河南省郑州市高三高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题含答案
2020-2021郑州市高三理科数学第二次质量检测及答案
当 m > 0 时， F′(1) < 0，当 x → +∞, F′(x) → +∞ ，所以存在 x* ∈ (1, +∞) ， F′(x*) = 0 ，
当 x ∈ (1, x*) ， F′(x) < 0，F (x) 单调递减， F (x) < F (1) = 0. 不符合题意.
综上， m ≤ 0 .
………………6 分
≥ x − 2 + x + a ≥ ( x + a) − ( x − 2) = a + 2 ，等号成立条件是 x = 2 ， ………………8 分
∴
f
(
x
) min
= a + 2 ，∴a
+
2
≥
a2
−
2a
+
4 ，解得：1 ≤
a
≤
2，
∴实数 a 的取值范围为[1, 2] ．
………………10 分
，同理
yN
=
6 y2 x2 + 2
，
= yM yN
= 36 y1 y2 (x1 + 2)(x2 + 2)
= 36 y1 y2 (my1 + 3)(my2 + 3)
36 y1 y2 m2 y1 y2 + 3m( y1 + y2 ) + 9
=
m2
36
−9 3m2 + 4
−9
3m2 + 4
+
3m
−6m 3m2 +
F′(x) =(x +1)ex − 2e − m, F′(x) 在[1, +∞) 上单调递增， F′(1)= − m ， ………………4 分 x
河南省高三理数第二次质量检测试卷解析版
高三理数第二次质量检测试卷一、单项选择题.集合M =+ +.F =o] , N = {(Kp)|F = ln(x + 2)},那么()A. {-1,0}B. {(-1,0)}C. MD. N.假设复数吗，那么同=()1 — 1A.3拒B.6C. VlOD. 103.假设等差数列{，”}和等比数列{2}满足6=4=7 , a ="=8,贝1]鲁=()A.-4B.-1C. 1-rk /A \.1 mi _ 5sinacosa /.aw(。
,兀，，.s//7a-co.su =—,贝i 」〃〃72a +；—=(4 cos'a-si 汇 a 36 A. 一B. 12C. -1275 .函数/(xb-7J ，假设/侑(/%10))=。
，那么/体(3))=()e +eA. c"-1B, 3〃一1C. c l-3u D ・ 1-4.“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆 面为底，垂直于圆面的直径被截得的局部为高，球冠面积5 = 2n/?力，其中R 为球的半径，力为球冠的高），设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,那么当。
=2&5兀，5 = 14兀时，（=D. 4)hOi ——R-hr _ 2M于是R 一 7 - 7 o 2故答案为：B.【分析】根据题意结合球冠的周长公式得出r 的值，再利用球冠的面积公式得出Rh 的值，由勾股定理可得出h,R 的值，进而得出 三的值。
R【解析】【解答】解：由题意得X 的可能取值为1, 2, 3,那么丝川专小?《 = 2）=霍S3）号22 19所以 E(X) = lx- + 2x- + 3x ： =一, 939 9I -19. 2 口 19、2 x — + (2) x — + (3) 9939y 的可能取值为o, 1, 2, 22I 8(y )= 0x —+lx —+ 2x —=一 ,939 95 y ）=（0 ］）2冬° .新亭（2 1）飞得 E (x )^£(r ), D(X) = D(Y).故答案为：D.【分析】由古典概型概率计算公式计算X, Y,取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望, 方差计算公式得出结果，即可判断。
河南省郑州市2021年高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题含答案
河南省郑州市2021年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求.1.复数z 1=3+i ，z 2 =1-I 则z=21z z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若532cos =θ-，542sin -=θ，则角θ的终边所在的直线为A. 7x+24y=0B. 7x-24y=0C. 24x+7y=0D.24x-7y=03_在数列{a n }中，a n+1=ca n (c;为非零常数），前n 项和为S n = 3n+k,则实数k 为A.-1B.0C.1D.24.设a,β分别为两个不同的平面，直线l a ，则“l 丄β”是“a 丄β成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若xx c c b linx a e x ln ln 1,)21(,),1,(===∈-，则a ，b ，c 的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c6.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足x e f x x f ln )(2)(+'=,则)(e f ' =A. 1B. —1C. –e -1D. —e7.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是8.在二项式n xs x )1(4+的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为 A.61 B. 41 C. 31 D. 1259.如图所示,F 1 F2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x （a>0,b>0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分别为A ，B,且ΔF 2AB 是等边三角形，则双曲线的 离心率为A. 12+B. 13+C.212+ D. 213+10. 函数f(x)=ax m (1-x)2在区间[0，1]上的图象 如图所示，则m 的值可能是A. 1B.2C. 3D.411. 设f(x)是定义在R 上的增函数,且对于任意的工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧><-++-3)8()236(22m n n f m m f ’则m 2+n 2的取值范围是 A. (3,7)B. (9,25)C. (13,49)D. (9,49)12. 已知函数x x x f cos 21)(-=，则方程4)(π=x f 所有根的和为 A. 0 B. 4π C . 2πD. 23π第II 卷本卷包括必考題和选考題两部分.第13题〜第21題为必考题，第22题〜24题为选考 題.考生根据要求作答.二、填空題:本大题共4小题，每小题5分.13.等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1=1,a k +a 4=0，则k=______.14. 已知O 为坐标原点，点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥401y x y x 则ON OM ·的最大值为______.15.已知不等式222y ax xy +≤，若对任意x ∈[l,2],且y ∈[2,3],该不等式恒成立,则 实数a 的取值范围是______.16.过点M(2，-2p)作抛物线x 2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B,若线段AB 的中 点纵坐标为6,则p 的值是______.三、解答题:解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分）如图所示,一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50 公里/小时的速度勻速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方 向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公 里，距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个 人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？18. (本小题满分12分）每年的三月十二日，是中国的植树节.林管部门在植树前，为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了 10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米）甲：137，121,131，120,129，119,132，123,125,133乙：110,130,147,127,146,114，126,110,144，146(I)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(II)设抽测的10株甲种树苗髙度平均值为将这10株树苗的高度依次输人按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列.19. (本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2，)(1R CC CD ∈=λλ(I)当λ=21时,求证AB 1丄平面A 1BD; (II)当二面角A —A 1D —B 的大小为3π-时,求实数λ的值.20. (本小题满分12分）已知椭圆C: 13422=+y x 的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 为曲线D 上的动点，以PF 为直径的圆恒与y 轴相切.(I)求曲线D 的方程；(II)设O 为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M 在椭圆C 上;②点O 为ΔAPM 的重心.若存在，求出点P 的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC 的三点坐标为A(x 1，y 1),B(x 2,y 2),C(x 3，y 3)，则其重心G 的坐标为3321x x x ++，3321y y y ++))21. (本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx 与g(x)=kx+b(k,b ∈R)的图象交于P ，Q 两点，曲线y=f(x)在P ，Q 两点处的切线交于点A.(I)当k = e ，b=-3时,求f(x) — g(x)的最大值(e 为自然常数） (II )若)11,1(--e e e A |，求实数k ，b 的值.选做题(本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）22.选修4—1:几何证明选讲如图，已知0和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C,点G 为弧BD 中点，连结 AG 分别交0、BD 于点E 、F ，连结CE.(I ）求证:AG ·EF=CE ·GD ；(II)求证：22CE EF AG GF =23. 选修4一4:坐标系与参数方程已知直线C 1: ⎩⎨⎧=+=a t y a t x sin cos 1’（t 为参数），曲线C 2: ⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数).(I)当a=3π时,求C 1与C 2的交点坐标；(II)过坐标原点0作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 中点，当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.24. 选修4一5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x —a|(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5}，求实数a 的值； (II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)m 对一切实数x 恒成立，求实数m的取值范围.2021年高中毕业年级第二次质量预测数学（理科） 参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）DDAA BCCD BACC二、填空题（每小题5分，共20分）13．6；14．12；15．1a ≥-；16．1或2． 三、解答题17．解:作MI 垂直公路所在直线于点I ,则3=MI ,54cos 4,5=∠∴=∴=MOI OI OM ――――2分 设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时,追上汽车的时间为t 小时由余弦定理:()()545052505222⨯⨯⨯-+=t t vt ――――6分900900)81(25250040025222≥+-=+-=⇒tt t v -――――8分 ∴当81=t 时,v 的最小值为30,∴其行驶距离为415830==vt 公里――――11分故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了415公里. ――――12分 18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近， 乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）（Ⅱ）127,135.x S ==――――6分S 表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.S 值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得越参差不齐．――――8分（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12，则1~(5,)2X B ―――10分所以随机变量X 的分布列为X 012345p132532516516532132――――12分19.解：（Ⅰ）取BC 的中点为O ，连结AO在正三棱柱111ABC A B C -中面ABC ⊥面1CB ，ABC ∆为正三角形，所以AO BC ⊥， 故AO ⊥平面1CB ．以O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，――――2分则(0,0,3)A ，1(1,2,0)B ，(1,1,0)D -，1(0,2,3)A ，(1,0,0)B ．