求的值．【参考答案】证明：，，，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，则，即，，，由此即得证．解：，，，则，由知，，故的值为．75.已知角的终边经过点．求的值；求的值．【参考答案】解：Ⅰ因为角终边经过点，设，，则，所以，，．．Ⅱ．76.已知向量，．当时，求的值；若，且，求的值．【参考答案】解：首先，．当时，．由知，．因为，得，所以．所以．77.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为求的值；求的值．【参考答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，从而，同理可得，因此，，所以，，又，，，得．78.已知化简若是第二象限角，且，求的值．【参考答案】解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．79.如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．求，的值和，两点间的距离；应如何设计，才能使折线段最长？【参考答案】解：因为图象的最高点为，所以，由图象知的最小正周期，又，所以，所以，所以，，故，两点间的距离为，综上，的值为，的值为，，两点间的距离为；在中，设，因为，故，由正弦定理得，所以，．设折线段的长度为，则，所以的最大值是，此时的值为．故当时，折线段最长．80.已知函数．Ⅰ求的最小正周期；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：Ⅰ，所以的最小正周期为．Ⅱ因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．81.已知函数求函数的最小正周期；若函数对任意，有，求函数在上的值域．【参考答案】解：，的最小正周期；函数对任意，有，，当时，则，则，即，解得．综上所述，函数在上的值域为：．82.已知向量，．当时，求的值；设函数，且，求的最大值以及对应的的值．【参考答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．83.已知函数．求的值；从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．【参考答案】解：Ⅰ由函数，则；Ⅱ选择条件①，则的一个周期为；由；，因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为．选择条件②，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为．，，84.已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；若存在满足，求实数的取值范围．【参考答案】解：，函数的最小正周期．由，得，的单调递增区间为．当时，可得：，令．所以若存在，满足，则实数的取值范围为．85.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【参考答案】解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，故的值域为．86.函数的部分图象如图所示．求的解析式；设，求函数在上的最大值，并确定此时的值．【参考答案】解：由图知，，则，，，，，，，，的解析式为；由可知：，，，，当即时，．87.已知函数的一系列对应值如下表：根据表格提供的数据求函数的一个解析式．根据的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【参考答案】解：设的最小正周期为，则，由，得．又由解得令，即，解得，．函数的最小正周期为，且，．令．，，的图像如图．在上有两个不同的解时，，方程在时恰有两个不同的解，则，即实数的取值范围是．88.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：由题意可知，，，得，解得．，即，，，所以，故；当时，，得；当时，即有时，函数取得最小值；当时，即有时，函数取得最大值．故，；89.已知函数．求的值；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】解：Ⅰ，．Ⅱ，．．由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围为．90.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【参考答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．高考真题91.（2016山东）设．求的单调递增区间；把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【参考答案】解：由，由，得，所以的单调递增区间是．由知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即．所以．92.（2020安徽）在平面四边形中，，，，．求；若，求．解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．93.（2105重庆）已知函数求的最小正周期和最大值；讨论在上的单调性．【参考答案】解：．所以的最小正周期，当时，最大值为．当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为94.（2020上海）已知．求的值求的值．【解答】解：原式原式．95.（2017山东）设函数，其中，已知．Ⅰ求；Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．解：Ⅰ函数，又，，，解得，又，Ⅱ由Ⅰ知，，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数当时，，，当时，取得最小值是．96（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．若，求集合；若，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：，是不超过的正整数，求的所有可能的值．【参考答案】解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．①当时，，数列为常数列，仅有个元素，显然不符合条件；②当时，，，数列的周期为，中有个元素，显然不符合条件；③当时，，集合，情况满足，符合题意．④当时，，，，，或者，，当时，集合，符合条件．⑤当时，，，，，或者，，因为，取，，集合满足题意．⑥当时，，，所以，，或者，，，取，，，满足题意．⑦当时，，，所以，，或者，，，故取，，，，当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，，，，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，不是整数，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，，，．97.（2017全国）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．函数是否属于集合？说明理由；设函数，且的图象与的图象有公共点，证明：；若函数，求实数的取值范围．【参考答案】解：对于非零常数，，．因为对任意，不能恒成立，所以；因为函数且的图象与函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．于是对于有故；当时，，显然．当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．因为，且，所以，，。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

