用反证法证明是无理数

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根号二是无理数的证明过程

根号二是无理数的证明过程
根号二是无理数，可以通过反证法证明。

假设根号二是有理数，即可以表示为最简分数a/b(a、b互质)，
即根号二=a/b。

因为a、b互质，所以a^2是偶数，则a一定是偶数，
令a=2k(k为整数)，则有根号二=2k/b。

则2k^2=b^2/2。

根据等于奇数的平方数的最后一位只能是1、5、6、9，而等于偶
数的平方数的最后一位只能是0、4、6，所以b的最后一位只能是0或6。

当b的最后一位为0时，设b=2m(m为整数)，则有k^2=m^2×2，
即k^2为偶数，所以k也是偶数，与a为偶数矛盾。

当b的最后一位为6时，设b=2m+1(m为整数)，则有
k^2=m^2×2+m，即k^2为奇数，所以k为奇数，与a为偶数矛盾。

因此，假设不成立，所以根号二不是有理数，即根号二是无理数。

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如何利用高一数学中的反证法解题

如何利用高一数学中的反证法解题在高一数学的学习中，我们会接触到许多解题方法，反证法便是其中一种极具魅力和实用性的方法。

反证法，简单来说，就是先假设命题的结论不成立，然后通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，原命题成立的结论。

接下来，让我们一起深入探讨如何利用反证法来解题。

一、反证法的基本原理反证法的核心思想是“正难则反”。

当直接证明一个命题比较困难时，我们就考虑从它的反面入手。

假设原命题的结论不成立，然后基于这个假设进行一系列的推理。

如果在推理过程中出现了矛盾，比如与已知的定理、定义、公理或者题设条件相矛盾，那么就说明这个假设是错误的，从而也就证明了原命题的结论是正确的。

例如，要证明“一个三角形最多只能有一个直角”这个命题。

如果直接证明，可能会感觉无从下手。

但我们用反证法，假设一个三角形有两个或三个直角，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和为 180 度的定理相矛盾，从而证明原命题成立。

二、适用反证法的常见题型1、结论为“否定性”的命题当命题的结论是“不存在”“不可能”“不是”等否定形式时，常常适合使用反证法。

比如，证明“在一个凸多边形中，不可能存在五个内角都为钝角”。

我们先假设存在这样的凸多边形，然后通过内角和的计算推出矛盾。

2、结论为“唯一性”的命题如果要证明某个对象是唯一的，直接证明可能比较复杂，此时反证法就派上用场了。

例如，证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

假设过该点不止一条直线与已知直线平行，然后推出矛盾。

3、结论为“至多”“至少”的命题对于“至少”“至多”这类命题，反证法也是一个有效的工具。

比如，证明“一个班级中，至少有两名同学的生日在同一个月”。

假设没有两名同学的生日在同一个月，那么最多只有 12 名同学，这与班级人数通常多于 12 人相矛盾。

三、反证法的解题步骤1、反设首先，提出与原命题结论相反的假设。

需要注意的是，反设一定要全面、准确，不能遗漏任何可能的情况。

介绍反证法及举例

用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
01
用反证法证明命题的一般步骤是什么?
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
02
则C必定是在撒谎.
05
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
03
B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
1
2
3
4
5
6
唐·吉诃德悖论
说谎者悖论
M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
M：一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0，求证：a, b, c > 0
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反设②归谬③结论方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. 正难则反!

数学中的证明方法和技巧

数学中的证明方法和技巧数学作为一门严谨的学科，证明是其核心和灵魂。

无论是基础数学还是高等数学，在数学的世界里，证明是推动数学发展和解决问题的关键方法。

本文将探讨数学中常见的证明方法和一些应用技巧，帮助读者更好地理解和运用数学证明。

一、直接证明法直接证明法是最常见也是最直观的证明方法之一。

它通过一系列逻辑推理来证明一个数学命题。

步骤如下：1. 假设给定的前提条件（假设x是奇数）；2. 推导出结论（推导出x的平方也是奇数）；3. 根据推导过程中的逻辑关系，展示每一步的合理性（通过元素的特性，奇数的平方仍然是奇数）；4. 结合前提条件和推导过程，得出结论（根据步骤2和步骤3可得出结论）。

二、间接证明法（反证法）间接证明法，也称为反证法，通过假设反命题，证明其导致矛盾，从而得出所要证明的正命题成立。

步骤如下：1. 假设所要证明的命题的反命题为真；2. 对反命题进行逻辑推理，得出矛盾的结论；3. 根据矛盾结论，推出原命题为真；4. 得出结论，所要证明的命题成立。

三、归纳法归纳法是数学证明中常用的一种方法，尤其适合用于证明某个命题在所有自然数上成立。

步骤如下：1. 基础步骤：证明当n为某个特定数时，命题成立（如n=1时）；2. 归纳假设：假设当n=k时命题成立；3. 归纳步骤：证明当n=k+1时命题也成立；4. 根据归纳步骤，推出结论：由步骤2和步骤3可得出结论，命题对所有自然数成立。

四、递推法递推法是一种通过建立递推关系，不断由已知结果推出未知结果的方法。

递推法通常用于数列和递归问题的证明。

步骤如下：1. 确定初始条件：给出初始条件，如数列的前几项已知；2. 建立递推关系：找出数列中相邻项之间的关系，建立递推公式；3. 假设命题成立：假设当前项满足递推公式时，后一项也满足；4. 基于递推关系推出结论：根据递推公式，由当前项推导出后一项；5. 通过数学归纳法证明：使用数学归纳法证明递推公式成立；6. 得出结论，命题成立。

