成人高考专升本高数真题及答案
成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
20XX年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的( )
A.高阶无穷小量
B.等价无穷小量
C.同阶但不等价无穷小量
D.低阶无穷小量
参考答案：D
参考答案：C
第3题函数f(x)=x3-12x+1的单调减区间为( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,2)
D.(2,+∞)
参考答案：C
参考答案：A 第5题
参考答案：B
参考答案：D 第7题
参考答案：B
参考答案：A
参考答案：B
参考答案：A
二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
参考答案：1
参考答案：2
第13题设y=x2+e2，则dy=________
参考答案：(2x+e2)dx
第14题设y=(2+x)100，则Y’=_________.
参考答案：100(2+z)99
参考答案：-In∣3-x∣+C
参考答案：0
参考答案：1/3(e3一1)
参考答案：y2cosx
第19题微分方程y’=2x的通解为y=__________.
参考答案：x2+C
参考答案：1
三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题设二元函数z=x2+xy+y2+x-y-5，求z的极值.
第27题
第28题。
2024年成人高考专升本《数学》考卷真题及答案
2024年成人高考专升本《数学》考卷真题及答案一、选择题（每小题5分，共25分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = x^2 + 12. 下列数列中，是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7,B. 1, 2, 4, 8,C. 1, 3, 9, 27,D. 1, 2, 3, 4,3. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5x 1B. 3x 4 < 2x + 5C. 4x + 7 > 5x 2D. 5x 3 < 4x + 14. 下列立体图形中，是圆柱的是（）A. 圆锥B. 球体C. 长方体D. 圆柱5. 下列积分中，正确的是（）A. ∫(x^2 + 1)dx = (1/3)x^3 + x + CB. ∫(x^3 + 1)dx = (1/4)x^4 + x + CC. ∫(x^4 + 1)dx = (1/5)x^5 + x + CD. ∫(x^5 + 1)dx = (1/6)x^6 + x + C二、填空题（每小题5分，共25分）1. 函数y = x^2 4x + 3的顶点坐标是______。
2. 等差数列1, 3, 5, 7, 的前10项和是______。
3. 不等式3x 4 < 2x + 5的解集是______。
4. 圆柱的体积公式是______。
5. 积分∫(x^3 + 1)dx的值是______。
三、解答题（每小题10分，共50分）1. 解方程组：\[\begin{align}2x + 3y &= 8 \\4x 5y &= 10\end{align}\]2. 求函数y = x^3 6x^2 + 9x 1的极值。
3. 求证：等差数列1, 3, 5, 7, 的前n项和是n(n + 1)/2。
4. 求圆柱的表面积。
5. 计算积分∫(x^4 + 1)dx。
四、证明题（每小题10分，共20分）1. 证明：对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案
成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。
则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。
12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。
历年成人高考专升本高等数学真题及答案汇总
第一章 函数与极限一. 基础题1. 设映射:,,.f X Y A X B Y →⊂⊂证明 (1) ()()();f A B f A f B ⋃=⋃ (2) ()()().f A B f A f B ⊂证 (1)(),y f A B x A B ∈⇔∃∈ 使得()y f x =x A ⇔∈或x B ∈,且()y f x =()y f A ⇔∈或()y f B ∈()()y f A f B ⇔∈ .(2)(),y f A B x A B ∈⇒∃∈ 使得()y f x =x A ⇒∈且x B ∈, ()y f x =()y f A ⇔∈且()y f B ∈()()y f A f B ⇒∈ .2. 设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明()f x 在(,0)l -内单调增加.证 设120l x x -<<<,则120x x l <-<-<,由()f x 在(0,)l 内单调增加得21()()f x f x -<-.又()f x 为(,)l l -内的奇函数,故21()()f x f x -<-,从而21()()f x f x >,即()f x 在(,0)l -内单调增加.3.设()ln(f x x =,讨论它的奇偶性. 解 显然()f x 的定义域是(,)-∞+∞.又因为()ln[ln(f x x x -=-+=-+ln=ln(()x f x ==-+=-.所以()f x 为奇函数.4. 设1(1),21xf x x +-=-求()f x . 解 设1,u x =-得1x u =-,于是()()()11221112u uf u u u+--==---,从而()212x f x x -=-.5. 设数列{}n x 的一般项为1sin 3n n x n π=.问lim n n x →∞=?求出N 使当n N >时n x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出N .解 lim 0n n x →∞=.我们证明如下:0,ε∀>为使110sin 3n n x n n πε-=≤<,只需1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0n x ε-<.当0.001ε=时, 取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1000==1000,此时只要1000n >,就有00.001n x -<.6. 用极限定义证明:(1)1n →∞=; (2)lim0.99991n n→∞= . (3) 21214lim 2;21x x x →--=+(4)lim 0x =证 (1)0,ε∀>为使1a nn nε=≤=<,只需an ε>.取aN ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,1ε-<,即lim 1n n→∞=.(2) 0ε∀> (不妨设1ε<),为使10.9999110n nε-=<,只需1lg n ε>.取1lg N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0.99991nε-< ,即 lim0.99991n n→∞=. (3) 因为11,22x x →-≠- 0ε∀>,为使214121222()212x x x x ε--=--=--<+,只需1()22x ε--<.取2εδ=,则当10()2x δ<--<时,就有214221x x ε--<+.故21214lim 2;21x x x →--=+ (4) 因为,x →-∞所以0x <.又10x-≤≤=-,为使0ε-<只需1x ε<-.所以0ε∀>,取1X ε=,则当x X <-时, 就有0ε-<.故21214lim 221x x x →--=+. 7. 设2()f x x =.问2lim ()x f x →=?求出δ使当2x δ-<时()f x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出δ.解 22lim 4x x →=.我们给出如下证明.0,ε∀>由于2,x →不妨设13x <<.为使2()44(2)(2)52f x x x x x ε-=-=+-≤-<,只需25x ε-<.取5εδ=,则当2x δ-<时,就有()4f x ε-<.当0.001ε=时, 取0.0002δ=,此时只要20.0002x -<,就有()40.001f x -<. 8.证明函数()f x x =当0x →时极限为零.证明 0,ε∀>为使()000f x x x x ε-=-==-<,只需取5εδ=,则当0x δ-<时,就有0x ε-<,即0lim 0x x →=.9.求(),()x xf x x x xϕ==当0x →时的左、右极限,并说明它们的极限是存在. 解 000l i m ()l i m l i m 11,x x x x f x x +++→→→=== 000l i m ()l i m l i m 11.x x x xf x x ---→→→=== 由于0lim ()x f x +→=0lim ()x f x -→1=知0lim ()1x f x →=；0000lim ()lim lim lim11,x x x x x x x x x ϕ++++→→→→====0000lim ()lim lim lim 1 1.x x x x x x x x x ϕ----→→→→-==-=-由于lim ()x x ϕ+→≠0lim ()x x ϕ-→1=知0lim ()x x ϕ→不存在． 10．根据定义证明： （１）21(1)sin (1)y x x =--为当0x →时的无穷小； （２）12xy x+=为当0x →时的无穷大．问x 应满足什么条件，能使410y >． 证（１）0,ε∀>为使22110(1)sin 0(1)sin 1(1)(1)y x x x x x ε-=--=-≤-<--,只需取δε=,则当01x δ<-<时,就有21(1)s i n 0(1)x x ε--<-,即21(1)sin(1)y x x =--为当0x →时的无穷小. （２）0M ∀>，为使121122x M x x x +=+≥->，只要12M x->，即12x M <+． 因此，取1,2M δ=+当00x δ<-<时，就有12xM x +>．故12x y x +=为当0x →时的无穷大．当410,M =取4112102M δ==++时，就能使41210xy x +=>．11．求极限21lim x x x →∞+并说明理由．解 21lim x x x →∞+＝1lim(2)2x x→∞+=．理由：令()2f x α=+，其中1xα=．