上海交大附中高二上学期期末试卷(数学)
上海交通大学附属中学高二数学上学期期末考试试题含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题。
【详解】对方程:
等价于当 时， ,或
故画出该曲线对应的图像如下所示：
如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线 即为满足题意的直线；
不妨联立方程 与
解得 ,即可得 ,
由图容易知当 或 时，
直线 与曲线有4个交点。
(3）设点 在直线 上运动，直线 是否恒过定点？若恒过定点,求出定点坐标；若不存在，请说明理由;
【答案】（1）证明见详解；（2） （3）是，
【解析】
【分析】
（1)联立直线方程与抛物线方程,由 ，即可证明；
（2）根据点 在抛物线上解得 ，进而写出 点坐标,再根据点 既在直线 上，又在抛物线上,联立方程组即可求得 的坐标;
【答案】
【解析】
【分析】
根据一般的结论，取特殊的点 ,结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组,即可求得结果。
【详解】因为 为椭圆上任意一点，都满足题意，
故设 点坐标为 ，设 。
则点 满足椭圆方程,即可得 ①
直线 方程为
因为该直线与圆相切,
故由圆心到直线的距离公式可得 ②
联立①②，消去 可得：
【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为 。
若直线的斜率不存在,则 两点关于焦点对称，故满足 ；
若直线的斜率不存在，设直线方程为
联立抛物线方程 ,可得
设 ，故 ，不可能等于2，
故此时不存在满足题意的直线.
综上所述，满足题意的直线只有1条.
故选:A。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题。
16。曲线 ，要使直线 与曲线 有四个不同 交点，则实数 的取值范围是( ）
【精准解析】上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
1.复数 z 满足 i z 1，则 Im z _________. 【答案】 1
【解析】 【分析】 求出复数 z ，然后找出其虚部即可.
【详解】因为 i z 1，故 z 1 i i
故 Im z 1. 故答案为： 1.
【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.
【详解】根据题意,若直线 x 2 y 3 = 0 与直线 a 1 x by = 2 互相垂直,
则有 a 1 2b = 0 ,变形可得 a 2b =1,
则 ab 1 a 2b 1 ( a 2b )2 1 ,当且仅当 a = 2b 1 时,等号成立;
2
22
8
2
即 ab 的最大值为 1 , 8
PQ 的最小值为_________.
-3-
【答案】 2
【解析】 【分析】 先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.
【详解】由圆的方程 C : x2 y2 2x 4y 4 0 ，可得圆心为 1, 2 , r 4 16 16 1.
2 因为圆心到直线的距离 d 3 8 4 3 r 1，故直线与圆相离，
2 故答案为： arctan 1 .
2
【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.
5.若方程 (k 1)x2 (5 2k) y 2 1 表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围为_________.
【答案】 (,1) ( 5 , ) 2
-2-
【解析】 【分析】 根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.
2.抛物线 y 4x2 的焦点坐标是___________．
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知复平面内的平行四边形ABCD 中，定点A 对应的复数为i ，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，则点D 对应的复数为( )A. 2B. 2+2iC. −2D. −2−2i3. 过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A. 有且只有一条B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有且只有四条4. 方程(x −y)2+(xy −1)2=0表示的曲线是( )A. 一条直线和一条双曲线B. 两条双曲线C. 两个点D. 以上答案都不对二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数z =i(2−z)，则z = ______ ．6. 设抛物线y =4x 2的焦点为F ，则点F 的坐标为______ ．7. 已知z =1−3i 1+i(i 是虚数单位)，则|z|=________．8. 直线{x =−tcos20∘y =3+tsin20∘ (t 为参数)的倾斜角是______． 9. 方程x 2m+2+y 2m−2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______．10. 已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y =0，且点P(−3,2√2)在双曲线上，则双曲线的方程为______ ．11. 点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x −4y −10=0的距离的最小值为_________． 12. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =______．13. 已知经过点(m,3)和(2,m)的直线l 与斜率为−4的直线互相垂直，则m 的值是________． 14. 已知向量a ⃗ =(sinθ,−2)与b ⃗ =(1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2).则cosθ=______．15.设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条件的实数a的所有值为 ________16.设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=−x相交于点P，若P在抛物线y2=−ax上，则椭圆M的离心率等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z满足|z|2+(z+z)i=3−i2+i(i为虚数单位)，求z．18.如图，在△ABC中，已知AB=4√2，且角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹．19. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．20. 如图所示，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，已知当直线l 的斜率为1时，|AB|=8． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点A 作抛物线C 的切线交直线x =p2于点D ，试问：是否存在定点M 在以AD 为直径的圆上？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由21. 椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为 ΔPQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知双曲线G：224-=，直线l过()x y0,2．“直线l平行于双曲线G的渐近线”是“直线l与双曲线G恰有一个公共点”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．空间中，设P 是直线l外一点，a 是一个平面，则以下列命题中，错误的是（ ）．A ．过点P 有且仅有一条直线平行于l B ．过点P 有且仅有一条直线垂直于lC ．过点P 有且仅有一条直线垂直于aD ．过点P 有且仅有一个平面垂直于l15．已知00(,)P x y 是圆222:(0)C x y r r +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y r +=与圆C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA AD =，():,0AB AD l l =>，E 是棱11A B 的中点，点P 是线段1D E 上的动点，给出以下两个命题：①无论l 取何值，都存在点P ，使得PC BD ^；②无论l 取何值，都不存在点P ，使得直线1AC ^平面PBC ．则（ ）．A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题17．在空间直角坐标系中，设()0,2,3A 、()2,1,6B -、()1,1,5C -、()3,3,4D ．(1)设()2,0,8a =--r，b AB AD =+r uuu r uuu r ，求b r 的坐标，并判断a r 、b r 是否平行；(2)求AB uuu r 、AC uuu r 的夹角q ，以及AB uuu r 、AC uuu r 为相邻两边的三角形面积S ．18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为1BB 中点．(1)求证：1BD ^平面MNP ；(2)求异面直线1B D 与1C M 所成角的余弦值．19．在如图所示的圆锥中，P 是顶点，O 是底面的圆心，A 、B 是圆周上两点，且【点睛】关键点睛：本题第三问，x 0MQ NQ k +=，联立直线l ¢与双曲线G 21．(1)xOy 平面截曲面C 所得交线是平面见解析。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa→•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√2=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√4(9−a2)+9(a+3)2=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a 1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a 2+4，y 1y 2=−213a 2+4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