无理数的发现与探索

无理数的发现与探索无理数的概念最早起源于对于数学中存在的一种特殊数的质疑和探索。

在古希腊时期，人们对于无理数的存在产生了疑惑，并通过一系列的研究和思考，最终揭示了无理数的本质。

本文将通过回顾无理数的历史背景、介绍无理数的定义和性质，以及讨论无理数在数学领域中的应用等方面，深入探讨无理数的发现与探索过程。

一、历史背景在古希腊时期，人们对于数的概念进行了初步的研究和分类。

他们将数分为有理数和无理数两类，其中有理数指的是可以表示为两个整数之间的比值的数，而无理数则指的是不能被表示为有理数的数。

最著名的无理数就是根号2，当时人们发现，无论如何用两个整数的比值来表示根号2，都无法准确地表示出其真实值。

这一发现对于那个时代的人们来说是一次巨大的冲击，他们开始质疑有理数是否能够涵盖所有的数，是否存在着一些无法用有理数来表示的数。

于是，无理数的发现与探索之旅开始了。

二、无理数的定义与性质无理数的定义可以通过反证法进行阐述。

假设存在一个无理数x，我们通过构造一个有理数序列来逼近这个无理数x。

假设这个有理数序列为{a_n}，则对于任意的正整数n，都可以通过有理数a_n来逼近无理数x。

然而，我们可以证明，无理数x与这个有理数序列的每一项都有一个正无穷大的距离，即|x - a_n| > ε，其中ε是一个足够小的正数。

因此，无理数x不能被任何有理数序列准确地逼近，从而证明了无理数的存在和不可被有理数表示的性质。

无理数具有以下一些重要性质：1. 无理数与有理数的和、差、积和商仍然是无理数；2. 无理数之间的和、差、积和商可能是有理数，也可能是无理数；3. 无理数可以用数列的极限进行定义，比如通过无理数的连分数表示等。

三、无理数在数学中的应用无理数在数学中具有广泛的应用，以下是其中几个重要的应用领域：1. 几何学：无理数在几何学中有着重要的地位。

黄金分割比例、勾股定理中的根号2和根号3等都是无理数，它们被广泛应用于各种几何问题的解决中。

宜用反证法证明的几类命题

宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例1 求证：3lg 2是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝m n (,m n ∈+N ，n m ,互质）从而32=m n得， m n 32=上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立．故3lg 2是无理数．例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法．例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝0和2x ＋2p x ＋2q ＝0中，至少有一个方程有实根．分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”．证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于0，即：⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆22212122221211440404q p q p q p q p ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝2（1q ＋2q ）代入上式得02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相A B P 矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法．例4 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ．证明：假设过点P 可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠P AB ＝∠PBA ＝090．于是∠APB ＋∠P AB ＋∠PBA ＞0180．即∆P AB 的内角和大于0180，这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，故假设不成立．l。

数学的证明技巧

数学的证明技巧数学作为一门严谨而又精确的学科，证明是其核心内容之一。

无论是在高中数学教学中还是在科学研究中，证明技巧都扮演着重要的角色。

以下将介绍一些常用的数学证明技巧，帮助读者更好地理解和运用数学。

一、直接证明法直接证明法是数学证明中最常见和最简单的一种方法。

它通过逻辑推理和数学运算，直接从已知条件推导出所要证明的结论。

例如，要证明一个数是偶数，我们可以直接使用定义，通过将该数表示为2的倍数的形式来证明。

首先假设该数为2的倍数，然后利用数学运算和逻辑推理，展示该数可以被2整除，从而得出结论。

二、归纳法归纳法是一种常用于证明数学命题的方法，特别适用于证明与自然数相关的性质和公式。

它的基本思想是通过证明一个初始条件成立，并且如果某个命题对某个特定的数成立，那么它对该数的下一个相邻数也成立，从而推导出该命题对所有自然数都成立。

例如，要证明所有正整数之和的公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，我们可以使用归纳法。

首先证明当n=1时，等式成立；然后假设当n=k 时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；接着证明当n=k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。

通过这种方式，我们可以得出结论：对于所有正整数n，等式都成立。

三、反证法反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一种矛盾，从而得出原命题成立的结论。

例如，要证明根号2是一个无理数，我们可以使用反证法。

首先假设根号2是一个有理数，即可以写成两个整数的比值。

然后，通过对这两个整数的性质进行分析推论，可以得出根号2既不是有理数也不是无理数的矛盾。

因此，我们可以得出结论：根号2是一个无理数。

四、假设法假设法是一种常用于证明含有“若...则...”结构的命题的方法。

它通过假设若命题的条件成立，然后利用逻辑推理和数学运算推导出结论的方法。

数字的证明与推导方法

数字的证明与推导方法数字在今天的社会中扮演着至关重要的角色。

它们无处不在，我们使用数字来计算、衡量和描述世界。

然而，数字并非是尽管看似简单的东西，对数字的证明和推导需要一些技巧和方法。

本文将介绍一些常见的数字证明和推导方法，以帮助读者更好地理解数字的本质和应用。

一、归纳法归纳法是一种常见且有效的数字证明方法。

它通过证明一个基本情况成立，并证明如果一个特定情况成立，那么下一个情况也会成立。

通过递推这个过程，我们可以证明所有情况都成立。

举例来说，我们想要证明等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(a + l)，其中Sn是前n个数的和，a是首项，l是末项。