因为x →∞时，x 是无穷大，由无穷大与无穷小的关系知1xα=为无穷小．再由无穷小与极限的关系得1lim(2)2x x →∞+=．12. 计算下列极限:(1) 220()lim h x h x h→+-; (2) 22468lim 54x x x x x →-+-+;(3) 2468lim 31x x x x x →∞++-+; (4) 2lim(21)x x x →∞-+;(5) 32121lim()82x x x →---; (6)12(1)lim [()()()]n a a n ax x x n n n n→∞-++++++ ;解 (1) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h →→→+-++-==+=. (2) 2244468(4)(2)22lim lim lim 54(4)(1)13x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) 223443416868lim lim031311x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==-+-+ (4) 因为22211lim lim 011212x x x x x x x→∞→∞==-+-+,所以2lim(21)x x x →∞-+=∞.(5) 2332222121122(2)(4)lim()lim lim 828(2)(42)x x x x x x x x x x x x x →→→---+-==----++ 2241lim 422x x x x →+==++. (6) 原式=1lim [(1)(12(1)]n an x n n n →∞-++++-=1(1)lim [(1)]2n a n n n x n n →∞--+=2ax +. 13.利用有界变量与无穷小之积仍为无穷小计算下列极限:(1)201lim cosx x x →; (2)arctan lim x xx→∞.解 (1) 因为0,x →所以2x 0→,1cos 1x≤.故201lim cos 0x x x →=.(2) 因为,x →∞所以1x 0→,arctan 2x π<.故arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞==. 14.利用两个重要极限计算下列极限:(1) 0sin lim(0,0)x xxααββ→≠≠; (2) 20tan(1)lim 2x x x x →-+-;(3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-; (4) lim 2sin (2nn n x x →∞为不等于零的常数) (5)120lim(13)x x x →-; (6) 21lim()xx x x→∞+. 解 (1) 00sin sin limlim .x x x x x x x x ααααβαββ→→== (2) 2000tan(1)tan(1)tan(1)11lim lim lim 2(1)(2)122x x x x x x x x x x x x →→→---==∙=+--+-+. (3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-202sin 6sin lim sin 3x x xx→-=2220sin 6sin (3)642lim 6sin 3(3)3x x x x x x x x x x →⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (4) 22sin 2lim 2sin lim 22n n n n x x x x x →∞→∞⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(5) 120lim(13)x x x →-=1(3)13232lim (13)e x xxx x ---→⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.(6) 21lim()x x x x →∞+=221lim e xx x x →∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 15.当0x →时,无穷小(1)x π-和(1)31x -,(2)sin x π是否同阶?是否等价?解 (1)因为322111(1)(1)lim lim lim 1(1)(1)13x x x x x x x x x x x ππππ→→→--===--++++,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和31x -同阶,但不等价.(2) 因为111sin sin (1)sin (1)lim lim lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ππππππ→→→---===---,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和sin x π是等价的.16.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)0sin lim (,(sin )nm x x n mx →为正整数); (2)30sin tan lim sin x x x x→-;(3)0x →. 解 (1)000,,sin limlim 1,,(sin ).n n m m x x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨∞<⎪⎩ (2) 因为332000sin tan sin (1sec )1sec lim lim lim sin sin sin x x x x x x x xx xx →→→---==,而2220002sin 1sec 1cos 112lim lim lim 1cos cos ()222x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 所以 233220000sin tan sin (1sec )1sec 12lim lim lim limsin 2x x x x x x x x x x x x →→→→----====-.(3)0x →=0x →201sin x x →=+ =201cos x x x →- =1114612-+=-. (21cos 12x x - ). 17.讨论下列函数的连续性:(1).()(11)f x x x =+-; (2) {,11,()1,1 1.x x f x x x -≤≤=<->或 解 (1) 222,1,(),1,,1.x x x f x x x x x ⎧-<⎪==⎨>⎪⎩当1x <或1x >时()f x 为初等连续函数,所以连续;当1x =时,有221111lim ()lim 1(1),lim ()lim(2)1(1),x x x x f x x f f x x x f ++--→→→→====-== 因此()f x 在1x =连续函数,故()f x 在定义域(,)-∞+∞内连续. (2) 显然()f x 在(,1)-∞-与(1,)-+∞内连续.而在1x =-11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==- ,但 11lim ()lim 11,x x f x --→-→-== 即 11lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠.故()f x 在1x =-间断. 18.试确定,a b ,使函数1sin ,0,(),0,1sin .0.x x x f x b x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续.解 显然()f x 在(,0)-∞与(0,)+∞内连续.而在分断点0x =处,由于1lim ()lim sin 0.x x f x x x++→→== , 001lim ()lim (sin )1,x x f x x a a x--→→=+=+ 根据 0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==, 得 10,a b +== 即 1,0a b =-=.19.求下列函数的间断点,并确定其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1) 1e ,0,()0,0,1arctan .0.x x f x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪>⎪⎩(2) ()tan x f x x =; (3)221()lim1nnn x f x x x →∞-=+. 解 (1)()f x 为分段函数,当0x ≠时, ()f x 显然连续.当0x =时,因为11lim ()lim e 0,lim ()lim 2xx x x x f x f x arctan x π--++→→→→====. 所以0x =是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点). (2) ()f x 的无定义点为(0,1,2,)2x k x k k πππ=+==±± 和.对0x =, 因为0lim 1,tan x xx→=所以0x =是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:1,,,(0,1,2,)tan 2()1,0,x x k k k x f x x πππ⎧≠+=±±⎪⎪=⎨=⎪⎪⎩则1()f x 在0x =处连续. 对(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± ,因为2lim0,tan x k xxππ→+=所以2x k ππ=+(0,1,k =±2,)± 是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:2,,,tan 2()(0,1,2,)0,,2xx k k x f x k x k πππππ⎧≠+⎪⎪==±±⎨⎪=+⎪⎩.则2()f x 在(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± 处连续.对(0,1,2,)x k k π==±± ,lim,tan x k xxπ→=∞所以(0,1,2,)x k k π==±± 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点)(3) 221()lim1n nn x f x x x →∞-=+,1,0,1,,1.x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪<⎩为分断函数. 