不等式恒成立

合集下载

基本不等式的恒成立问题

基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。

2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。

二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。

- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。

- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。

- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。

2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。

- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。

- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。

- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。

- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。

3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。

不等式恒成立

不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。

不等式的恒成立

不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。

【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。

不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。

解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。

本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。

一、置换法。

这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。

如果成立，则不等式恒成立。

对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。

由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。

二、加法法则。

这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

三、减法法则。

与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

四、乘法法则。

这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

五、除法法则。

与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

六、平方法则。

这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。

对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。

不等式恒成立问题

变式：已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围
由题意得，对于恒成立对于恒成立,令 ,设 ,则，
, , k的取值范围是k> .
解：令，所以原不等式可化为：，
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。
例5：已知，求实数a的取值范围。
解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才能够，所以。
3.设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。
综上可得实数的取值范围为。
4：在 ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。
解析：由
，，恒成立，，即恒成立，
5、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。
解：设，对满足的，恒成立，
解得：
6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。
解：由题意知：在内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数和
观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；

如何解不等式恒成立问题

如何解不等式恒成立问题不等式恒成立问题是中学数学中常见问题之一，也是各级各类考试中常见的题型之一，解答这类问题常常有如下三种常用技巧和思路．一、利用判别式例1 若不等式210mx mx ++>对一切实数恒成立，求实数m 的取值范围．解：当0m =时，10>显然对一切实数恒成立；当0m ≠时，要使不等式210mx mx ++>对一切实数恒成立，须有00m >⎧⎨∆<⎩，，，即2040m m m >⎧⎨-<⎩，，解得04m <<．综上可知，所求实数m 的取值范围是[04)，．说明：①不等式20ax bx c ++>对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨>⎩，，或00a >⎧⎨∆<⎩，；；②不等式20ax bx c ++<对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨<⎩，或00.a <⎧⎨∆<⎩，二、借助形的直观例2 已知当(12]x ∈，时，不等式2(1)log a x x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．分析：本题若直接求解，则较为繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数2()(1)f x x =-与函数()log a g x x =在(12]，上的图象，借助图形可直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2()(1)f x x =-与函数()log a g x x =在(12]，上的图象（如图），从图象中易看出：当01a <<，且(12]x ∈，时，函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的上方，不合题意；当1a >，且(12]x ∈，时，欲使函数()f x 的图象在()g x 的图象的下方或重合，须满足log 2a 1≥，即2a ≤，故所求实数a 的取值范围为(12]，．三、借用重要结论：“不等式()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；不等式()a f x <恒成立max ()a f x ⇔<”例3 若不等式4210x xa ++>g 对一切(1]x ∈-∞，恒成立，求实数a 的取值范围．解：由于40x>，故本题可转化为1124x xa ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对一切(1]x ∈-∞，恒成立，求a 的范围．令11()24xxh x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于函数11()24xxh x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间(1]-∞，上是增函数，所以max 3()(1)4h x h ==-．故34a >-对一切(1]x ∈-∞，恒成立，即所求实数a 的取值范围为34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，．在关于不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

不等式恒成立问题3种基本方法

不等式恒成立问题3种基本方法不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。

一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。

1.不等式化简为等式最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。

例1:y+2除以3大于9，则y大于17令y+2=3x得3x除以3大于9化简得 x大于9代入y+2=3x，y大于17所以y+2除以3大于9时，y大于17。

2.纳法或组合法归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。

特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。

归纳法或组合法的步骤是：1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。

例 2:y>8，则9-y<1第一步： y>8明 y>8成立的第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1第四步：以上四步推出，若y>8，则9-y<13.解法图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。

例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。

通过以上三种方法可以解决许多不等式恒成立的问题，它们各有优缺点，需要在实际操作中根据不等式本身的特点来选择最合适的方法，以达到最好的解决效果。

但是，无论如何，从本质上来讲，学习和掌握数学，尤其是求解不等式恒成立问题，关键在于不断积累知识，勤加练习，加强技巧。

不等式恒成立

不等式的恒成立一．什么叫不等式的恒成立？这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。

关于x 的不等式f(x)≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。

常见的有：2(1)0,;(2)0,;0,0xx x R ax R x ≥∈>∈≥≥等等。

其形式与函数的最值关系如下：m in m ax 1.()();2.()()f x m f x m f x m f x m≥∀∈⇔≥≤∀∈⇔≤对x D 恒成立对x D 恒成立变形方法：分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。

其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方练习：1.下列哪些关系是恒成立的？（1）当x R ∈时26100x x -+>，（2）当0x ≤时，21x≤（3）当1x >时log a x >0(0,1)a a >≠（4）若2()log f x x x =+对任意的12x x >>0，都有12()()f x f x >。