………装……___________姓名：___………装……绝密★启用前 上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设z 为非零复数，则“1z z +R ∈”是“1z =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ） A ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ B ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ C ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ D ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ 3．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在 4．曲线22:1045x y ⎛Γ--= ⎝，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()3,3- C ．553,,333⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．复数z 满足1i z ⋅=，则Im z =_________.6．抛物线24y x =的焦点坐标是___________．7．若12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭（i 为虚数单位，0a >）且3z =，则a 的值为_________. 8．直线223x t y t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.9．若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为_________.10．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点A ，则双曲线的方程是_________.11．点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点，则PQ 的最小值为_________.12．已知12F F 、是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥u u u r u u u u r，若12PF F ∆的面积为4，则b =_________.13．已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.14．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点…○…………订…………○……_____班级：___________考号：___________…○…………订…………○……15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为________． 16．如图，已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:()0O x y r r +=>，设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交于椭圆Γ于,B C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r =_________.三、解答题 17．已知实系数一元二次方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z . （1）求复数z ，以及实数,a b 的值； （2）设复数z 的一个平方根为λ，记22λλλλ-、、在复平面上对应点分别为、、A B C ，求()OA OB OC +⋅u u u r u u u r u u u r 的值. 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.…………○………………○…… （1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆2211x y m m Γ+=+：，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ；（1）当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；（2）当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，求证：λμ+为定值，并求出该值. 20．设抛物线22(0)y px p Γ=>：，00(,)D x y 满足2002y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y .（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；21．已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r r ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】设出复数z ，对1z z+R ∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可. 【详解】设,(,z a bi a b =+不能同时为0)， 则1z z+=2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又1z =1=，即221a b += 若1z z +R ∈，则22b b a b=+，解得0b =或221a b +=，不一定满足221a b +=， 故充分性不成立； 若1z =，即221a b +=，则一定有22b b a b =+，即1z z +R ∈， 故必要性成立. 综上1z z+R ∈是1z =的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题.2．D【解析】【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故1z ≤； 又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12. 综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.3．A【解析】【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,A B 两点关于焦点对称，故满足122x x +=；若直线的斜率不存在，设直线方程为()1y k x =-联立抛物线方程24y x =，可得()2222240k x k x k -++= 设()()1122,,,A x y B x y ，故212222442k x x k k ++==+，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.4．C【解析】【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：221045x y ⎛--= ⎝ 等价于当2290x y +->时，22145x y -=，或2290x y +-=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,l l 即为满足题意的直线； 不妨联立方程22145x y -=与2290x y +-= 解得2259y =，即可得53y =±， 由图容易知当5,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或53,3m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，直线y m =与曲线有4个交点.