首先，我们证明当n=1时公式成立，即S1 = a。

然后，我们假设当n=k时公式成立，即Sk = (k/2)(a + l)。

我们接着证明当n=k+1时公式也成立，即Sk+1 =(k+1)/2)(a + l)。

通过归纳法，我们可以证明该等差数列求和公式对于任意正整数n都成立。

二、反证法反证法是另一种常用的数字证明方法，用于证明某个命题的否定是不成立的。

它假设命题的否定成立，并通过推导得出矛盾的结论，从而推翻了假设，证明了命题本身的成立。

举例来说，我们要证明"根号2是无理数"这个命题。

我们假设根号2是有理数（可以表示为两个整数的比），即根号2 = p/q，其中p和q互质。

我们对此进行推导，并得出一个矛盾的结论：2 = p^2 / q^2。

由于等式右侧的分子和分母都是整数，那么2也应该能够表示为两个整数的比，与根号2是无理数的定义相矛盾。

因此，我们可以得出结论：根号2是无理数。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用于证明关于自然数的性质的方法。

它分为两个步骤：首先证明基准情况，然后证明如果某个特定情况成立，那么下一个情况也会成立。

举例来说，我们要证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 这个等式对于所有正整数n都成立。

宜用反证法证明的几类命题

初中数学反证法简单例子

初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。

下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。

1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。

假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。

由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。

根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。

但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。

因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。

2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。

那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。

根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。

而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。

然而，这与y = √2相矛盾。

因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。

3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。

可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。

然而，这与n是一个正整数相矛盾。

因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。

4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。

可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。

这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。

由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。

然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。

根号三是无理数的证明方法

根号三是无理数的证明方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊根号三是无理数这个事儿。

你说这根号三，它咋就那么特别呢？咱先说说啥是无理数哈。

无理数呀，就是那些不能表示成两个整数之比的数。

那根号三是不是无理数呢？咱得证明一下才行。

咱可以用反证法来试试。

假设根号三是有理数，那它就能写成一个分数的形式，比如说 a/b，这里 a 和 b 都是整数，而且它们互质哦，就是没有除了 1 以外的公因数。

那这样的话，根号三就等于 a/b 啦。

两边平方一下，就得到 3 等于a 的平方除以 b 的平方。

那也就是说，a 的平方等于 3b 的平方。

这下有意思了哈！这意味着 a 的平方是 3 的倍数呀。

那 a 肯定也是3 的倍数咯，咱可以设 a 等于 3k，k 也是个整数。

把这个代入进去，就变成 9k 的平方等于 3b 的平方，化简一下就是3k 的平方等于 b 的平方。

哎呀呀，这不是又说明 b 也是 3 的倍数嘛！这可就矛盾啦！因为咱一开始说 a 和 b 是互质的呀，现在都成了 3 的倍数，这怎么行呢？这不就说明咱一开始的假设错了嘛，所以根号三它肯定不是有理数呀，那它就是无理数呗！你想想，数学世界里有这么多奇妙的数，根号三就是其中特别的一个。

它不能被简单地用分数表示出来，就这么独特地存在着。

这就好像我们生活中的一些人，有着自己独特的个性，没办法被轻易归类。

证明根号三是无理数，就像是解开一个小小的数学谜团，过程虽然有点绕，但一旦搞清楚了，那感觉可真棒！就像你找到了一把钥匙，打开了一扇通往数学奇妙世界的门。

所以啊，别小看了这些数学证明，它们可有着大乐趣呢！以后再看到根号三，你就会想起这个证明过程，心里暗暗感叹：嘿，原来你是个无理数呀！是不是挺有意思的呢？大家也可以自己多试试去证明其他的数是不是无理数，说不定会有更多的惊喜发现哦！总之，数学的世界丰富多彩，等着我们去探索呢！。

苏教版七年级数学下册初中数学苏科七下第12章测试卷(2)

