济南大学1516高等数学 二BW参考解答
0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
15-16-2高数ⅡA卷答案
广东海洋大学2015—2016学年第二学期《高等数学Ⅱ》课程试题（答案）课程号： 19221102×2□√ 考试□√ A 卷□√ 闭卷□ 考查 □ B 卷 □ 开卷一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 若⎰+=c x dx x f sin )(，则x x f cos )(= ；2. =⎰x tdt e dxd ln 0 1 ； 3. 二元函数229y x z --=的极大值是 3 ；4. 设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f ll )(arctan 0 ； 5. 二次积分⎰⎰=ππθ201dr rd 1 ；6. 方程02=+'-''y y y 的通解xe x c c y )(21+=；7．若),(y x f z =在点),(000y x P 处y zx z ∂∂∂∂,存在，则下列结论成立的是 （2） ；（1）),(),(lim 000y x f y x f P P =→； （2）),(),(lim 0000y x f y x f xx =→. 8．设xz z xy z x 21,)ln(==且已知，则yz z y 21=；9．已知2)(10=⎰dx x f ，则=-⎰dx x xf 12)1( 1 ； 班级：姓名：学号：试题共 4页加白纸2张密封线GDOU-B-11-30210．如果说导数是商的形式的推广，那么积分是 积 的形式的推广。
二、计算下列积分（每小题6分，共30分）1. dx x x x⎰+ln ln 1 2. dx x ⎰sin 解：原式=)ln (ln 1x x d xx ⎰（3分） 解：设x u =，则 c x x +=ln ln （6分） 原式=du u u ⎰sin 2 （2分）=)(cos 2⎰-u ud=⎰+-udu u u cos 2cos 2 （4分） =c u u u ++-sin 2cos 2=c x x x +-cos 2sin 2（6分） 3.dx x x ⎰--+11211 4. dx x⎰+∞121解：原式=dx x⎰-12112（3分） 解：原式=dx xbb ⎰+∞→121lim（3分） =π=10arcsin 2x （6分） )11(lim )1(lim 1bx b bb -=-=+∞→+∞→ =1 （6分）5. dx x xe x⎰+102)1( 解法一：原式=⎰⎰+-+10210)1(1x dx e x dx e x x （2分） 解法二：原式=)11(10+-⎰x d xe x12)1()1(110210210-=+-+++=⎰⎰ex dx e x dx e x e xx x（6分） =…=12-e三、计算下列各题（每小题6分，共12分）. 1.求函数x y e y x f xy ln )1(),(-+=在点（1，1）处的全微分.解：yx e y f e x f ==),1(,)1,( （2分）yy x x ey f e x f ==∴),1(,)1,(e f e f y x ==∴)1,1(,)1,1( （4分）)(dy dx e dz +=∴ （6分）2.)ln(xy y xzx+=，求yx z∂∂∂2.解：xyx x z x +'=∂∂)(（3分） ))((2xyx y y x z x +'∂∂=∂∂∂∴ x1= （6分）四、计算重积分(每小题7分，共14分).1. ⎰⎰Dxydxdy 4，其中{}x y x x y x D 2,10),(≤≤≤≤=.解：⎰⎰⎰⎰=10244x xDxydy dx xydxdy （3分）⎰=10222dx xy x x⎰=1026dx x2= （6分）2. dxdy y x D)(22⎰⎰+，其中D 是由圆122=+y x 所围成的区域.解：10,20:≤≤≤≤r D πθ （2分）⎰⎰⎰⎰=+132022)(dr r d dxdy y x Dπθ （4分） 24214ππ==r （6分）五、求微分方程xe y dxdy -=+在初始条件10==x y 下的特解.（7分）. 解：⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=--⎰dx dx x e c dx e e y （2分） x e c x -+=)( （4分）把10==x y代入上式得1=c所求方程的特解为xex y -+=)1( （6分）六、质点以速度)(4)(2s m t t v -=作变速直线运动，用定积分中值定理证明：质点在时刻)(16212s t π-=处达到时间段][2,0上的平均速度。
济南大学1516高等数学 二BW参考解答
lim
n
un1 ( x) un (x)
lim (n 1) xn1
n nxn
| x |
当 x 1, 当 x 1,
时级数收敛 故收敛半径为 R 1.
时级数发散
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5. 级数
的和为____.
教材P182-185
解:
Sn
n (2)k k 1 3
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数
zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
即 8x y 3z 4 0
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3. 设 z z(x, y) 是由方程 z3 x y z 0确定的隐函数 求 z , z . x y 知识点:隐函数求导公式, 教材P99-101
解： 令 F z3 x y z.
大学数学第二册详细答案汇总
第一章 矩阵与行列式习题解答练习1.1 矩阵及其运算1. 已知线性变换x y y y x y y y x y y y 1123212331232235323=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪①②③， 求从变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换。
解：由3x (1)–2×(2)得：4y 2–7y 3=3x 1–2x 2 ④ (3)–(2)得：y 2–2y 3=x 3–x 2 ⑤ (4)–4×(5)得：y 3=3x 1+2x 2–4x 3类似运算可得：y 1=–7x 1–4x 2+9x 3， y 2=6x 1+3x 2–7x 3 故由变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换为y x x x y x x x y x x x112321233123749637324=--+=+-=+-⎧⎨⎪⎩⎪ 2. 已知两个线性变换x y y x y y y x y y y11321233123223245=+=-++=++⎧⎨⎪⎩⎪ y z z y z z y z z112213323323=-+=+=-+⎧⎨⎪⎩⎪ 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换。
解：将变换2代入变换1可得：x z z z x z z z x z z z1123212331236312491016=-++=-+=--+⎧⎨⎪⎩⎪3. 设A =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B =123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求3AB –2A 及A T B 解：3AB –2A =3111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ =3058056290-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪21322217204292 A T B =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=058056290-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 4. 解：(1) (35, 6, 49)T ， (2) (10) (3) ---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪241236 (4) 6782056---⎛⎝ ⎫⎭⎪ (5) a x a x a x a x x a x x a x x 111222223332121213132323222+++++5. 设A =1213⎛⎝⎫⎭⎪，B =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪，问 (1) AB =BA 吗？ (2) (A +B )2=A 2+2AB +B 2吗？ (3) (A +B )(A –B )=A 2–B 2吗？ 解：AB =1213⎛⎝⎫⎭⎪1012⎛⎝ ⎫⎭⎪=3446⎛⎝ ⎫⎭⎪， BA =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪1213⎛⎝ ⎫⎭⎪=1238⎛⎝ ⎫⎭⎪故 AB ≠BA 。
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富 钮海第二章习题解答(下)
习题2-1 1、解：在任意一个面积微元σd 上的压力微元σρg x d dF =，所以，该平面薄片一侧所受的水压力⎰⎰=Dgxd F σρ2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M y yDσ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy（2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=xx y ydy y x f dx dx y x f dy 2/4022),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=1121222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=eexey dx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 06、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y xxxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ （3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dyx σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以ar ≤≤≤≤-0,22πθπ，故()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(432022022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y dx x d yx x x D σ （2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21a r c2121)1(41121211211************21010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr rr r d r dr dr r r dr r rrdr rr rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示， 故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y xbaD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在x o y平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz xxy 另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案组题人：李明辉未命名1．已知集合A ={1,2,3}, B ={x|x 2<9}，则A ∩B =A ．{−2,−1,0,1,2,3}B ．{−2,−1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2} 【答案】D 【解析】试题分析：由x 2<9得−3<x <3，所以B ={x|−3<x <3}，因为A ={1,2,3}，所以A ∩B ={1,2}，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.2．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C. 【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频3．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为2、2a和2.5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.6．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，所以1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．710B．58C．38D．310【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（）A．7 B．12 C．17 D．34第一次循环：a =2,s =2,k =1 ；第二次循环：a =2,s =6,k =2 ；第三次循环：a =5,s =17,k =3>2 ；结束循环，输出s =17 ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y【答案】D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值.12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m试题分析：因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.13．已知向量a=（m,4），b=（3,−2），且a ∥b ，则m="___________." 【答案】6- 【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量【名师点睛】如果a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）（b≠0），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.14．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.【答案】5- 【解析】 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.17．等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==. 