（word完整版）高中三角函数最值问题难题

（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。

反三角函数举例

反三角函数举例例1 下列各式子中，有意义的是________(1)arcsin (2)arcsin;2π(3)sin(arcsin 2); (4)arcsin(sin 2).解注意到arcsin y x = 的定义域是[1,1],- 因此有意义的式子是（4）例2 求下列反正弦函数的值.(1)arcsin____;=(2)arcsin 0_____;=(3)1arcsin()______;2- (4)arcsin1_______.要熟记10;;,122±±± 的反正弦值. 例求1sin(arcsin)24I π=+ 的值；()f x 解由于1a r c s i n ,26π= 于是16s i n ().64224I ππ=+=⨯+=例3设sin x =用反正弦的形式表示下列各式中的.x （1）[,];22x ππ∈- （2）[,];2x ππ∈ （3）[0,].x π∈解（1）由于[,],22x ππ∈-则x = （2）由于[,],2x ππ∈则 [0,],2x ππ-∈且sin()sin 5x x π-==因此a r c s i ,5x π-=于是arcsin5x π=- （3）当[0,]x π∈时，arcsin,5x =或者arcsin 5x π=- 练习用反正弦的形式表示下列各式中的.x 设1sin ,4x =- （1）[,];22x ππ∈-（2）3[,2];2x ππ∈ 解（1）由于[,],22x ππ∈-则 11arcsin()arcsin().44x =-=-（2）当3[,2]2x ππ∈时，2[0,],2x ππ-∈ 且1sin(2)sin .4x x π-=-=因此12a r c s i n (),4x π-= 于是12arcsin .4x π=- 注意若sin ,x a = 当[,]22x ππ∈-时，则arcsin ;x a = 当[,]22x ππ∉-时，可以将角转化到[,]22ππ-上，再利用诱导公式处理对应角三角函数值即可.练习写出式中的.x （1）sin ,[,];222x x ππ=∈-（2）sin [0,];3x x π=∈ （3）33sin ,[,].522x x ππ=-∈解（1）.3x π= （2）arcsin ,3x =或者arcsin 3x π=- （3）当3[,]22x ππ∈时，[,].22x πππ-∈-而3sin()sin ,5x x π-=-= 3arcsin ,5x π-= 于是3arcsin .5x π=+例4 求2arcsin(52)y x =- 的定义域和值域.解由1521x -≤-≤ 可得2 3.x ≤≤ 因此函数的定义域为[2,3].x ∈ 由于arcsin(52)[,],22x ππ-∈-因此函数的值域为[0,].π练习（1）求sin arcsin y x x =+ 定义域和值域；（2）当3[,]44x ππ∈-时，求arcsin(cos )y x = 的值域. 解（1）函数的定义域是 [1,1],x ∈- 值域为 [sin1,sin1].22ππ--+（2）令3cos ,[,],44t x x ππ=∈- 于是[,1].2t ∈- 而arcsin y t = 是单调增加的函数，于是函数的值域为[,].42ππ-例5 求下列函数的反函数（1）sin ,[,];2y x x ππ=∈ （2）arcsin ,[0,1].y x x =∈解（1）函数的值域[0,1],y ∈ 由于[,],2x ππ∈ 则[,0],2x ππ-∈-且sin()sin .x x y π-=-=- 于是arcsin()arcsin ,x y y π-=-=- 因此arcsin ,x y π=-于是原函数的反函数1()arcsin ,[0,1].fx x x π-=-∈（2）当[0,1]x ∈ 时，值域[0,].2y π∈ 于是 sin ,x y = 因此原函数的反函数为1()s i n ,[0,].2f x x x π-=∈ 例6 求下列反三角函数的值（1）____;= .6π （2）arccos(_____;2-= 两种方法求 3.4π （3）arccos0arctan1_____;+= 3.4π （4）arctan(_____;= .3π- （5）11arcsin()arccos()____;22-+-= .2π（6）5arctan(tan )____;6π= .6π-例7 用反三角函数的形式表示下列各式中的.x（1）1cos ,[0,];3x x π=∈ 1arccos .3x =（2）1cos ,[,2];3x x ππ=-∈1arccos .3x π=+（3）tan 2,(,).22x x ππ=-∈-arctan(2)arctan 2.x =-=-（4）3tan 2,(,).22x x ππ=-∈arctan 2.x π=-例8 （1）已知 arcsin arcsin(1),x x ≥- 求x 的取值范围. 解由111x x -≤-≤≤ 可得11.2x ≤≤ （2）已知 arccos arccos(1),x x >- 求x 的取值范围. 解由111x x -≤<-≤ 可得10.2x ≤< （3）已知arctan ,3x π>求x 的取值范围.解x >（4）已知arccos .3x π>求x 的取值范围.11.2x -≤<解 9 求arcsin arctan y x x =+ 的值域.解因为函数的定义域为[1,1].- 它的值域为33[,].44ππ- 10 求下列各式的值（1）sin(arccos());3-解设arccos(x =则 cos [0,],x x π=∈于是sin(arccos(sin 33x -==（2）tan(arccos());26π--解 3tan(arccos())tan()2646πππ--=-2== （3）213cos (arccos );25解设 3arccos ,5x =则 3cos ,[0,].52x x π=∈ 2213114cos (arccos )cos ()(1cos ).25225x x ==+=（4）123sin(arctan arcsin );55-解设123arctan ,arcsin ,55αβ== 则12125tan ,sin ,cos .51313ααα===34sin ,cos .55ββ==于是123sin(arctan arcsin )sin()55αβ-=-1245333.13513565=⨯-⨯=（5）求11arctan arctan 23+ 的值.解设11arctan ,arctan ,23αβ==则11tan ,tan ,,[0,].232παβαβ==∈ tan()1,αβ+=于是.4παβ+=。

6.4.1 反三角函数(含答案)