所以1(1,2,3)AB =-，1(1,1,3)DA =，(2,1,0)DB =-，因为1111230,220AB DA AB DB ⋅=+-=⋅=-=， 所以111,AB DA AB DB ⊥⊥，又1DA DB D =，所以1AB ⊥平面1A BD ． ――――－6分 （Ⅱ）由⑴得(1,2,0)D λ-，所以1(1,22,3)DA λ=-，(2,2,0)DB λ=-，(1,2,3)DA λ=-，设平面1A BD 的法向量1(,,)n x y z =，平面1AA D 的法向量2(,,)n s t u =，由1110,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面1A BD 的一个法向量为12(,1,)3n λλ-=， 同理可得平面1AA D 的一个法向量2(3,0,1)n =-， 由1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅，解得14λ=，为所求．――――12分20．解：（Ⅰ）设(,)P x y ，由题知(1,0)F ，所以以PF 为直径的圆的圆心1(,)2x E y +， 则22|1|11||(1)222x PF x y +==-+，整理得24y x =，为所求． ――――4分（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分若这样的三角形存在，由题可设211122(,)(0),(,)4y P y y M x y ≠，由条件①知2222143x y +=， 由条件②得0OA OP OM ++=，又因为点(2,0)A -，所以2121220,40,y x y y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩即222204y x +-=，故2223320416x x -+-=，――――9分 解之得22x =或2103x =（舍），当22x =时，解得(0,0)P 不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分21、解：（Ⅰ）设()()()ln 3(0)h x f x g x x ex x =-=-+>，则11()()e h x e x x x e '=-=--， ――――1分 当10x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 为增函数；当1x e>时，()0h x '<，此时函数()h x 为减函数．所以max 1()()1131h x h e==--+=，为所求． ――――4分（Ⅱ）设过点A 的直线l 与函数()ln f x x =切于点00(,ln )x x ，则其斜率01k x =，故切线0001:ln ()l y x x x x -=-， 将点1(,)11e A e e --代入直线l 方程得： 00011ln ()11e x x e x e -=---，即0011ln 10e x e x -+-=，――――7分 设11()ln 1(0)e v x x x e x -=+->，则22111()()1e e e v x x ex x ex e --'=-=--， 当01e x e <<-时，()0v x '<，函数()v x 为增函数； 当1e x e >-时，()0v x '>，函数()v x 为减函数． 故方程()0v x =至多有两个实根， ――――10分 又(1)()0v v e ==，所以方程()0v x =的两个实根为1和e ， 故(1,0),(,1)P Q e ，所以11,11k b e e==--为所求．――――12分22．证明：（Ⅰ）连结AB 、AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD =90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD =90°. ――――2分 ∵G 为弧BD 中点，∴∠DAG =∠GAB =∠ECF . ――――4分∴△CEF ∽△AGD ∴GD AG EF CE =， ∴AG ·EF = CE ·GD ――――6分（Ⅱ）由⑴知∠DAG =∠GAB =∠FDG ，∠G =∠G ，∴△DFG ∽△AGD ，∴DG 2=AG ·GF . ――――8分由⑴知2222AG GD CE EF =，∴22CE EF AG GF = ――――10分23．解：（Ⅰ）当3π=a 时，C 1的普通方程为)1(3-=x y ，C 2的普通方程为122=+y x ， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y ，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0），)23,21(-．――――5分 （Ⅱ）C 1的普通方程为0sin cos sin =--αααy x ，A 点坐标为)cos sin ,(sin 2ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin ,21sin cos ,2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数） P 点轨迹的普通方程为161)41(22=+-y x ． 故P 点轨迹是圆心为)0,41(，半径为41的圆．――――10 24．解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-x x a ．又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a .――――4分（Ⅱ）当2a =时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ， 于是⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,3,12|3||2|)(x x x x x x x x g ――――6分所以当3-<x 时，5)(>x g ； 当23≤≤-x 时，5)(=x g ； 当2x >时，5)(>x g ．综上可得，()g x 的最小值为5．――――9分 从而若m x f x f ≥++)5()(，即m x g ≥)(对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为（-∞，5]．――――10分。
河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学答案
，因为点 在椭圆 上，
所以 化简得 ． …………………………8分
直线 的方程为 ，据椭圆的对称性，四边形 的面积 ，……10分
所以，
，所以
所以，四边形 的面积为定值12． ……………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）当 时，曲线
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
不妨取 ，则 ， ，∴ .
而平面 的一个法向量为 ，…………………………………………10分
∴ .
故二面角 的余弦值为 .…………………………………………………12分
20.解(I)设 ，由题意， ， ……………………………2分
化简得 ，…（3分）所以，动点 的轨迹 的方程为 … 4分
整理得： 即 解得： ，
故实数a的取值范围为 ……………………………………10分
23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝ ………………………3分
由f(x)的单调性及f(－ )＝f(2)＝5，
得f(x)＞5的解集为{x|x＜－ ，或x＞2}．……………………………………5分
（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥ ………………………7分
………………………2分
时，切线的斜率为 ，又切线过点
所以切线方程为 …………………………4分
（Ⅱ） ，
………5分
当 时， ，函数 在 上单调递减；………………………7分
当 时，令 ，
当 时，即 ， ，此时 ，函数 在 上单调递增;
当 时，即 ，方程 有两个不等实根 ，
所以 ，
此时，函数 在 上单调递增；在 上单调递减.……………11分
显然 的取值为0，1，2，3, 4 . 且 .
河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测(理数)
河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}531|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{<<=x x B ，且A B A =I ，则实数a的取值范围是 A ．]9,(-∞B ．)9,(-∞C ．]9,2[D ．)9,2(2．已知复数32iiz +=（其中i 是虚数单位，满足12-=i ），则z 的共轭复数是 A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A ．20 B ．21 C ．20.5 D ．234． 圆4)12()2(22=-++y x 关于直线08=+-y x 对称的圆的方程为A ．4)2()3(22=+++y xB ．4)6()4(22=-++y xC ．4)6()4(22=-+-y xD ．4)4()6(22=+++y x5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A ．30米B ．20米C ．215米D ．15米6．若⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫⎝⎛-=απα4sin 2cos 2，则α2sin 的值为A ．87- B ．87 C ．81- D ．817．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x 的取值范围是A ．),2(+∞B ．]4,2(C ．]10,4(D ．),4(+∞8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示 收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示 收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积，将SaGini =，称为 基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为)(x f y =，则对)1,0(∈∀x ，均有1)(>xx f ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2∈=x x y ，则41=Gini ； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3∈=x x y ，则21=Gini ．其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84 C ．120 D ．360 10．已知等差数列}{n a 的公差0=/d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则362++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．2 11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为A ．π6B ．π2C ．π6D ．π2412．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 作直线x ab y -=的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2=，则该双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式62⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。
2025届河南省郑州市高考数学二模试卷含解析
2025届河南省郑州市高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．642．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A．764B．1132C．5764D．11163．已知双曲线2222:1x ya bΓ-=(0,0)a b>>的一条渐近线为l，圆22:()4C x c y-+=与l相切于点A，若12AF F∆的面积为3Γ的离心率为（）A．2B．33C．73D214．已知函数()(2)3,(ln2)()32,(ln2)xx x e xf xx x⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m∈+∞时，()f x的取值范围为(,2]e-∞+，则实数m的取值范围是（）A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]5．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或86．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a7．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．608．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．函数()()ln 12f x x x=+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,211．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线 的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案．
【详解】
解：圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ．
，
则圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
10．已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A．4B．3C． D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，求出公差 的值，得到数列 的通项公式，前 项和，从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
5．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）
A．30米B．20米C． 米D．15米
【答案】A
【解析】光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，画出轴截面图，即可得解；
【详解】
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则
解得
（Ⅱ）由 ， ．
当 时，
．
对 也适合，
， ．
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题(含答案)
5
取总体数量较多，抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验，于是 服从二项分布 B(4, 2) . 5
………………………10 分
显然 的取值为 0，1，2，3,
4
.