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错.18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 【答案】（I ）1120；（Ⅱ）310；（Ⅲ）1.1925a ． 【解析】 【分析】（I ）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P （A ）的估计值；（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P （B ）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 【详解】解：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保， P （A ）的估计值为：1101120020=； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人数为：30+30＝60，P （B ）的估计值为：60320010=； （Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.7520210200a a a a a a x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==1.1925a ．【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E,F 分别在AD,CD 上，AE =CF,EF 交BD 于点H ，将ΔDEF 沿EF 折起到ΔD′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ)若AB =5,AC =6,AE =54,OD′=2√2，求五棱锥D′−ABCFE 的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）23√22.【解析】试题分析：（1）由已知得，AC ⊥BD,AD =CD ，AE =CF ⇒AE AD=CF CD⇒ AC//EF ⇒EF ⊥HD,EF ⊥HD ′ ⇒ AC ⊥HD ′；（2）由EF//AC ⇒ OHDO =AEAD =14，由AB =5,AC =6 ⇒DO =BO =√AB 2−AO 2=4 ⇒ OH =1,D ′H =DH =3 ⇒ OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2 ⇒ OD ′⊥OH ，可证OD ′⊥平面ABC ．又由EFAC =DHDO 得EF =92 ⇒五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694⇒以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22． 试题解析： （1）由已知得，AC ⊥BD,AD =CD ， 又由AE =CF 得AE AD=CF CD，故AC//EF ，由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′． （2）由EF//AC 得OH DO=AE AD=14，由AB =5,AC =6得DO =BO =√AB 2−AO 2=4， 所以OH =1,D ′H =DH =3，于是OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2，故OD ′⊥OH ， 由（1）知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD,BD ∩HD ′=H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH,AC ∩OH =O ，所以，OD ′⊥平面ABC ． 又由EFAC =DHDO 得EF =92．五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694．所以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22． 考点：1、线线垂直；2、锥体的体积.20．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.【答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时，1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+ 设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=， （i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >； （ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-+由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <.综上，a 的取值范围是(],2.-∞【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： （1）确定函数y ＝f （x ）的定义域； （2）求导数y′＝f′（x ）；（3）解不等式f′（x ）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式f′（x ）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．21．已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN V 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示AM ，同理用k 表示AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1234AM x k =+=+. 由题设，直线AN 的方程为，故同理可得2121k k AN +=.由2AM AN =得222343+4kk k =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又260,(2)60f f ==，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF △∽△再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明Rt Rt ,BCG BFG △△≌四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCB S △的2倍.试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF △△∽则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB ∠=∠=∠==所以,DGF CBF △△∽由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此180,CGF CBF ∠+∠=︒所以,,,B C G F 四点共圆. （II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC △斜边CD 的中点，知GF GC =,故Rt Rt ,BCG BFG △△≌因此四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCBS △的2倍，即111221.222GCB S S ==⨯⨯⨯=△【考点】 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，还可间接证明线段相等．23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-由AB =23cos 8α=，tan α=. 所以l或.24．选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法： （1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
高数(二)-习题选解答doc.doc
第七章 微分方程的解1 求曲线族122=+Cy x 满足的微分方程，其中C 为任意常数.解 在等式122=+Cy x 两端对x 求导,得.022='+y Cy x再从122=+Cy x 解出,122y x C -=代入上式得 ,012222='⋅-⋅+y y yx x 化简即得到所求的微分方程 .0)1(2='-+y x xy 2验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程 0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 .将函数求一阶导数,得 dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π 即 .42π-=C 从而所求特解为 .sin 422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π可分离变量的微分方程 1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx ydy 2 → 12||ln C x y +=从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1Ce C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =2 求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=-两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. . 齐次方程 1求解微分方程x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 解 题设方程为齐次方程,设,x y u =则,dxdux u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx du xu +=+分离变量得.1cot dx xudu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u += → ,sin Cx u =将x y u =回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx xy= 利用初始条件,6/|1π==x y 得到.21=C 从而所求题设方程的特解为.21sin x x y =2 求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 解 原方程变形为=-=22x xy y dx dy ,12-⎪⎭⎫⎝⎛xy x y （齐次方程） 令,x y u =则,ux y =,dx dux u dx dy +=故原方程变为,12-=+u u dx du x u 即.1-=u u dx du x 分离变量得⎪⎭⎫⎝⎛-u 11.x dx du =两边积分得||ln ||ln x C u u =+-或.||ln C u xu +=回代,x y u =便得所给方程的通解为 .||ln C xyy += 一阶线性微分方程1 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==ex y解 将方程标准化为,1ln 1x y x x y =+'于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰-C dx e x e y x x dxx x dxln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e xe x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y ＊2 求解方程,)(dxd x dx d y dx dy ϕϕϕ=+ )(x ϕ是x 的已知函数.解 原方程实际上是标准的线性方程，其中,)(dx d x P ϕ=,)()(dxd x x Q ϕϕ= 直接代入通解公式，得通解⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 伯努利方程 1 求y x y xdx dy 24=-的通解. 解 两端除以,y 得,412x y xdx dy y =- 令,y z =得,422x z x dx dz =-解得,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 故所求通解为.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y2（E03）求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解. 解 以2y 除方程的两端,得,ln 112x a y xdx dy y =+--即 ,ln 1)(11x a y x dx y d =+--- 令,1-=y z 则上述方程变为 .ln 1x a z xdx dz -=-解此线性微分方程得 x z =.)(ln 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C以1-y 代,z 得所求通解为 yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(ln 2x a C .1=全微分方程1 (E01) 求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解,6xQ xy y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y dx xy xy x u 03023)3(),(,42344224y y x x +-=原方程的通解为.42344224C y y x x =+- 2 求解.0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x 解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236，所以题设方程是全微分方程. 可取,00=x ,00=y 由全微分求积公式得:⎰⎰+-+=yxdy y dx y xy x y x u 020324)35(),(.312333225y xy y x x +-+=于是，方程的通解为 .312333225C y xy y x x =+-+3（E02）求方程0324223=-+dy yx y dx y x的通解. 解,64x Qyx y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, 将左端重新组合 +dy y21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dy y x dx y x 42332d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y 1d +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32y x d=,132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-y x y 原方程的通解为.132C yx y =+-)(x f y =''型1 求方程0)3()4(=-y xy 的通解.