【课堂例题】例1.写出下列角的弧度数：(1)1 arcsin2=(2)arcsin1=(3)arcsin(2=(4)arcsin0=例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)：(1)2sin,[,]522 x xππ=∈-(2)1sin,[0,]3x xπ=∈课堂练习1.求值：(1)arcsin(1)-=(2)arcsin(=(3)arcsin0.457=(利用计算器，精确到0.01)(4)sin(arcsin0.6)=2.求下列各式中的角x(1)3sin,[0,]42x xπ=∈(2)1sin,[0,2]7x xπ=-∈3.不使用计算器计算：(1)1cos(2arcsin)3(2)11sin[arcsin arcsin()]34+-(3)1tan(arcsin0.8)24.已知[1,1]x∈-，求证：arcsin()arcsinx x-=-【知识再现】1.一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值([1,1])y y ∈-，那么在上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =，称x 为y 的 .2.arcsin ([1,1])y y ∈-表示一个的角.【基础训练】1.填空：arcsin2= ；1arcsin()2-= ;arcsin1= ；arcsin(2-= . 2.填空：1sin(arcsin )4= ； cos(arcsin1)= . 3.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)(1)arcsin 0.2672≈ ；(2)arcsin(0.3322)-≈ .4.ABC ∆中，如果3cos 5A =-，那么A 用反正弦函数可以表示为 . 5.用反正弦函数表示下列角x ：(1)sin [,]22x x ππ=∈-； (2)1sin ,[,]42x x ππ=∈;(3)13sin ,[,]32x x ππ=-∈6.不使用计算器计算：(1)1sin(2arcsin )3; (2)5cos(arcsinarcsin )213-；(3)11tan[arcsin()]24-； (4)3cot(arcsin )7.7.计算并回答问题：arcsin(sin )3π= ；arcsin(sin1)= ； 5arcsin(sin )6π= ；arcsin[sin()]5π-= . 请问arcsin(sin )x x =成立的充要条件是什么？(无需证明)【巩固提高】8.在ABC ∆中，已知1arcsin 5A =，5arcsin 13B =，求C 的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).9.求证：34arcsin arcsin 552π+=(选做)10.(1)求证：当[,]22x ππ∈-时，arcsin(sin )x x =.(2)已知sin ,[1,1],[2,2],22x a a x k k k Z ππππ=∈-∈-+∈，求x .【温故知新】11.已知函数()lg(31),[0,3]f x x x =+∈，求1()f x -.【课堂例题答案】例1.(1)6π；(2)2π；(3)4π-；(4)0. 例2.(1)2arcsin 5x =;(2)1arcsin 3x =或1arcsin 3x π=- 【课堂练习答案】 1.(1)2π-;(2)3π-;(3)0.47;(4)0.6 2.(1)3arcsin 4x =;(2)1arcsin 7x π=+或12arcsin 7π-3.(1)79;(2)12;(3)12 4.证：sin[arcsin()]x x -=-，sin(arcsin )sin(arcsin )x x x -=-=- 又arcsin()[,],arcsin [,]2222x x ππππ-∈--∈-且sin y x =在[,]22ππ-上是单调增函数，因此arcsin()arcsin x x -=- 证毕【知识再现答案】 1.[,]22ππ-，反正弦函数 2.[,]22ππ-上且正弦值为y 【习题答案】 1.,,,3624ππππ-- 2.1,043.(1)0.2705;(2)0.3386-4.4arcsin 5π-5.(1)arcsin 5x =;(2)1arcsin 4x π=-;(3)1arcsin 3x π=+6.(1)9;(2)2647.,1,,365πππ-,[,]22x ππ∈-8. 2.545145.843C rad π=-≈≈ 9.证：33sin(arcsin )55=，443sin(arcsin )cos(arcsin )2555π-== 又34arcsin [,],arcsin [,]5222522πππππ∈--∈-，因此34arcsin arcsin 525π=- 证毕 10.(1)证：arcsin(sin )[,],[,]2222x x ππππ∈-∈-，又sin[arcsin(sin )]sin x x = 因此arcsin(sin )x x = 证毕(2)2[,]22x k πππ-∈-又sin(2)sin x k x a π-==，因此2arcsin x k a π-=，即2arcsin ,x k a k Z π=+∈ 11.11()(101),[0,1]3x f x x -=-∈。

(完整word版)精选三角函数解答题30道带答案

三角函数综合练习三学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1（0ω>）（1）求()f x 在区间（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得个单位，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区上有且只有一个实数根，求实数k 的取值范围． 2．其中,m x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为并求此时()f x 在R 上的对称中心．3 （1）求)(x f 的最小正周期；（2. 4 （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间 5．已知函数．（1）求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．6 （1）求()f x 的最小正周期；（2）若将()f x 的图象向右平移个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的最大值和最小值．7 （Ⅰ)（Ⅱ)8（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2求α的大小．9， x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间（2，求0cos 2x 的值。