且 P(
k
)
C4k
(
2 5
)k
(1
2 5
)4k
,
k
0,1, 2,3, 4 .
所以得分布列为：
0
1
2
3
4
81
216
216
96
16
P
625
625
625
625
625
数学期望 E 4 2 8 …………………………12 分 55
19.（Ⅰ）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E ，连接 DE ，则 DE 平面 ABC ， ∴ DE BC .………………………………………………………………………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB BC ，∴ BC 平面 ABD ，∴ BC AD .
………………………………………………………………………………………4 分
又 AD CD ，所以 AD 平面 BCD ，而 AD 平面 ABD ，∴平面 ABD 平面 BCD .
………………………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）以点 B 为原点，线段 BC 所在的直线为 x 轴，线段 AB 所在的直线为 y 轴，建立空间
20.解(I)设 A x, y ，由题意， | x 4 | 2 ， ……………………………2 分
化简得 x2 4 y2
12
，…（3
分）所以，动点
A
的轨迹
C
的方程为
郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测理科数学试卷(含答案)
郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 评分参考一、选择题BCCCA ABBBD CC 二、填空题13.160； 14.8； 15.3； 16. [1,).e ++∞三、解答题17.(1)设等差数列的公差为，则……………………3分{}n a d 1211172177,(60)(10),+=⎧⎨+=+⎩a d a a d a d 解得 ………………5分15,2 3.2,n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩(2)由1111111,(2,).n n n n n n a a n n b b b b -+--=∴-=≥∈*N 当时，2n ≥1211122111111111111()()()-----=-+-++-+=++++n n n n n n n a a a b b b b b b b b b = …………………………8分(1)(25)3(2).n n n n --++=+对也适合， ………………………9分113=b…………………10分1111(2)()().22n n n n n N b b n n ∴=+∈∴=-+ 12分2111111131135(1)().2324222124(1)(2)n n n T n n n n n n +∴=-+-++-=--=+++++ 18. (I)作出列联表：22⨯青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830………………………3分由列联表数据代入公式得，…………………5分 22() 1.83()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分(Ⅱ) 用A 表示“至少有1人在青春组”，则. …………… 8分23257()110C p A C =-=(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所122305=25取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布ξ.2(4,)5B ………………………10分显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且.ξ4422()()(1),0,1,2,3,455ξ-==-=kk k P k C k 所以得分布列为：数学期望 …………………………12分28455ξ=⨯=E19.（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面， D ABC E DE DE ⊥ABC ∴.………………………………………………………………………2分 DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴. ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥………………………………………………………………………………………4分又，所以平面，而平面，∴平面平面. AD CD ⊥AD ⊥BCD AD ⊂ABD ⊥ABD BCD ………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间B BC x AB y 直角坐标系，如图所示.设，则，∴，. AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（Ⅰ）知，又，∴，， AD BD ⊥2ABAD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，， cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AEa =-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.………………8分 3(0,)2D a a 1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =-ξ0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z =则，即 00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,220.ay ax ay ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则，.1z=y=x =m =而平面的一个法向量为，…………………………………………10分ABC (0,0,1)n =∴. cos ,m n ||||m n m n ⋅==14=故二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 D AC B --1420.解(I)设……………………………2分(),A x y 化简得，…（3分）所以，动点的轨迹的方程为… 4分22412+=x y A C 22 1.123x y +=(Ⅱ)解：设，，则由斜率之积，得，………6分 ),(11y x A ),(22y x B 121214=-y y x x ，因为点在椭圆上，221221)()(||y y x x AB -+-=,M N C 所以化简得． …………………………8分 222212123,3.44x x y y =-=-221212+=x x 直线的方程为，原点到直线的距离为AB 0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y O MN.)()(2122121221y y x x |y x y x |d -+--=所以，的面积， ∆MON ||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆根据椭圆的对称性，四边形的面积，……10分 M N P Q S ||21221y x y x -=所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=，所以221212()144+=x x 12.S =所以，四边形的面积为定值12． ……………………………………12分 M N P Q21.解析：（Ⅰ）当时，曲线 1=a ()().1ln +=⋅=x xx x g x f y………………………2分()()()()221ln 1ln ln 1.11x x x x x x y x x ++-++'==++时，切线的斜率为，又切线过点 1x =12()1,0所以切线方程为…………………………4分 210x y --=（Ⅱ）， ()()()2111,()1''==+f x ax g x x ………5分 ()()()()()()2221111(,11x ax F x f x g x ax x ax x +-'''=-=-=++当时，，函数在上单调递减；………………………7分 0a <()0F x '<()F x ()0,+∞当时，令， 0>a ()21211⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭k x x x a a a 41,a ∆=-当时，即，，此时，函数在上单调递增; 0∆≤04<≤a ()0k x ≥()0F x '≥()F x ()0,+∞当时，即，方程有两个不等实根， 0∆>4>a 212110⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a a a 12x x <所以，1201x x <<<12⎛== ⎝x x 此时，函数在上单调递增；在上单调递减.……………11分 ()F x ()()120,,,x x +∞()12,x x 综上所述，当时，的单减区间是；0a <()F x ()0,+∞当时，的单减区间是，4>a ()Fx单增区间是,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当时，单增区间是.………………………12分 04a <≤()F x ()0,+∞22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为， ………………………2分222()y a x a +=-消t 得到………………………………………4分4350x y -+=（Ⅱ）要满足弦及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离AB ≥12d a ≤…………7分12a ≤整理得：即解得：， 2111201000,a a -+≤(1110)(10)0a a --≤101011a ≤≤故实数a 的取值范围为……………………………………10分 101011a ≤≤23.解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝………………………3分13,1,3,11,31, 1.x x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎨⎪->⎩由f (x )的单调性及f (－)＝f (2)＝5，43得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－，或x ＞2}．……………………………………5分43（Ⅱ）由f(x)≤a|x ＋3|得a≥………………………7分 |1|,|1||3|x x x +-++由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1| 得≤，得a≥．|1||1||3|x x x +-++1212 故a 的最小值为．………………………………10分12。
郑州市2020高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题含答案
a2
a2 2
4a
,
a
2
a2 2
4a
,
当 0 a 4 时， F x 单增区间是 0, .………………………12 分
22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为 x 2 ( y a)2 a 2 ， ………………………2 分
消 t 得到 4x 3 y 5 0 ………………………………………4 分
= (n 1)(n 2 5) 3 n(n 2).
…………………………8 分
对 b1
1 3
也适合，
………………………9 分
1 bn
n(n
2)(n
N )bn
1 2
(1 n
n
1
). 2
…………………10 分
Tn
1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (3 1 1 ) 3n2 5n .