例题一：1.已知函数2()23f x x x =+-，求证当(],2x ∈-∞-时，f(x)的最小值为f(-2) ；说明()(2)f x f ≥-是否恒成立？[]21,3∈->2.对x ,不等式x +2x+1p 恒成立.求p 的取值范变式：2,R ∈>0对x 不等式x +px+1恒成立.求p 的取值范例题二：[]1.1,2x ax ∈>当时,不等式-20恒成立.求a 的取值范围。

变式：若函数()f x = [)1,+∞上有意义，求常数m 的取值范围。

思考：变式与“()f x =的定义域为[)1,+∞，求常数m 的取值”有什么不同？2..已知函数1y x x=-（1）判断函数在()0x ∈+∞上的单调性。

（2）若不等式2x +≤ax-10对任意的1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求常数a 的取值范围。

3．若函数2y kx =图像恒在函数1y kx =-图像的下方，求常数k 的取值范围。

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式的恒成立问题基本解法9种解法在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。

在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。

1. 直接法直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。

通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。

这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。

2. 间接法间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。

当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。

3. 分类讨论法分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。

通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。

这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。

4. 代入法代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。

通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。

这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。

5. 齐次化法齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。

通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。

6. 几何法几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。

通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。

7. 递推法递推法是一种通过递归关系进行推导的方法。

通过建立递推关系，可以得出不等式的递推解，从而得出恒成立条件。

这种方法通常适用于递推关系较为明显的不等式问题，能够通过递推求解不等式问题。

8. 极限法极限法是一种通过极限的性质进行分析的方法。

不等式恒成立

不等式恒成立、能成立、恰成立问题(高一用)【不等式恒成立问题的处理方法】“恒成立”，就是一个代数式在某一个给定的范围内总能成立.对于不等式恒成立问题，我们要注意区分清楚两种不同的情形：一种是对任意实数即x ∈(-∞,+∞)恒成立；另一种是在实数集的某个子集上，如[-2，+∞)是恒成立.它们是不同的，要区别对待.1.转换为求函数的最值.①若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，[f(x)]min >A. ②若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，[f(x)]max <B.例1.(1)设f(x)=x 2-2ax+2对任意的实数x 恒有f(x )≥ a 成立，求实数a 的取值范围.(2)设f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f(x )≥ a 恒成立，求实数a 的取值范围. 解(1) f(x)=x 2-2ax+2对任意的实数x 恒有f(x )≥ a 成立，等价于g(x)= x 2-2ax+2-a≥0对任意的实数x 恒成立，即[g(x)]min = x 2-2ax+2-a≥0或函数g(x)的图像恒在x 的上方或与x 轴只有一个交点. ∴4ac−b 24a=4(2−a)−4a 24≥0 (即∆≤0)，解得-2≤a≤1.(2) f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f(x )≥ a 恒成立，等价于当x ∈[-1，+∞)时，g(x)= x 2-2ax+2-a≥0恒成立，即当x ∈[-1，+∞)时，[g(x)]min = x 2-2ax+2-a≥0. ∵ 函数g(x)图像的对称轴为直线x=a ，开口向上，①当a≤-1时，函数g(x)在[-1，+∞)上单增，∴ [g(x)]min = g(-1)=a+3≥0，得-3≤a≤-1；②当a>-1时，函数g(x)的最小值在顶点处取得，∴ [g(x)]min =4ac−b 24a=4(2−a)−4a 24≥0，解得-1< a≤1. 综合①②知a 的取值范围为[-3，1].