故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题. 5．1-【解析】【分析】求出复数z ，然后找出其虚部即可.【详解】因为1i z ⋅=，故1z i i==- 故Im z =1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.6．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 7．1【解析】【分析】由行列式的计算可得复数z ，再根据3z =a .【详解】 因为12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2z a i =-， 则()()()()332322414286121z a i a ai a i aa a i =-=---=---故3z ==整理得3216123310a a a ++-= 分解因式可得()()211628310a a a -++= 对21628310a a ++=，因0<n ，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.8．12arctan【解析】【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+-整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctan θ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题. 9．5(,1)(,)2-∞+∞U【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.【详解】因为方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示双曲线故()()1520k k --<，即()()1250k k -->解得()5,1,2k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()5,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.10．2291y x -=【解析】【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可.【详解】因为双曲线的渐近线为3y x =±，且过点A不难判断，点A 在直线3y x =±的上方，故该双曲线的焦点在y 轴上. 设双曲线方程为22221y x a b-=，则221013,1a b a b =-=， 解得13b =，1a =，则双曲线的方程为2291y x -=. 故答案为：2291y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置. 11．2【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.【详解】由圆的方程22:2440C x y x y +--+=，可得圆心为()1,2,12r ==.因为圆心到直线的距离31d r ==>=，故直线与圆相离， 则312min PQ d r =-=-=.故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题. 12．2【解析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得.【详解】因为12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，故1290F PF ∠=︒； 由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan2F PF S b ∠= 即22445b tan b =⨯︒=，解得2b =故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.13．18【解析】【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1, 则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18, 故答案为：18 【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.14．2【解析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得602y sin =︒=Q的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,1,222OP OQ cos sin cos sin θθθθ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r()θϕ=+，其中0,32tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan 4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 故()max OP OQ ⋅=u u u r u u u r. 【点睛】 本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.15．－1【解析】 试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥Q 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.16．65【解析】【分析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A ，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为A 为椭圆上任意一点，都满足题意，故设A 点坐标为()0,2，设()(),,,B m r C m r ---.则点B 满足椭圆方程，即可得224936m r +=①直线AB 方程为22r y x m+=-+ 因为该直线与圆相切，r =②联立①②，消去m 可得：2536360r r -+= 故解得65r =或6r = 因为当6r =时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意， 故65r =. 故答案为：65. 【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.17．（1）2,0,4z i a b ===（2）2-【解析】【分析】（1）将2i -代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z ；（2）求出平方根λ，再求出22λλλλ-、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）因为2i -是方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一个根，故()()2220i a i b -+⨯-+=整理得240ai b +-=故可得20,40a b =-=，即0,4a b ==故原方程等价于()2242x i =-=±故方程的另一个根2z i =综上所述：2,0,4z i a b ===.（2）设a bi λ=+，则22222a b abi i λ=-+=即可得22,1a b ab ==解得1,1a b ==或1,1a b =-=-不妨取1i λ=+（另一解也有相同的结果），则222,1i i λλλ=-=-故()()()1,1,0,2,1,1A B C - 则()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r . 故()2OA OB OC +⋅=-u u u r u u u r u u u r .【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18．（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【解析】【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可.【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒 故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=< 由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<. （2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx =则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(-与检测中心O =. （3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+ 代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是.【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19．