第12章测试卷（2）一、选择题1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（）个．①若a≤0，则=﹣a；②全等三角形的面积相等；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对顶角相等；⑤直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．A．2B．3C．4D．52．下列命题是假命题的是（）A．三角形的内角和是180°B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和D．平行四边形具有稳定性3．甲，乙，丙，丁，戊五人按下列规则安排工作：(1)甲当天工作，如果乙昨天工作，而丙大前天不工作；(2)乙当天工作，如果丙昨天工作，而丁大前天不工作；(3)丙当天工作，如果丁昨天工作，而戊大前天不工作；(4)丁当天工作，如果戊昨天工作，而甲大前天不工作；(5)戊当天工作，如果乙昨天工作，而乙大前天不工作．现在假定今年6月1日甲，丙两人工作，那么10月1日工作的是（）A．乙，戊B．甲，丁C．丙，戊D．乙，丁4．黄芳早晨起床后，在家刷牙洗脸要用3分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要用12分钟，吃早饭要用6分钟，她经过合理安排，起床后用（）分钟就能去上学．A．35B．26C．23D．215．用反证法证明：在一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°．证明过程中，可以先（）A．假设三个内角没有一个小于60°的角B．假设三个内角没有一个等于60°的角C．假设三个内角没有一个小于或等于60°的角D．假设三个内角没有一个大于或等于60°的角6．对于命题“如果|a|=|b|，那么a=b”，能说明它是假命题的反例是（）A．a=﹣2，b=﹣2B．a=﹣2，b=3C．a=﹣3，b=3D．a=3，b=37．用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（）A．∠A=60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°8．用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（）A．是分数B．是整数C．是有理数D．是实数9．六名同学雨、雪、雾、雷、霜、露进行象棋比赛，每两人赛一局，第一天雨与雪各赛了3局，雾与雷各赛了4局，霜赛了2局，而且雷与雪、雨和雾之间都没赛过，那么露已赛了（）A．1局B．2局C．3局D．4局10．师范大学学生张丽、王云、李玲三人一起去银行柜员机取钱，张丽取款一次，王云取款两次，李玲取款三次，假设每取款一次所用时间相同，请问她们三人按什么样的顺序取款，才能使三人所花总时间最少（包括等待时间）（）A．张丽，王云，李玲B．李玲，张丽，王云C．张丽，李玲，王云D．王云，李玲，张丽11．下列语句是命题的是（）A．对角线相等吗？B．作线段AB=10cmC．若a=b，则﹣a=﹣b D．连结A、B 两点12．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．若a2=b2，则a=D．同角的余角相等13．下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④邻补角一定互补．其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．下列命题中，为真命题的是（）A．如果﹣2x＞﹣2，那么x＞1B．如果a2=b2，那么a3=b3C．面积相等的三角形全等D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c15．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相C．如果a2=b2，那么a=bD．同旁内角互补，两直线平行二、填空题16．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．17．绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以每小时4千米速度每走60分钟后休息5分钟；小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟，则两人出发后分钟后第一次相遇．18．某校两名小记者从学校去一家超市采访顾客，从学校到超市往返各需30分钟，采访时每名小记者都各自采访一名顾客，没有顾客被两名记者都采访，每采访一名顾客至少需6分钟（已包括间隔时间）．采访连同往返的时间总和不得超过3时．采访要从整点时间开始．从11：00到17：00各时间超市内可以采访顾客的人如下表所示：那么，两名小记者在10：30到17：30这段时间内能采访到顾客的人最多共是人．19．一般来说，反证法有如下三个步骤：(1)，(2)(3)．三、解答题20．判断真命题还是假命题：(1)若|a|=|b|，则a=b；(2)大于锐角的角是钝角；(3)若ab＞0，则a＞0，b＞0；(4)若a＞b，则a2＞b2；(5)若a=b，则a2=b2；(6)若a2=b2，则a=b；(7)若a≠b，则a2≠b2；(8)若两条直线平行，则这两条直线没有交点；(9)对顶角的平分线在同一条直线上．21．如图所示，四边形ABCD中，给出下列三个判断：①AD∥BC，②BD2=AD•BC，③∠ABD+∠ADC=180°，请你从其中选取两个条件，另一个做结论构成一个真命题且加以证明．22．举反例说明下列命题是假命题(1)（a+b）2=a2+b2(2)若|a|=|b|，则a=b(3)两个负数的差一定是负数．23．铺设铁路枕木从东京到大阪的铁路长度为550千米．现在，铁路公司想要铺设铁路枕木，每隔1米铺设1根，这样的话，钢轨上一共应铺设多少根枕木呢？（限时：5分钟）24．挪杯子：有6只玻璃杯并排放在一起，左边三只盛满水，右边3只是空的，如右图a所示的状态，现要摆成如图b所示的状态．如果一次只能移动一只杯子，请问至少要挪动多少次？（限时：2分钟）25．阅读下列文字，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．26．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．答案1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（）个．①若a≤0，则=﹣a；②全等三角形的面积相等；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对顶角相等；⑤直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．A．2B．3C．4D．5【考点】O1：命题与定理．【专题】选择题【难度】易【分析】根据二次根式的化简法则、全等三角形的性质、平行四边形的判定、对顶角的性质、勾股定理等知识一一判断即可．【解答】解：①若a≤0，则=﹣a，原命题是真命题，逆命题是真命题．②全等三角形的面积相等，原命题是真命题．逆命题是假命题．③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题，逆命题是真命题．④对顶角相等，原命题是真命题，逆命题是假命题．⑤直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，原命题是真命题，逆命题是真命题故①③⑤，故选B．【点评】本题考查命题与定理，二次根式的化简法则、全等三角形的性质．平行四边形的判定、对顶角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．2．下列命题是假命题的是（）A．三角形的内角和是180°B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和D．平行四边形具有稳定性【考点】O1：命题与定理．【专题】选择题【难度】易【分析】A、根据三角形的内角和定理进行判断；B、根据等边三角形的判定定理进行判断；C、根据三角形外角的性质进行判断；D、根据平行四边形的性质定理进行判断．【解答】解：A、三角形的内角和是180°，故本选项正确；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确；C、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项正确；D、平行四边形具有不稳定性，故本选项错误．故选D．【点评】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角性质以及平行四边形的性质．注意，有一个角是60°的“等腰三角形”是等边三角形，而不是有一个角是60°的“三角形”是等边三角形．