2
1 故 a 的最小值为 ．
2
………………………………10 分
所以，
MON
的面积
SAOB
1| 2
AB
|
d
1 2
|
x1 y2
x2 y1
|，
根据椭圆的对称性，四边形 M N P Q 的面积 S 2 | x1y2 x2 y1 | ，……10 分
所以， S 2 4(x1 y2 x2 y1)2 4(x12 y22 2x1x2 y1 y2 x22 y12 )
4 得 f (x )＞5 的解集为{x|x＜－ ，或 x＞2}．……………………………………5 分
3
（Ⅱ）由
f(x)≤a|x＋3|得
a≥
|
x
| 1
x |
1| |x
3
|
河南省郑州市2024届高三下学期二模试题 数学含答案
2024年高中毕业年级第二次质量预测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知全集{}15U x x =-<<，集合A 满足{}03U A x x =<≤ð，则A ．0A∈B ．1A∉C ．2A ∈D ．3A∉2．数据6.0，7．4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位数为A ．8.5B ．8.6C ．8.7D ．8.83．已知数列{}n a 为等比数列，且11a =，916a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S =A ．36-或36B ．36-C ．36D ．184．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （0m >）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若1222020202020222a C C C =⋅+⋅++⋅ ，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2018B ．2020C ．2022D ．20245．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+（x R ∈），则下列说法正确的是A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 的最大值为32C ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间[]0,π上有2个零点6．在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和，0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙，丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为A ．58B ．78C ．929D ．20297．在平面直角坐标系xOy 中，设()2,4A ，()2,4B --，动点P 满足1PO PA ⋅=-，则tan PBO ∠的最大值为A ．22121B ．42929C ．24141D ．228．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的离心率为e ，在第一象限存在点P ，满足12sin 1e PF F ⋅∠=，且1224F PF S a ∆=，则双曲线C 的渐近线方程为A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，复数11i 22z =-对应的点为A ，复数211z z =-对应的点为B ，下列说法正确的是A ．121z z ==B ．2121z z z ⋅=C ．向量AB对应的复数是1D ．12AB z z =-10．如图，在矩形11ABB A 中，11AA =，4AB =，点C ，D ，E 与点1C ，1D ，1E 分别是线段AB 与11A B 的四等分点．若把矩形11ABB A 卷成以1AA 为母线的圆柱的侧面，使线段1AA 与1BB 重合，则以下说法正确的是A ．直线1AC 与1DE 异面B ．AE ∥平面1A CDC ．直线1DE 与平面1AED 垂直D ．点1C 到平面11DDE 的距离为π11．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，()11f =，()21f x +为偶函数，则A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()()22f x f x +=--D ．()20241k f k ==∑第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．抛物线21x y a=的准线方程为1y =，则实数a 的值为．13．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4,cos 0b c B a =⋅+=，则边c =，点D 在线段AB 上，且34CDA π∠=的最大值为CD =．14．已知不等式112x aeax b -+-≥对任意的实数x 恒成立，则ba的最大值为．四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立．（Ⅰ）求前3局比赛甲都取胜的概率；（Ⅱ）用X 表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X 的分布列和数学期望．16．（15分）已知函数()()()22ln 12f x a x x ax =-+-（0a ≥）．（Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．17．（15分）如图，在多面体DABCE 中△ABC 是等边三角形，2AB AD ==，DB DC EB EC ====（Ⅰ）求证：BC ⊥AE ；（Ⅱ）若二面角A —BC —E 为30°，求直线DE 与平面ACD 所成角的正弦值．18．（17分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()0,1，且焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0S 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ．①证明：直线MN 必过定点﹔②若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△MNS 面积的最大值．19．（17分）已知数列{}n a 为有穷数列，且*n a N ∈，若数列{}n a 满足如下两个性质，则称数列{}n a 为m 的k 增数列：①123n a a a a m ++++= ；②对于1i j n <≤≤，使得i j a a <的正整数对(),i j 有k 个．（Ⅰ）写出所有4的1增数列；（Ⅱ）当5n =时，若存在m 的6增数列，求m 的最小值；（Ⅲ）若存在100的k 增数列，求k 的最大值．郑州市2024高三第二次质量预测数学（参考答案）一、单选题题号12345678答案BDCBDCCA二、多选题题号91011答案ADABDACD三、填写题12．14-13514．22ln 2-15．解：（1）前3局比赛甲都不下场说明前3局甲都获胜，故前3局甲都不下场的概率为11112228P =⨯⨯=．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3．其中，0X =表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则()1110224P X ==⨯=；1X =表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则()11111122222P X ==⨯+⨯=；2X =表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则()111122228P X ==⨯⨯=；3X =表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则()111132228P X ==⨯⨯=；所以X 的分布列为X 0123P14121818故X 的数学期望为()11119012342888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．16．解：（1）函教定义域为()0,+∞，()()22212'ax a x af x x+--=，因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以()2'1120f a a =+-=，解得12a =-或1a =，因为0a ≥，所以1a =．此时()()()221121'x x x x f x x x+---==，令()'0f x >得1x >，令()'0f x <得01x <<，∴()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以1x =是函数的极小值点．所以1a =．（2）当0a =时，()f x x =，则函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，()()()()2221221'ax a x aax x a f x xx+--+-==，因为0a >，0x >，则210ax +>，令()'0f x >得x a >；令()'0f x <得0x a <<；函数的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞．综上可知：当0a =时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，无递减区间；当0a >时，函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．17．证明：取BC 中点O ，连接AO ，EO ．∵△ABC 是等边三角形，O 为BC 中点，∴AO ⊥BC ，又EB EC =，∴EO ⊥BC ，∵AO EO O = ，∴BC ⊥平面AEO ，又AE ⊂平面AEO ，BC ⊥AE ．（2）连接DO ，则DO ⊥BC ，由2AB AC BC ===，DB DC EB EC ====AO =1DO =，又2AD =，∴222AO DO AD +=，∴DO ⊥AO ，又AO BC O = ，∴DO ⊥平面ABC ．如图，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz，则()0,0,0O，)A，()0,1,0C -，()0,0,1D ，∴)CA =，()0,1,1CD =，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则0n CA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z +=+=⎪⎩，取1x =，则(1,n =．∵∠AOE 是二面角A —BC —E 的平面角，∴30AOE ∠=︒，又1OE =，∴31,0,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,22DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则7cos ,7DE n DE n DE n⋅<>==-，∴直线DE 与平面ACD所成角的正弦值为7．18．解：（1）依题意有1b =，c =2224a b c =+=，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设AB l ：1x my =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，则CD l ：11x y m=-+（0m ≠），联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，故()224230m y my ++-=，216480m ∆=+>，12224my y m -+=+，故224,44m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，由1m -代替m ，得2224,1414m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，当22244414m m m =++，即21m =时，MN l ：45x =，过点4,05K ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当22244414m m m ≠++，即21m ≠时，()2541MN m K m =-，MN l ：()222544441m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭（21m ≠，0m ≠），令0y =，()()()()222224144164554454m m x m m m -+=+==+++，∴直线MN 恒过点4,05K ⎛⎫⎪⎝⎭．当，经验证直线MN 过点4,05K ⎛⎫⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过点4,05K ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）32242111122514424174MNS MKS NKSM N m m m m S S S KS y y m m m m ∆∆∆+=+=⋅⋅-=⋅⋅+=⋅++++221142417m mm m +=⋅++，令[)12,t m m=+∈+∞，2221111149224924174MNS m t mS t m t m t∆+=⋅=⋅=⋅++++，∵MNS S ∆在[)2,t ∈+∞上单调递减，∴125MNS S ∆≤，当且仅当2t =，1m =±，时取等号．