（1）41(0,1),(,)33M N --（2）证明见详解；定值为3 【解析】【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将λμ+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当1m =且1k =时，联立直线1y x =+与椭圆方程2212x y += 可得2340x x +=，因为M 点在N 点的右侧， 故解得40,3M N x x ==- 代入直线方程可得11,3M N y y ==- 故,M N 两点的坐标分别为()410,1,,33M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. （2）当2m =时，椭圆方程为22132x y += 联立直线方程()1y k x =+，可得()2222236360k x k x k +++-=设()()1122,,,M x y N x y 则22121222636,2323k k x x x x k k -+=-=++ 对直线方程()1y k x =+，令0x =，解得y k =故点E 的坐标为()0,k .因为,EM DM EN DN λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r即可得()()1111,1,x y k x y λ-=+，()()2222,1,x y k x y μ-=+ 则1212,11?x x x x λμ==++ 121212*********?1x x x x x x x x x x x x λμ+++=+=+++++ 2222222222366122232323343661232323k k k k k k k k k k⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭+===---++++， 故λμ+为定值，定值是3.【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20．（1）证明见详解；（2）1,14⎛⎫-⎪⎝⎭（3）是，(),0p 【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=n ，即可证明；（2）根据点A 在抛物线上解得p ，进而写出D 点坐标，再根据点B 既在直线()222yy x x =+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B 的坐标；（3）写出直线AB 的方程，根据过点A 和过点B 的直线交于点D 得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB 恒过的定点.【详解】（1）联立直线11()yy p x x =+与抛物线方程22y px =，消去x 可得211102y y y px -+= 故2112y px =-n ，因为点()11,A x y 在抛物线上，故21120y px =-=n则直线11()yy p x x =+与抛物线22y px =只有一个交点又因为0p >，故该直线不与x 轴平行，即证直线11()yy p x x =+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A 在抛物线22y px =上，故可得1624p =⨯，解得2p =由（1）可知过点A 的切线方程为()11yy p x x =+，即240x y -+=又抛物线的准线方程为1x =-，故令1x =-，解得32y =， 即点D 的坐标为31,?2⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为过点()22,B x y 的切线方程为()222yy x x =+，其过点31,?2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故可得()223212y x =-+，又因为点()22,B x y 满足抛物线方程， 故可得2224y x =，联立方程组可得222340y y --=解得221,4y y =-=（舍去，与A 点重合），214x =， 故点B 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）由（1）得过A 点的切线方程为()11y y p x x =+令x p =-，可解得211p px y y -+= 过B 点的切线方程为()22y y p x x =+令x p =-，可解的222p px y y -+= 因为两直线交于点D ，故可得221212p px p px y y -+-+= 整理得()211212x y x y p y y -=- ①当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121y y y y x x x x --=-- 整理得2121122121y y x y x y y x x x x x --=+--，将①代入可得 故直线方程为()()122121212121p y y y y y y y x x p x x x x x x ---=+=---- 故该直线恒过定点(),0p ;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,x x y y ==-，代入①可得12x x p ==过此时直线1:AB x x p ==，也经过点(),0p综上所述，直线恒过定点(),0p ，即证.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21．（1） 221412x y -= （2） （3）存在，9 【解析】【分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可； （2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过n 夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可.【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，， 故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =. 设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =. 故双曲线的方程为：221412x y -=. （2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y += 可得()223418210m y my ++-=设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++则1212y y y y +=-===== 又1212OAB S OE y y =⨯⨯+n故132OAB S =⨯⨯n=(,t t =≥，解得2217344m t =-故211199344442OAB t S t t t ==≤=++n 当且仅当944t t =时，即3,6t m ==±. 故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y += 可得()2223484480k x kmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->n整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y故可得122834km x x k +=-+ ② 同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -= 可得()22232120k x kmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>n整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223km x x k +=- ④ 要使得0AC BD +=u u u r u u u r 即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=--故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km km k k -=+- 解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得： 2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意；即直线方程可以为0,1,2,3y y y y ==±=±=±当0m =时，k 可以取1±满足题意.即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=u u u r u u u r.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.。
上海市交大附中2025届高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析
0
c
8 5
，∴
e
c a
0,
4 5
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是由椭圆定义得出 a 2 ，再根据已知条件得出 6 b 2 . 5
b
0) 的右焦点为
F，短轴的一个端点为 P，直线 l :
3x y 0 与椭圆相交于 A、B
两点.若 A F BF | 4，点 P 到直线 l 的距离不小于 3 ，则椭圆 C 离心率的取值范围为（） 5
A.
0,
1 3
B.