10．（本小题满分12 （1）求()f x 单调递增区间；（2）求()f x 在.11 （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在.12 （I ）求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（II ）将函数()f x 的图象向右平移个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在的值域．13 （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间 14（其中x ∈R ），求：（1）函数()f x 的最小正周期;（2）函数()f x 的单调区间;15 （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间16 （1及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在闭区间17（1（2成立的x 的取值集合.18 （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；19 （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期T 及在],[ππ-上的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=+k x f ，在区间上且只有一个实数解，求实数k 的取值范围.20 （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数)(x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后，得到的函数)(x g 的图象关于轴对称，求实数m 的最小值.21（x R ∈）．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移个单位长度后得到函数()g x 的图象，求函数()g x22（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合.23 （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在. 24．已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；时，求函数()f x 的最大值和最小值． 25．已知函数()()cos sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；时，求函数()f x 的最大值和最小值．26（1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在m 的取值范围.27（1）求函数()y f x =的最大、最小值以及相应的x 的值；（2）若y ＞2，求x 的取值范围.28 （1）求函数()f x 的最大值；（2）若直线x m =是函数()f x 的对称轴，求实数m 的值.29．函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（1 （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．30 （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在参考答案1．（1（2或1k =-．【解析】试题分析：（1时，()f x 为减函数⇒所以()f x 的减区间为（2()y g x =的图象与直线y k =-在区间上只有一个交点⇒或1k =-．试题解析：（1因为()f x 的最小正周期为时，()f x 为减函数，所以()f x 的减区间为（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到再将的图象向右平移个单位，得到若关于x 的方程()0g x k +=在区间即函数()y g x =的图象与直线y k =-在区间上只有一个交点，或1k -=，即或1k =-．考点：三角函数的图象与性质．2．（1）T π=；（2，Z k ∈∈．【解析】试题分析：（1）则最小正周期T π=；（2）时，)(x f 值域为]3,[m m +解得函数)(x f 对称中心为，Z k ∈∈．试题解析：（1）最小正周期T π=；（2考点：三角函数图象的性质．3．（1）π=T ；（2）()f x 在【解析】试题分析：（1）根据正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式可将)(x f 化可得)(x f 的最小正周期为π；（2）进而得)(x f . 试题解析：（1所以f(x)f(x)考点：1、正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式；2、三角函数的周期性及单调性.4．（1）函数的最小正周期为π（2时，)(x f 取最大值2时，)(x f 取得最小值1-【解析】试题分析：（1最小正周期及其图象的对称中心的坐标；（2从而可求求f （x试题解析：：（Ⅰ）因为f （x ）=4cosxsin （-1=4cosx ）-12x-1=2sin （，所以f （x ）的最小正周期为π，由于是，当2；当f （x ）取得最小值-1 考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【答案】（1）π=T ；（2【解析】试题分析：（1）借助题设条件和两角和的正弦公式化简求解；（2）借助题设条件及正弦函数的有界性求解．试题解析：（1）因()()2sin cos cos 2f x x x x =++考点：三角变换的有关知识及综合运用．6．（1）π；（2）2,1.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角旳一个三角函数的形式,即可求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向右平移求出函数()g x 的解析式, 然后根据三角函数有界性结合三角函数图象求()g x 在区间[]0,π上的最大值和最小值．考点：1、三角函数的周期性；2、三角函数的图象变换及最值.【方法点晴】本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象变换及最值，属于难题.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过和、差、倍角公式的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．7．（Ⅰ)2π（Ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ)先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()fx ，再根据正弦函数性质求周期（Ⅱ))的基础上，利用正弦函数性质求试题解析：（Ⅰ)（1)()f x 的最小正周期为（()f x 取得最小值为：考点：二倍角公式、配角公式8．（1（2 【解析】试题分析：（1）利用正切函数的性质，可求得()f x 的定义域，由其周期公式可求最小正周期；（2）利用同三角函数间的关系式及正弦、余弦的二倍角公式，，从而可求得α的大小．试题解析：解：（1所以()f x 的定义域为．()f x 的最小正周期为考点：1、两角和与差的正切函数；2、二倍角的正切．9．（1）π=T,()[]2,1-∈xf;（2【解析】试题分析：（1）再利用周,,利用正弦函数图像可得值域;（2）先利用求出,再由角的关系.试题解析:（1所以π=T由函数图像知()[]2,1-∈xf.（2考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式10．（1（2【解析】试题分析：（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式，化简（2）试题解析：（1（2）由得f x在,因此,()考点：三角恒等变换，三角函数图象与性质． 11．（I ）T π=；（II【解析】试题分析：（I ）利用两角和的正弦公式，降次公式，辅助角公式，将函数化简为，由此可知函数最小周期T π=；（II）试题解析：∴()fx 的最小正周期考点：三角恒等变换．12．（I ）π=T ,（II【解析】试题分析：（I ）利用和差角公式对()x f 可化为：，解出x 可得对称轴方程；（II ）由x 的范围可得x 2范围，从而得x 2cos 的范围，进而得()x g 的值域．试题解析：（1）即函数()x g 在区间考点：（1）三角函数中恒等变换；（2）三角函数的周期；（3）复合函数的单调性.【方法点晴】本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识，熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键，高考中的常考知识点.于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解.13．（1）π=T ;（2） -2．【解析】试题分析：（1）首先将函数进行化简，包括两角和的正弦公式展开，以及二倍角公式以及x x 2cos 1cos 22=-，然后合并同类项，最后利用辅助角公式（2. 试题解析：（1）由题意可得∴()f x 的最小正周期为T π=；（2∴()f x 在区间-2．考点：1.三角函数的恒等变形；2.三角函数的性质.14．（1）π（2【解析】试题分析：f （x ）的最小正周期．