3．甲，乙，丙，丁，戊五人按下列规则安排工作：(1)甲当天工作，如果乙昨天工作，而丙大前天不工作；(2)乙当天工作，如果丙昨天工作，而丁大前天不工作；(3)丙当天工作，如果丁昨天工作，而戊大前天不工作；(4)丁当天工作，如果戊昨天工作，而甲大前天不工作；(5)戊当天工作，如果乙昨天工作，而乙大前天不工作．现在假定今年6月1日甲，丙两人工作，那么10月1日工作的是（）A．乙，戊B．甲，丁C．丙，戊D．乙，丁【考点】O2：推理与论证．【专题】选择题【难度】易【分析】首先根据根据甲当天工作，如果乙昨天工作；乙当天工作，如果丙昨天工作；丙当天工作，如果丁昨天工作；丁当天工作，如果戊昨天工作；丁当天工作，如果戊昨天工作；戊当天工作，如果乙昨天工作．则五个人的工作顺序一定是：戊，丁，丙，乙，甲的顺序．然后根据两个人一组即可确定每天的分组以及顺序，最后根据循环情况即可确定．【解答】解：根据甲当天工作，如果乙昨天工作；乙当天工作，如果丙昨天工作；丙当天工作，如果丁昨天工作；丁当天工作，如果戊昨天工作；丁当天工作，如果戊昨天工作；戊当天工作，如果乙昨天工作．则五个人的工作顺序一定是：戊，丁，丙，乙，甲的顺序．今年6月1日甲，丙两人工作，因而工作时是两个人一组．则组合是：并且五天一次循环．6月1日，到10月1日是122天，则10月1日是第123天．第121天是甲和丙，则第123天是甲和丁．故10月1日是：甲和丁工作．故选B．【点评】本题考查了推理论证的方法，正确确定每天的分组以及顺序是关键．4．黄芳早晨起床后，在家刷牙洗脸要用3分钟，用电饭锅烧早饭要14分钟，读英语单词要用12分钟，吃早饭要用6分钟，她经过合理安排，起床后用（）分钟就能去上学．A．35B．26C．23D．21【考点】O2：推理与论证．【专题】选择题【难度】易【分析】本题需先根据题意得出最节省时间的方法，然后即可求出最少需要多少时间．【解答】解：小明起床后先煮饭需要14分钟，在煮饭的同时刷牙需要3分钟，读英语单词要用11分钟，再接着读英语单词1分钟，这时饭已煮完，在吃早饭需要6分钟所以小明同学从开始起床到吃完早饭仅需要21分钟．故选D．【点评】本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用．5．用反证法证明：在一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°．证明过程中，可以先（）A．假设三个内角没有一个小于60°的角B．假设三个内角没有一个等于60°的角C．假设三个内角没有一个小于或等于60°的角D．假设三个内角没有一个大于或等于60°的角【考点】O3：反证法．【专题】选择题【难度】易【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即假设三个内角没有一个小于或等于60°的角．故选：C．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．6．对于命题“如果|a|=|b|，那么a=b”，能说明它是假命题的反例是（）A．a=﹣2，b=﹣2B．a=﹣2，b=3C．a=﹣3，b=3D．a=3，b=3【考点】O3：反证法．【专题】选择题【难度】易【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．【解答】解：A．∵a=﹣2，b=﹣2，∴|a|=|b|，a=b，∴不能作为对于命题“如果|a|=|b|，那么a=b”，是假命题的反例，故此选项错误；B．∵a=﹣2，b=3，∴|a|≠|b|，∴不能作为对于命题“如果|a|=|b|，那么a=b”，是假命题的反例，故此选项错误；C．∵a=﹣3，b=3，∴|a|=|b|，a≠b，∴能作为对于命题“如果|a|=|b|，那么a=b”，是假命题的反例，故此选项正确；D．∵a=3，b=3，∴|a|=|b|，a=b，∴不能作为对于命题“如果|a|=|b|，那么a=b”，是假命题的反例，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（）A．∠A=60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°【考点】O3：反证法．【专题】选择题【难度】易【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定．【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．故选D．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（）A．是分数B．是整数C．是有理数D．是实数【考点】O3：反证法．【专题】选择题【难度】易【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：“是”的反面是“不是”．则第一步应是假设不是无理数，即是有理数．故选C．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．9．六名同学雨、雪、雾、雷、霜、露进行象棋比赛，每两人赛一局，第一天雨与雪各赛了3局，雾与雷各赛了4局，霜赛了2局，而且雷与雪、雨和雾之间都没赛过，那么露已赛了（）A．1局B．2局C．3局D．4局【考点】O2：推理与论证．【专题】选择题【难度】易【分析】从雨与雪各赛了3局，雾与雷各赛了4局，霜赛了2局，而且雷与雪、雨和雾之间都没赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出露最终下了几局．【解答】解：由于雨与雪各赛了3局，雾与雷各赛了4局，霜赛了2局，且雷与雪、雨和雾之间都还没赛过，所以与雷赛过的是雨、雾、霜、露四人；与雾赛过的是雪、雷、霜、露四人；又因为霜只赛了两局，雨与雪各赛了3局，所以与雨赛过的是雷、雪、露；而与雪赛过的是雨、雾、露；所以露共赛了4局．故选D．【点评】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．10．师范大学学生张丽、王云、李玲三人一起去银行柜员机取钱，张丽取款一次，王云取款两次，李玲取款三次，假设每取款一次所用时间相同，请问她们三人按什么样的顺序取款，才能使三人所花总时间最少（包括等待时间）（）A．张丽，王云，李玲B．李玲，张丽，王云C．张丽，李玲，王云D．王云，李玲，张丽【考点】O2：推理与论证．【专题】选择题【难度】易【分析】本题需先根据题意列出A、B、C、D四种执行顺序相对取款时间及等待时间之和，从而得出正确选项．【解答】解：设取款一次时间为t，根据题意可得出ABCD四种取款相对取款时间及等待时间之和，则：A、张丽，王云，李玲，张丽取款时间为t，王云等待时间为t、取款时间为2t，李玲等待时间为2t、取款时间为3t，即总时间为：t+t+2t+2t+3t=9t；B、李玲，张丽，王云，李玲取款时间为3t，张丽等待时间为3t、取款时间为t，王云等待时间为t、取款时间为2t，即总时间为：3t+3t+t+t+2t=10t；C、张丽，李玲，王云，张丽取款时间为t，李玲等待时间为t、取款时间为3t，王云等待时间为3t、取款时间为2t，即总时间为：t+t+3t+3t+2t=10t；D、王云，李玲，张丽，王云取款时间为2t，李玲等待时间为2t、取款时间为3t，张丽等待时间为3t、取款时间为t，即总时间为：2t+2t3t+3t+t=11t；所以按A、张丽，王云，李玲顺序取款才能使三人所花总时间最少（包括等待时间）；故选：A．【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是在解题时要找出规律及简便方法的应用．11．下列语句是命题的是（）A．对角线相等吗？B．作线段AB=10cmC．若a=b，则﹣a=﹣b D．连结A、B 两点【考点】O1：命题与定理．【专题】选择题【难度】易【分析】根据命题的概念进行判断即可．【解答】解：A、对角线相等吗？不是命题；B、作线段AB=10cm不是命题；C、若a=b，则﹣a=﹣b是命题；D、连结A、B两点不是命题，故选：C．【点评】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．12．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．若a2=b2，则a=D．同角的余角相等【考点】O1：命题与定理．【专题】选择题【难度】易【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据三角形外角性质对B进行判断；根据平方根的定义对C进行判断；根据余角的定义对D进行判断．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项错误；B、三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，所以B选项错误；C、若a2=b2，则a=b或a=﹣b，所以C选项错误；D、同角的余角相等，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．