故△MNS 面积的最大值为125．19．解：（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3．（2）当5n =时，因为存在m 的6增数列，所以数列{}n a 的各项中必有不同的项，所以6m ≥且*m N ∈．若6m =，满足要求的数列{}n a 中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >．若7m =，满足要求的数列{}n a 中有三项为1，两项为2，符合m 的6增数列．所以，当5n =时，若存在m 的6增数列，m 的最小值为7．（3）若数列{}n a 中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列{}n a 中存在大于1的项，若首项11a ≠，将1a 拆分成1a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以11a =．当2i =，3，…，n 时，若1i i a a +>，交换i a ，1i a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≤．若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a ++≥，所以将1i a +改为11i a +-，并在数列首位前添加一项1，所以k 的值变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈．若数列{}n a 中存在相邻的两项2i a =，13i a +≥，设此时{}n a 中有x 项为2，将1i a +改为2，并在数列首位前添加12i a +-个1后，k 的值至少变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以数列{}n a 的各项只能为1或2，所以数列{}n a 为1，1，…，1，2，2，…，2的形式．设其中有x 项为1，有y 项为2，因为存在100的k 增数列，所以2100x y +=，所以()()22100221002251250k xy y y y y y ==-=-+=--+，所以，当且仅当50x =，25y =时，k 取最大值为1250．。
河南省郑州市2021年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题含答案
河南省郑州市2021年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题含答案河南省郑州市2021年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.复数z 1=3+i ，z 2 =1-I 则z=21z z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若532cos =θ-，542sin -=θ，则角θ的终边所在的直线为A. 7x+24y=0B. 7x-24y=0C. 24x+7y=0D.24x-7y=03_在数列{a n }中，a n+1=ca n (c;为非零常数），前n 项和为S n = 3n+k,则实数k 为A.-1B.0C.1D.24.设a,β分别为两个不同的平面，直线l a ，则“l 丄β”是“a 丄β成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若xx c c b linx a e x ln ln 1,)21(,),1,(===∈-，则a ，b ，c 的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c6.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足x e f x x f ln )(2)(+'=,则)(ef ' =A. 1B. —1C. –e -1D. —e7.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是8.在二项式n xs x )1(4+的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为 A.61 B. 41 C. 31 D. 1259.如图所示,F 1 F2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x （a>0,b>0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B,且ΔF 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为A. 12+B. 13+C.212+ D. 213+10. 函数f(x)=ax m (1-x)2在区间[0，1]上的图象如图所示，则m 的值可能是A. 1B.2C. 3D.411. 设f(x)是定义在R 上的增函数,且对于任意的工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m 、n 满足不等式组><-++-3)8()236(22m n n f m m f ’则m 2+n 2的取值范围是 A. (3,7)B. (9,25)C. (13,49)D. (9,49)12. 已知函数x x x f cos 21)(-=，则方程4)(π=x f 所有根的和为A. 0 B. 4π C . 2πD. 23π第II 卷本卷包括必考題和选考題两部分.第13题?第21題为必考题，第22题?24题为选考題.考生根据要求作答.二、填空題:本大题共4小题，每小题5分.13.等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1=1,a k +a 4=0，则k=______.14. 已知O 为坐标原点，点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组??≤+≥≥401y x y x 则ON OM ·的最大值为______.15.已知不等式222y ax xy +≤，若对任意x ∈[l,2],且y ∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a 的取值范围是______.16.过点M(2，-2p)作抛物线x 2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B,若线段AB 的中点纵坐标为6,则p 的值是______.三、解答题:解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分）如图所示,一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50 公里/小时的速度勻速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？18. (本小题满分12分）每年的三月十二日，是中国的植树节.林管部门在植树前，为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了 10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米）甲：137，121,131，120,129，119,132，123,125,133乙：110,130,147,127,146,114，126,110,144，146(I)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(II)设抽测的10株甲种树苗髙度平均值为将这10株树苗的高度依次输人按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列.19. (本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2，)(1R CC CD ∈=λλ(I)当λ=21时,求证AB 1丄平面A 1BD; (II)当二面角A —A 1D —B 的大小为3π-时,求实数λ的值.20. (本小题满分12分）已知椭圆C: 13422=+y x 的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 为曲线D 上的动点，以PF 为直径的圆恒与y 轴相切.(I)求曲线D 的方程；(II)设O 为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M 在椭圆C 上;②点O 为ΔAPM 的重心.若存在，求出点P 的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC 的三点坐标为A(x 1，y 1),B(x 2,y 2),C(x 3，y 3)，则其重心G 的坐标为3321x x x ++，3321y y y ++))21. (本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx 与g(x)=kx+b(k,b ∈R)的图象交于P ，Q 两点，曲线y=f(x)在P ，Q 两点处的切线交于点A.(I)当k = e ，b=-3时,求f(x) — g(x)的最大值(e 为自然常数） (II )若)11,1(--e e e A |，求实数k ，b 的值.选做题(本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用铅笔在对应方框中涂黑）22.选修4—1:几何证明选讲如图，已知0和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，直线BD 交O 于点C,点G 为弧BD 中点，连结 AG 分别交0、BD 于点E 、F ，连结CE.(I ）求证:AG ·EF=CE ·GD ；(II)求证：22CE EF AG GF =23. 选修4一4:坐标系与参数方程已知直线C 1: =+=a t y a t x sin cos 1’（t 为参数），曲线C 2: ==θθsin cos y x (θ为参数).(I)当a=3π时,求C 1与C 2的交点坐标；(II)过坐标原点0作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 中点，当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.24. 选修4一5:不等式选讲已知函数f(x)=|x —a|(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5}，求实数a 的值；(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)m 对一切实数x 恒成立，求实数m的取值范围.2021年高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）DDAA BCCD BACC二、填空题（每小题5分，共20分）13．6；14．12；15．1a ≥-；16．1或2．三、解答题17．解:作MI 垂直公路所在直线于点I ,则3=MI ,54cos 4,5=∠∴=∴=MOI OI OM ――――2分设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时,追上汽车的时间为t 小时由余弦定理:()()545052505222-+=t t vt ――――6分900900)81(25250040025222≥+-=+-=tt t v -――――8分∴当81=t 时,v 的最小值为30,∴其行驶距离为415830==vt 公里――――11分故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了415公里. ――――12分 18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）（Ⅱ）127,135.x S ==――――6分S 表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.S 值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得越参差不齐．――――8分（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12，则1~(5,)2X B ―――10分所以随机变量X 的分布列为X 012345p132532516516532132――――12分19.解：（Ⅰ）取BC 的中点为O ，连结AO在正三棱柱111ABC A B C -中面ABC ⊥面1CB ，ABC ?为正三角形，所以AO BC ⊥，故AO ⊥平面1CB ．以O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，――――2分则(0,0,3)A ，1(1,2,0)B ，(1,1,0)D -，1(0,2,3)A ，(1,0,0)B ．所以1(1,2,3)AB =-，1(1,1,3)DA =，(2,1,0)DB =-，因为1111230,220AB DA AB DB ?=+-=?=-=，所以111,AB DA AB DB ⊥⊥，又1DA DB D =，所以1AB ⊥平面1A BD ．――――－6分（Ⅱ）由⑴得(1,2,0)D λ-，所以1(1,22,3)DA λ=-，(2,2,0)DB λ=-，(1,2,3)DA λ=-，设平面1A BD 的法向量1(,,)n x y z =，平面1AA D 的法向量2(,,)n s t u =，由1110,0,n DA n DB ??==??