x 的范围，即可得到f （x ）的单调增区间，同理可得减区间试题解析：（1所以()f x 的单调减区间为考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性15．（1）π，（2 【解析】试题分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数()f x 展开再整理, 可将函数化简为()sin y A x ωρ=+的形式, 根据可求出最小正周期, 令求出x 的值即可得到对称轴方程；（2）先根据x 的范围求出, 进而得到函数()f x 在区试题解析：（1（2时，()f x 取最大值1，时，()f x 取最小值所以函数()f x 在区间考点：1、三角函数的周期性及两角和与差的正弦和余弦公式；2、正弦函数的值域、正弦函数的对称性．16．（1（2）最大值为1，最小值为【解析】试题分析：（1）将原函数()f x 由倍角公式和辅助角公式,,利用正弦函数的单调递区间求得此函数的单调增区间；（2）先求出,再进一步得出对应的正弦值的取值,可得函数值的取值范围,可得函数最值. 试题解析：（1），则，（2）所以最大值为1，考点：1.三角恒等变换；2.三角函数性质.【知识点睛】本题主要考查辅助角公式及三角函数的性质.对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调区间的确定,基本思路是把x ωϕ+视做一个整体,解出x 的范围所得区间即为增区间,由x 的范围,所得区间即为减区间.若函数中()0,0A ω><,可用诱导公式先将函数变为()()sin 0,0y A x A ωϕω=--->>,则()()sin 0,0y A x A ωϕω=-->>的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间.17．（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接代入解析式即可；（2）由两角差的余弦公式，及正余弦二倍角公式和辅，k Z ∈，从而求解.试题解析：（1（2）f （x ）＝cos xcos x因f （x ）于是2k2x2kk ∈Z. 解得kx ＜kk ∈Z.故使f （xx 的取考点：1、二倍角公式；2、辅助角公式；3、余弦函数图象与性质． 18．，k Z ∈；（Ⅱ）()f x 取得最大值1，()f x 取得最小值【解析】试题分析：，k Z ∈，可解得单调减区间；（Ⅱ）最小值.试题解析：，k Z ∈.，k Z ∈.时，()f x 取得最小值时，()f x 取得最大值1. 考点：（1）降幂公式；（2）辅助角公式；（3）函数()ϕω+=x A y sin 的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解.19．【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用正弦函数的图象和性质求解；（Ⅱ）借助题设条件运用正弦函数的图象建立不等式求解. 试题解析：（Ⅰ）由已知又因为.当0=k 时当1-=k 时∴函数)(x f 在[]ππ,-的单调递减区间为（Ⅱ） ,0)(=+k x f 在区与2--=∴k y 在区间考点：正弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.用问题为背景,要求运用三角变换的公式将其化为k x A y ++=)sin(ϕω的形式,再借助正弦函数的图象和性质求解.解答本题时,首先要用二倍角公式将其化简为再运用正弦函数的图象即可获得答案.这里运用二倍角公式进行变换是解答本题的关键.20．（1）π，（2【解析】试题分析：（1）将展开后再次合并，化简得（2）先按题意平移，得到试题解析：∴函数)(x f 的最小正周期函数)(x f 单调递减.考点：三角函数图象与性质．21．（1）T π=，单调减区间（k Z ∈）；（2【解析】试题分析：（1）利用降次公式和两角和的余弦公式，先展开后合并，化简函数，故周期T π=，代入余弦函数单调减区间[]2,2k k πππ-，可求（2）函数()f x 的图象向右平移试题解析：（1（k Z ∈）．（2，()g x 在考点：三角恒等变换、三角函数图象与性质．22．（1）π；（2【解析】试题分析：（1）利用降次公式，和辅助角公式，故周期等于π；（23.试题解析：（1）∴函数()f x 的最小正周期为（2）当()f x 取最大值时，考点：三角恒等变换．23．（I ）π；（II ）函数()f x 的单调递增区间是【解析】试题分析：（I数的最小正周期；（II ）函数2sin y z =的单调递增区间，即可求解函数的单调递增区间．试题解析：函数2sin y z =的单调递增区间是所以,,()f x . 考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质及三角函数的单调区间的求解，本题的解答中利用三角恒等变换的公式求解函数的解析式查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的化简与运算能力． 24．（Ⅰ）π；，最小值1- 【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数解析式，可得最小正周期为π；（Ⅱ）可得()f x 在和1-试题解析：（Ⅰ）()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-sin 2cos2x x =-所以()f x 的最小正周期时，()f x 取得最大值，即0x =时，()f x 取得最小值1-所以()f x 在和1- 考点：三角函数求值．【思路点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，考查了)sin(ϕω+=x A y 型函数的图象与性质，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公式和降幂公式，辅助角公式，由x 的范围求得相位. 25．（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值0，最小值【解析】试题分析：，可得最小正周期为π；，可得()f x 在最小值分别为0和试题解析：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-所以函数()f x 的最小正周期时，函数()f x 取得最大值0，时，函数()f x 取得最小值所以()f x 在0考点：三角函数求值．【思路点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，考查了)sin(ϕω+=x A y 型函数的图象与性质，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为y ，再用辅助角公式将函数化简为y ，由x 的范围求得相位的范围，进一.26．（1）周期为π,（2）[]0,1m ∈ 【解析】试题分析：（1）利用倍角公式,两角和的正余弦公式将函数转化为()sin()f x A x bωϕ=++的形式,进一步求函数的周期和单调性；（2得()f x 的取值范围,进一步得2m +的取值范围,可解得实数m 的取值范围.试题解析：（k ∈Z ）．（2，所以()f x 的值域为[]2,3．而()2f x m =+，所以[]22,3m +∈，即[]0,1m ∈．考点：1.倍角公式；2.辅助角公式；3.函数()sin()f x A x b ωϕ=++的性质． 27．（1时有最大值3；时，取最小值1-；（2【解析】试题分析：（1）由函数()sin()f x A x k ωϕ=++的最值取值情况求所给函数的最值；（2）对于2y ＞,利用特殊角的三角函数值与正弦函数的单调性,可将不等式转化为关于x 的不等式,解不等式可得x 的取值范围. 试题解析：（1）设sin （1，此时函数f （x ）=2sin （+1取最大值3.当u=2kπx=kπsin （-1，此时函数f （x ）=2sin （+1取最小值-1.（2）∵y=2sin（（k∈Z）（k∈Z）∴x （k∈Z）考点：1.()sin()f x A x k ωϕ=++的性质；2.特殊角的三角函数性质．28．（1）最大值是2；（2 【解析】试题分析：（1）从而化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质求出函数的最大值；（2）利用sin y x =的对称轴，列出关系式，解出x ，即可求得m 的值.试题解析：（1）所以()f x 的最大值是2.（2而直线x m =是函()y f x =的对称轴，所以考点：1、诱导公式；2、正弦函数的图象与性质．【方法点睛】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角形函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．29．（1）2；（2）π，【解析】试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．试题解析:（1（2所以()f x 的单调递增区间为考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．30．（1）π，1；（2）()f x 在【解析】试题分析：（1）()f x 整理得由公式可求得()f x 的周期和最大值；（2）求函数()f x 在R 上的单调区间，分别与.（1）()f x 的最小正周期为π，最大值为1；（2）当()f x 递增时，()k Z ∈,当()f x ()k Z ∈所以，()f x 在考点：两角的正弦公式；函数sin()y A x ωϕ=+的性质.。