在分断点1x =-处,因为1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠.所以1x =-为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).在分断点1x =处,因为1111lim ()lim 1,lim ()lim()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以1x =为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).20.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求极限03lim (),lim ()x x f x f x →→-及2lim ()x f x →.解 因为()f x 在123,2x x =-=点无意义,所以123,2x x =-=这两个点为间断点.故函数()f x 的连续区间为(,3),(3,2),(2,)-∞--+∞.32200331lim ()lim 62x x x x x f x x x →→+--==+-.32222333333(1)(3)(1)8lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)5x x x x x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→-+---+-====-+-+--. 32222222233(1)(3)(1)lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)x x x x x x x x x x f x x x x x x →→→→+---+-====∞+-+--. 21.设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续,证明函数{}{}()max (),(),()min (),()x f x g x x f x g x ϕψ==在点0x 处也连续.证 因为 {}1()max (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ϕ==++-, {}1()m i n (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ψ==+--, 而连续函数的绝对值、和、差仍连续，故(),()x x ϕψ在点0x 处也连续.22.利用复合函数的极限与连续定理计算下列极限(1) 1lim1x x →- (2)sin sin limx a x a x a →--;(3)lim x →+∞;(4) x →∞(5); ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++;(6)0x →; 解(1) 12x x →→==.(2)2sin cos sinsin sin 222lim lim lim limcos cos 2x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x a →→→→-+--+==⋅=---.(3) lim limx x →+∞=1lim2x==. (4)因为x x →∞=,而lim lim1x x →+∞==lim lim1x x →-∞==-故x →∞不存在.(5) ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++()()()()()()lim lim ()()x a x b x a x b x x x a x b x a b x a b ++++→+∞→+∞++=⋅++++()()()()1111lim lim lim lim (1)(1)(1)(1)b a x x x x x a x b x a x b b ab a b a x a x b x a x b →+∞→+∞→+∞→+∞++++=⋅=⋅⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦()11e .e ea b b a-+==(6) 00x x →→=0s i n l i m n x x x →=00s i n l i m l nx x x x x →→→=⋅=22220011)11112lim lim 1)2sin 2sin 22x x x x x x →→=⋅=. 23.证明方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一正根,并且它不越过a b +. 证 令()sin f x x a x b =--.显然()f x 在闭区间[0,]a b +上连续,(0)0,f b =-< ()[1sin()]f a b a a b +=-+.当sin()1a b +<时,()0f a b +>.由零点定理知,存在(0,)a b ξ∈+.使()0f ξ=,即ξ为原方程小于a b +的正根;当sin()1a b +=时, ()0f a b +=,a b +为原方程的正根.综合之, 方程sin x a x b =+至少有一正根,并且它不越过a b +.24.设函数()f x 对于闭区间[,]a b 上的任意两点,x y ,恒有()()f x f y L x y -≤-,其中L 为正常数,且()()0f a f b ⋅<.证明:至少有一点(,),a b ξ∈使得()0f ξ=.证 任取0(,),0,x a b ε∈∀>取00min ,,x a b x Lεδ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,则当0x x δ-<时,依假设有00()()f x f x L x x L δε-≤-<≤.所以()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, ()f x 在(,)a b 内连续. 当0x a =或0x b =时,取Lεδ=,当0x a δ<-<或0b x δ<-<时,有()()()f x f a L x a L x a L δε-≤-=-<≤.或 ()()()f x f b L x b L b x L δε-≤-=-<≤.故()f x 在x a =右连续, ()f x 在x b =左连续,从而()f x 在闭区间[,]a b 上连续.再借助()()0f a f b ⋅<及零点定理知,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=.25. 若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<< , 1,2,,n C C C 为任意正数,1(,)n x x 内至少有一点ξ, 使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .证 因()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又1[,][,]n x x a b ⊂,所以()f x 在1[,]n x x 上连续.设{}{}11max (),min ()n n M f x x x x m f x x x x =≤≤=≤≤.则有 112212()()()n n nC f x C f x C f x m M C C C +++≤≤+++ .若上面不等式为严格不等号,则由介值定理知, 存在1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .若上面不等式中出现等号,如112212()()()n n nC f x C f x C f x M C C C +++=+++ ,则有1122[()][()][()]0n n C M f x C M f x C M f x -+-++-= . 于是 12()()()n f x f x f x M ==== .此时任取121,,,n x x x - 中任一点为ξ,即有1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .同理可证112212()()()n n nC f x C f x C f x m C C C +++=+++ 的情形.26.证明:若()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x →∞存在,则()f x 必在(,)-∞+∞内有界.证 设lim (),x f x A →∞=则给定10ε=>,可存在0X >,当x X >时,有()1f x A ε-<=.从而()()1f x f x A A ≤-+<+.由假设,显然()f x 在[,]X X -上连续,故()f x 在[,]X X -上有界,即存在K ,使[,]x X X ∀∈-,有().f x K ≤取 {}max ,1M K A =+,则(,)x ∀∈-∞+∞,有()f x M ≤.二. 提高题1. 设1,1,()0, 1.x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()e xg x =，求[()]f g x .解 因为当0x ≤时，()e 1x g x =≤；当0x >时，()e 1xg x =>．所以1,0,(())0.0.x f g x x ≤⎧=⎨>⎩2. 计算下列极限.(1)n →∞; (2)2352limsin 53x x x x→∞++; (3)1101e lim ex x xx +→-+; (4)2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++;(5) x →+∞;(6))n →∞);(7) 0lim x +→(8) 11lim ln x x x x x →- (9) 120e e e lim()x x nx x x n→+++ ; (10) 2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求a ;(11)(0lim xx π+→;解(1)n→∞=limn→∞n==(2)当x→∞时, 有22sinx x.因此223523526lim sin lim53535x xx xx x x x→∞→∞++=⋅=++.(3)1111001e e1lim lim1e e1x xx xx xx x++-→→---==-++.(4)21 0013sin1 3sin cos cos3 lim lim(1cos)ln(1)2(1cos)ln(1)x xxxx x xx x xx xx x→→++== ++++.(5) 原式= limx→+∞lim0x→+∞==.