0,
3 5
C.
1 3
,
4 5
D.
0,
4 5
12．若函数 f (x) kx ln x 在区间 (1, ) 单调递增，则 k 的取值范围是（ ）
2
2
故选：C.
8、A
【解析】直接代入点斜式方程求解即可
详解】因为直线经过点 A(0, 3) 且斜率为 2，
所以直线的方程为 y 3 2(x 0) ，
【即 2x y 3 0， 故选： A 9、A 【解析】如图建立空间直角坐标系，先由 AP BD1，且点 P 到底面 ABCD 的距离为 3，确定点 P 的位置，然后利用空 间向量求解即可 【详解】如图，以 D 为坐标原点，以 DA, DC, DD1 所在的直线分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(4, 0, 0), B(4, 4, 0),C(0, 4, 0), B1(4, 4, 4), D1(0, 0, 4) ， 所以 AB1 (0, 4, 4),CB1 (4,0, 4), BD1 (4, 4, 4) ， 所以 AB1 BD1 16 16 0,CB1 BD1 16 16 0 ， 所以 AB1 BD1,CB1 BD1 ， 因为 AB1 CB1 B1 ,所以 BD1 平面 AB1C ，
2018-2019学年上海市交大附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1.（3分）若复数（m2- 5m+6）+ （m2- 3m）i （m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m 2. _________________________________________________________________ （3分）复数z=（2+i）（1 - i）,其中i为虚数单位，则z的虚部为________________________ .23. （3分）抛物线x = 12y的准线方程为_______4. （3分）已知向量（1，- 2）, ,, , ，如果，则实数X= ______ .5. （3分）若直线I仁ax+2y= 0和12: 3x+ （a+1）y+1 = 0平行，则实数a的值为_______.6. （3分）设双曲线一一1 （b>0）的焦点为F i、F2, P为该双曲线上的一点，若|PF i|=5，贝V |PF2|= ______ .7. （3分）设x, y满足约束条件 _______________，则目标函数z= 2x- 3y的最小值是.2& （ 3分）若复数z满足z?2i = |z| +1 （其中i为虚数单位），则|z|= _________ .9. （3分）在直角坐标系xOy中，已知点A （0, 1）和点B （- 3, 4）,若点C在/ AOB的平分线上且| | = 2,则 ___________ .10. （3分）参数方程__________________ （t为参数）化成普通方程为;11. （3分）在平面直角坐标系中，双曲线r的中心在原点，它的一个焦点坐标为一，，,、, 分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线r上的点P,若（a、b €R）,贝U a、b满足的一个等式是 ______ .12. （3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A 在椭圆一一上，点P满足€ ，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________ .二、选择题：213. （3分）对于一元二次方程ax+bx+c= 0 （其中a, b, c€R, a工0）下列命题不正确的是（）A .两根X 1, X 2满足B .两根X 1, X 2满足C .若判别式△= b 2 - 4ac > 0 时,则方程有两个相异的实数根D .若判别式△=b 2- 4ac = 0 时,则方程有两个相等的实数根 14. ( 3分)已知两点 A (1, 2), B (4, - 2)到直线I 的距离分别为1 , 4,则满足条件的 直线I 共有(C . 3条15. (3分)如图.在四边形 ABCD 中.AB 丄BC , AD 丄DC ,若||= a , ||= b .则a 2-b 2C . a 2+b 2D . ab16.( 3分)已y 2= 4x 的集点，A,B,C 为抛物线C 上三点，当 时，称△ ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有(C . 3个D .无数个三、解答题:17.设 z+1 为关于x 的方程2x +mx+ n = 0, m , n €R 的虚根, i 为虚数单位. (1 )当z =- 1 + i 时，求m 、n 的值;(2 )若 n =1，在复平面上，设复数z 所对应的点为 P ,复数2+4i 所对应的点为 Q , A . b - a( )20.圆： ——，圆： 一 —，动圆P 与两圆M i 、M 2外切.(1 )动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2) 过点N (1 , 0)的直线与曲线 C 交于不同的两点 N i , N 2,求直线N i N 2斜率的取值 范围； (3) 是否存在直线I : y = kx+m 与轨迹C 交于点A , B ，使/ —,且|AB|= 2|OA|,若存在，求k , m 的值；若不存在，说明理由.221. 过抛物线y = 2px (p > 0)的焦点F 的直线交抛物线于 M , N 两点，且M , N 两点的纵 坐标之积为-4.(1) 求抛物线的方程； (2) 求 的值(其中O 为坐标原点)；(3) 已知点A (1 , 2),在抛物线上是否存在两点B 、C ,使得AB 丄BC ?若存在，求出 C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.试求|PQ|的取值范围.18. (1)已知非零复数z 满足|z+2| = 2,- € ，求复数 乙(2)已知虚数z 使一和 --------- 都是实数，求虚数 乙19. 已知椭圆—— (1) M 为直线上动点，N 为椭圆上动点，求|MN|的最小值;(2)过点一，-，作椭圆的弦AB ,使，求弦AB 所在的直线方程.。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
2020学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市交大附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A.两根12,x x 满足12bx x a +=-，12c x x a =；B.两根12,x x 满足12x x -C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 【答案】B【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误. 【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x由韦达定理得：12bx x a +=-，12c x x a =，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -≠B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确. 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题.2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 【详解】 由题意得：()()2214225AB =-++=∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ）A.22b a -B.22a b -C.22a b +D.ab【答案】A【解析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅AD DC ⊥ 0AD DC ∴⋅=()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=-故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个【答案】D【解析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ，设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==-则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 二、填空题5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______；【答案】2【解析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果. 【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m =故答案为：2 【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题.6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 【答案】-1【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．