7.3反三角函数与简单三角方程(学生)

[松江二中2010届高三数学第一轮复习资料]7．2反三角函数与简单三角方程【复习要求】1、知道反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的基本性质和图像；2、理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念和符号表示；3、会用计算器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小；4、掌握最简三角方程的解集，会解形如：0cos sin,0sin sin,cos sin ,)sin(22=++=++=+=+c x b x a c x b x a c x b x a a x A ϕω等简单的三角方程。

其它性质：（一）sin(arcsin ),x x x =∈[]1,1-，s(arc s ),co co x x x =∈[]1,1-，tan(arctan ),x x x =∈R （二）[]arcsin()arcsin ,1,1x x x -=-∈-，[]arccos()arccos ,1,1x x x π-=-∈-， arctan()arctan ,x x x R -=-∈（三）arcsin(sin ),,22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，[]arc s(s ),0,co co x x x π=∈，arctan(tan ),,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭最简三角方程的解集：【基础训练】 1、求值：=23arcsin=-)21arcsin( =-)22arccos( =-)3arctan(2、下列各式中正确的是（）（A ）216arcsin =π (B)3)3cos(arccos ππ=(C)1222arctanarctan π=- (D)53)]53(arcsin[sin ππ=3、下列命题中正确的是（1）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 (2) 函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数 (3) 函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 (4) 函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 4、若函数)2arcsin(2-=x y 值域是],3[ππ-，则此函数定义域为5、函数)2arccos(22x x y -+-=π的递减区间是6、求解三角方程：（1）1)4sin(2=+πx（2）26cos sin =-x x（3）221tan 1tan =+-x x（4）x x sin 4sin =【典型例题】 1、求值：（1）)622tan(arccos π-，（2）)]135arccos(53cos[arcsin--，（3）)]53arcsin(2sin[-2、函数]23,2[,sin ππ∈=x x y 的反函数)(1x f-为（）（A ）]1,1[,arcsin -∈-x x (B)]1,1[,arcsin -∈--x x π(C) ]1,1[,arcsin -∈+x x π (D) ]1,1[,arcsin -∈-x x π 3、设αsin =x ，且]47,65[ππα∈，则x arccos 的取值范围是4、求函数)arcsin(2x x y -=的定义域、值域及单调区间。

反三角函数化简求值精选题

反三角函数化简求值精选题题目一求解：$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$解答使用反三角函数的定义，可以得知 $\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)$ 等于一个角度 $\theta$，满足 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，且 $\sin(\theta) = -\frac{4}{5}$。

然后，利用正弦函数的定义，可得最后的结果为$\sin\left(\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)\right) = -\frac{4}{5}$。

因此，答案为 $-\frac{4}{5}$。

题目二求解：$\tan\left(\arctan\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$解答使用反三角函数的定义，可以得知 $\arctan\left(-\frac{2}{3}\right)$ 等于一个角度 $\theta$，满足 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$，且 $\tan(\theta) = -\frac{2}{3}$。

然后，利用正切函数的定义，可得最后的结果为$\tan\left(\arctan \left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}$。

因此，答案为 $-\frac{2}{3}$。

题目三求解：$\cot\left(\arccos\left(\frac{3}{5}\right)\right)$解答使用反三角函数的定义，可以得知$\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$ 等于一个角度 $\theta$，满足 $0 \leq \theta \leq \pi$，且 $\cos(\theta) = \frac{3}{5}$。