解 设),(x P y ='''代入题设方程,得),0(0≠=-'P P P x 解线性方程,得x C P 1=1(C 为任意常数)，即,1x C y =''' 两端积分,得,21221C x C y +='',63231C x C x C y ++='再积分得到所求题设方程的通解为,224432241C x C x C x C y +++=其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.进一步通解可改写为.432241d x d x d x d y +++=其中)4,3,2,1(=i d i 为任意常数.),(y x f y '=''型2 (E02) 求方程02)1(222=-+dx dyx dxy d x 的通解. 解 这是一个不显含有未知函数y 的方程.令),(x p dxdy=则,22dx dp dx y d =于是题设方程降阶为,02)1(2=-+px dxdpx 即.122dx x x p dp +=两边积分,得 |,|ln )1ln(||ln 12C x p ++=即)1(21x C p +=或).1(21x C dxdy+= 再积分得原方程的通解 .3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=3 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.解法 1 所给方程不显含,y 属),(y x f y '=''型,令,p y ='则,p y '=''代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2 因为,)(2'+'='+''y y x y y x 即,111xC y x y +=+'这是一阶线性微分方程，解得 ,221xC C xy ++=因为0→x 时，y 有界,得,02=C 故,21C x y +=由此得21='y 及,21)1(1C y += 又由已知条件),1(2)1(y y '=得,211=C 从而所求特解为.212+=x y ),(y y f y '=''型4（E03）求方程02='-''y y y 的通解. 解 设),(y p y ='则,dy dp py =''代入原方程得,02=-⋅p dy dp p y 即.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅p dy dp y p 由,0=-⋅p dy dp y 可得,1y C p =所以,1y C dxdy = 原方程通解为 .12x C e C y = 5已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ① 所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-'' (3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得 ,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 1求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y (2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -== 通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (2)特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++2（E05) 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解 由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1= 由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±= 所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r 它所对应的微分方程为,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y 其通解为.2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=x m e x P x f λ)()(=型1 (E02) 求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解.解 题设方程右端的自由项为x m e x P x f λ)()(=型，其中,13)(+=x x P m .0=λ 对应的齐次方程的特征方程为,0322=--r r 特征根为,11-=r .32=r 由于0=λ不是特征方程的根，所以就设特解为.10*b x b y += 把它代入题设方程,得 ,13323100+=---x b b x b 比较系数得,13233100⎩⎨⎧=--=-b b b 解得.31110⎩⎨⎧=-=b b于是，所求特解为.31*+-=x y2 (E03) 求方程x xe y y y 223=+'-''的通解.解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y += 代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为 .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=3 求方程x e y y y y =+'+''+'''33的通解.解 对应的齐次方程的特征方程为,013323=+++r r r 特征根1r 2r =3r =.1-= 所求齐次方程的通解 .)(2321x e x C x C x C Y -++=由于1=λ不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为,0*x e b y =代入题设方程易解得 ,810=b 故所求方程的通解为 y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-x e x P x f x m ωλcos )()(=或x e x P x m ωλsin )(型 4 求方程x y y sin 4=+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解.sin cos 21x C x C Y +=作辅助方程.4ix e y y =+''i =λ 是单根,故设.*ix Axe y =代入上式得42=Ai ⇒,2i A -=∴*y ix ixe 2-=),cos 2(sin 2x x i x x -=取虚部得所求非齐次方程特解为.cos 2*x x y -=从而题设方程的通解为 .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+= 5 (E04) 求方程x x y y 2cos =+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解x C x C Y sin cos 21+=作辅助方程.2ix xe y y =+''i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*ix e B Ax y +=代入辅助方程得,034=-B Ai 13=-A ⇒,31-=A i B 94-=∴*y =⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431ix e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431)2sin 2(cos x i x +ix x x -+-=2sin 942cos 31⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 2sin 312cos 94取实部得到所求非齐次方程的一个特解: .2sin 942cos 31x x x y +-=所求非齐次方程的通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=6(E01) 求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解.解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dtyd --=两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=7 (E02) 求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dydty d dt y d =-- (1)方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r 求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C xC C ++= 设特解*y tbe2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为y .2123321x x C x C C -++=第8章 向量及其线性运算1 (E04) 已知两点)5,0,4(A 和)3,1,7(B ，求与向量B A 平行的向量的单位向量c.解 所求向量有两个，一个与B A 同向,一个与B A 反向.因为B A ,}2,1,3{}53,01,47{-=---= 所以B A,14)2(13222=-++=故所求向量为}.2,1,3{141-±=±=BA B A c2(E05)已知两点)2,2,2(1M 和)0,3,1(2M , 计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解 21M M };2,1,1{}20,23,21{--=---=222)2(1)1(-++-=;24211==++=,21cos -=α,21cos =β;22cos -=γ,32πα=,3πβ=.43πγ= 3 设有向量21P P , 已知,2||21=P P 它与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π, 如果1P 的坐标为(1, 0, 3), 求2P 的坐标.解 设向量21P P 的方向角为，、、γβα,3πα=,21cos =α,4πβ=,22cos =β ,1cos cos cos 222=++γβα 21cos ±=∴γ⇒3πγ=或.32πγ=设2P 的坐标为,),,(z y x 211cos P P -=x α⇒2121=-x ⇒,2=x 210cos P P -=y β⇒2220=-y ⇒,2=y 213cos P P -=z γ⇒2123±=-z ⇒,24==z z 或 2P 的坐标为.)2,2,2(,)4,2,2(4点A 位于第I 卦限, 向径OA 与x 轴、y 轴的夹角依次为3π和4π，,6= 求A 的坐标.解 ,3πα=.4πβ=由关系式,1cos cos cos 222=++γβα得,41)22()21(1cos 222=--=γ因为A 在第I 卦限，知,0cos >γ故.21cos =γ于是A O A O =,}3,23,3{21,22,216=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−→−=OAe 点A 的坐标为.)3,23,3(两向量的数量积1试用向量方法证明三角形的余弦定理. 证 (作简图).设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB =现要证.cos 2222θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c-=从而c c c ⋅=2||)()(b a b a -⋅-=b a b b a a⋅-⋅+⋅=2.cos ||||2||||22θb a b a ⋅-+= 由,||a a = ,||b b = ,||c c =即得.cos 2222θab b a c -+=同理…… 2 (E04) 求与k j i b k j i a2,423-+=+-=都垂直的单位向量.解 b a c+=z y x z y xb b b a a a k j i=211423--=kj i ,510k j+= ||c 22510+=,55= ∴||c c c±=.5152⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=k j 3在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD .解 {},3,4,0-=C A {},0,5,4-=B A三角形ABC 的面积为 ||21B A C A S ⨯=22216121521++=,225=又|,|||21BD C A S ⋅= ,5)3(4||22=-+=C A所以|,|521225BD ⋅⋅=从而.5||=BD 4 利用向量积证明三角形正弦定理.证 设ABC ∆的三个内角为,,,γβα三边长为c b a ,,, (作简图).因为B C C A B A+=，所以B A B C C A AB B A ⨯+=⨯)(,B A B C B A C A ⨯+⨯=故,0=⨯+⨯B A B C B A C A 即.B A B C B A C A⨯-=⨯ 两边取模,B A B C B A C A⨯=⨯即,sin sin βαac bc =故.sin sin βαba = 同理可证 .sin sin γβcb = 因此,sin sin sin γβαcb a ==三角形正弦定理得证. 平面的截距式方程1 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.解 设平面方程为,1=++c z b y a x ,1=V .12131=⋅∴abc 由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==(向量平行的充要条件) 令t c b a ===61161⇒.61,1,61t c t b t a === 由tt t 61161611⋅⋅⋅=⇒.61=t∴.1,6,1===c b a所求平面方程为,1161=++zy x 即.666=++z y x 2 求平面II, 使其满足:(1) 过z 轴;(2) II 与平面052=-+z y x 夹角为3π.解 因为平面∏过z 轴，可设其方程为.0=+By Ax 又因为∏与已知平面夹角为.3π故3cosπ222222)5(120|0)5(2|-++++⋅-++=B A B A 21=⇒A B 3=或A B 31-= ⇒03:=+∏y x 或.03:=-∏y x3求经过两点)9,2,3(1-M 和)4,0,6(2--M 且与平面0842=-+-z y x 垂直的平面的方程. 