2020年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷 (解析版)

2020年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷一、选择题1．的绝对值是（）A．B．C．2D．﹣22．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝30°，则∠B的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°3．为了了解2015年我市七年级学生期末考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是（）A．2015年我市七年级学生是总体B．样本容量是1000C．1000名七年级学生是总体的一个样本D．每一名七年级学生是个体4．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a4•a2＝a8C．a6÷a3＝a2D．（ab）3＝a3b3 6．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．下列命题是真命题的是（）A．两个锐角的和一定是钝角B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到该直线的距离8．抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．20，20B．30，20C．30，30D．20，309．如图是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则c a+b＝（）A．﹣8B．9C．﹣3D．210．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为（）A．4米B．（2+2）米C．（4﹣4）米D．（4﹣4）米11．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A．1B．3C．3（m﹣1）D．12．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π二、填空题（每小题3分，共15分）13．方程x2＝2x的根为．14．计算：（+）×＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC＝12，则BC ＝．16．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b ＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）．17．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝度．三、解答题（本大题共8小题，共69分）18．化简：（﹣x+1）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．20．已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（﹣2，1）和Q（1，m）．（Ⅰ）求反比例函数的关系式；（Ⅱ）求Q点的坐标和一次函数的解析式；（Ⅲ）观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？21．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．22．某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．23．某玩具店用2000元购进一批玩具，面市后，供不应求，于是店主又购进同样的玩具，所购的数量是第一批数量的3倍，但每件进价贵了4元，结果购进第二批玩具共用了6300元．若两批玩具的售价都是每件120元，且两批玩具全部售完．（1）第一次购进了多少件玩具？（2）求该玩具店销售这两批玩具共盈利多少元？24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．参考答案一、选择题：（每小题3分，共36分）1．的绝对值是（）A．B．C．2D．﹣2【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．解：﹣的绝对值是．故选：A．2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝30°，则∠B的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】由“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CE，则根据“两直线平行，同位角相等”得到∠B＝∠3＝30°．解：如图，∵∠1＝∠2，∴AB∥CE，∴∠B＝∠3．又∵∠3＝30°，∴∠B＝30°．故选：B．3．为了了解2015年我市七年级学生期末考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是（）A．2015年我市七年级学生是总体B．样本容量是1000C．1000名七年级学生是总体的一个样本D．每一名七年级学生是个体【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．解：A、2015年我市七年级学生期末考试的数学成绩是总体，故A不符合题意；B．样本容量是1000，故B符合题意；C、从中随机抽取了1000名学生的数学成绩是一个样本，故C不符合题意；D、每一名学生的数学成绩是个体，故D不符合题意；故选：B．4．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从左边看到的，据此求解．解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，D不符合，故选：D．5．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a4•a2＝a8C．a6÷a3＝a2D．（ab）3＝a3b3【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．解：∵（a2）3＝a6，∴选项A不符合题意；∵a4•a2＝a6，∴选项B不符合题意；∵a6÷a3＝a3，∴选项C不符合题意；∵（ab）3＝a3b3，∴选项D符合题意．故选：D．6．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可．解：不等式移项得：3x＞6，解得：x＞2，表示在数轴上得：，故选：B．7．下列命题是真命题的是（）A．两个锐角的和一定是钝角B．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到该直线的距离【分析】利用钝角的定义、平行线的性质及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项．解：A、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，故错误，是假命题，故选：B．8．抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．20，20B．30，20C．30，30D．20，30【分析】根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数．解：捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30，中间两个数分别为30和30，则中位数是30，故选：C．9．如图是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则c a+b＝（）A．﹣8B．9C．﹣3D．2【分析】根据相对面上的两个数互为相反数，可得出a，b，c的值，再代入即可求解．解：由图可知，a，b，c的对面分别是0，﹣3，2，∵相对面上的两个数互为相反数，∴a，b，c所表示的数分别是0，3，﹣2．∴c a+b＝（﹣2）0+3＝﹣8．故选：A．10．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为（）A．4米B．（2+2）米C．（4﹣4）米D．（4﹣4）米【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∴MD＝AM＝4米，∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，故选：D．11．