抛物线212x y =的准线方程为__________.【答案】3y =-【解析】2212,32px py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32py =-=-，故答案为3y =-. 8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 【答案】2；【解析】根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ= 故答案为：2 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ． 【答案】3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 【考点】两直线平行．10．设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11 【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =.11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______．【答案】6-【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.【考点】线性规划.12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________.【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________．【答案】( 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，，所以39(,)55t tOC =-， 因为|OC |＝22t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；【答案】()3703x y x +-=≠； 【解析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y 的等式，整理可得结果.【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t-++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 【答案】4ab=1 【解析】【详解】 因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为，12OP ae be =+ = ，，化简得4ab=116．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 【答案】10；【解析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- OA AP OA OP λ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB xOP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248cos 16925xOP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OP θ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果. 三、解答题17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【解析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果； （2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++= 设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈ 即PQ 的取值范围为[]4,6 【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .【答案】（1）1z =-±；（2）12z =-±； 【解析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z +，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z .【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈ 则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =-b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+ 设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb ⎧-=+∴⎨=⎩22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n a a b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-2b ∴==±122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.19．已知椭圆22142x y +=. （1）M 为直线:142x y l +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值； （2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.【答案】（1；（2）x =或8100y +-=； 【解析】（1）设()2cos N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值； （2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程.【详解】（1）设()2cos N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d∴==tan 2φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）∴当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值min 5d ∴==即MN（2）设直线AB 的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -=将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin 4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+22122sin β∴=+⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+=解得：cos 0β=或tan 8β=-∴弦AB 所在的直线方程为x =12y x -=-即x 或8100y +-=【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题. 20．圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =【解析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k =-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211k m k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或2k >（舍）1,k ⎛∴∈- ⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,⎛- ⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211Ay k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=-()()()()()2222222121222241414111m k m AB k x x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k kk ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221k kk+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=±当m =-l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞；【解析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可.【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+ 与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=- （3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2334,24y AB y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++=()4333316162222y y y y y ∴=--=--++++ ①当320y +<时，4210y ≥= 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，426y ≤-=- 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.。