(6))2) 1.n n nnπ→∞→∞→∞===(7) 由于当0x+→时,12x- ,21cos2xx- ,所以(200001cos1lim lim lim lim2122x x x xxxx++++→→→→-====⋅⋅+.(8) 由于当1x→时,lne1lnx x x x- ,所以xlnx1111e1lnlim lim lim1ln ln lnxx x xx x xx x x x x x→→→--===. (9) 当0x→时, 有ln(1),e1kxx x kx+-,于是22001e e e1e e elim ln lim ln(1)x x nx x x nxx xnx n x n→→++++++-=+22001e e e1(e1)(e1)(e1) lim ln lim lnx x nx x x nxx xnx n x n→→+++--+-++-==2121lim(1).2xx x nx nnnx n→++++++===+故12e e elim()x x nxxx n→+++=1(1)2e n+.(10) 因为333233l i m l i m1l i m1ex a a xx xa x aax x xx a a ax a x a x a-⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以328l i m exaxx ax a→∞+⎛⎫==⎪-⎝⎭,故ln2a=.(11) ()00lim lim11)x xx xππ++→→⎡⎤=+⎣⎦2lim11)e.xπ+-→⎡=+=⎣3.比较下列无穷小:(1).当0→时，xxx++是x的几阶无穷小？(2).已知当x→1时，)(xf是1-x的等价无穷小，则)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的几阶无穷小？解：(1)81limxxxxx++→=1lim2141++→xxxxx=1所以当x→0时，xxx++是x的81阶无穷小.(2)当x→1时，)(xf 1-x,所以)]()(1ln[xxfxf+-=)()1(1ln[xfx-+ )1(-x)(xf 2)1(-x即当1x→时，)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的二阶无穷小.4．根据条件，解答下列各题：(1)当x0→时，1)1(31-+ax与1cos-x是等价无穷小，求a；(2)已知)1(lim2baxxxx--+→=0，（ba,为常数），求ba,;(3)设)(25)(22bkxxxxxf+-+--=，若)(lim xfx∞→=0，求k与b的值；(4)已知1)sin)(1ln(lim0-+→xx axxf=3,(),1,0≠>aa求2)(limxxfx→；(5)若xx xxfx1))(1(lim++→＝e，求xx xxf1))(1(lim+→；解(１)当0→x时，1)1(312-+ax≈23xa，1cos-x≈221x-，则当213-=a即a=23-时，两者是等价无穷小．(２因为1)()1(lim2+-+--∞→xbxbaxax＝０，所以1=a，1-=-=ab．(３)由)(lim xfx∞→＝2)2)(()5(lim2+++---∞→xxbkxxxx＝225)21()1(lim2+--++--∞→xbxbkxkx＝０．得01=-k，3,121-==⇒=++bkbk（４）由已知有,xxxfxx))(1ln(lim++→＝３，所以0sin)(lim=→xxfx．从而=-+→1)sin)(1ln(lim0xx axxfaxxxfx lnsin)(lim→＝axxfx ln)(lim2→＝３，故2)(limxxfx→＝aaaxxfxln3lnln)(lim2=⋅→．（５）由若xx xxfx1))(1(lim++→＝3e，得()ln(1)lim3xf xxxx→++=．所以 0()lim()0x f x x x→+=．从而 00()()ln(1)limlim 3x x f x f x x x x x x x→→+++==．故 0()lim 2x f x x x→=，因此 0()lim0x f x x →=． 由是()1()2()()lim 1lim 1e f x x x x f x x x x x f x f x x x →→⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．5.求下列函数的间断点,并判断其类型:(1)22(4),0,sin ()(1)0,,1x x x x f x x x x x π⎧-⎪<⎪=⎨+>⎪⎪-⎩ (2)11().1e xxf x -=- 解 (1)当0x <时,()f x 在1,2,x =-- 无定义.对于2x =-,28lim ()x f x π→-=,所以2x =-为()f x 的可去间断点.易验证1,3,4,x =--- 是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x >时, ()f x 在1x =无定义,且1lim ()x f x →=∞,所以1x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x =时,由于220000(1)(4)4lim ()lim 0,lim ()lim 1sin x x x x x x x x f x f x x x ππ++--→→→→+-====--,所以0x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.(2)0,1x x ==是()f x 的间断点.因为0011lim ()lim ,1e x x x x f x →→-==∞-所以0x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点; 又11111111lim ()lim 1,lim ()lim 01e 1e x xx x x x x xf x f x ++--→→→→--====--,所以1x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.6.设2122()lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数,求,a b 的值.解 当1x <时,有lim 0n n x →∞=,从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++. 当1x >时,有lim nn x →∞=∞,从而21222212211()lim lim 111n n n n n n na b x ax bx x x x f x x x x---→∞→∞++++===++. 当1x =时,11(1),(1)22a b a bf f ++-+-=-=. 因为()f x 是连续函数,所以11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→→==即112a ba b ++=+=.及11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→-→-==- 即 112a ba b -+--=-=, 解之得0,1a b ==. 7．试确定,a b 的值，使e ()()()x bf x x a x b -=--有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．解 因为x e =是()f x 无穷间断点，所以a e =或b e =．若a e =，e ()()()x bf x x e x b -=--，再由1x =为间断点知1b =．此时11e 1lim ()lim ,()(1)x x x f x x e x →→-==∞--即1x =是()f x 无穷间断点，这与假设矛盾． 若b e =，e ()()()x ef x x a x e -=--，再由1x =为间断点知1a =．此时11e e lim ()lim ,lim ()lim ()(1)1()(1)x x x x x ex e e e ef x f x x e x e x e x →→→→--====∞-----． 因此地当1,a b e ==时， ()f x 有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．三. 考研试题１．（９０，３分）设函数,1,1,0,1)(>≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f 则)](([x f f ＝ ．解 由)(x f 的定义知，当1≤x 时，有1)(=x f ．又1)1(=f ，于是当1≤x 时，复合函数1)](([=x f f ．当1>x 时，有0)(=x f ．又1)0(=f ，于是当1>x 时，复合函数1)](([=x f f ． 因此，对任意),(+∞-∞∈x ，有1)](([=x f f ．２．（03，4分）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有（Ａ）n n b a <对任意n 成立． (B) n n c b < 对任意n 成立． (C)极限0lim =∞→n n n c a 不存在． (D ）极限0lim =∞→n n n c b 不存在．解 因为由数列极限的不等式只能得出数列“当n 充分大时”有相应的不等式，而不能得出“对于任意n ”成立的不等式，所以(A)、（B ）不对．又因为“无穷小与无穷大之积”是未定型，极限可能存在也可能不存在，故（Ｃ）也不对．因此应选（Ｄ）．３（92，3分）．当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限 （Ａ）等于2． （Ｂ）等于0．（Ｃ）为∞． （Ｄ）不存在但不为∞解 因为002e )1(lim e 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x x x x ， ∞=+=---→-→++1111121e )1(lim e 11lim x x x x x x x ．所以当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限不存在，也不为∞．故应选（Ｄ）． ４．（00，5分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x xx x sin e 1e 2lim 410．解 当0→x 时，对x1e 与x ，都必须考虑左、右根限．110sin e 1e e 2lim sin e 1e 2lim 4340410=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---→→++x x x x xx x x x x x ， 110102sin e 1e 2lim sin e 1e 2lim 410410=-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x x x xx x x x x ． 