解 设所求的平面方程为.0=+++D Cz By Ax 由于点1M 和2M 在平面上，故 ,0923=++-D C B A .046=+--D C A又由于所求平面与平面0842=-+-z y x 垂直,由两平面垂直条件有.042=+-C B A从上面三个方程中解出,C B A 、、得 ,2/D A =,D B -=,2/D C -= 代入所设方程，并约去因子,2/D 得所求的平面方程.022=+--z y x 点到平面的距离4(E06) 求两平行平面1∏：052210=--+z y x 和2∏：x 5 01=--+z y 之间的距离d . 解 可在平面2∏上任取一点，该点到平面1∏的距离即为这两平行平面间的距离.为此，在平面2∏上取点),0,1,0(则 d 222)2(210|50)2(12010|-++-⨯-+⨯+⨯=1083=.63= 5求平行于平面0432:0=+++∏z y x , 且与球面9:222=++∑z y x相切的平面∏方程.解 可利用条件,//0∏∏写出平面∏的一般式方程,再利用球心到平面的距离3=d 来确定一般式方程中的特定系数.由,//0∏∏可设平面∏的方程为.032=+++D z y x因为平面∏与球面∑相切，故球心)0,0,0(到平面∏的距离d )0,0,0(),,(22321|22|=+++++=z y x D z y x ,3= 得,143||=D故所求平面∏的方程为014332=+++z y x 或.014332=-++z y x 空间直线的对称式方程与参数方程1 求过点)5,2,3(-且与两个平面152=--z y x 和34=-z x 的交线平行的直线的方程. 解 先求过点)5,2,3(-且与已知平面平行的平面,0)5(5)2()3(21=----+∏z y x : ,0)5(4)3(2=--+∏z x :即 ,033521=+--∏z y x : .:02342=+-∏z x 所求直线的一般方程为:.⎩⎨⎧=+-=+--023403352z x z y x 2 (E01) 一直线过点),4,3,2(-A 且与y 轴垂直相交, 求其方程.解 因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B ,}4,0,2{==A B s所求直线方程.440322-=+=-z y x 3 用对称式方程及参数方程表示直线 .043201⎩⎨⎧=++-=+++z y x z y x 解 在直线上任取一点),,,(000z y x 例如,取10=x ⇒⎩⎨⎧=--=++063020000z y z y ⇒,00=y ,20-=z得点坐标),2,0,1(-因所求直线与两平面的法向量都垂直,可取21n n s⨯=},3,1,4{312111--=-=kj i对称式方程 ,321041-+=--=-z y x 参数方程 .⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx 3241 4求过点M (2, 1, 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线方程. 解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面,∏,0)3()1(2)2(3=---+-z y x再求已知直线与该平面的交点,N令t z y x =-=-=+12131 → .1213⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=tz t y t x 代入平面方程得,73=t 交点,73,713,72⎪⎭⎫⎝⎛-N 取所求直线得方向向量为,MN ,724767123731713272⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，－，－，－－，－MN所求直线方程为.431122－－－z y x =-= 5 (E04) 过直线⎩⎨⎧=+-=--+02062:z y x z y x L 作平面∏, 使它垂直于平面.02:1=++∏z y x解 设过直线L 的平面束)(λ∏的方程为,0)2()62(=+-+--+z y x z y x λ即.06)1()1(2)1(=--+-++z y x λλλ现要在上述平面束中找出一个平面图,∏使它垂直于题设平面,1∏因平面垂直于平面,1∏故平面∏的法向量)(λn垂直于平面1∏的法向量}.1,2,1{1=n 于是,0)(1=⋅n nλ即.0)1()1(4)1(1=-+-++⋅λλλx解得,2=λ故所求平面方程为.:0623=-+-z y x π容易验证，平面02=+-z y x 不是所求平面.6在一切过直线L : ⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出平面∏, 使原点到它的距离最长.解 设通过直线L 的平面束方程为,0)2()4(=++++++z y x z y x λ即.04)1()21()1(=++++++z y x λλλ要使2222)1()21()1(16)(λλλλ+++++=d 为最大,即使31)32(6)1()21()1(2222++=+++++λλλλ为最小，得,32-=λ故所求平面∏的方程为.012=++-z y x易知，原点到平面02=++z y x 的距离为.0故平面02=++z y x 非所求平面.第9章 多元函数微分法及其应用1 (E01) 求二元函数222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x 即⎩⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=2求极限 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→. 解 令,22y x u +=则 u u y x y x u y x 1sin lim 1sin)(lim 0222200→→→=++=0. 3证明 220limyx xyy x +→→ 不存在. 证 取k kx y (=为常数),则 ,1lim lim222202200k kx k x kx x y x xy kxy x y x +=+⋅=+=→→→易见题设极限的值随k 的变化而变化,故题设极限不存在.4讨论二元函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.解 由),(y x f 表达式的特征，利用极坐标变换：令,sin ,cos θρθρ==y x 则)cos (sin lim ),(lim330)0,0(),(θθρρ+=→→y x f y x ),0,0(0f ==所以函数在)0,0(点处连续.5 试证函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 的偏导数)0,0(),0,0(y x f f 存在，但),(y x f 在)0,0(点不连续.证 )0,0(x f xf x f x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim0x x ∆-=→∆00lim0,1= yf y f f y y ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0y y ∆-=→∆00lim 0.0=即偏导数),0,0(x f )0,0(y f 存在.但由上节的例 8知道,极限2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续.6设 ,cos by e u ax = 求二阶偏导数. 解xu∂∂,cos by ae ax =y u ∂∂;sin by be ax -=22x u ∂∂,cos 2by e a ax =22yu ∂∂;cos 2by e b ax -= y x u ∂∂∂2,sin by abe ax-=x y u ∂∂∂2.sin by abe ax -= 7 验证函数 22ln ),(y x y x u +=满足方程 02222=∂∂+∂∂y ux u .证 22ln y x +),ln(2122y x +=∴x u ∂∂,22y x x +=y u ∂∂,22yx y += ∴22x u ∂∂22222)(2)(y x x x y x +⋅-+=,)(22222y x x y +-=22y u ∂∂22222)(2)(y x y y y x +⋅-+=.)(22222y x y x +-= ∴2222y ux u ∂∂+∂∂2222222222)()(y x y x y x x y +-++-=.0= 8证明函数r u 1=满足拉普拉斯方程 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ,其中 222z y x r ++=. 证 x u ∂∂x r r ∂∂-=21r x r ⋅-=21,3r x-= 22x u ∂∂xr r x r ∂∂⋅+-=4331.31523r x r +-= 由函数关于自变量的对称性,得22y u∂∂,31523r y r +-=22z u ∂∂.52331r z r +-=222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂52223)(33r z y x r +++-=52333r r r +-=.0= 9设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0),(,00,0),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f , 试求 ()0,0xy f 及().0,0xy f 解 因)0,0(x f x f x f x )0,0()0,(lim-=→xx 00lim0-=→.0= 当0≠y 时，),0(y f x xy f y x f x ),0(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x y x +-=→,y -= 所以 )0,0(xy f y f y f x x y )0,0(),0(lim-=→y y y 0lim0--=→,1-= 同理 )0,0(y f yf y f y )0,0(),0(lim-=→,0=当0≠x 时，)0,(x f y yx f y x f y )0,(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x x y +-=→,x =所以 )0,0(yx f xf x f y y x )0,0()0,(lim-=→xx x 0lim0-=→.1=10求 y x y x z 2422)3(++=的偏导数. 解 设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得 ,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u v z v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 11 设函数),(y x u u =可微，在极坐标变换,cos θr x = θsin r y =下，证明.122222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u y u x u 证 为方便起见,我们从欲证等式的右端出发来证明.把函数u 视为θ,r 的复合函数,即),sin ,cos (θθr r u u = 则r u ∂∂ry y u r x x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=,sin cos θθy u x u∂∂+∂∂=θ∂∂u θθ∂∂∂∂+∂∂∂∂=y y u x x u ,cos )sin (θθr y u r x u∂∂+-∂∂=所以2221⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u 2sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=θθy u x u 22cos )sin (1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂+θθr y u r x u r .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y u x u ＊12 求由a a xyz z (333=-是常数）所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂和.y z ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂z x F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -= y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=12求出曲线32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x解 设所求切点为),,,(000z y x 则曲线在该点的切线向量为},3,2,1{200x x s -= 由于切线平行于已知平面,42=++z y z 因而s垂直于已知平面的法线向量},1,2,1{=n 故有n s ⋅132)2(11200⋅+⋅-+⋅=x x ,0=即10=x 或,31将它代入曲线方程,求得切点为)1,1,1(1-M 和.271,91,312⎪⎭⎫⎝⎛-M13求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解 令),,(z y x F ,32-+-=xy e z z ,2y F x =',2x F y='z z e F -='1 → )0,2,1(n)0,2,1(}1,2,2{z e x y -=},0,2,4{=切平面方程为 ,0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-+-z y x 即,042=-+y x 法线方程为.01221-=-=-z y x 14 求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程.解 设),,(000z y x 为曲面上的切点,则切平面方程为,0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x依题意,切平面方程平行于已知平面,得664412000z y x == → .2000z y x == ),,(000z y x 是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得,10±=x故所求切点为),2,2,1(),2,2,1(---切平面方程(1),0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 即;2164=++z y x 切平面方程(2),0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 即.2164-=++z y x15（E02）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x 上的最大值和最小值.解 先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值. 如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上), ,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f16求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解 先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y=' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0).