得平面1A BD 的一个法向量为1(,1,)3n λ=，同理可得平面1AA D 的一个法向量2(3,0,1)n =-，由1212121 cos ,2||||n n n n n n ?<>==?，解得14λ=，为所求．――――12分20．解：（Ⅰ）设(,)P x y ，由题知(1,0)F ，所以以PF 为直径的圆的圆心1(,)2x E y +，则22|1|11||(1)222x PF x y +==-+，整理得24y x =，为所求．――――4分（Ⅱ）不存在，理由如下：――――5分若这样的三角形存在，由题可设211122(,)(0),(,)4y P y y M x y ≠，由条件①知2222143x y +=，由条件②得0OA OP OM ++=，又因为点(2,0)A -，所以2121220,40,y x y y ?+-=+=?即222204y x +-=，故2223320416x x -+-=，――――9分解之得22x =或2103x =（舍），当22x =时，解得(0,0)P 不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在．――――12分21、解：（Ⅰ）设()()()ln 3(0)h x f x g x x ex x =-=-+>，则11()()e h x e x x x e '=-=--，――――1分当10x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 为增函数；当1x e>时，()0h x '<，此时函数()h x 为减函数．所以max 1()()1131h x h e==--+=，为所求．――――4分（Ⅱ）设过点A 的直线l 与函数()ln f x x =切于点00(,ln )x x ，则其斜率01k x =，故切线0001:ln ()l y x x x x -=-，将点1(,)11e A e e --代入直线l 方程得：00011ln ()11ex x e x e -=---，即0011ln 10e x e x -+-=，――――7分设11()ln 1(0)e v x x x e x -=+->，则22111()()1e e e v x x ex x ex e --'=-=--，当01ex e <<-时，()0v x '<，函数()v x 为增函数；当1ex e >-时，()0v x '>，函数()v x 为减函数．故方程()0v x =至多有两个实根，――――10分又(1)()0v v e ==，所以方程()0v x =的两个实根为1和e ，故(1,0),(,1)P Q e ，所以11 ,11k b e e==--为所求．――――12分22．证明：（Ⅰ）连结AB 、AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD =90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD =90°.――――2分∵G 为弧BD 中点，∴∠DAG =∠GAB =∠ECF . ――――4分∴△CEF ∽△AGD ∴GDAGEF CE =，∴AG ·EF = CE ·GD――――6分（Ⅱ）由⑴知∠DAG =∠GAB =∠FDG ，∠G =∠G ，∴△DFG ∽△AGD ，∴DG 2=AG ·GF .――――8分由⑴知2222AGGD CE EF =，∴22CE EF AG GF = ――――10分23．解：（Ⅰ）当3π=a 时，C 1的普通方程为)1(3-=x y ，C 2的普通方程为122=+y x ，联立方程组=+-=1)1(322y x x y ，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0），)23,21(-．――――5分（Ⅱ）C 1的普通方程为0sin cos sin =--αααy x ，A 点坐标为)cos sin ,(sin 2ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin ,21sin cos ,2x y ααα?==-??（α为参数）P 点轨迹的普通方程为161)41(22=+-y x ．故P 点轨迹是圆心为)0,41(，半径为41的圆．――――1024．解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-x x a ．又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以=+-=-5313a a ，解得2=a .――――4分（Ⅱ）当2a =时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，于是>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,3,12|3||2|)(x x x x x x x x g ――――6分所以当3-x g ；当23≤≤-x 时，5)(=x g ；当2x >时，5)(>x g ．综上可得，()g x 的最小值为5．――――9分从而若m x f x f ≥++)5()(，即m x g ≥)(对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（-∞，5]．――――10分。
河南省郑州市2024届高三下学期二模试题 数学含答案
2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数()221i z m m m =+---是纯虚数,m ∈R ,i 是虚数单位,则()A.1m ≠且2m ≠-B.1m =C.2m =-D.1m =或2m =-2.集合{}180(1)90,n A x x n n ==⋅︒+-⋅︒∈Z ∣与{}36090,B xx m m ==⋅︒+︒∈Z ∣之间的关系是()A.A BÜ B.B AÜ C.A B= D.A B =∅3.已知ϕ为第一象限角，若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A B ．C ．34-D 4.有一块半径为2,圆心角为45︒的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大值为()A.2+B.2C.2- D.2+6.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,*n ∈N ,且21230a a =≠,也是等差数列,则n a =()A.nB.1n + C.89n D.8(1)9n +7.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1AB =，BC =O 的表面积为4π，则SA =()A.2B.18.如图,M 为四面体OABC 的棱BC 的中点,N 为OM 的中点,点P 在线段AN 上,且2AP PN =,设OA a = ,OB b = ,OC c = ,则OP = ()A.111366OP a b c=++ B.21131212OP a b c =++C.111366OP a b c=-+ D.2113126OP a b c =+-二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz 平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz 平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，则下列说法正确的是()A.用平行于xOy 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B.用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C.用垂直于y 轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D.用过原点且法向量为()1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知()f x 满足()()8f x f x =+,当[)0,8x ∈,()[)[)422,0,428,4,8x x f x x x ⎧--∈⎪=⎨-∈⎪⎩,若函数()()()21g x f x af x a =+--在[]8,8x ∈-上恰有八个不同的零点,则实数a 的取值范围为__________.13.记ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin sin sin a A b B c C -=-,若ABC △外接圆面积为 π ,则ABC △面积的最大值为______.14.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品；有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张,求:（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值 ξ(元)的概率分布列和期望()E ξ.16.(15分)若数列{}n x 满足：存在等比数列{}n c ,使得集合{}*n n x c n +∈N 元素个数不大于k ()*k ∈N ,则称数列{}n x 具有()P k 性质.如数列1n x =,存在等比数列(1)n n c =-,使得集合{}{}*0,2nn xc n +∈=N ,则数列{}n x 具有(2)P 性质.若数列{}n a 满足10a =,()*11(1)22n n n a a n +=-+-∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S .证明：（1）数列{}(1)n n a +-为等比数列；（2）数列{}n S 具有(2)P 性质.17.(15分)如图所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,AB AD ⊥且1AB AD ==,2CD =,1AA =,M 是1DD 的中点.(1)证明1BC B M ⊥；(2)求点B 到平面1MB C 的距离.18.(17分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,且过点()2,2P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0M -作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且椭圆C 的左,右焦点分别为1F ,2F ,12F AF △,12F BF △的面积分别为1S ,2S ,求12S S -的最大值.19.(17分)已知函数()22(ln )(1)f x x a x =--,a ∈R .（1）当1a =时,求()f x 的单调区间；（2）若1x =是()f x 的极小值点,求a 的取值范围.2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试数学•参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：由复数()221i z m m m =+---是纯虚数,得22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩,解得2m =-.故选：C.2.答案：C解析：当2()n k k =∈Z 时，36090()x k k =⋅︒+︒∈Z ；当21()n k k =+∈Z 时，36090()x k k =⋅︒+︒∈Z ，所以A B =.3.答案：D解析：由题意可得：()()2cos cos 2cos cos 2sin sin cos f x x x x x xϕϕϕ=-+=++()()2sin sin 2cos 1cos x x x ϕϕα=++=+，则=1cos 4ϕ=，且ϕ为第一象限角，则15sin 4ϕ=，故πππ132cos cos cos 33324f ϕϕϕ+⎛⎫⎛⎫=-+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.答案：C 解析：如图:在Rt OCB △中,设COB α∠=,则2cos ,2sin OB BC αα==,在Rt OAD △中,tan 451DAOA︒==,所以2sin OA DA α==,2cos 2sin AB OB OA αα∴=-=-,设矩形ABCD 的面积为S ,则()212cos 2sin 2sin 4(sin 2sin )2S AB BC ααααα=⋅=-⋅=-π2(sin 2cos 2)2224ααα⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,由于π04α<<,所以当π8α=时,2S 最大,故选:C解析：设{}n a 的公差为d ,由2123a a =,得12a d =,211(1)111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫+=++=+-+ ⎪⎝⎭,由题意知,此式为完全平方形式,全平方形式,故21202d a d ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得89d =或0(舍去),则1169a =,则n a =8(1)9n +.故选：D.7.答案：B解析：如下图所示：由SA ⊥平面ABC 可知SA AB ⊥，SA BC ⊥，又AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别为SA ，AB ，BC 三边长的长方体的外接球半径，设外接球半径为R ，由球O 的表面积为4π，可得24π4πR =，即1R =；又1AB =，BC =22224R AB BC SA =++，所以1SA =.故选：B.8.