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x x x x sin e 1e 2lim 410＝１． 5.（93，5分）求xx xx )1cos 2(sin lim +∞→．解 )11cos 2(sin 1cos sin 1)11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim -+⋅-+∞→∞→-++=+x x x xx x x x xx x x ． 而 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x 111cos 12sin lim 111cos 2sin lim)11cos 2(sin lim2021212sinlim 2=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→x x xx x ． 故 2)11cos 2(sin 11cos 2sin 1e )11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim =-++=+-+⋅-+∞→∞→x x x xx x x x xx x x ．６．（０３，４分）21ln(1)lim(cos )x x x +→=解 因为)1ln(1cos 1cos 10)1ln(1)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x x x x x +-⋅-→+→-+=．而212lim )1ln(1cos lim 22020-=-=+-→→x x x x x x ．故 )1ln(1cos 1cos 10)1ln(122)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x xx x x +-⋅-→+→-+==21e-．７．（９７，３分）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→． 解 注意到,1)1ln(lim ,1sin lim00=+=→→xx x x x x 则 23)1ln()cos 1(1cossin 3lim )1ln()cos 1(1cos sin 3lim20=+++=+++→→x x x x x x x x x x x x x x ． 8．（97，3分）设{=)(x f 0,0,)(cos 2=≠-x a x x x 在0=x 处连续，求a 的值．解 1e e lim )(cos lim )(lim 0cos ln 022=====-→-→→xxx x x x x x f a ．9．（95，3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n 22222211lim ． 解 记=n x n n n nn n n +++++++++22222211 ，则)21(11)21(2122n n x n n n n ++++≤≤++++ ． 故由夹逼法则得21)21(11lim )21(21limlim 22=++++=++++=∞→∞→∞→n n n n n x n n n n ．四.测试题１．单项选择题：（１）设22(),(())2,x f x x f x ϕ==则()()x ϕ=（Ａ）．2x （).2x B （Ｃ）2.log x （Ｄ）．22log x ．（２）函数()log ((1)a f x x a =+>为（ ）（Ａ）．有界函数 （).B 偶函数 （Ｃ）．奇函数 （Ｄ）．非奇非偶函数（３）011lim(sin sin )()x x x x x →+=．（Ａ）．０ （B ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）．不存在．（４）0lim (xx x a x a →⎛⎫ ⎪+⎝⎭为常数)等于（ ） （Ａ）．e a - （Ｂ）．e a （Ｃ）．1e a - （Ｄ）． 1e a-（５）0ln(1sin )lim()x x x→-= （Ａ）．e Ｂ．e - Ｃ．1 Ｄ． 1- （６）设()232xxf x =+-，则当0x →时，有（ ）（Ａ）．()f x 与x 是等价无穷小 （Ｂ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小 （Ｃ）．()f x 是比x 高阶的无穷小 （Ｄ）．()f x 是比x 低阶的无穷小２．填空题（１）设函数()f x 的定义域为[1,1]-，则(ln )f x 的定义域为 ．（２）若214lim3,1x x ax x →-+=--则a = ． （３）设22,11(),1x bx x x f x a x ⎧++≠⎪-⎪=⎨=⎪⎪⎩，在点1x =处连续，则 b = ，a = ．３．计算题 （１）cos sin lim(0)cos sin 2n nn n n θθπθθθ→∞-≤≤+； （２）11021lim21xx x →-+； （３）10lim (0,0,0)3x x xxx a b c a b c →⎛⎫++>>>⎪⎝⎭； （４）()tan 2lim sin xx x π→. ３．设()lim e x x xxxn n n f x n n ---→∞-=+，研究()f x 的连续性． ５．证明下列各题：（１）设()f x 在[,]a b 连续，且a c d b <<<a c d b <<<，证明：在[,]a b 上至少存在一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+其中,p q 为任意正常数．（２）设()f x 在[0,1]上连续，又设()f x 只取有理数，且1()22f =，试证()f x 在[0,1]上处处为()2f x =．测试题解答１．（１）（Ｂ）；（２）（C ）；(3) （B ）；(4) (A)；(5) （D ）；(6) （B ）. 2．（１）1[,e]e；（２）5a =；（３）1a =，3b =-；３．（１）当04πθ≤≤时，有sin limlim tan 0cos n nn n n θθθ→∞→∞==，从而 sin 1cos sin os lim lim 1sin cos sin 1os n n n n n n n n n n c c θθθθθθθ→∞→∞--==++； 当4πθ=时，有sin cos 2θθ==，从而cos sin lim 0cos sin n n n n n θθθθ→∞-=+； 当42ππθ<≤时，有cos lim lim cot 0sin n nn n n θθθ→∞→∞==，从而os 1cos sin sin lim lim 1os cos sin 1sin n n n n n n n n n n c c θθθθθθθθ→∞→∞--==-++． (2) 因为11100111212lim lim 1,11212x x x x x x++→→--==++1102101lim 10121x x x -→--==-++,所以11021lim 21x x x →-+不存在. (3) 因为1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxx x x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,而3303lim 1e 3xxx x x xab c x a b c ++-→⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭,000111limln ,lim ln ,lim ln x x x x x x a b c a b c x x x→→→---===. 故1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxxx x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11(ln ln ln )33e()a b c abc ++==.(4) 因为()()1tan (sin 1)tan sin 122lim sin lim 1(sin 1)xx x x x x x x ππ⋅-⋅-→→=+-()(sin 1)tan 1sin 12lim 1(sin 1)x xx x x π-⋅-→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦.而 ()1s i n 12l i m 1(s i n 1)ex x x π-→+-=, 222sin (sin sin )2lim(sin 1)tan lim(sin 1)tan limsin()2x x x x x x x x x x πππππ→→→--=-=+2222sincos22limsin 222sin cos 22x x x x x x πππππ→-+=⋅++=2sin()24lim sin 0sin()24x x x x πππ→-=⋅=+. 故()tan 2lim sin 0xx x π→=.５．0x >时，有221()lim e lim e e 1x x x x x xx x xn n n n n f x n n n -------→∞→∞--===++；当0x =时，有11()lim e lim e 011x x x xxx n n n n f x n n ----→∞→∞--===++； 当0x <时，有221()lim e lim e e 1x x x x xx xx x n n n n n f x n n n -----→∞→∞--===-++． 故e ,0()0,0e ,0x xx f x x x --⎧-<⎪==⎨>⎪⎩．而0lim ()lim e 1,lim ()lim e 1x x x x x x f x f x --++--→→→→=-=-==，所以()f x 在(,)-∞+∞内除0x =为第一类间断点外，其余各点都连续．５．证（１）令()()()()()F x p q f x pf c qf d =+--，则()F x 在[,]c d 上连续，且()()()()()[()()]F c p q f c pf c qf d q f c f d =+--=-． ()()()()()[()()]F d p q f d pf c qf d q f d f c =+--=-．则当()()0f c f d -=时，可知,c d 均可取作ξ；而当()()0f c f d -≠时，又0,p >0q <，于是有2()()[()()]0F c F d p q f c f d =--<，由零点定理知，至少存在一点[,][,]c d a b ξ∈⊂，使()0F ξ=，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+．（２）设0x 为[0,1]上异于12的任意一点，因为()f x 在[0,1]上连续，如果01()()22f x f ≠=，则由介值定理知，()f x 必取得介于0()f x 与2之间的任何值，包括有理值和无理值．这与()f x 只取有理值矛盾，故01()()22f x f ==，因此在[0,1]上()2f x ≡.。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷及解答参考
