(完整word版)反三角函数典型例题.docx
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反三角函数典型例题
例 1：在下列四个式子中，有意义的为
__________：
解：（ 4）有意义。
（ 1） arcsin 2 ；（ 2） arcsin
；（ 3） sin(arcsin 2) ；（ 4） arcsin(sin 2) 。
4
点评： arcsin x —— x [ 1,1]。
例 2：求下列反正弦函数值
（ 1） arcsin
3
解：
（ 2） arcsin0
解： 0 2
3
（ 3） arcsin( 1)
解：
（4） arcsin1
解：
2
6
2
点评：熟练记忆：
0， 1 2 3
、 ，
，
的反正弦值。
2
2
2 1
思考： sin(arcsin
1
4) 该如何求？
2
例 3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x
(1) sin x
3 ， x [
, ]
3
5
解： x ＝ arcsin
2 2
5
变式： x
[ , ] ?
2
解： x [
, ] 时， π－ x [0,
3
] ， sin(π－ x)＝ sinx ＝
2 2
5
∴ π－ x ＝ arcsin 3 ，则 x ＝π－ arcsin 3
5
5
变式： x
[0, ] ?
解： x ＝arcsin 3 或 x ＝ π－arcsin
3
5
5
(2) sin x
1
， x
[
, ] 解： x
arcsin
1
4
2 2
4
变式： sin x
1 ， x [ 3
,2 ]
4 2
解： x [
3
] 时， 2π－ x
[0, ] ， sin(2π－ x)＝－ sinx ＝
1
,2 4
2
2
∴ 2π－ x ＝ arcsin 1
，则 x ＝2π－ arcsin 1
4
4
点评： 当 x
[ ,
] 时， x arcsina ；而当 x [
, ] ，可以将角转化到区间 [ , ] 上，再用诱导公式
2
2
2 2 2 2
处理对应角之三角比值即可。
练习：
(1) sin x
3 [
, ] 解： x
， x
3
2
2 2
(2) sin x
3 [0, ]
解： x arcsin
3 3
， x
或 x arcsin
3
3
3
(3) sin x
3
， x
[ , 3
] 解： x
arcsin
3
例 4：求函数 y 2arcsin(5 2x) 的定义域和值域。
解： 由 1
5 2x 1，则 x
[2,3] ， arcsin(5 2x)
[
, ] ，则 y [
, ] 。
2 2
变式： y
sin x arcsin x
解： x [ 1,1] ， y
[ sin1
,sin1
]
2
2
思考：当 x
[ 4 , 3
] 时，求函数 y arcsin(cosx) 的值域。
4
解：当 x
[
4 ,
3
] 时 t cosx
[
2
,1] ，而 y arcsin t 为增函数，则 y
[
, ] 。
4
2
4 2
例 5：求下列函数的反函数
(1) y sin x ， x
[ , ]
2
解： y
[0,1] ， x
[ ,0] 且 sin(x )
sin xy ，则 x
arcsin( y) ，
2
则 x
arcsin y ，则反函数是 f 1 (x)
arcsin x ， x
[0,1] 。
(2) y arcsinx ， x
[0,1]
解： y
[0, ] ， x sin y ，则反函数是 f 1 (x)
sin x ， x [0, ] 。
2
2
[ 例 6] 求下列反三角函数的值：
(1) arccos 3
＝
6
(2) arccos(
2
) ＝ 3 （两种方法）
2
2 4
(3) 3
(4) arctan(
3) ＝
arccos0 ＋ arctan1＝
3
4
(5) arcsin ( － 1 )＋ arccos (－ 1
) ＝
2 (6) arctan(tan
5
) ＝
6
2 2
6
[ 例 7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的
x ：
1 [0, ]
解： x
1 (1) cos x
， x
arccos
3
3
变式： cos x
1 ， x [ ,
2 ]
解： x 2 arccos
1
3
3
(2) tanx
2,x
(
, )
解： x
arctan( 2)
2 2
变式： x (
2
, 3
) 解： x
arctan2
2