上海交通大学附属中学10-11学年度高二上学期期末试卷(数学)
上海交通大学附属中学2021-2021学年度第一学期高二数学期终试卷〔总分值100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上〕命题：曹建华 陈海兵 杨逸峰一、填空题〔每题3分〕1. 方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____________. 2. 在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是____________.3. 根据下边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .4. 无穷数列{}n a 中，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，那么所有偶数项的和：=++++ n a a a 242_____. 5. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.6. 直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，那么k 的值是_______________.7. 点()0,4A ,点B 在直线0x y +=上运动，那么当线段AB 最短时，点B 的坐标为 .8. 310x y ++=与直线03=+-y kx 的夹角为为600，那么实数k = _____________.9. RtΔABC 的斜边两端点分别是B(4,0), C(2-,0)，那么顶点A 的轨迹方程是___________________________.10. 椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 假设焦距为4，那么m = . 11. 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.12. 假设关于x 的方程212+=-kx x 恰有两个实根，那么k 的取值范围是_________________.13. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2)(1n a a S n n +=整理为12121a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111nS a P S a P S a P n n n 〔n 为正整数〕都在直线12121a x y +=上，类似地，假设{n b }是首项为1b ，公比为)1(≠q q 的等比数列，n T 是其前n 项的和，那么点 ),,(,),,(),,(222111n n n T b P T b P T b P 〔n 为正整数〕在直线__________________________________上.14. 在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，那么ABC ∆面积的最大值为________________.二、选择题〔每题3分〕15. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2{(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩那么“x A ∈〞是“x B ∈〞的〔 〕A 、充分不必要条B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不是充分条件，也不是必要条件16. 点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，那么直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 17. 直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，那么直线AB 与CD ( )A 、相交，且交点在第I 象限B 、相交，且交点在第II 象限C 、相交，且交点在第IV 象限D 、相交，且交点在坐标原点18. 在ABC ∆中，O 是平面ABC 上的一点，点P 满足()AC AB OA OP ++=λ，),0(+∞∈λ，那么直线AP 过ABC ∆的〔 〕A 、垂心B 、重心C 、内心D 、外心三、解答题〔10分+12分+12分+12分〕19. 求圆心在直线0=+y x 上，且过圆02410222=-+-+y x y x 与圆082222=-+++y x y x 的交点的圆的方程。
上海交通大学附属中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题(含答案解析)
（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；
（2）求出 ，进而讨论 两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；
（3）根据 为双曲线 的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.
（1）
由题意， .
（2）
设 ，由（1） ，
.
若x>0，则 ，当且仅当 时取“=”，则 ， ，所以 .
14．若函数 的解析式 ，则使得 成立的 的取值范围是___________.
15．若实数 、 满足 ，则 的取值范围为___________.
16．如图，AD与BC是三棱锥 中互相垂直的棱， ， （c为常数）.若 ，则实数 的取值范围为__________.
评卷人
得分
三、解答题
17．如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ．
【点睛】
本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．
18．（1） ；（2） 为等边三角形．
【分析】
（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，从而得角A；
（2）由S△ABC＝ bcsinA＝ ，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；联立①②可求得b＝c＝ ，从而可判断△ABC的形状．
9．设 ， ，若将函数 的图像向左平移 个单位能使其图像与原图像重合，则正实数 的最小值为___________.
10．函数 的定义域为___________.
11．曲线 的长度为____________.
12．如图，在长方体 中， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为__________.
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上海交通大学附属中学2010-2011学年度第一学期高二数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）命题：曹建华 陈海兵 审核：杨逸峰一、填空题（每题3分）1. 方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____________. 2. 在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是____________.3. 根据下边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .4. 无穷数列{}n a 中，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，则所有偶数项的和：=++++ n a a a 242_____. 5. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是_______________.7. 已知点()0,4A ,点B 在直线0x y +=上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为 .8. 310x y ++=与直线03=+-y kx 的夹角为为600，则实数k =_____________.9. 已知RtΔABC 的斜边两端点分别是B(4,0), C(2-,0)，则顶点A 的轨迹方程是___________________________.10. 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m = . 11. 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.12. 