答案：A 解析：由题意,221211()333333OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON ON OM=+=+=+-=+=+111()332OA OB OC =+⨯+111366a b c =++ 故选:A.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.答案：AB解析：因为马鞍面的标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，对于A，平行于xOy 平面的面中为常数，不妨设为()000z z ≠，得220222x y z a b-=，故所得轨迹是双曲线.，故A 正确；对于B，法向量为(1,0,0)的平面中为常数，不妨设为0x ，则222222b x y b z a=-+，为抛物线方程，故B 正确；对于C，垂直于y 轴的平面中y 为常数，不妨设为0y ，则222222a y x a z b=+，为抛物线方程，故C 错误；对于D，不妨设平面上的点坐标为(,,)A x y z ，因为平面过原点且法向量为(1,1,0)=n ，由0OA ⋅=n ，得0x y +=，故y x =-，代入马鞍面标准方程，得222112x z a b ⎛⎫-=⎪⎝⎭，当a b =时，方程为0z =，不是物物线，故D 错误.故选：AB.10.答案：ACD解析：画出函数()2f x x =,()2x g x =,()2log h x x =的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数()2f x x =,()2x g x =,()2log h x x =中,当(4,)x ∈+∞时,函数()2x g x =增长速度最快,()2log h x x =增长速度最慢.所以选项B 正确；选项ACD 不正确.故选：ACD.11.答案：AB解析：对于幂函数y x α=,若函数在()0,+∞上单调递增,则0α>,若函数在()0,+∞上单调递减,则0α<,所以0n <,D 选项错误；当1x >时,若y x α=的图象在y x =的上方,则1α>,若y x α=的图象在y x =的下方,则1α<,所以1p >,1m >,01q <<,C 选项错误；因为当1x >时,指数越大,图象越高,所以p m >,综上,10p m q n >>>>>,AB 选项正确.故选:AB三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.答案：95a -<<-解析：因为()()8f x f x =+,所以()f x 为周期是8的周期函数,则()()8042020f f --===,由()()()()()()21110g x f x af x a f x f x a =+--=-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,得()1f x =或()1f x a =--,作出函数()f x 在[]8,8x ∈-上的大致图象,如图,由图可知,在[]8,8x ∈-上,函数()f x 的图象与直线1y =有六个交点,即()1f x =时,有六个实根,从而()1f x a =--时,应该有两个实根,即函数()f x 的图象与直线1y a =--有两个交点,故418a <--<,得95a -<<-.故答案为：95a -<<-.13.答案：24+解析：由已知及正弦定理得222a b c =-,所以222a c b +-=,所以222cos 22a c b B ac +-==,又()0,πB ∈,所以6B π=.由ABC △的外接圆面积为 π ,得外接圆的半径为1.由正弦定理得2sin 1b B ==,所以221a c +-=,所以2212a c ac +=+≥,解得2ac ≤ABC △的面积112sin 244S ac B ac +==≤,当且仅当a c =时等号成立.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.答案：（1）23（2）分布列见解析,数学期望为:16.解析：（1）解法一:26210C 15211C 453P =-=-=,即该顾客中奖的概率为23.解法二:112464210C C C 302C 453P +===,即该顾客中奖的概率为23.（2）ξ的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).∴()26210C 10C 3P ξ===,()1136210C C 210C 5P ξ===()23210C 120C 15P ξ===,()1116210C C 250C 15P ξ===()1113210C C 160C 15P ξ===ξ∴的分布列为:ξ010205060P 1325115215115从而期望()121210102050601635151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.∴数学期望为:16.16.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析解析：（1）设(1)n n n b a =+-,则11b =-,111111(1)(1)(1)(1)22222n n n n n n n n n a a b a b +++=+-=-+---=---=-.因此数列{}(1)n n a +-是首项为1-,公比为12-的等比数列,且11(1)2n n n a -⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭；（2）由（1）,111(1)2n n n a --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,所以111(1)11212(1)11(1)623212n n n n n S ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=-=---+- ⎪--⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭,取数列2132n n r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则{}n r 是等比数列,并且11(1)62n n n S r +=---,因此集合{}*21,33n n S r n ⎧⎫+∈=-⎨⎬⎩⎭N ∣,所以数列{}n S 具有(2)P 性质.17.答案：(1)见解析(2)233解析：(1)如图、连接BD,1AB AD == ，2 CD =，BD BC ∴==222BD BC CD ∴+=，BC BD ∴⊥，1BB ⊥ 平面ABCD ,1BB BC ∴⊥，又1BB BD B = ，BC ∴⊥平面11B BDD ,1B M ⊂ 平面11B BDD ，1BC B M ∴⊥.(2)连接BM ，11B D .由已知可得12,B M CM ====1B C ==，22211CM B M B C ∴+=，1B M CM∴⊥设点B 到平面1MB C 的距离为h ,由(1)知BC ⊥平面11B BDD ,∴三棱锥1C MBB -的体积111133MBB MB O BC S h S ⨯⨯=⨯△△，即111123232h =⨯⨯解得3h =,即点B 到平面1MB C的距离为3.18.答案：（1）221126x y +=解析：（1）由椭圆C 的离心率为22,且过点()2,2P得222222441c aa b a c b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2212,6,a b ⎧=⇒⎨=⎩椭圆C 的方程为221126x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时,12S S =,则120S S -=；当直线l 斜率存在且不等于零时,设直线()1:l y k x =+,联立()221,1,126y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22221242120k x k x k +++-=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2122412kx x k +=-+,212221212k x x k-=+,1112S y =⨯,2212S =⨯,显然A ,B 在x 轴两侧,1y ,2y 异号,所以()()12121211S S y x k x -=+=+++224212k k k ⎛⎫=-+= ⎪+⎝⎭当且仅当12k k =,2k =±时,取等号.所以12S S -19.答案：（1）()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）(),1a ∈-∞解析：（1）当1a =时,()22ln 2()2(1)ln x f x x x x x x x '=--=-+,设2()ln g x x x x =-+,则1(21)(1)()21x x g x x x x -+-'=-+=,所以当(0,1)x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递减,当1x =时,()g x 取得极大值(1)0g =,所以()(1)0g x g ≤=,所以()0f x '≤,()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）()22ln 2()2(1)ln x f x a x x ax ax x x'=--=-+设2()ln h x x ax ax =-+,则2121()2ax ax h x ax a x x-++'=-+=,(i)当0a <时,二次函数2()21F x ax ax =-++开口向上,对称轴为14x =,28a a ∆=+,当80a -≤<时,280a a ∆=+≤,()0F x ≥,()h x 单调递增,因为(1)0h =,所以当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点.当8a <-时,280a a ∆=+>,又104F ⎛⎫<⎪⎝⎭,(1)10F a =->,所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00F x =,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x >,()h x 单调递增,又(1)0h =,所以当()0,1x x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点；(ii)当0a =时,2ln ()x f x x'=,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点；(iii)当01a <<时,2()21F x ax ax =-++开口向下,对称轴为14x =,280a a ∆=+>,此时(1)10F a =->,故0(1,)x ∃∈+∞,使()00F x =,当01,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0F x >,()0h x '>,因此()h x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又(1)0h =,当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减,当()01,x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =为()f x 的极小值点；(iv)当1a >时,(1)10F a =-<,01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()00F x =,当()0,x x ∈+∞时,()0F x <,()0h x '<,因此()h x 在()0,x +∞上单调递减,又(1)0h =,当()0,1x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以1x =为()f x 的极大值点；(v)当1a =时,由（1）知1x =非极小值点.综上所述,(,1)a ∈-∞.。
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第二次质量预测数学(理)试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1.已知集合 A {x | a 1 x 3a 5} ， B {x | 3 x 22} ，且 A B A ，则实数 a 的
9.2019 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2，0，1，9，10 这 5 个数
字按照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（ ）
A. 96
B. 84
C. 120
D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得所有不以 0 开头的排列数，再由以 1，0 相邻，且 1 在左边时所对应的排列数有一半是 重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.
有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，
则该球的表面积为
A. 6
B. 2
C. 6
D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】 由题可知该几何体为四棱锥 P﹣ABCD．底面 ABCD 为矩形，其中 PD⊥底面 ABCD，可得该阳马的 外接球的直径为 PB，计算得出结果即可. 【详解】如图所示，该几何体为四棱锥 P﹣ABCD．底面 ABCD 为矩形， 其中 PD⊥底面 ABCD．
5 ,选 C.
