反比例函数的性质

二十六章反比例函数

26.1.1反比例函数

教学目标

知识与技能

1.理解并掌握反比例函数定义.

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.

过程与方法

1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.

2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.

3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

情感态度与价值观

1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.

2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.

教学重难点

【重点】

1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.

2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【难点】

经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.教学准备

【教师准备】多媒体课件1~7.

【学生准备】预习教材P1~3.

教学过程

新课导入：导入一:

【课件1】同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.

(1)如果速度v一定,那么路程s与时间t是什么关系?

(s=vt,是正比例函数)

(2)如果时间t一定,那么路程s与速度v又是什么关系呢?

(s=vt,是正比例函数)

(3)如果路程s一定,那么速度v和时间t又是什么关系呢?

【思考】以上关系是函数吗?这个函数是不是我们前边学过的函数?

【导入语】问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.

[设计意图]通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.

导入二:【课件2】我们知道,导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时:

(1)你能用含有R的代数式表示I吗?

(2)利用写出的关系式完成下表:

当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?

(3)变量I是R的函数吗?为什么?

[设计意图]从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.

导入三:

【复习提问】

(1)什么是函数?什么是一次函数、二次函数?

(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?

【课件3】出示以往研究函数的基本思路:

【师生活动】学生思考回答,教师点拨.

[设计意图]通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.

导入新课

思路一

1.感知反比例函数

【出示课件4】

(1)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;

(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;

(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.

教师引导学生针对上面三个事例思考:

(1)每个事例中的两个变量是什么?

(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?

(3)有几个值与变化的量相对应?这种变化说明变量之间是什么关系?

(4)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?

(5)所列出的函数关系式有什么特点?

[设计意图]通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.

【学生活动】独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.

【参考答案】(1)v=(2)y=(3)S=.

2.反比例函数的概念

观察前面的三个函数关系式,思考:

(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗?

(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同?你能说出它们的共同特征吗?

(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

(4)你能给这类函数下一个定义吗?

【师生活动】学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.

教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的k值有什么特点.

【总结(出示课件5)】

一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

思考:(1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?

(2)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?

(3)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?

(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?

【师生活动】学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:

反比例函数y=等号右边是分式形式.