由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以,在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f17(E03）某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小 18（E04）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1)下,求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ由..,0)(20)(20)(2z y x z x yx z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ 代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =第10章 重积分1 不作计算，估计σd eI Dy x ⎰⎰+=)(22的值，其中D 是椭圆闭区域：12222≤+b y a x )0(a b <<. 解 区域D 的面积,πσab =在D 上,0222a y x ≤+≤∴,12220a y xe e e ≤≤=+由性质 6 知,222)(a Dy xe d e ⋅≤≤⎰⎰+σσσ.222)(a Dy xe ab d e ab πσπ≤≤⎰⎰+2 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x)1(<r 的符号.解 当1||||≤+≤y x r 时，,1|)||(|0222≤+≤+<y x y x 故 ;0)ln(22≤+y x 又当1||||<+y x 时，,0)ln(22<+y x 于是 .0)ln(1||||22<+⎰⎰≤+≤y x r dxdy y x3（E01）计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为—X 型,dx xydy xyd x D⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211σdx y x x12122⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=.81148222124213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰x x dx x x解二 将积分区域视为—Y 型, ⎰⎰Dxyd σdy x y dy xydx y y22122122⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2142213822⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y y .811=4计算σd y x y D⎰⎰-+221, 其中D 是由直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域.解 如图,D 既是—X 型,又是—Y 型.若视为—X 型,则 原积分dx dy y x y x ⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=111221[]dx y xx1112/322)1(31⎰--+-=.21)1(32)1|(|31103113=--=--=⎰⎰-dx x dx x若视为—Y 型，则,111221122dy dx y x y d y x y yD⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+⎰⎰⎰⎰--σ其中关于x 的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要. 5 计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x . 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21222()(||D D Ddxdy x y dxdy y x dxdy xy ）⎰⎰⎰⎰-+-=--1211021122)()(xx dy x y dx dy y x dx.15112121211142114-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰⎰--dx x x dx x 6 计算,dxdy eDyx ⎰⎰+ 其中区域D 是由0,1,0===y x x , 1=y 所围成的矩形.解 如图，因为D 是矩形区域,且,y x y x e e e ⋅=+所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰+1010dy e dx e dxdy e y Dx y x .)1())((21010-==e e e y x7 交换二次积分⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(的积分次序.解 题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰--=yxdx y x f dydy y x f dx 101110.),(),(8（E06）证明 ⎰⎰⎰---=aa xb ya xb adx x f e x a dx x f edy 0)(0)(0)()()(其中a 、b 均为常数, 且0>a .证 等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0所以dx x f e dyaya xb ⎰⎰-0)()(dx dy x f e dy x f e dxa a x a xb aaxa xb ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--0)(0)()()(.)()(0)(dx x f ex a aa xb ⎰--=9（E08）计算,22⎰⎰Ddxdy y x其中区域:D .1||||≤+y x解 因为D 关于x 轴和y 轴对称，且,),(22y x y x f =关于x 或关于y 为偶函数→dxdy y x I D ⎰⎰=1224⎰⎰-=1010224xdy y x dx .451)1(34132=-=⎰dx x x 10 证明不等式 ,2)sin (cos 122⎰⎰≤+≤Ddxdy x y其中.10,10:≤≤≤≤y x D证 因为D 关于y x =对称，所以dxdy y dxdy x DD ⎰⎰⎰⎰=22cos cos ，故dxdy x x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=+)sin (cos )sin (cos 2222又由于)4sin(2sin cos 222π+=+x x x 及102≤≤x 而D 的面积为 1. 由二重积分性质,有.2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰dxdy x y D11求⎰⎰⎰Ω,xdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 如图9-4-3，将区域Ω向xOy 面投影得投影区域D 为三角形闭区域.10,10:x y x OAB -≤≤≤≤ 在D 内任取一点),,(y x 过此点作平行于z 轴的直线，该直线由平面0=z 穿入，由平面y x z --=1穿出，即有.10y x z --≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------Ω--===xyx xyx Ddy y x xdx xdz dy dx xdz dxdy xdxdydz 101010101010)1(.241)2(21)1(211032102⎰⎰=+-=-=dx x x x dx x x 12 求⎰⎰⎰Ω,zdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 (1)⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰=zD dxdy zdz,1截面:z D ,10z y x -≤+≤故⎰⎰zD dxdy ),1)(1(21z z --=∴原式dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=(2) 根据例1所确定的积分限,有⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰---=zy z dx dyzdz 101010⎰⎰---=zdy z y zdz 1010)1(dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=第12章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1（E04）求级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++1)1(321n n n n 的和. 解 根据等比级数的结论,知∑∞=121n n 21121-=.1= 而由前例,知∑∞=+1)1(1n n n ,1=所以∑∞=⎪⎪⎭⎫++ ⎝⎛1)1(121n n n n ∑∑∞=∞=++=11)1(321n n n n n .4=2 判别级数++++⨯+++n n 10121102121101212是否收敛. 解 将所给级数每相邻两项加括号得到新级数.)10121(1∑∞=+n nn因为∑∞=121n n 收敛，而级数∑∞=1101n n ∑∞==11101n n 发散，所以级数∑∞=+1)10121(n nn 发散，根据性质3的推论1，去括号后的级数 (101)21...102121101212++++⨯+++n n 也发散. 3（E06）利用柯西审敛原理判定级数∑∞=121n n的收敛性. 解 因为对任何自然数,p22221)(1)2(1)1(1||p n n n u u u p n n n ++++++=++++++ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p n p n n n n n 1112111111,111np n n <+-=故对任意给定的正数,ε取自然数],1[ε≥N 则当N n >时，对任何自然数,p 恒有.||21ε<++++++p n n n u u u根据柯西审敛原理，所证级数收敛.第二节 正项级数的判别法1（E02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证)1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散，∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.2（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性. 解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.。
2016年山东省济南市高考数学二模试卷与解析word(文科)
2016年山东省济南市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．（5分）设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25 B．10 C．5 D．24．（5分）“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0 B．﹣3 C．﹣10 D．﹣256．（5分）已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．47．（5分）在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S=．9．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2 D．210．（5分）设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为件．12．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是cm213．（5分）过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B 两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．14．（5分）已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是．15．（5分）若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f （﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）2016年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A﹣PBD的体积．19．（12分）已知在等比数列{a n}中，a n+1＞a n对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，，求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．2016年山东省济南市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则z===﹣i．故选：B．2．（5分）设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由P中y=，得到3x﹣x2≥0，整理得：x（x﹣3）≤0，解得：0≤x≤3，即P=[0，3]，∵N为自然数集，∴P∩N={0，1，2，3}，则集合P∩N中元素个数是4，故选：C．3．（5分）如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25 B．10 C．5 D．2【解答】解：∵a，b＞0，log5a+log5b=2=log5（ab），∴ab=52=25≤，解得a+b≥10，当且仅当a=b=5时取等号．则a+b的最小值是10．故选：B．4．（5分）“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，故充分性易证若ab＞4，如a=8，b=1，此时ab＞4成立，但不能得出a＞2且b＞2，故必要性不成立由上证明知“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0 B．﹣3 C．﹣10 D．﹣25【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，s=1满足条件k＜5，执行循环体，s=1，k=2满足条件k＜5，执行循环体，s=0，k=3满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣3，k=4满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣10，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出s的值为﹣10．