成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=2x−3x)，则函数的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 02、设函数(f(x)=e x sinx)，则该函数的导数(f′(x))为：A.(e x(sinx+cosx))B.(e x(sinx−cosx))C.(e x cosx)D.(e x sinx)3、设函数f(x)=x3-6x2+9x，若函数在x=1处取得极值，则该极值是：A. 4B. 0C. -4D. 84、下列函数中，定义域为实数集的有（）A、f(x) = √(x^2 - 1)B、g(x) = 1/xC、h(x) = |x| + 1D、k(x) = √(-x)5、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))的极值点为：A.(x=−1)和(x=1)B.(x=−1)和(x=2)C.(x=0)和(x=1)D.(x=0)和(x=2)6、设函数(f(x)=3x2−4x+1)，则该函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 垂直)，其定义域为((−∞,0)∪(0,+∞))，则函数(f(x))在(x=0)处7、设函数(f(x)=1x的极限值为：A. -∞B. +∞C. 0D. 不存在8、若函数(f(x)=x3−3x2+4x+1)在点(x=1)处可导，且其导数的反函数为(g(x))，则(g′(1))等于：B. -1C. 0D. 29、若函数(f(x)=11+x2)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.((−∞,+∞))B.((−∞,−1)∪(−1,+∞))C.((−∞,−1]∪[−1,+∞))D.((−1,1]∪[1,+∞))10、设函数f(x)=1xlnx，则f(x)的导数f′(x)为：A.−1x2lnx+1x2B.1x2lnx−1x2C.1x lnx−1x2D.−1x lnx+1x211、设函数(f(x)=11+x2)，则(f′(0))的值为：A.(−1)B.(0)C.(12)D.(11+02)12、设函数f(x)=x 3−3xx2−1，则f′(1)的值为：A. 1C. 0D. 无定义二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数f(x) = x² - 3x + 2，若f(x)在x=1处的导数为0，则f(x)的极值点为______ 。
成教专升本高等数学试题及答案
成教专升本高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. π/2D. -1答案：B3. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * ln x + CD. e^x / x + C答案：A4. 曲线y=x^2与y=2x-3的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 35. 微分方程dy/dx=2x的通解是：A. y=x^2+CB. y=2x+CC. y=x^2-CD. y=2x-C答案：A6. 函数y=x^2-4x+3的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B7. 曲线y=ln x的拐点是：A. x=1B. x=eC. x=e^2D. x=ln e答案：A8. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的拐点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C9. 函数y=x^2-4x+3的最小值是：B. 1C. 3D. 5答案：A10. 曲线y=x^3-3x+1的拐点是：A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标是（ 2 ，-1 ）。
2. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+1)的值是 1 。
3. 函数y=e^x的二阶导数是 e^x 。
4. 曲线y=ln x与y=x-1的交点个数是 1 。
5. 微分方程dy/dx=3x^2的通解是 y=x^3+C 。
6. 函数y=x^3-3x的极值点是 x=-1,1 。
7. 曲线y=e^x的拐点是 x=0 。
8. 函数y=x^2-6x+8的最小值是 -4 。
9. 曲线y=x^3-3x+1的拐点是 x=1 。
成人高考专升本(高等数学二)考试真题及答案
成人高考专升本(高等数学二)考试真题及答案- 卷面总分：130分答题时间：100分钟试卷题量：19题一、单选题（共7题，共28分）1.设函数f(x)=ln(3x)，则'f(2)=（）A.4B.ln6C.1/2D.1/6正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析2.设函数f(x)=1-x^2在区间(,)A.单调增加B.单调减少C.先单调增加，后单调减少D.先单调减少，后单调增加正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析3.设A，B是两随机事件，则事件AB表示（）A.事件A，B都发生B.事件B.发生而事件A不发生C.事件A发生而事件B不发生D.事件A，B都不发生正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析4.设函数f(x)=ln(3x)，则f'(2)=（）A.6B.ln6C.1/2D.1/6正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析5.设函数f(x)=1-x^3在区间(,)A.单调增加B.单调减少C.先单调增加，后单调减少D.先单调减少，后单调增加正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析6.曲线y=|x|与直线y=2所围成的平面图形的面积为（）A.2B.4C.6D.8正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析7.设A，B是两随机事件，则事件AB表示（）A.事件A，B都发生B.事件B发生而事件A不发生C.事件A发生而事件B不发生D.事件A，B都不发生正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析二、填空题（共4题，共16分）8.曲线y=x^33x^25x4的拐点坐标为（）正确答案：(1,1)您的答案：9.设函数y=e^x+1，则y''=（）正确答案：e^x-1您的答案：10.设曲线y=ax^2+2x在点(1,a+2)处的切线与直线y=4x平行，则a=（）正确答案：1您的答案：11.正确答案：1您的答案：三、计算题（共4题，共16分）12.设函数y=sinx^2+2x，求dy正确答案：您的答案：13.已知离散型随机变量X的概率分布为X10203040Pa(1)求常数a;(2)求X的数学期望EX.正确答案：您的答案：14.求曲线y=x^2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V. 正确答案：您的答案：15.求函数f(x)=x^3-3x^-9x+2的单调区间和极值.正确答案：您的答案：16.求函数f(x,y)=x^2+y^2在条件2x+3y=1下的极值.正确答案：您的答案：17.设函数y=sinx^2+2x，求dy.正确答案：您的答案：18.已知离散型随机变量X的概率分布为X10203040P0.20.10.5a(1)求常数a;(2)求X的数学期望EX.正确答案：您的答案：19.求曲线y=x^2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V. 正确答案：您的答案：。
2024年成人高考专升本《数学》试卷真题附答案
2024年成人高考专升本《数学》试卷真题附答案一、选择题（每小题5分，共30分）1. 设集合A={x|x^24x+3<0}，B={x|x^24x+3≥0}，则A∪B=______。
A. RB. (∞, 3]C. (3, +∞)D. 空集2. 函数f(x)=x^33x+2的导数f'(x)的零点个数是______。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 若等差数列{an}的通项公式为an=2n1，则数列{an^2}的前5项和是______。
A. 55B. 60C. 65D. 704. 设函数f(x)=ln(x+1)，则f(x)在区间(0, +∞)上是______。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增5. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是______。
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6. 若直线y=2x+3与圆x^2+y^2=9相切，则圆的半径是______。
A. 3B. 2C. 1D. √2二、填空题（每小题5分，共20分）7. 已知函数f(x)=x^24x+3，则f(x)的极小值为______。
8. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1+a2+a3=14，a1a2a3=8，则q=______。
9. 已知抛物线y=x^24x+3的顶点坐标为______。
10. 已知直线y=2x+3与圆x^2+y^2=9相切，则切点坐标为______。
三、解答题（每小题10分，共30分）11. 解不等式组：x2y≤4，2x+y≥6。
12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+3n，求an。
13. 已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)的单调区间和极值。