反三角函数练习题及答案

反三角函数练习题及答案相关热词搜索：练习题函数答案反三角函数公式反三角函数的习题反三角函数知识点篇一：反三角函数练习周末作业2012429反三角函数练习周末作业1. arcsin（－x）x?sin（arcsinx）x?arcsin(sinx)＝，x?2. arccos（-x）x?cos（arccosx）x?arccos（cosx）x?3. arctan（-x）x?tan（arctanx）x? ??3??3?sarcs?i?n?4．arctan(?)?；co??? ?3??211 arcsin（sin20070）=________________________；arcsin?)??6??5. 用反三角函数表示sinx??,x,13??3??的角x?2??6. tanx??3，x??0,2??，则x= _____________________;7. 若3cos??1?0，当?为?ABC的一个内角时，则??8. 求函数y?9. 求函数f（x）=10. 求f(x)=2arcsin2x的反函数____________________________11. 当x?0时，arctanx?arctan?2?arcsinx,x1,1?的反函数_______________________ x?+arccos的反函数_______________________ 221恒等于。

x12. 当x??-1，1?时，arcsinx?arccosx恒等于。

113．已知y?sinx与函数y?arcsinx，下列说法正确的是（）A．互为反函数B．都是增函数C．都是奇函数D．都是周期函数14．函数y?arcsin?sinx?的定义域是（）A．??1,1? B．22,2?2 C．R D．0,???15．已知sinx?a，其中a?1,??x?3?22，那么用反三角函数表示x的四个式子中正确的是A．xarcsina B．xarcsinaC．x??2?arcsina D．x??2?arcsina16．求下列各式的值（1）cos23?4??（2）sin??3???arccos(?3)???42??（3）cos??3?arcsin1?? （4）sin??arcsin3?arccos(?5?42??513)2）（17. 求满足下列不等式的x的取值范围。

反三角函数和最简三角方程

反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）．符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件；（4）．恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。

2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

2019年上海高中数学第28讲反三角函数与三角方程

第29讲反三角函数与三角方程一、知识梳理1、反三角函数的性质与图像（1）()y f x =存在反函数⇔x 、y 一一对应．（2）反三角函数不是三角函数的反函数，只是三角函数在某一段上的反函数．2、最简三角方程：sin x a =，cos x a =，tan x a =（1）sin x a =：当1a >时，解集为φ；当1a ≤时，解集为(){}1arcsin ,k x x k a k Z π=+-∈（2）cos x a =：当1a >时，解集为φ；当1a ≤时，解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈（3）tan x a =：{}arctan ,x x k a k Z π=+∈二、典型例题例1、求下列函数的定义域和值域：（1）()1arcsin 212y x =-；（2）()2arccos 1y x x =-+．例2、求下列函数的反函数：（1）sin y x =，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）cos y x =，[],0x π∈-；（3）tan y x =，,34x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（4）sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．例3、解下列三角方程：（1）22sin 10x x +=；（2）22sin 7sin cos 6cos 0x x x x -+=；（3）sin 2sin cos 10x x x --+=．例4、（1）求满足()arccos2arccos 1x x <-的x 的取值范围；（2）求函数()2arcsin 2arcsin 2y x x =--的最大值与最小值，并求取得最大、最小值时的x 值．例5、已知关于x 2cos 21x x k +=+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异实数根，求实数k 的取值范围及相应两个根的和．三、课后练习1、求值：1arcsin 2= ；arcsin ⎛= ⎝⎭ ；arccos ⎛= ⎝⎭ ；(arctan = ；1a r c c o s 2⎛⎫= ⎪⎝⎭ a r c t a n 1= ； arcsin ⎛= ⎝⎭；()arccos0arcsin1arctan 1++-= ． 2、求值：11sin 2arcsin arccos 35⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 3、求满足下列不等式的x 的取值范围：（1）若arcsin 1x >，则x ∈ ；（2）若()arcsin 2arcsin 1x x >-，则x ∈ ．4、不等式()arccos 1arccos x x -≥的解集是．5、若方程2sin cos 0x x a ++=有解，则a 的取值范围是α= ．6、解方程：（1）2sin 1x =，[],x ππ∈-的解集是；（2）22sin 5cos 40x x --=的解集是．7、解方程：（1）cos cos3x x =的解集是；（2）tan tan2x x =的解集是．8、函数cos 1y x =+，[),0x π∈-的反函数是．9、已知3arcsin 5α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值等于． 10、函数()213arcsin lg 191x y x x -⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭的定义域是． 11、函数12log arccos 36x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是．12、 12x ⎡∈-⎢⎣⎦，则arccos y x =的值域是． 13、设sin x α=且5,66ππα⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则arccos x 的取值范围是． 14、 ()arcsin 1arccos2y x x =-+的值域是． 15、函数()2arcsin 1y x x =--的单调递增区间是．16、若3x π=是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，则α= ． 17、下列格式中正确的是（）A 、1arcsin 62π=B 、cos arccos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭C 、11arctan arctan 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D 、33arcsin sin 55ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭18、解下列三角方程：（1）24cos 30x x -+=；（2）22sin 3cos sin 2x x x -=19、为使方程22sin 2sin cos 2cos 0x x x x m +--=有解，求实数m 的取值范围．20、若[],x ππ∈-，为使方程sin x x a =分别满足下列条件，试求a 的范围，（1）有解；（2）有两不同解；（3）仅有一解．。

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反三角函数典型例题
例 1：在下列四个式子中，有意义的为
__________：
解：（ 4）有意义。