13．下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④邻补角一定互补．其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【专题】选择题【难度】易【分析】根据实数与数轴的关系、平行线的性质、平行公理、邻补角的概念判断即可．【解答】解：①错误．应该是实数和数轴上的点一一对应；②错误．应该是两直线平行，内错角相等；③正确．平行于同一条直线的两条直线互相平行；④正确．邻补角一定互补；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．14．下列命题中，为真命题的是（）A．如果﹣2x＞﹣2，那么x＞1B．如果a2=b2，那么a3=b3C．面积相等的三角形全等D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c【考点】O1：命题与定理．【专题】选择题【难度】易【分析】根据不等式的性质、全等三角形的判定、平行线的判定即可得出结论．【解答】解：A、如果﹣2x＞﹣2，那么x＞1；假命题；B、如果a2=b2，那么a3=b3；假命题；C、面积相等的三角形全等；假命题；D、如果a∥b，b∥c，那么a∥c；真命题；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理；熟记不等式的性质、全等三角形的判定、平行线的判定是解决问题的关键．15．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相C．如果a2=b2，那么a=bD．同旁内角互补，两直线平行【专题】选择题【难度】易【分析】先分别写出四个逆命题，然后进行判断即可．【解答】解：A、其逆命题是“相等的角是对顶角”，错误；B、其逆命题是“到这个角的两边的距离相等的点在角平分线上”，正确；C、其逆命题是“如果a=b或a+b=0，那么a2=b2”，正确；D、其逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，正确；故选A．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．16．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．【考点】O1：命题与定理．【专题】填空题【难度】中【分析】把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题．【解答】解：“若a＞b，则a2＞b2”的条件是“a＞b”，结论是“a2＞b2”，其逆命题是若a2＞b2则a＞b．【点评】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．17．绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以每小时4千米速度每走60分钟后休息5分钟；小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟，则两人出发后分钟后第一次相遇．【考点】O2：推理与论证．【专题】填空题【难度】中【分析】易得小王65分行4千米，小张60分行6千米，可推得小王130分行8千米，小张120分行12千米，进而推得小张130分行11千米；在130分时间里，俩人一共行19千米，余下5千米还用30分．所以出发160分第一次相遇．【解答】解：∵小王65分行4千米，小张60分行6×=5千米，∴小王130分行8千米，小张120分行10千米，∴小张130分行10+×10=11千米；∴在130分时间里，俩人一共行19千米，余下5千米还用5÷（+）=30分．所以出发160分第一次相遇．故答案为160．【点评】考查用推理与论证解决行程问题，得到在不同时间内的相应速度是解决本题的易错点．18．某校两名小记者从学校去一家超市采访顾客，从学校到超市往返各需30分钟，采访时每名小记者都各自采访一名顾客，没有顾客被两名记者都采访，每采访一名顾客至少需6分钟（已包括间隔时间）．采访连同往返的时间总和不得超过3时．采访要从整点时间开始．从11：00到17：00各时间超市内可以采访顾客的人如下表所示：那么，两名小记者在10：30到17：30这段时间内能采访到顾客的人最多共是人．【考点】O2：推理与论证．【专题】填空题【难度】中【分析】本题需先根据题意得出一个小时可以采访10人/每个小记者，那么再根据往返的时间总和不得超过3时，得出采访的时间，最后得出结果即可．【解答】解；最多的话一个小时可以采访10人/每个小记者（理想状态下）那一个小时采访20人采访连同往返的时间总和不得超过3时所以有两个小时采访时间因为任意两个小时的顾客总和都大于40所以最多是40人被采访故答案为40【点评】本题主要考查了推理与论证问题，在解题时要注意读懂题意，找到所求的量，需特别注意的是他们采访的时间问题．19．一般来说，反证法有如下三个步骤：(1)，(2)(3)．【考点】O3：反证法．【专题】填空题【难度】中【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【解答】解：反证法有如下三个步骤：(1)提出反证，(2)推出矛盾，(3)肯定结论．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．20．判断真命题还是假命题：(1)若|a|=|b|，则a=b；(2)大于锐角的角是钝角；(3)若ab＞0，则a＞0，b＞0；(4)若a＞b，则a2＞b2；(5)若a=b，则a2=b2；(6)若a2=b2，则a=b；(7)若a≠b，则a2≠b2；(8)若两条直线平行，则这两条直线没有交点；(9)对顶角的平分线在同一条直线上．【考点】O1：命题与定理．【专题】解答题【难度】难【分析】(1)根据绝对值的意义判断；(2)根据钝角的定义判断；(3)根据有理数的性质判断；(4)利用反例进行判断；(5)根据平方的意义进行判断；(6)根据平方根的定义判断；(7)利用反例进行判断；(8)根据平行线的定义判断；(9)根据对顶角的定义和角平分线的定义判断．【解答】解：若|a|=|b|，则a=b或a=﹣b，所以(1)为假命题；大于直角的角是钝角，所以(2)为假命题；若ab＞0，则a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，所以(3)为假命题；若a=0，b=﹣10，则a2＜b2，所以(4)为假命题若a=b，则a2=b2，所以(5)为真命题；若a2=b2，则a=b或a=﹣b，所以(6)为假命题；若a≠b，a=1，b=﹣1，则a2=b2，所以(7)为假命题；若两条直线平行，则这两条直线没有交点，所以(8)为真命题；对顶角的平分线在同一条直线上，所以(9)为真命题．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．21．如图所示，四边形ABCD中，给出下列三个判断：①AD∥BC，②BD2=AD•BC，③∠ABD+∠ADC=180°，请你从其中选取两个条件，另一个做结论构成一个真命题且加以证明．【考点】O1：命题与定理；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】解答题【难度】难【分析】利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABD∽△DCB，进而得出答案．【解答】解：当已知：①AD∥BC，③∠ABD+∠ADC=180°，结论：②BD2=AD•BC，理由：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠ADC+∠C=180°，∵∠ABD+∠ADC=180°，∴∠C=∠ABD，∴△ABD∽△DCB，∴=，∴BD2=AD•BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABD∽△DCB 是解题关键．22．举反例说明下列命题是假命题(1)（a+b）2=a2+b2(2)若|a|=|b|，则a=b(3)两个负数的差一定是负数．【考点】O1：命题与定理．【专题】解答题【难度】难【分析】(1)可以取a=1，b=﹣1说明命题为假命题；(2)可以取a=1，b=﹣1说明命题为假命题；(3)两个负可取﹣1和﹣2，则用﹣1与﹣2的差说明命题为假命题．【解答】解：(1)命题为假命题，若当a=1，b=﹣1时，（a+b）2=0，a2+b2=1+1=2；(2)命题为假命题，若a=1，b=﹣1时，满足|a|=|b|，但a=b不成立；(3)命题为假命题．若两负数为﹣1与﹣2，则﹣1与﹣2的差为﹣1﹣（﹣2）=1．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．。