四、证明题（10分）14. 已知等差数列{an}的公差为d，证明：an+1an1=2d。
五、应用题（10分）15. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且满足a^2+b^2+c^2=36，求长方体的最大体积。
成人高考专升本(高等数学一)考试真题及答案
成人高考专升本(高等数学一)考试真题及答案一、单选题（共16题，共58分）1.当x→0时，sin(x^2 +5x^3 )与 x^2比较是( )A.较高阶无穷小量B.较低阶的无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量2.设y=x^-5+sinx，则y′等于()A.B.C.D.3.若事件A与B互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于()A.0.3B.0.4C.0.2D.0.14.设函数y=2x+sinx,则y'=A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx5.设函数 y=e^x-2 ,则dy=A.B.C.D.6.设函数y=(2+x)^3，则y'=A.（2+x）^2B.3(2+x)^2C.(2+x)^4D.3(2+x)^47.设函数y=3x+1,则y'=（）A.0B.1C.2D.38.设函数z=3x2y，则αz/αy=（）A.6yB.6xyC.3xD.3X^29.设y=x^4，则y'=（）A.B.C.D.10.设y=x+inx,则dy=（）A.B.C.D.dxA.-sin xB.sin xC.-cosxD.cosx12.在空间直角坐标系中，方程x^2+y^2=1表示的曲面是（）A.柱面B.球面C.锥面D.旋转抛物面13.设z=x^2-3y ，则dz=（）A.2xdx -3ydyB.x^2dx-3dyC.2xdx-3dyD.x^2dx-3ydy14.微分方程 y'=2y的通解为y=（）A.B.C.D.15.设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的()A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.低阶无穷小量16.函数f(x)=x^3-12x+1的单调减区间为()A.(- ∞,+ ∞)B.(- ∞,-2)C.(-2,2)D.(2,+ ∞)二、填空题（共13题，共52分）17.设函数 y=x3,则 y/=（）18.设函数y=(x-3)^4,则dy=（）19.设函数y=sin(x-2)，则y"=（）20.过坐标原点且与直线（x-1）/3=(y+1)/2+(z-3)/-2垂直的平面方程为（）21.设函数x=3x+y2，则dz=（）22.微分方程y/=3x2 的通解为y=（）23.函数y=1/3x^3-x的单调减少区间为______.24.过点(1,-1,-2)且与平面2x-2y+3z=0垂直的直线方程为______.25.微分方程y'=x+1的通解为y= ______.26.函数-e^-x 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) =（）27.函数y=x-e^x的极值点x=（）28.设函数y=cos2x，求y″=（）29.设z=e^xy ,则全微分dz=（）三、计算题（共13题，共52分）30.求曲线 y=x^3 -3x+5的拐点。
2023年成人高考专升本高等数学(二)真题+参考答案解析
2023年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（二）真题一、选择题（1~10小题，每题4分，共40分。
在每小给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的）1.x→∞x2+1 x2+xlim=()A.-1B.0C.12D.12.设f(x)=x3+5sin x,f'(0)=()A.5B.3C.1D.03.设f(x)=ln x-x,f'(x)=()A.xB.x-1C.1x D.1x-14.f(x)=2x3-9x2+3的单调递减区间为()A.(3,+∞)B.(-∞,+∞)C.(-∞,0)D.(0,3)5.x23dx=()A.x32+CB.35x53+C C.x53+C D.x13+C6.设函数f(x)=x ,则1-1f(x)dx=()A.-2B.0C.1D.27.连续函数f(x)满足x0f(t)dt=e x-1,求f'(x)=()A.e xB.e x-1C.e x+1D.x+18.设z=e xy,dz=()A.e xy dx+e xy dyB.e x dx+e y dyC.ye xy dx+xe xy dyD.e y dx+e x dy9.设z=14(x2+y2),∂2z∂x∂y=()A.x2B.0 C.y2D.x+y10.扔硬币5次，3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.二、填空题(11~20小题，每题4分，共40分)11.x→31+x-2x-3=lim。
12.x→∞(x+1 x-1)lim x=。
13.f(x)=e2x,则f(n)(0)=。
14.f(x)=x2-2x+4在(x0,f(x))处切线与直线y=x-1平行，x=。
15.曲线y=xe x的拐点坐标为。
16.y=2x1+x2的垂直渐近线是。
17.xx2+4dx=。
18.曲线y=x2与x=y2所围成图形的面积是。
19.+∞0xe-x2dx=。
20.z=x2+y2-x-y-xy的驻点为。
三、解答题(21~28小题，共70分。
成人高考专升本高数真题及答案(无水印)
2010年成人高等学校招生全国统一考试高等数学答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。
一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
正确答案：A【名师解析】根据函数的连续性立即得出结果【名师点评】这是计算极限最常见的题型。
在教学中一直被高度重视。
正确答案：C【名师解析】使用基本初等函数求导公式【名师点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
正确答案：B【名师解析】根据基本初等函数求导公式和复合函数求导法则正确答案：D【名师解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【名师点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。
正确答案：A【名师解析】基本积分公式【名师点评】这是每年都有的题目。
【名师解析】求出积分区间，确定被积函数，计算定积分即可。
【名师点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。
应当也一直是教学的重点正确答案：C【名师解析】变上限定积分求导【名师点评】这类问题一直是考试的热点，也始终是讲课的重点。
正确答案：D【名师解析】把x看成常数，对y求偏导【名师点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容正确答案：A10、袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为【名师点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。
二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。
正确答案：0【名师解析】直接代公式即可。
【名师点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。
正确答案：1【名师解析】考查等价无穷小的定义【名师点评】无穷小量的比较也是重点。
本题是最常见的且比较简单的情况。
【名师解析】性），分别求出左右极限并比较。
【名师点评】这道题有点难度，以往试题也少见。
正确答案：（-1,3）【名师解析】求二阶导数并令等于零。
2022年成人高等《高等数学(二)》(专升本)真题及答案
2022年成人高等《高等数学(二)》（专升本）真题及答案1.选择题（江南博哥）设函数f(x)=sinx， g(x)=x'时，则f(g(x)（）。
A. 是奇函数但不是周期函数B. 是偶函数但不是周期函数C. 既是奇函数也是周期函数D. 既是偶函数也是周期函数正确答案：B参考解析：2.选择题（）A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：A参考解析：3.选择题设函数f(x)在x=0处连续，g(x)在x=0处不连续; 则x=0处（）A. f(x)g(x) 连续B. f(x)g(x)不连续C. f(x)+ g(x)连续D. f(x)+g(x)不连续正确答案：D参考解析：此题暂无解析4.选择题函数y= arccosx，则y'=（）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：此题暂无解析5.选择题函数y=ln(x+e-x),则y'=（）A.B.C.D.正确答案：B参考解析：此题暂无解析6.选择题设函数y(n-2)=x2 +sinx,则y(n)=（）A. 2- sinxB. -cosxC. 2- cosxD. 2 + cosx正确答案：A参考解析：7.选择题设函数f(x)的导函数f"(x)=-x+1，则A. f(x)在(-∞,+∞)单调递增B. f(x)在(-∞,+∞)单调递减C. f(x)在( -∞,1)单调递增D. f(x) 在(1,+∞)单调递减正确答案：C参考解析：此题暂无解析8.选择题（）A. y=0B. y=1C. y=2D. y=3正确答案：C参考解析：9.选择题函数f(x)= arctanx, 则（）A. arctanx + CB. -arctanx+C'C.D.正确答案：A参考解析：此题暂无解析10.选择题设z=ex+y；则dz|(1,1)=（）A. dx+dyB. dx + edyC. edx + dyD. e2dx +e2dy正确答案：D参考解析：11.填空题_____正确答案：参考解析：【答案】-1【解析】12.填空题当x→0时，函数f(x)是x高阶无穷小量，则极限______ 正确答案：参考解析：【答案】013.填空题设函数y=3x2 +In3，则y'=正确答案：参考解析：【答案】bx14.填空题曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为_______正确答案：参考解析：【答案】15.填空题正确答案：参考解析：【答案】016.填空题正确答案：参考解析：【答案】17.填空题正确答案：参考解析：【答案】π/418.填空题设z=x3y+xy3，则正确答案：参考解析：【答案】3x2+3y219.填空题设z= f(u,v)的具有连续偏导数，其中u=x+y,v=xy;则正确答案：参考解析：【答案】f’(u)+yf’v20.填空题设两个随机事件A,B, P(4)=0.5，P(AB)=0.4; 计算P(B|A)= 正确答案：参考解析：【答案】0.8【解析】21.解答题求a参考解析：22.解答题参考解析：23.解答题参考解析：24.解答题参考解析：25.解答题 (本题8分)设离散型随机变量X的概率分布如下表:(1) 求x的分布函数F(x)(2) 求E(X);参考解析：E(x)=XIP(Xi)=0.926.解答题 (本题10分)设函数z=z(x,y)由方程2y2 +2xz+z2=1所确定，求参考解析：27.解答题 (本题10分)设D为曲线y=x2与直线y=0, x=2所围成的平面图形;(1) 求D所围成图形的面积。