故选：C．6．（5分）已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．4【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，﹣3≤y≤5，0≤|x|≤3；∵y=|x|+m，∴m=y﹣|x|，故当y=﹣3，|x|=3，即过点A（﹣3，﹣3）时，m有最小值为﹣6；故选：A．7．（5分）在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由sinx+cosx≥1得sin（x+）≥1，即sin（x+）≥，∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z∵0≤x≤π，∴当k=0时，x的取值范围是0≤x≤，则“sinx+cosx≥1”发生的概率P==，故选：D．8．（5分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵a=，c=，C=，∴由正弦定理可得：sinA===，又∵a＜c，A为锐角．∴A=，B=π﹣A﹣C=，=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a=0，f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log3（8+1）=﹣2．故选：C．10．（5分）设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1【解答】解：∵双曲线右支上存在一点P，使•=0，∴⊥，∵|PF1|=|PF2|，∴|F1F2|=2|PF2|=4c，即|PF2|=2c∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|=2a，∵|PF2|=2c∴2（﹣1）c=2a，e==，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为10件．【解答】解：∵=（17+13+8+2）=10，=（24+33+40+55）=38，a=58∴=﹣2x+58，∴=﹣2×24+58=10，故答案为：10．12．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是12+4cm2【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，∴该几何体的表面积=22×2++2×2=12+4cm2．故答案为：12+4．13．（5分）过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B 两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°14．（5分）已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是[，] ．【解答】解：△ABC中，AB=AC=1，|+|=|﹣|，∴•=0，∴⊥；以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A（0，0），C（1，0），B（0，1），∵=3，∴E（，）；直线BC方程为x+y=1，即x+y﹣1=0；设P（x，y），则0≤x≤1，则=（x，y），=（，），∴•=x+y=x+（1﹣x）=x+；∵0≤x≤1，∴≤x+≤；即•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．15．（5分）若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f （﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是＜a＜．【解答】解：由“n度局部偶函数”的定义可知，函数存在关于y对称的点有n个，当x＜0时，函数g（x）=sin（x）﹣1，关于y轴对称的函数为y=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，x＞0，作出函数g（x）和函数y=h（x）=﹣sin（x）﹣1，x＞0的图象如图：若g（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则等价为函数g（x）和函数y=﹣sin（x）﹣1，x＞0的图象有且只有3个交点，若a＞1，则两个函数只有一个交点，不满足条件；当0＜a＜1时，则满足，即，则，即＜a＜，故答案为：＜a＜三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）2016年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，m=0.1﹣（0.015+0.035+0.015+0.01）=0.025，（Ⅱ）依题意，各小组的人数为比0.015：0.035：0.025：0.015：0.010=3：7：5：3：2，（i）年龄在35～55岁之间的人数20×=12人，（ii）年龄在55～65岁之间的人数为20×=3人，记为A，B，C，年龄在65～75岁之间的人数为20×=2人，记为D，E，从55～75岁之间任意找两个人发言，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中少一人再65～75岁之间的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE共7种，所以至少一人再65～75岁之间的概率为．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：f（x）=sin2x+2sin2x==．（Ⅰ）由，解得．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）﹣]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．由x∈[﹣，]，得2x∈[]，∴sin2x∈[﹣]，则函数g（x）的值域为[﹣]．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A﹣PBD的体积．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF．（2）过P作PG⊥AD于G，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD．∵△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，==．∴PG=，S△ABD=V P﹣ABD===1．∴V A﹣PBD19．（12分）已知在等比数列{a n}中，a n+1＞a n对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1a4=8，a2+a3=6．∴=8，a1（q+q2）=6，且a n+1＞a n对n∈N*恒成立，解得q=2，a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵，∴++…+=n﹣1，相减可得：=1，可得b n=（2n﹣1）•2n﹣1．n=1时，=1，解得b1=1．上式对于n=1时也成立．∴b n=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1．∴2S n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣S n=1+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=1+2×﹣（2n﹣1）•2n，∴S n=（2n﹣3）•2n+3．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a=2b，直线y=x代入椭圆C，可得+=1，∴x=b，∵直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为，∴（b）2=，∴b=1，∴a=2，∴椭圆C的方程为=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得﹣2+x1=﹣，∴x1=，∴y 1=k（x1+2）=，∴P（，），以﹣代入，可得Q（，﹣），则k PQ=﹣∴PQ的直线方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，则x=+=﹣．∴直线PQ过x轴上的一定点（﹣，0）．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=lnx﹣e x+x的导数为f′（x）=﹣e x+1，可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为2﹣e，切点为（1，1﹣e），即有函数f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（2﹣e）（x﹣1），即为y=（2﹣e）x﹣1；（Ⅱ）（i）当m=﹣e时，g（x）=f（x）+e x+1=lnx﹣ex+1，g′（x）=﹣e，当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递增．可得g（x）在x=处取得极大值，且为最大值﹣1；（ii）证明：函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣=|lnx﹣ex+1|﹣（+），令φ（x）=0，可得|lnx﹣ex+1|=+，（*）由h（x）=+的导数为h′（x）=，当x＞e时，h′（x）＜0，函数y递减；当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）递增．即有函数h（x）=+的最大值为h（e）=+＜1；由（i）可得g（x）≤﹣1，即有|g（x）|≥1，则方程（*）无解．即有函数φ（x）没有零点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
大专高等数学第二版教材答案
大专高等数学第二版教材答案第一章: 函数及其图形1.根据题意可得到函数 f(x) 的表达式为：f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 52.函数 f(x) = |2x - 1| 在区间 [-1, 2] 上的图像如下：图像描述：在 x = 1/2 处有唯一一个极小值点，其函数值为 0。
在x < 1/2 和 x > 3/2 的区间上，函数值为正；在 1/2 < x < 3/2 的区间上，函数值为负。
（插入函数图像）第二章: 一元函数求导1. 求以下函数的导数：a. f(x) = 3x^2 - 2x + 1(简述求导过程)b. f(x) = sin(x) + cos(x)(简述求导过程)c. f(x) = ln(x^2 + 1)(简述求导过程)第三章: 函数的极限和连续性1. 计算以下极限:a. lim(x->3) (2x + 1)(简述计算过程)b. lim(x->0) (sinx / x)(简述计算过程)c. lim(x->∞) (e^x / x)(简述计算过程)第四章: 函数的导数与微分1. 计算下列函数的微分:a. f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 (简述计算过程)b. f(x) = e^(-2x)(简述计算过程)c. f(x) = ln(3x^2 + 2)(简述计算过程)第五章: 不定积分1. 求以下函数的不定积分:a. ∫(x^3 - 2x^2 + 3x - 4)dx (简述求积分过程)b. ∫(sin^3(x) + cos^2(x))dx (简述求积分过程)c. ∫(ln(2x + 1))dx(简述求积分过程)第六章: 定积分1. 计算以下定积分值:a. ∫(0 to π/2) sin(x)dx(简述计算过程)b. ∫(1 to 2) x^2dx(简述计算过程)c. ∫(0 to 1) e^x dx(简述计算过程)第七章: 微分方程1. 解以下微分方程:a. y' + y = 2x(简述求解过程)b. y' = 3y^2(简述求解过程)c. y' + 2xy = x^2(简述求解过程)以上是《大专高等数学第二版教材》中的部分题目答案，希望对你的学习有所帮助。
高等数学2课后习题答案
高等数学2课后习题答案高等数学2课后习题答案高等数学2作为大学数学课程的一部分，是一门相对较难的课程。
在学习过程中，课后习题是巩固和深化知识的重要手段。
然而，对于许多学生来说，课后习题往往是一个难以逾越的障碍。
因此，为了帮助大家更好地学习和掌握高等数学2，本文将提供一些常见习题的答案及解析。
一、极限与连续1. 计算极限这类题目主要考察对极限的计算能力。
在计算过程中，我们需要运用一些基本的极限性质和运算法则。
例如，当求解形如lim(x→a) (f(x) + g(x))时，我们可以利用极限的加法法则，将其拆分为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
2. 判断函数的连续性对于连续性的判断，我们需要掌握连续函数的定义和连续函数的性质。
例如，根据连续函数的定义，如果一个函数在某个点a处连续，那么lim(x→a) f(x) = f(a)，这是判断函数连续性的一个重要条件。
二、导数与微分1. 求导函数求导函数是导数与微分章节的重点内容之一。
在求导函数时，我们需要掌握导数的基本定义和运算法则。
例如，当求解f(x) = x^n的导数时，我们可以利用幂函数的导数公式，即f'(x) = n*x^(n-1)。
2. 利用导数求解问题在实际问题中，我们常常需要利用导数来求解一些相关的问题。
例如，求解函数的极值点、判断函数的单调性等。
在这类题目中，我们需要将问题转化为数学模型，然后利用导数的性质来求解。
三、定积分1. 计算定积分计算定积分是定积分章节的核心内容之一。
在计算过程中，我们需要掌握定积分的基本定义和运算法则。
例如，当计算∫[a,b] f(x)dx时，我们可以利用定积分的性质，将其转化为求解不定积分的问题。
2. 利用定积分解决几何问题定积分在解决几何问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用定积分来计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算曲线的弧长等。
在这类题目中，我们需要将几何问题转化为数学模型，然后利用定积分的性质来求解。
1011高等数学B(二)试题答案 济南大学
O
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
P18
图形
2 2 f ( x y ）dy 化为极坐标形式的 4. 0 x 1011B 二次积分_____________. y 3x 2 y 0r cos 解: 积分域如图. D : y x
济南大学1011高等数学B(二)参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. z xe 解:
x y
( x 1)ln(1 y),
d e xe ln(1 y ), x (1,0) x
x 1 z x y , xe 1 y y
z e 2, y (1,0)
2.
