用反证法证明是无理数

据说最初发现

p

q

，这里p和q是无公约数的正整数

传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现，不打算公开这个结果。他的学生之一为了好奇，悄悄走进老师的家里偷文件，这方法才被公开出来。

我们下面介绍五个用反证法证明这结果，大家可以学习这种证明。

p

q

=，p，q是无公约数的整数。

(1)毕达哥拉斯方法：

p

q

=两边平方得22

2

p q

=，所以2p是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k

＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即q也是偶数。

由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p，

q

(2)利用整数的个位数性质：我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。例如（12）2＝144，最后一位数4=（2）2。而（17）2=289，（7）2=49，最后一位数是一样。

最后一位数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

因此任何数的平方最后一位数只可能是0，1，4，5，6，9。

因此2q2的最后一位数只可能是0，2或8。

由于p2的最后一位数可能是0，1，4，5，6，9。而且由P2=2q2，故必须有2q2最后一位数是0，因此推到q2的最后一位数是0或5。

可是如果P2的最后一位数是0，而q2的最后一位数是0或5的话，则P的最后一位数是0，q的最后一位数是0或5，这样5就能整除p和q，这和p，q无公约数的假定矛盾。

(3)利用素因子的性质：

p

q

=得22

2

p q

=，这里q要大于1，如果是等于1

＝p，这是个整数，明显是不合理的。现在我们可以得到2

2

p

q p

⎛⎫

=⋅

⎪

⎝⎭

，我们知道：

（一）任何整数不是素数就是合数。

（二）如果一个素数s 能整除u ×v ，则必须是s 能整除u 或s 能整除v.

由整数的性质，我们知道由q ＞1，存在一个素数s 是q 的约数。

因此s 能整除22p q p ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭

，故s 能整除2p 或p .由这两种情形推出s 能整除p ，因此我们得到s 能同时整除p 和q ，显然这是不合理的。

(4)用素因子的性质：由p 2=2q 2我们得q 2=p 2-q 2＝(p+q)(p-q)

由于 q ＞1，存在一个素数s 能整除q ，由此可知s 能整除p+q 或p-q 。

因此p+q=su 或p －q=sv,但q ＝St （t 是某一个整数），因此由p+q=su ，得p=s(u －t)，所以p ，q 有公共素因子s ，这产生矛盾。

(5)利用代数方程根与系数的关系：p q ，则p q

是代数方程x 2-2=0的解，我们知道在代数方程a 0x n ＋a 1x n-1

…＋a n ＝0中如果有有理根r s ，则r 能整除a n ，s 能整除a 0.现在在x 2-2=0

中，a 0＝1，a 1＝0，a 2＝-2；既然p q

是有理根，就有q 能整除1，即q ＝1p 是一个整数，明显这是不可能的。