上海交大附中高二上学期期末试卷(数学)

上海交通大学附属中学2010-2011学年度第一学期

高二数学期终试卷

（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）

命题：曹建华 陈海兵 审核：杨逸峰

一、填空题（每题3分）

1. 方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩

对应的增广矩阵为____________. 2. 在行列式3

121405

3--a 中，元素a 的代数余子式的值是____________.

3. 根据下边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .

4. 无穷数列{}n a 中，n

n a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21，则所有偶数项的和：=++++ n a a a 242_____. 5. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.

6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值

是_______________.

7. 已知点()0,4A ,点B 在直线0x y +=上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标

为 .

8. 310x y ++=与直线03=+-y kx 的夹角为为600，则实数k =

_____________.

9. 已知RtΔABC 的斜边两端点分别是B(4,0), C(2-,0)，则顶点A 的轨迹方程是

___________________________.

10. 已知椭圆22

1102

x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m = . 11. 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.

12. 若关于x 的方程212+=-kx x 恰有两个实根，则k 的取值范围是

_________________.

13. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2

)(1n a a S n n +=整理为12121a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111n

S a P S a P S a P n n n （n 为正整数）都在直线12

121a x y +=上，类似地，若{n b }是首项为1b ，公比为)1(≠q q 的等比数列，n T 是其前n 项的和，则点 ),,(,),,(),,(222111n n n T b P T b P T b P （n 为正整数）在直线__________________________________上.

14. 在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、

C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，则ABC ∆面积的最大值为________________.

二、选择题（每题3分）

15. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2{(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩

则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）

A 、充分不必要条

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不是充分条件，也不是必要条件

16. 点()

M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )

A 、相切

B 、相交

C 、相离

D 、相切或相交

17. 已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图

像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD ( )

A 、相交，且交点在第I 象限

B 、相交，且交点在第II 象限

C 、相交，且交点在第IV 象限

D 、相交，且交点在坐标原点

18. 在ABC ∆中，O 是平面ABC 上的一点，点P 满足()

AC AB OA OP ++=λ，),0(+∞∈λ，则直线AP 过ABC ∆的（ ）

A 、垂心

B 、重心

C 、内心

D 、外心

三、解答题（10分+12分+12分+12分）

19. 求圆心在直线0=+y x 上，且过圆0241022

2=-+-+y x y x 与圆082222=-+++y x y x 的交点的圆的方程。

20. 已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两

坐标轴围成一个四边形。

（1）求两直线的交点；

（2）a 为何值时，四边形面积最小？并求最小值。

21. 定义“矩阵”的一种运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ·⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x ，该运算的意义为点（x ，y ）在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的变换下成点()dy cx by ax ++，.设矩阵A= ⎝⎛31 ⎪⎪⎭

⎫-13 (1) 已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为)2,3(，试求点P 的坐标；

(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由。

22. 已知直线1l y mx =+：与曲线()22

2C ax y m a R +=∈：，交于A 、B 两点。 （1）当0m =时，有3AOB π

∠=，求曲线C 的方程；

（2）当实数a 为何值时，对任意m R ∈，都有OA OB ⋅为定值T ？指出T 的值；

（3）是否存在常数M ，使得对于任意的()0,1a ∈，m R ∈，都有OA OB M ⋅<恒成立？ 如果存在，求出的M 得最小值；如果不存在，说明理由。如果存在，求出的M 得最小值；如果不存在，说明理由。

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