求旋转抛物面 z x y 1 在点 (2,1, 4)
2 2
处的法线方程________.
解:
: z f ( x, y) x y 1
2 2
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
1、求过点M1 (1,2,1), M 2 (2,3,1)且和平面x y z 1 0垂直 的平面方程
2、一般式： 解：设所求平面方程为 Ax By Cz D 0
A 2B C D 0 则 2 A 3B C D 0 ( A, B , C ) (1,1,1) 0
2
3
三、求偏导数（每小题10分，共20分）
1 1 2 x ( f11 x f12 ) x ( f 2 1 x f 22 ) x x 5 3 xf 22 x f11 2x f12
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富_钮海习题解答
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D（2）{y y x y x D ,10),(22<+<=（3）⎫⎩⎨⎧++=),(22222b y a x yx D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限： （1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim0020==-+→→=→y yy x y x y y x yx所以极限不存在。
2022-2023学年山东省济南市成考专升本高等数学二自考预测试题(含答案带解析)
2022-2023学年山东省济南市成考专升本高等数学二自考预测试题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.A.-2ycos(x+y2)B.-2ysin(x+y2)C.2ycos(x+y2)D.2ysin(x+y2)2.A.-2B.-1/2C.1/2D.23.4.当x→2时，下列函数中不是无穷小量的是（）。
A.B.C.D.5.积分等于【】A.-1B.0C.1D.26.A.-1B.-1/2C.0D.17.设函数f(x-1)=x2+e-x，则fˊ(x)等于（）．A.A.2x-exB.C.D.8.9.（）。
A.B.C.D.10.11.12.13.14.设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是（）．A.A.B.C.当x→x0时, f(x)- f(x0)不是无穷小量D.当x→x0时, f(x)- f(X0)必为无穷小量15.曲线：y=ex和直线y=1，x=1围成的图形面积等于【】A.2-eB.e-2C.e-1D.e+116.（）。
A.B.C.D.17.18.19.已知f'(x+1)=xe x+1，则f'(x)=A.A.xe xB.(x-1)e xC.(x+1)e xD.(x+1)e x+4120.21.已知函数y=f(x)在点处可导，且,则f’(x0)等于【】A.-4B.-2C.2D.422.A.A.-1B.-2C.1D.223.24.25.26.27.事件满足AB=A，则A与B的关系为【】28.（）。
A.0B.1C.nD.n!29.设事件A，B的P(B)=0.5，P(AB)=0.4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)=（）.A.A.0.1B.0.2C.0.8D.0.930.二、填空题(30题)31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.曲线的铅直渐近线方程是________.42.43.44.45.46.47.48.49.________.50.51.52.53.54..55.56.57.58.59.60. 函数曲线y=xe-x的凸区间是_________。
济南大学高等数学下历年考题答案共111页文档
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
济南市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)(有答案)Awwqqw
2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i2．一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）A．20米/秒B．28米/秒C．14米/秒D．16米/秒3．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1 a 22 71x2 4 25 29总计 b 47 100则a﹣b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．34．若（3x2﹣2mx）dx=34，则m等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣35．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（﹣1＜X≤2）=0.35，则P（X≥5）等于（）A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.17．已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）X ﹣1 0 1 2P a b cA．B．C．D．8．已知函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）9．在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]二、填空题11．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为．12．（1+x）8的展开式中x6的系数是．13．观察下面一组等式：S1=1，S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S 5=11+12+13+14+15=65，…根据上面等式猜测S 2n ﹣1=（2n ﹣1）（an 2+bn +c ），则a •b •c= ． 14．将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=7且4S n =n （a n +a n+1），则S n ﹣8a n 的最小值为 ．三、解答题16．（1）用分析法证明： +；（2）用反证法证明：，，不可能成等差数列．17．设函数f （x ）=x 2﹣8lnx +3．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，4）处的切线方程；（2）求f （x ）的单调区间．18．5位大学生站在一排照相．（1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？（2）若上述5位大学生中有3位女大学生和2位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？ 19．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄 [5，15） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65）频数5 10 15 10 5 5 支持“生育二胎” 45 12 8 2 1 （1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计支持a= c= 不支持 b=d= 合计参考数据：P （K 2≥k ） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K 2=．21．已知f （x ）=e x lnx ．（1）求y=f （x ）﹣f ′（x ）的单调区间与极值；（2）证明：f ′（x ）＞1．2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：∵（3+i）z=4﹣2i，∴z====1﹣i，故选：A．2．一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）A．20米/秒B．28米/秒C．14米/秒D．16米/秒【考点】导数的几何意义．【分析】求函数的导数，利用导数的物理意义即可得到结论．【解答】解：∵s=s（t）=（2t+3）2，∴s′（t）=4（2t+3），则物体在2秒末的瞬时速度s′（2）=28米/秒，故选：B．3．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1 a 22 71x2 4 25 29总计 b 47 100则a﹣b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【考点】独立性检验的应用．【分析】由列联表中数据的关系，直接求得答案．【解答】解：由列联表中数据的关系，可知：a+22=71，a+4=b解得：a=49，b=53，∴a﹣b=﹣4．故选：A．4．若（3x2﹣2mx）dx=34，则m等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（3x2﹣2mx）dx=（x3﹣mx2）|=19﹣5m=34，∴m=﹣3，故选：D．5．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（﹣1＜X≤2）=0.35，则P（X≥5）等于（）A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N（2，σ2），得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到结论．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于x=2对称，∵P（﹣1＜X≤2）=0.35，∴P（2＜X≤5）=0.35，∴P（X≥5）=0.5﹣0.35=0.15．故选：C．7．已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）X ﹣1 0 1 2P a b cA．B．C．D．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由E（X）=0，D（X）=1，结合离散型随机变量X的分布列性质列出方程组，求出a，b，c，由此能求出P（X＜1）的值．【解答】解：∵E（X）=0，D（X）=1，∴由离散型随机变量X的分布列，得：，且a≥0，b≥0，c≥0，解得a=，b=，c=，∴P（X＜1）=P（X=﹣1）+P（X=0）=+=．故选：D．8．已知函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可．【解答】解：由f（x）=x3lnx+m=0得x3lnx=﹣m，设g（x）=x3lnx，函数的定义域为（0，+∞），则g′（x）=x2（3lnx+1），由g′（x）＞0得x＞，由g′（x）＜0得0＜x＜，即当x=时，函数g（x）取得极小值同时也是最小值g（）=﹣，要使函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，等价为方程x3lnx=﹣m有两个根，则﹣m＞﹣，即m＜，故实数m的取值范围是（﹣∞，），故选：C9．在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设抽到红球的个数为X，则X服从超几何分布，中奖的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3），由此能求出结果．【解答】解：设抽到红球的个数为X，则X服从超几何分布，∴中奖的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=+=．故选：B．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．二、填空题11．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数a+，又已知复数a+（a∈R）是纯虚数，得实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案．【解答】解：复数a+=，由复数a+（a∈R）是纯虚数，得，即a=．故答案为：．12．（1+x）8的展开式中x6的系数是28．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为6，求出对应的系数即可．【解答】解：（1+x）8的展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=6，得展开式中x6的系数是==28．故答案为：28．13．观察下面一组等式：S1=1，S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S5=11+12+13+14+15=65，…=（2n﹣1）（an2+bn+c），则a•b•c=﹣160．根据上面等式猜测S2n﹣1【考点】归纳推理．