考点：1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
-9-
13.在
x
2 x
6
的展开式中常数项为_____________．
【答案】 160 【解析】
2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
10．已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A．4B．3C． D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，求出公差 的值，得到数列 的通项公式，前 项和，从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
在 ， 上是减函数，在 ， 上是增函数，在 ， 上是减函数，
且 ， ； ； ；
故作函数 与 在 ， 上的图象如下，
结合图象可知，两图象在 ， 上共有3个交点；
又 ， 都是奇函数，且 不经过原点，
与 在 ， 上共有6个交点，故 有6个零点．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．
A．20B．21C．20.5D．23
【答案】C
【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．
【详解】
解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，
故中位数是： ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题．
4．圆 关于直线 对称的圆的方程为（）
① 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为 ，则对 ，均有 ；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ．
其中不正确的是：（）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【解析】依题意，利用微积分基本定理求出 的面积，即可判断；
河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测(理数)
河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 若复数iib ++2为纯虚数，则实数b 等于 A ．3 B ．21- C ．31D ．1-2． 已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A RA ．)01(，-B ．)10[，C ．)10(，D ．]01(，-3． 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是A ．i n -=2018B ．i n -=2019C ．1+=i nD ．2+=i n4． 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计 值为（附：X ⁓),(2σμN ，则6827.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。
）A ．906B ．2718C ．1359D ．34135． 将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是A ．函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1B ．将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心D ．函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上为增函数6． 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为A ．11)31( B ．3)31( C ．3 D ．4 7． 在ABC ∆Rt 中，90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则⋅的最小值为A ．21-B ．0C ．4D ．1-8． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为 A ．2545πB ．25135πC ．π5180D ．π5909． 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020 年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A = {x｜a+l≤x≤3a- 5} ,B= {x|3<工< 22} , 且A⋂B= A , 则实数a的取值范围是A.(-∞,9]B.(-∞,9)C.[2,9]D.(2,9)2.已知复数z=2+ii3(其中i是虚数单位，满足i2=-1)，则z的共轭复数是A. 1-2iB. 1+2iC. -1-2iD. -1+2i3.郑州市2019年各月的平均气温(︒C)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A.20B.21C. 20. 5D. 234.圆(x + 2)2 + (y-12)2 = 4 关于直线x - y +8=0对称的圆的方程为A. (x+3)2 + (y+2)2=4B. (x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D. (x+6)2+(y+4)2=45.在边长为30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A. 30 米B. 20 米C. 152米D. 15 米6.若α∈(π2,π),2cos2α=sin(π4-α)，则sin2α的值为A.-78B.78C. -18D.187.在如图所示的程序框图中，若输出的值是4 , 则输入的x的取值范围是A. (2, 十∞)B. (2, 4]C. (4, 10]D. (4,+∞)X8. 为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示．劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等· 劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等．记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,s 为△O K L 的面积．将Gini = a S，称为基尼系数 对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y =f (x ),则对∀x ∈(0,1),均有f (x )x>1;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x 2(x ∈[0,1]) , 则Gini =14; ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x 3(x ∈[0,1]),则Gini =12. 其中不正确的是：A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①② ④9. 2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2, 0 , 1 , 9 , 10 按照任意次序排成一行，拼成一个6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为A. 96B. 84C. 120D. 36010. 已知等差数列{a n } 的 公 差 d ≠0 , 且 a 1 , a 3, a 13成等比数列，若 a 1 = 1, S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +6a n +3的最小值为A. 4B. 3C. 23 - 2D.211. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马".现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角 形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.6πB. 2πC.6πD.24π12.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作直线y =-ba x 和垂线，垂足为M ,且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =u u u r u u u u r，则该双曲线的离心率为A. 3B.2C. 5D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分．13. 二项式(x +2x )6的展开式中的常数项为 ．14. 已知函数f (x )＝-π2x ，g ( x ) =x •cos x -sin x , 当x ∈ [- 4π，4π]且x ≠O 时，方程f ( x ) = g ( x ) 根的个数是 .15. 已知四边形 ABCD 中，AD //BC , ∠BAD = 90°. AD =l ,BC =2 ,M 是AB 边上的动点，则｜｜｜MC MD +u u u u r u u u u r ｜ 的最小值为 ．16.设函数32,ln ,x x x e y x x e m ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩ 的图象上存在两点 P ，Q , 使得△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围是 ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分17. (12 分）巳知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7=77,且满足a 112=a 1•a 61.(I) 求数列{ a n } 的通项公式 ； ( II ) 若 数 列 { b n .}满足111(*)n n n a n N b b +-=∈ , 且113b =- ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .18. (1 2 分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”。
现随 机抽取了 30 名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组．票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组．(I) 在这30 名 学 生 中 ，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问 有没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；( II ) 如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2人 ，那么至 少有 1 人 在青春组的概率是多少？（III ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4 人，用ξ表示所选 4 人中青春组的人数，试写出ξ的 分 布列，并求出 ξ 的 数 学期 望．19. (1 2 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将△ACD 折起，使得点 D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．4( I ) 求证：平面 ABD ⊥平面 BCD;（II )当ABAD = 2 时，求二 面角 D- AC- B的余弦值i:QA二C20. (12 分）在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点F ( 3, 0) 的距离与 A 到定直线x = 4 距离之比为32．( I ) 求动点 A 的轨迹C 的方程；( II )设点 M , N 是轨迹 C 上两个动点直 线 OM , ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P , Q,且直线 OM ,ON 的斜率之积等于—14 ，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？ 请说明理由．21. (12 分）已知函数ln 1(),()(0)x x f x g x x a x +==> ( I ) 当a = l 时 ，求曲线 y = ()f x x在 x = l 处的切线方程；(II )讨论函数 F (x ) =1()()f xg x -在 ( 0, 十oo ) 上的单调性．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题记分．22. [ 选修 4- 4: 坐标系与参数方程] (10 分）在极坐标系中，圆C 的 方程 为ρ = 2a sin θ (a > 0). 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的 参数方 程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩ ( t 为参数）．(I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程，(II )若直线 l 与圆 C 交于A , B 两点，且|AB | ≥3 . 求实数 a 的取值范围．23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲] (10 分）已知函数 f ( x ) = l x + I l - a |x - 1 |.( I )当 a = - 2 时，解不等式 f (x ) >5; ( II )若 f (x )≤a |x + 3|, 求 a 的 最小值．郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 评分参考一、选择题BCCCA ABBBD CC二、填空题13.160； 14.8； 15.3； 16.[1,).e ++∞ 三、解答题17.(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1211172177,(60)(10),+=⎧⎨+=+⎩a d a a d a d ……………………3分解得15,2 3.2,n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩ ………………5分(2)由1111111,(2,).n n n n n n a a n n b b b b -+--=∴-=≥∈*N 当2n ≥时，1211122111111111111()()()-----=-+-++-+=++++L L n n n n n n n a a a b b b b b b b b b =(1)(25)3(2).n n n n --++=+ …………………………8分 对113=b 也适合， ………………………9分1111(2)()().22n n n n n N b b n n ∴=+∈∴=-+ …………………10分2111111131135(1)().2324222124(1)(2)n n nT n n n n n n +∴=-+-++-=--=+++++L 12分18. (I)作出22⨯列联表：3分由列联表数据代入公式得22() 1.83()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++，…………………5分 因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分(Ⅱ) 用A 表示“至少有1人在青春组”，则23257()110C p A C =-=. …………… 8分(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为122305=，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布2(4,)5B .………………………10分显然ξ的取值为0，1，2，3, 4 . 且4422()()(1),0,1,2,3,455ξ-==-=kk k P k C k .所以得分布列为：数学期望28455ξ=⨯=E …………………………12分19.（Ⅰ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ， ∴DE BC ⊥.………………………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC AD ⊥. ………………………………………………………………………………………4分 又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ABD ，∴平面⊥ABD 平面BCD . ………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（Ⅰ）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，3sin DE AD DAB a =⋅∠=， ∴33(0,,)22D a a ，∴13(0,,)22AD a a =-u u u r ，(,2,0)AC a a =-u u u r .………………8分 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即130,220.ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩不妨取1z =，则3y =，23x =，∴(23,3,1)m =u r.而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r，…………………………………………10分∴cos ,m n u r r ||||m n m n ⋅=u r ru r r 222(23)(3)1=++14=. 故二面角D AC B --的余弦值为14.…………………………………………………12分20.解(I)设(),A x y 22(3)3-+x y ……………………………2分化简得22412+=x y ，…（3分）所以，动点A 的轨迹C 的方程为221.123x y +=… 4分 (Ⅱ)解：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由斜率之积，得121214=-y y x x ，………6分221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点,M N 在椭圆C 上，所以222212123,3.44x x y y =-=-化简得221212+=x x ． …………………………8分 直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线MN 的距离为.)()(2122121221y y x x |y x y x |d -+--=所以，∆MON 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积S ||21221y x y x -=，……10分所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=221212()144+=x x ，所以12.S =所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． ……………………………………12分21.解析：（Ⅰ）当1=a 时，曲线()().1ln +=⋅=x xx x g x f y ()()()()221ln 1ln ln 1.11x x x x x x y x x ++-++'==++………………………2分 1x =时，切线的斜率为12，又切线过点()1,0所以切线方程为210x y --=…………………………4分（Ⅱ）()()()2111,()1''==+f x ax g x x ， ()()()()()()2221111(),11x ax F x f x g x ax x ax x +-'''=-=-=++………5分 当0a <时，()0F x '<，函数()F x 在()0,+∞上单调递减；………………………7分当0>a 时，令()21211⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭k x x x a a a ，41,a ∆=- 当0∆≤时，即04<≤a ，()0k x ≥，此时()0F x '≥，函数()F x 在()0,+∞上单调递增;当0∆>时，即4>a ，方程212110⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a a a 有两个不等实根12x x <， 所以1201x x <<<，12⎛== ⎝⎭x x此时，函数()F x 在()()120,,,x x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减.……………11分综上所述，当0a <时，()F x 的单减区间是()0,+∞；当4>a 时，()F x的单减区间是2222⎛--+ ⎪⎝⎭a a ，单增区间是220,,22⎛⎛⎫--++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a 当04a <≤时，()F x 单增区间是()0,+∞.………………………12分22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()y a x a +=-， ………………………2分消t 得到4350x y -+=………………………………………4分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离12d a ≤即可。