2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案
2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案一、选择题（每题1分，共5分）A. 牛顿B. 欧拉C. 高斯D. 希尔伯特2. 设函数f(x)在区间(∞, +∞)内连续，且f(x) = f(x)，则f(x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 非奇非偶函数A. 交换两行B. 两行相加C. 两行互换D. 两行相乘4. 若函数y = f(x)在点x0处可导，则f'(x0)表示（）A. 曲线在点(x0, f(x0))处的切线斜率B. 曲线在点(x0, f(x0))处的法线斜率C. 函数在点x0处的极值D. 函数在点x0处的拐点5. 设A、B为两个事件，若P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A∩B) =0.2，则P(A|B) = （）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何实数的平方都是非负数。
（）2. 若矩阵A的行列式为零，则A不可逆。
（）3. 函数的极值点必定在导数为零的点处取得。
（）4. 概率论中的大数定律表明，随机事件的频率会随着试验次数的增加而稳定在概率附近。
（）5. 线性方程组的解一定是唯一的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = _______。
2. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式值是 _______。
3. 在平面直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离是 _______。
4. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则μ表示 _______。
5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，则根据闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = _______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的条件和结论。
2. 什么是矩阵的秩？如何求矩阵的秩？3. 简述导数的物理意义。
成教专升本高等数学试题及答案
成教专升本高等数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在题后的括号内。
）1. 函数y=f(x)的导数为f'(x)=2x，那么f(x)=（）A. x^2+1B. x^2-1C. x^2+2xD. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin x)/x等于（）A. 0B. 1C. π/2D. -13. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(1)的值（）A. 1B. -1C. 3D. -34. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为（）A. 1/3B. 1/2C. 1/6D. 2/36. 函数y=e^x的不定积分为（）A. e^x+CB. e^(-x)+CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C7. 已知函数f(x)=x^2+3x-4，求f(-2)的值（）A. -12B. -4C. 0D. 48. 曲线y=ln x与直线x=1所围成的面积为（）A. 0B. 1C. e-1D. 1-e9. 函数y=x^3的二阶导数为（）A. 3x^2B. 6xC. 3xD. 6x^210. 函数y=x^2-4x+4的极小值点为（）A. 2B. -2C. 0D. 4二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案填在横线上。
）1. 若函数f(x)=x^3+1，则f'(x)=________。
2. 极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+1)的值为________。
3. 曲线y=x^3-3x+1在点(1,-1)处的切线方程为y=________。
4. 定积分∫(0,2) x dx的值为________。
5. 函数y=cos x的不定积分为________。
三、解答题（本题共3小题，共50分。
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20XX年成人高等学校招生全国统一考试
高等数学
答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。
一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
正确答案：A
【名师解析】根据函数的连续性立即得出结果
【名师点评】这是计算极限最常见的题型。
在教学中一直被高度重视。
正确答案：C
【名师解析】使用基本初等函数求导公式
【名师点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
正确答案：B
【名师解析】根据基本初等函数求导公式和复合函数求导法则
正确答案：D
【名师解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定
【名师点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。
正确答案：A
【名师解析】基本积分公式
【名师点评】这是每年都有的题目。
【名师解析】求出积分区间，确定被积函数，计算定积分即可。
【名师点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。
应当也一直是教学的重点
正确答案：C
【名师解析】变上限定积分求导
【名师点评】这类问题一直是考试的热点，也始终是讲课的重点。
正确答案：D
【名师解析】把x看成常数，对y求偏导
【名师点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容
正确答案：A
10、袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为
【名师点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。
二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。
正确答案：0
【名师解析】直接代公式即可。
【名师点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。
正确答案：1
【名师解析】考查等价无穷小的定义
【名师点评】无穷小量的比较也是重点。
本题是最常见的且比较简单的情况。
【名师解析】
性），分别求出左右极限并比较。
【名师点评】这道题有点难度，以往试题也少见。
正确答案：（-1,3）
【名师解析】求二阶导数并令等于零。
解方程。
题目已经说明是拐点，就无需再判断【名师点评】本题是一般的常见题型，难度不大。
【名师解析】先求一阶导数，再求二阶
【名师点评】基本题目。
常见的情况。
正确答案：2
【名师解析】求出函数在x=0处的导数即可
【名师点评】考查导数的几何意义，因为不是求切线方程所以更简单了。
一般问题不大。
【名师点评】这题有些难度。
很多人不一定能看出头一步。
这是运算能力问题
【名师解析】先凑微分，再求一个原函数，最后用牛顿-莱布尼兹公式
【名师点评】这是标准的定积分计算题。
【名师解析】利用广义的牛顿-莱布尼兹公式
【名师点评】该题型在以往试题中出现不多，又涉及反正切函数极限。
比较难的题。
正确答案：（1，-1）
【名师解析】求偏导数，令偏导数等于零。
解方程组。
按部就班就可以了。
【名师点评】这是很规范的一道题。
三、解答题：21－28题，共70分。
解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。
21、（本题满分8分）
22、（本题满分8分）
【名师点评】每年都有一道这样的题。
本题也是常见的题目。
也比较简单。
23、（本题满分8分）
【名师点评】这是第一换元积分法的相关题目。
是历年考试的重点。
第一换元积分法有大量题目类型，但常见的往往就4，5种。
本题是基本题型。
【名师点评】这是较难的题目。
既有第二换元积分法，又有。
在讲课中强调了什么情况考虑第二换元积分法，什么题型属于分部积分，特别强调换元必须换限。
25、（本题满分8分）
【名师点评】这种类型的概率题目比较简单。
甚至是送分的题。
26、（本题满分10分）
在半径为R的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示），当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大？最大值是多少？
解：如图，设X轴过半圆的直径，y轴垂直且平分直径。
【名师点评】这类题目在历年考试中出现频率较高。
考察综合能力。
27、（本题满分10分）
【名师点评】这样的题目至少５年没出过了。
属于难题。
如果以前没做过，靠临场发挥是非常困难的。
但是确实是考试大纲中要求的内容。
学校在教学和串讲中都讲了这部分内容。
28、（本题满分10分）
【名师点评】在以往试题中，条件极值和无条件极值都考过，都是重点，但后者次数多一些。
本题是条件极值也属正常。
不仅考查知识，更是考查能力。