不等式恒成立

m2 2 m 0或 2
或 0 f
m2 2 (2) 0
m 2
2
分析二: 通过分离参数将原不等式化为
m x 2 , x 1,2 x
设
f
x
x
2 x
x 1,2
转化求f
x
的最大值
变式3：不等式 x2 mx 2 0,在x 1,2
恒成立，求实数 m 的取值范围。
分析:设 f x x2 mx 2, x 1,2 ,由 f x 的图象特征寻找
或 0 f
b
2a
() 0
当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
f ( ) 0
f
(
)
0
(2)当a 0 时， f (x) 0在x [, 上] 恒成立,
当 a 0 时，f (x) 0在x [, 上] 恒成立
分别如何转化?
二次型不等式恒成立问题的处理方法
首先对不等式类型分析,如果是二次不 等式恒成立问题，结合抛物线图象特征， 转化成最值问题;必要时进行分类讨论;有 时也可参数分离转化求新函数的最值.
设 f m x • m x2 2, m 3,3
只要
f
3 0 f 3 0
即
则
x 1或x 2 x 2或x 1
x2
x
2
3x 3x
2 2
0 0
∴ x ,2 1,1 2,
小结：一般地将给定范围的变量当作主元，
再分析关于主元的不等式恒成立问题。
探究三: 形如 f (x) gx的恒成立问题
f x 取最大值的条件
12
12 x
12
x
x
结合抛物线图象特征，只要
f f
(1) 0 (2) 0
m ,3
处理策略：
设 f (x) ax2 bx c
(1)当 a 0 时，f (x) 0在x [, ]上恒成立
f
b 2a
或
( ) 0
f
b 2a
b 2a
0或
感受生活中的不等式恒成立
考试结束，成绩揭晓,几人欢 喜几人愁！教室外面的那个同学考 试成绩比我们班同学都低，用不等 式的知识怎样概括表达？可以归 结为什么类型的问题？
高一期中复习专题课
探究一:形如ax b＜0,对x, 恒成立
例1：不等式 ax 1 0，对x 1, 2恒成立，
求实数 a 的取值范围。
分析一:设 f x ax 1, x 1,2
由f x 的图象特征寻找 f x取最大值的条件 y
01
2 x
-1
原不等式恒成立,只要
f (1) 0
f
(2)
0
∴ a＜1 2
处理策略：
函数 f (x) kx b 在x , 上恒有
f
(x)
0
f f
( ) 0 ( ) 0
函数 f (x) kx b 在x , 上恒有
原不等式恒成立,只要
f (1) 0
源自文库
f
(2)
0
∴
a＜1 2
分析二:通过分离参数将原不等式化为
a＜1x,x 1,2,设
f x 1
x
,
x 1,2
转化求新函数 f x 的最小值
一次型不等式恒成立问题的处理方法
常常利用函数的图象是直线的特征, 转化为区间端点的函数值的不等式组求 解，
有时也可以考虑参数分离,转化为求 新函数的最值。
b 2a
b 2a
0或
或 0 f
b
2a
() 0
变式2：不等式 x2 mx 2 0,在x 1,2
恒成立，求实数 m 的取值范围。
分析一:设 f x x2 mx 2, x 1,2,由 f x 的图象特征寻找
f x 取最小值的条件
f
m 2 (1)
1 或1 0 f
f x 取最小值的条件
f
m 2 (1)
1 或1 0 f
m2 2 m 0或 2
或 0 f
m2 2 (2) 0
m 1
2
2
m 2 2
x
处理策略：
设 f (x) ax2 bx c
(1)当 a 0 时，f (x) 0在x [, ]上恒成立
f
b 2a
或
( ) 0
f
对不同的问题的采取的方法是不一样 的，要根据具体的情境灵活选择。但一 定要借助图象或图象特征分析才能选择 恰当的方法去解题。在分类讨论时要注 意分类的完整性和合理性。
变式4：不等式 x2 mx 2 0,在m 3,3
恒成立，求实数 x的取值范围。
分析：变更主元，把原不等式看作以m为元 的 一次型不等式恒成立
f
(x)
0
f ( ) 0
f
(
)
0
一次型不等式恒成立问题，利用函数的图 象是直线的特征，转化为区间端点的函数 值求解
探究一:形如ax b＜0,对x, 恒成立
例1：不等式 ax 1 0，对x 1, 2恒成立，
求实数 a 的取值范围。
分析一:设 f x ax 1, x 1,2
由f x 的图象特征寻找 f x取最大值的条件
例 3:当 x 1,2时，不等式 x 12 loga x 恒成立，
求实数 a 的取值范围．
y
y1=(x-1)2
y2=logax
数形结合
1
x
o
12
分析：设T1 : f x x 12,T2 : gx loga x，则T1 的图象为
上图所示的抛物线，要使对一切 x 1,2, f x gx恒成立，
m 0,8
处理策略：
设 f (x) ax2 bx c
(1) f (x) 0在x R上恒成立
a
0 0
或
a c
b 0
0
(2) f (x) 0 在x R上恒成立
a
00或ca
b 0
0
变式2：不等式 x2 mx 2 0,在x 1,2
恒成立，求实数 m 的取值范围。
分析一:设 f x x2 mx 2, x 1,2,由 f x 的图象特征寻找
即 T1 的图象一定要在 T2 的所在图象的下方，显然 a 1 ，并且
必须也只需 g2 f 2 1 a 2
试一试
若对任意R,不等式 x ax 恒成立，则实数a的取
范围是（ B ） A. a＜-1 B. -1≤a≤1 C. -1<a＜1 D.a≥1
方法1
y= x
y
y=ax
O
x
数形结合
试一试
若对任意R,不等式 x ax 恒成立，则实数a的取
探究二: 形如 ax2 bx c＞0或 ax2 bx c＜0的恒成立问题
例2：不等式 x2 mx 2 0在x R上 恒成立，求实数m 的取值范围。
分析：设f x x2 mx 2 m 2 2,2 2
由图象特征，只要△＜0
变式1：不等式 mx 2 mx 2 0在x R上 恒成立，求实数 m 的取值范围。