（ 1） arcsin 2 ；（ 2） arcsin
；（ 3） sin(arcsin 2) ；（ 4） arcsin(sin 2) 。

4
点评： arcsin x —— x [ 1,1]。

例 2：求下列反正弦函数值
（ 1） arcsin
3
解：
（ 2） arcsin0
解： 0 2
3
（ 3） arcsin( 1)
解：
（4） arcsin1
解：
2
6
2
点评：熟练记忆：
0， 1 2 3
、，
，
的反正弦值。

2
2
2 1
思考： sin(arcsin
1
4) 该如何求？
2
例 3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x
(1) sin x
3 ， x [
, ]
3
5
解： x ＝ arcsin
2 2
5
变式： x
[ , ] ?
2
解： x [
, ] 时， π－ x [0,
3
] ， sin(π－ x)＝ sinx ＝
2 2
5
∴ π－ x ＝ arcsin 3 ，则 x ＝π－ arcsin 3
5
5
变式： x
[0, ] ?
解： x ＝arcsin 3 或 x ＝ π－arcsin
3
5
5
(2) sin x
1
， x
[
, ] 解： x
arcsin
1
4
2 2
4
变式： sin x
1 ， x [ 3
,2 ]
4 2
解： x [
3
] 时， 2π－ x
[0, ] ， sin(2π－ x)＝－ sinx ＝
1
,2 4
2
2
∴ 2π－ x ＝ arcsin 1
，则 x ＝2π－ arcsin 1
4
4
点评：当 x
[ ,
] 时， x arcsina ；而当 x [
, ] ，可以将角转化到区间 [ , ] 上，再用诱导公式
2
2
2 2 2 2
处理对应角之三角比值即可。

练习：
(1) sin x
3 [
, ] 解： x
， x
3
2
2 2
(2) sin x
3 [0, ]
解： x arcsin
3 3
， x
或 x arcsin
3
3
3
(3) sin x
3
， x
[ , 3
] 解： x
arcsin
3
例 4：求函数 y 2arcsin(5 2x) 的定义域和值域。

解：由 1
5 2x 1，则 x
[2,3] ， arcsin(5 2x)
[
, ] ，则 y [
, ] 。

2 2
变式： y
sin x arcsin x
解： x [ 1,1] ， y
[ sin1
,sin1
]
2
2
思考：当 x
[ 4 , 3
] 时，求函数 y arcsin(cosx) 的值域。

4
解：当 x
[
4 ,
3
] 时 t cosx
[
2
,1] ，而 y arcsin t 为增函数，则 y
[
, ] 。

4
2
4 2
例 5：求下列函数的反函数
(1) y sin x ， x
[ , ]
2
解： y
[0,1] ， x
[ ,0] 且 sin(x )
sin xy ，则 x
arcsin( y) ，
2
则 x
arcsin y ，则反函数是 f 1 (x)
arcsin x ， x
[0,1] 。

(2) y arcsinx ， x
[0,1]
解： y
[0, ] ， x sin y ，则反函数是 f 1 (x)
sin x ， x [0, ] 。

2
2
[ 例 6] 求下列反三角函数的值：
(1) arccos 3
＝
6
(2) arccos(
2
) ＝ 3 （两种方法）
2
2 4
(3) 3
(4) arctan(
3) ＝
arccos0 ＋ arctan1＝
3
4
(5) arcsin ( － 1 )＋ arccos (－ 1
) ＝
2 (6) arctan(tan
5
) ＝
6
2 2
6
[ 例 7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的
x ：
1 [0, ]
解： x
1 (1) cos x
， x
arccos
3
3
变式： cos x
1 ， x [ ,
2 ]
解： x 2 arccos
1
3
3
(2) tanx
2,x
(
, )
解： x
arctan( 2)
2 2
变式： x (
2
, 3
) 解： x
arctan2
2
[ 例 8] (1) 已知 arcsinx arcsin(1 x) ，求 x 的取值范围。

解：由
1 1 x x
1，得
1
x 1。

2
(2) arccosx
arccos(1 x)
解：由
1 x 1 x 1，得 0 x
1。

2
(3) arctanx
3
解： x
3
(4) arccosx
解： 1 x
1
3
2
[ 例 9 求 y ＝arcsinx ＋ arctanx 的值域。

解：∵－ 1≤ x ≤ 1 ∴－ 3 ≤ y ≤
3
——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性
4 4
[ 例 10] 求下列各式的值：
(1) sin(arccos( 2
)) 3
解：设 x
arccos(
2
) ，则 cos x
2 且 x [
, ] ，则 sin x 7
3 3 2
3
(2) tan[arccos(
2
]
)
2
6
解： tan(
3
)
1 3 ( 3 1)2
2
3
4
3
1
3
2
(3) cos 2
( 1
arccos 3
)
2
5
解：设 x
3 3 [0,
2 x
1
cosx 4
arccos
，则 cos x
且 x
] ，则 cos
2
2
5
5
5
2
12 arcsin
3
(4) sin[arctan ]
5
5
解：设
arctan
12
，
arcsin 3
，则 tan
12 ， sin 4 且 , (0, ) ，
5
5
5 5 2
12
3
sin(
)
12 4 5 3 33
则 sin[arctan
arcsin ]
13 5 13
5。

5 5 65
1 1
的值呢？
思考：若求 arctan arctan
2
3
解：
1 ，
arctan
1 1 ， tan
1 且 ,
(0, ) ，
arctan ，则 tan
23
2
2
2
∵ tan() 1 ，且
(0, ) ，∴。

4。