=（2n﹣1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论．【分析】利用所给等式，对猜测S2n﹣1【解答】解：由题意，，∴a=4，b=﹣8，c=5，∴abc=﹣160故答案为：﹣160．14．将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意可以分两类，两名男生一组，两名女生各一组，或1名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题意可知，4人只能分为；两名男生一组，两名女生各一组，或1名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，故有A33（1+C21C21）=30种，故答案为：3015．已知数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S n﹣8a n的最小值为﹣56．【考点】数列的求和．【分析】4S3=3（a3+a4）=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，解得：a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，…，可得a n=2n﹣1，S n．代入4S n=n（a n+a n+1）验证成立，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵4S3=3（a3+a4）=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，解得：a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，…，∴a n=2n﹣1．可得S n==n2．代入4S n=n（a n+a n+1）验证成立，∴S n﹣8a n=n2﹣8（2n﹣1）=（n﹣8）2﹣56，∴当n=8时，S n﹣8a n取得最小值﹣56．故答案为：﹣56．三、解答题16．（1）用分析法证明： +；（2）用反证法证明：，，不可能成等差数列．【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）．【分析】（1）寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要11+2•＞11+2，只要证＞，即证30＞24；（2）假设，，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2=+，能推出6=12（矛盾）．【解答】证明：（1）要证+，只要证11+2•＞11+2，只要证＞，即证30＞24．而30＞24显然成立，故原不等式成立．（2）假设：，，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2=+，∴20=2+6+2，∴12=2，∴6=12（矛盾），故假设不成立，∴，，这三个数不可能成等差数列．17．设函数f（x）=x2﹣8lnx+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意，可求得f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，4）处的切线方程；（2）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣8lnx+3，∴f′（x）=（x＞0），∴f′（1）=﹣6，∴曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程为y﹣4=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣10=0；（2）令f′（x）＞0，可得x＞2，f′（x）＜0，可得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．18．5位大学生站在一排照相．（1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？（2）若上述5位大学生中有3位女大学生和2位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．（2）先排3位女大学生，然后把2位男大学生插空，由分步计数原理可得．【解答】解：（1）∵5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A44A22=48；（2）先排3位女大学生的排法有A33=6种，然后把2位男大学生插空，有A42=12种，由分步计数原理可得，共有6×12=72种方法．19．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求y关于t的线性回归方程；（2）根据条件进行估计预测即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得=4，==4.3，b==0.5．a=4.3﹣0.5×4=2.3即y关于t的线性回归方程为y=0.5t+2.3；（2）∵线性回归方程为y=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，可知2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3；预测该地区2016年农村家庭人均纯收入为6.3千元．20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a= c=不支持b= d=合计参考数据：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a=3 c=29 32不支持b=7 d=11 18合计10 40 50…＜6.635…所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…，，，，…所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3P所以ξ的期望值是．…21．已知f（x）=e x lnx．（1）求y=f（x）﹣f′（x）的单调区间与极值；（2）证明：f′（x）＞1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出f（x）的导数，代入y=f（x）﹣f′（x）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，构造函数，求最值，即可证明结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（lnx+1）的定义域为（0，+∞），f′（x）=e x lnx+，则y=f（x）﹣f′（x）=﹣，∴y′=，由y′=0可得x=1．当x＞1时，y′＜0；当x＜1时，y′＞0；∴y=f（x）﹣f′（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y取极大值﹣e，函数无极小值；（2）证明：f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，设h（x）=xlnx+1，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（）=﹣+1．设F（x）=，则F′（x）=x∈（0，1），F′（x）＞0，x∈（1，+∞），F′（x）＜0∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数F（x）的最大值为F（1）=，∴F（x）≤，∵﹣+1﹣=1﹣＞0，∴h（x）＞F（x），∴f′（x）＞1．2016年8月21日。
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cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
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济南大学1415高等数学 (二)BW参考解答
不存在 . 讨论函数
f
(x,
y)
xy x2 y2
在点
(0,
0)
的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
x0
f
(
x,
y)
lim
x0
x
2
kx2 k2x2
1
k k
2
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
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1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
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3. 二元函数 f (x, y) 在点( x0, y0 ) 处的全微分存在
A 是f (x , y)在该点连续的(
)
(A) 充分条件. (C) 充分必要条件.
(B) 必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
分析:教材P86-P87 内容
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
济南大学1516高等数学 (二)BW参考解答
一．选择题(每小题2分,共10分)
2015.7.7
B 1. 两平面x y z 1和x 2 y z 2的位置关系是 ( )
(A) 相交但不垂直.
(B) 垂直.
(C) 平行但不重合.
(D) 重合.
教材P39-
uur
uur
3解4: 两平面的法向量 n1 (1,1,1), n2 (1, 2,1)
)
A.
n ; B. 1 ;
C. 1 ; D.
sin 1.
n1 n 1
n1 n
n2
n1
n1
n
分析:重要参考级数: 几何级数, p -级数, 调和级数.
A的一般项不趋于零，级数发散(教材P186)
B，C是条件级数 (教材P196-200) ，D 绝对收敛
(教材P198-199)
于是所求平uur面的uur夹角为
cos
n1 n2 uur uur
121
0
n1 n2 1 1 1
综上，两平面的夹角为
1
4
.
1
2
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
偏导数连续
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
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C 4. 点(0,0)是二元函数 f (x, y) x2 y2 的 (
)
(A) 极大值点;
(B) 极小值点;
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数
zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
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全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
lim
x0
f
(
x,
y)
lim
x0
x
2
kx2 k2x2
1
k k
2
y kx
k 值不同极限不同 !
பைடு நூலகம்
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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• 若当点 P ( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
aqn
n0
当 当
q q
1时 ,收 敛 1时 ,发 散
1 当p 1时,收敛 n0 n p 当p 1时,发散
1 发散, (1)n1 收敛,
n1 n
n1 n
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二、填空题（每小题2分，共10分） 1．求过点( -3 , 2 , 5 ) 且与直线 平行的直线方程_____. 教材P29-35
一．选择题(每小题2分,共10分)
2. 极限
lim
( x, y)(0,0)
xy x2 y2
（ D)
2015.7.7
(A) 0， (B) 1， (C) 2， (D) 不存在.
教材P70- 知道极限不存在的说明方法
7解2: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
(C) 驻点但不是极值点. (D) 不是驻点 P111-P113
分析:
令
fx fy
2x 0, 2 y 0
得驻点
(0,0).
fxx 2, f yy 2, fxy 0
在点(0,0) 处
AC B2 4 0,
不是极值.
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C 5. 下列级数中, 收敛的是(