对反证法的初步认识

对反证法的初步认识反证法（Reductio ad absurdum）是一种逻辑推理方法，通过推理得出一个论点的反面或者矛盾，从而证明这个论点是错误的。

这种方法在数学、哲学和逻辑学中被广泛应用，为人们的思维提供了一种有效的推理方式。

本文将对反证法进行初步的介绍和认识，并探讨其在不同领域的应用。

一、反证法的逻辑基础反证法的基本原理是通过假设论点的反面，推理出一个矛盾或者荒谬的结论，从而证明论点是错误的。

其逻辑基础包括以下几个要点：1. 双重否定原理：如果一个陈述的否定本身也是错误的，那么原陈述就是正确的。

这意味着通过证伪反面来证实论点的方法是有效的。

3. 排中律：一个陈述要么是真，要么是假。

这意味着假设一个论点的反面，通过推理得出一个假的结论，从而证明原论点是真的。

以上逻辑原理构成了反证法的基础，使其成为一种有效的推理方法。

二、反证法的应用领域1. 数学领域：反证法在数学中被广泛应用，特别是在证明命题的正确性时。

通过假设命题的反面，推导出一个矛盾或者不合理的结果，从而证明原命题的正确性。

欧几里德的《几何原本》中就使用了反证法证明了无理数存在的命题。

2. 哲学领域：在哲学中，反证法常常用于检验论证的有效性。

哲学家常常通过假设某种论证的反面，推导出一个矛盾，从而证明原论证的无效性。

这种方法帮助人们理清逻辑思维，发现和纠正论证中的错误。

4. 法律和伦理学领域：反证法可以帮助人们发现法律和伦理上的矛盾和不合理之处，从而引发对现行法律和伦理规范的再思考和修正。

三、反证法的局限性虽然反证法是一种有效的推理方法，但是它也存在一些局限性。

反证法只能证明一个命题的真假，但并不能证明其正确性或合理性。

反证法在某些情况下可能会导致无限推理，无法得出结论。

在使用反证法时，需要注意对推理过程的控制，避免陷入无限循环的推理中。

反证法在现实生活中的应用也存在一定的局限性。

由于时间、精力和资源的有限性，无法对所有问题都采用反证法进行推理。

华东师范大学数学分析第1章

§1 实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明（1）x a +为无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明：用反证法：（1）若x a +为有理数，由条件可得-a 也为有理数，故x x a a =++-)()(为有理数，此与条件矛盾，所以x a +为无理数。

（2）若ax 为有理数，由条件可得1-a 也为有理数，所以x ax a =⋅-)(1为有理数，此与条件矛盾，所以ax 为无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）0)1(2>-x x ；（2）31-<-x x ；（3）23121-≥---x x x ；（4）13≥+x x 。

解：（1）由⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧⎩⎨⎧>-<>⇒>->⇒>-1101100100)1(22x x x x x x x x x 或或如图2-1；（2）两边平方得29612)3()1(22<⇒+-<+-⇒-<-x x x x x ，如图2-2；（3）两边平方得1210)12)(1(223)12)(1(223==⇒≥---⇒-≥----x x x x x x x x 且，此为矛盾，故解集为空集；（4）用图形法给出数轴表示，如图2-3图2-1 图2-2 图2-3 3、设R b a ∈,.证明:若对任何正数ε有ε<-b a ,则b a =.证用反证法.若b a ≠,则令00>-=b a ε,由已知得b a b a -=<-0ε,此为矛盾.故b a =.4、设0≠x ，证明21≥+xx ，并说明其中等号何时成立。