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A．1B．3C．3（m﹣1）D．【分析】设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用面积公式即可计算出．解：由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）．所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，又因为AD ＝BF＝GC＝1，所以图中阴影部分的面积和等于×2×1×3＝3．故选：B．12．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）13．方程x2＝2x的根为x1＝0，x2＝2．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：x2＝2x，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0，或x﹣2＝0，x1＝0，x2＝2，故答案为：x1＝0，x2＝2．14．计算：（+）×＝13．【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可．解：原式＝（2+）×＝×＝13．故答案为13．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC＝12，则BC＝9．【分析】根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，进而得到tan∠BCD＝tan A，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴tan∠BCD＝tan A＝，在Rt△ABC中，AC＝12，∴tan A＝＝，则BC＝9，故答案为：916．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b ＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）①②③④．【分析】由抛物线开口方向可对①进行判断；抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＞0，于是可对②③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与点（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0，然后利用b ＝﹣2a可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；即b+2a＝0，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与点（3，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与点（﹣1，0）之间，∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，把b＝﹣2a代入得3a+c＜0，所以④正确．故答案为①②③④．17．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1＝∠A，进而可求∠A1，由于∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2013＝∠A＝°．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∴∠A1＝m°，∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…以此类推∠A2013＝∠A＝°．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共69分）18．化简：（﹣x+1）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝•＝•＝•＝﹣x（x+1），＝﹣x2﹣x，当x＝0时，原式＝0．19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：点P坐标为（2，0）．20．已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（﹣2，1）和Q（1，m）．（Ⅰ）求反比例函数的关系式；（Ⅱ）求Q点的坐标和一次函数的解析式；（Ⅲ）观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【分析】（Ⅰ）设出反比例函数关系式，利用代定系数法把P（﹣2，1）代入函数解析式即可．（Ⅱ）由于Q点也在反比例函数图象上，所以把Q点坐标代入反比例函数解析式中即可得到Q点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式．（Ⅲ）根据图象可得到答案，注意反比例函数图象与y轴无交点，所以分开看．解：（Ⅰ）设反比例函数关系式为：y＝，∵反比例函数图象经过点P（﹣2，1）．∴k＝﹣2．∴反比例函数关系式是：y＝﹣；（Ⅱ）∵点Q（1，m）在y＝﹣上，∴m＝﹣2，∴Q（1，﹣2），设一次函数的解析式为y＝ax+b（a≠0），∴，解得：，∴直线的解析式为y＝﹣x﹣1；（Ⅲ）当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数的值．21．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．【分析】（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，则可求得OE＝OC＝OF；（2）利用（1）的结论，结合条件可证得四边形DECF为平行四边形，再利用角平分线的定义可求得∠ECF为直角，则可证得四边形DECF为矩形．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．22．某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；（2）根据概率公式进行解答即可．解：（1）列表得：123412345234563456745678（2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P＝＝．答：抽奖一次能中奖的概率为．23．某玩具店用2000元购进一批玩具，面市后，供不应求，于是店主又购进同样的玩具，所购的数量是第一批数量的3倍，但每件进价贵了4元，结果购进第二批玩具共用了6300元．若两批玩具的售价都是每件120元，且两批玩具全部售完．（1）第一次购进了多少件玩具？（2）求该玩具店销售这两批玩具共盈利多少元？【分析】（1）设第一次购进了x件玩具，则第二购进了3x件玩具，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批每件贵了4元即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据利润＝销售收入﹣成本即可算出该玩具店销售这两批玩具共盈利多少元．解：（1）设第一次购进了x件玩具，则第二购进了3x件玩具，根据题意得：﹣＝4，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解．答：第一次购进了25件玩具．（2）（25+25×3）×120﹣2000﹣6300＝3700（元）．答：该玩具店销售这两批玩具共盈利3700元．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可；（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．【解答】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C，∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH＝CE，∵BF＝6，∴BH＝3，在Rt△BHO中，OB＝5，∴OH＝＝4，∴CE＝4．25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，∴QG＝×2＝4，∴|﹣x2+3x|＝4，当﹣x2+3x＝4时，△＝9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x＝﹣4时，解得x＝﹣1或x＝4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．。