若关于x 的方程212+=-kx x 恰有两个实根，则k 的取值范围是_________________.13. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2)(1n a a S n n +=整理为12121a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111nS a P S a P S a P n n n （n 为正整数）都在直线12121a x y +=上，类似地，若{n b }是首项为1b ，公比为)1(≠q q 的等比数列，n T 是其前n 项的和，则点 ),,(,),,(),,(222111n n n T b P T b P T b P （n 为正整数）在直线__________________________________上.14. 在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，则ABC ∆面积的最大值为________________.二、选择题（每题3分）15. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2{(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A 、充分不必要条B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不是充分条件，也不是必要条件16. 点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交17. 已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD ( )A 、相交，且交点在第I 象限B 、相交，且交点在第II 象限C 、相交，且交点在第IV 象限D 、相交，且交点在坐标原点18. 在ABC ∆中，O 是平面ABC 上的一点，点P 满足()AC AB OA OP ++=λ，),0(+∞∈λ，则直线AP 过ABC ∆的（ ）A 、垂心B 、重心C 、内心D 、外心三、解答题（10分+12分+12分+12分）19. 求圆心在直线0=+y x 上，且过圆02410222=-+-+y x y x 与圆082222=-+++y x y x 的交点的圆的方程。
20. 已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两坐标轴围成一个四边形。
（1）求两直线的交点；（2）a 为何值时，四边形面积最小？并求最小值。
21. 定义“矩阵”的一种运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x ，该运算的意义为点（x ，y ）在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的变换下成点()dy cx by ax ++，.设矩阵A= ⎝⎛31 ⎪⎪⎭⎫-13 (1) 已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为)2,3(，试求点P 的坐标；(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由。
22. 已知直线1l y mx =+：与曲线()222C ax y m a R +=∈：，交于A 、B 两点。
（1）当0m =时，有3AOB π∠=，求曲线C 的方程；（2）当实数a 为何值时，对任意m R ∈，都有OA OB ⋅为定值T ？指出T 的值；（3）是否存在常数M ，使得对于任意的()0,1a ∈，m R ∈，都有OA OB M ⋅<恒成立？ 如果存在，求出的M 得最小值；如果不存在，说明理由。
如果存在，求出的M 得最小值；如果不存在，说明理由。
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第一学期高二数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，答案一律写在答题纸上）命题：曹建华 陈海兵 审核：杨逸峰一、填空题（每题3分）1. 方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____________。
2. 在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是____________.2-3. 根据下边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .304. 无穷数列{}n a 中，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，则=++++ n a a a 242_________。
31 5. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是____________________.由斜率公式得 ，∴θ为钝角，。
6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是_______________.3或57. 已知点()0,4A ,而点B 在直线0x y +=上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为 。
()2,2-8. 310x y ++=与直线kx-y+3=0的夹角为为600，则实数k= _03_____.9. 已知RtΔABC 的斜边两端点分别是B(4,0), C(-2,0)，则顶点A 的轨迹方程是___________________________。
A 为直角顶点，∴，另外需除去y=0的两点。
得：(x-1)2+y 2=9(y≠0).10. 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 .8 11. 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条. 412. 若关于x 212x kx -=+恰有两个实根，则k 的取值范围是_____．数形结合[)3,2--∪(]2,3 13. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2)(1n a a S n n +=整理为12121a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111nS a P S a P S a P n n n （n 为正整数）都在直线12121a x y +=上，类似地，若{n b }是首项为1b ，公比为)1(≠q q 的等比数列，n T 是其前n 项的和，则点 ),,(,),,(),,(222111n n n T b P T b P T b P （n 为正整数）在直线__________________________________上. q b x q q y -+-=111 14. 在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边长，且满足条件a b c 2,2==，则ABC ∆面积的最大值为________________.34221max ⨯⨯=S =34 二、选择题（每题3分）15. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2{(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨-=⎩ 则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）BA 充分不必要条B 必要不充分条件C 充要条件D 既不是充分条件，也不是必要条件16. 点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )CA 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交 17. 已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为,C D ，则直线AB 与CD ( )DA.相交，且交点在第I 象限B.相交，且交点在第II 象限C.相交，且交点在第IV 象限D.相交，且交点在坐标原点18. 在ABC ∆中，O 是平面ABC 上的一点，点P 满足()AC AB OA OP ++=λ，),0(+∞∈λ，则直线AP 过ABC ∆的（ ）BA 、垂心B 、重心C 、内心D 、外心三、解答题（10分+12分+12分+12分）19. 求圆心在直线0=+y x 上，且过圆02410222=-+-+y x y x 与圆082222=-+++y x y x 的交点的圆的一般方程。
设圆的方程为222221024+(++2+2-8)=0x y x y x y x y λ+-+- 即12(5+)8(+3)=0(-1)1+1+12()x y x y λλλλλλλ-+++-≠+ 圆心1115(,)λλλλ-+-++ 11150λλλλ-+∴-=++解得2λ=-故所求圆的方程为222221024(++2+2-8)=0x y x y 2x y x y +-+--即22+6-68=0x y x y ++ 20. 已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两坐标轴围成一个四边形。