证明：只需证明0>x 时结论成立。

因为0>x ，故可令2yx =，由210211222≥+⇒≥-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x y y y y ，当1±=x 时，等号成立。

5、证明：对任何实数R x ∈有（1）121≥-+-x x ；（2）2321≥-+-+-x x x 。

无理数发展简史

无理数发展简史简介：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

在数学发展的历史中，无理数的概念起初是被人们所拒绝和否定的，但随着数学的发展和研究的深入，人们逐渐认识到无理数的重要性。

本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历程，以及无理数在数学和科学领域的应用。

1. 古希腊时期的发现古希腊数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边长度的平方等于两直角边长度的平方之和。

然而，当他们尝试用整数来表示斜边的长度时，发现这是不可能的。

这个发现引起了对无理数的思量和探索。

2. 无理数的否定与争议在古希腊时期，无理数的概念遭到了否定和争议。

毕达哥拉斯学派坚信一切可以表示为两个整数比值的数都是有理数，而无理数是不真正的。

这种观点一度在数学界占主导地位，无理数的存在被人们所否定。

3. 无理数的证明直到公元5世纪，数学家欧多克斯提出了一种简单而精确的证明方法，证明了无理数的存在。

他使用了反证法，假设无理数不存在，然后通过推理推出矛盾的结论，从而证明了无理数的存在。

4. 无理数的数学性质无理数具有一些特殊的数学性质。

例如，无理数是无限不循环的小数，无法用有限的小数表示。

此外，无理数之间的加法、减法、乘法和除法运算结果仍然是无理数。

5. 无理数的应用无理数在数学和科学领域有着广泛的应用。

在几何学中，无理数被用来描述无法用有理数表示的长度和比例关系。

在物理学中，无理数被用来描述自然界中的现象，如波长、频率等。

在金融领域，无理数被应用于复利计算和金融模型中。

结论：无理数的发展历程经历了争议和否定，但最终被证明了其存在和重要性。

无理数的数学性质使其成为数学和科学领域中不可或者缺的概念。

通过对无理数的研究和应用，我们能更好地理解和描述自然界中的现象，以及解决实际问题。

无理数的发展简史为数学和科学的进步做出了重要贡献。

用反证法证明是无理数

用反证法证明是无理数
（一）任何整数不是素数就是合数。

（二）如果一个素数s能整除uv，则必须是s能整除u或s 能整除v、由整数的性质，我们知道由q＞1，存在一个素数s是q 的约数。

因此s能整除，故s能整除或、由这两种情形推出s能整除p，因此我们得到s能同时整除p和q，显然这是不合理的。

(4)用素因子的性质：由p2=2q2我们得q2=p2-q2＝(p+q)(p-q)由于 q＞1，存在一个素数s能整除q，由此可知s能整除p+q或p-q。

因此p+q=su或p－q=sv,但q＝St（t是某一个整数），因此由p+q=su，得p=s(u－t)，所以p，q有公共素因子s，这产生矛盾。

(5)利用代数方程根与系数的关系：假定，则是代数方程x2-2=0的解，我们知道在代数方程a0xn＋a1xn-1…＋an＝0中如果有有理根，则r能整除an，s能整除a0、现在在x2-2=0中，a0＝1，a1＝0，a2＝-2；既然是有理根，就有q能整除1，即q＝1，所以＝p是一个整数，明显这是不可能的。

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证明√2是无理数反证法

证明√2是无理数反证法反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。

在证明√2是无理数时，我们也可以运用反证法来进行证明。

首先，我们假设√2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且这两个整数没有公因数。

假设√2可以表示为a/b，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。

根据这个假设，我们可以得到以下等式：√2 = a/b。

将等式两边平方，得到2 = (a/b)²，即2b² = a²。

由此可知，a²是2的倍数，因此a也是2的倍数。

假设a = 2c，其中c是整数，代入上述等式，得到2b²= (2c)²，即2b²= 4c²。

进一步简化，得到b² = 2c²。

同样地，根据上述等式，我们可以得出结论，b也是2的倍数。

这意味着a和b都是2的倍数，与我们一开始的假设矛盾。

因此，我们可以得出结论，假设√2是有理数的假设是错误的。

√2不是有理数，即√2是无理数。

通过反证法，我们证明了√2是无理数。

这个证明方法的关键在于假设√2是有理数，然后通过推导得到矛盾的结论，从而证明了假设的错误。

这种方法在数学证明中非常常用，可以用来证明很多数学命题。

在实际应用中，√2的无理性证明有着重要的意义。

它不仅仅是一个数学问题，更是对我们思维方式的挑战。

通过这个证明，我们可以看到数学的严谨性和逻辑性，也可以培养我们的逻辑思维能力。

总之，通过反证法，我们成功地证明了√2是无理数。

这个证明方法不仅仅适用于√2，还可以应用于其他数学问题的证明中。

通过不断运用这种方法，我们可以更好地理解数学的本质，提高我们的数学思维能力。

用反证法证明是无理数

根号二是无理数的证明过程

e是无理数的证明方法

如何利用高一数学中的反证法解题

介绍反证法及举例

数学中的证明方法和技巧

无理数的发现与探索

宜用反证法证明的几类命题

数学的证明技巧

数字的证明与推导方法

宜用反证法证明的几类命题

初中数学反证法简单例子

根号三是无理数的证明方法

苏教版七年级数学下册初中数学苏科七下第12章测试卷(2)

对反证法的初步认识

华东师范大学 数学分析 第1章

无理数发展简史

用反证法证明是无理数

证明√2是无理数反证法

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