说明：此例的两个问题也可以统一为求函数f(x)分别在R 和[-1，+∞)上的最小值，再由f(x)min ≥a ，求a 的取值范围.例2.已知f(x)=x|x-a|+b ，x ∈R ．若b <0，且对任何x ∈[0，1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围．解：当x=0时，a 取任意实数，不等式f(x)<0恒成立.故只需考虑x ∈(0，1]，此时原不等式变为|x-a|<−bx ，即x+bx <a <x −bx ,故(x+bx )max <a<( x −bx )min x ∈(0，1]；又函数g(x)= x+bx在(0，1]上单调递增，∴(x+bx)max =g(1)=1+b ；对于函数h(x)= x −bx x ∈(0，1]，①当b <-1时，在(0，1]上h(x)单调递减( x −bx )min =h(1)=1-b ，又1-b>1+b ，此时a 的取值范围是(1+b ，1-b)．②当-1≤b <0，在(0，1]上，h(x)= x −bx ≥2√−b ，当x=√−b 时，(x −bx )min =2√−b ，此时要使a 存在，必须有{1+b <2√−b −1≤b <0,即-1<b <2√2−3，此时a 的取值范围是(1+b ，2√−b ).综上，当b <-1时，a 的取值范围是(1+b ，1-b)；当-1≤b <2√2−3时，a 的取值范围是(1+b ，2√−b )；当2√2−3≤b <0时，a 的取值范围是∅．例3.已知函数f(x)=x 2-2ax+1，g(x)= ax，其中a>0,x ≠0.对任意x 1∈[1，2]，x 2∈[2，4]，都有f(x 1)>g(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围.解：∵对任意x 1∈[1，2]，x 2∈[2，4]，都有f(x 1)>g(x 2)恒成立，∴ f(x)在[1,2]上的最小值与g(x)在[2，4]上的最大值应满足[f(x)]max >[g (x) ]max. 由已知易得[g (x) ]max = a2. 由于函数f(x)图像的对称轴为直线x=a ，开口向上，结合图像可知：当0<a<1时，[f(x)]max = f(1)=2-2a >a2，解得0<a<45.当a>2时，[f(x)]max = f(2)=5-4a>a 2，解得a<109，不满足a>2. 当a ∈[1，2]时，[f(x)]max = f(a)=1-a 2，解得−1−√174<a <−1+√174，∴ 1≤a ≤2.综上知实数a 的取值范围是：(0，45)∪[1，2].想一想①：已知f(x)=x 2+2x+ax对任意x ∈[1，+∞)，f(x) ≥0恒成立. 试求实数a 的取值范围.2.将主参换位在有些问题的题设条件中，出现的变量往往有两个及以上，这时，我们通常应将给出了取值范围的变量看成主变量，其它的都可看成是参数，这是非常重要的一种处理问题的方法，要引起我们的重视.例4.(1)若对于任意|a|≤1，不等式x 2+(a -4)x+4-2a>0恒成立. 求实数x 的取值范围.(2)已知函数f(x)=ax 2-3x+(a+1) ．若不等式f (x )>x 2-x -a+1对任意a>0都成立，求实数x 的取值范围．解(1)由于已知a 的取值范围，要求x 的取值范围，因此应将a 看成主变量，x 看成参数.令g(a)=(x -2)a+x 2-4x+4，则对于任意|a|≤1，x 2+(a -4)x+4-2a>0恒成立. 由于g(a)是一个以a 为自变量的一次型函数.∴ {g (−1)=x 2−5x +6>0g (1)=x 2−3x +2>0，⇒∈(−∞，1)∪(3，+∞) .(2)由题设知“ax 2-3x+(a+1)>x 2-x -a+1对任意的a ∈R +都成立，即(x 2+2)a -x 2-2x>0对任意的a>0都成立.设h(a)= (x 2+2)a -x 2-2x(a ∈R +)，由于h(a)是一个以a 为自变量的一次函数. ∴ h(0) ≥0，即-x 2-2x ≥0，解得-2≤x≤0.于是x 的取值范围是{x|-2≤x≤0}.例5.若奇函数f(x)的定义域为[-1，1]，且f (1)=1.当m ，n ∈[-1，1]，m+n ≠0时，f (m )+f(n)m+n>0，若f(t)≤t 2-2at+1对于所有的x ∈[-1，1]，a ∈[-1，1]恒成立，求实数t 的取值范围. 解：在f (m )+f(n)m+n>0中将n 用(-n)替换，又∵ f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f (m )−f(n)m−n>0，由此可知奇函数f(x)在[-1，1]上单增，∴ [f(x)]max =f(1)=1.∵f(t)≤t 2-2at+1对所有的x ∈[-1，1]，a ∈[-1，1]恒成立，∴ 1≤t 2-2at+1，即t 2-2at ≥0对所有的a ∈[−1，1]恒成立，令g(a)= -2ta+t 2，则由已知有， {g (1)≥0 g(−1)≥0，解得t ∈{t|t≤-2或t=0或t ≥2}.3.分离参数在恒成立条件下，求参数的取值范围时，原则上来说，应优先考虑此法.前提是能将参数分离出来.思路是将恒成立的不等式变形为g(m) ≥f(x)(或g(m) ≤f(x))(其中m 为待求参数)的形式，然后求f(x)在x ∈D 上的最大值[f(x)]max (或最小值[f(x)]min )，再通过解不等式， g(m) ≥[f(x)]max (或g(m) ≤[f(x)]min )求出参数m 的取值范围.适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出.例6.当x ∈(1,2)时，不等式x 2+mx+4<0恒成立，则m 的取值范围是 . 解:当x ∈(1，2)时，由不等式x 2+mx+4<0恒成立得，m<(−x 2+4x)min .令f(x)=x 2+4x=x +4x ，则易知f(x)在(1,2)上是减函数，∴ x ∈[1,2]时，f(x)max =f(1)=5，则x ∈(1,2)时，(-x 2+4x)min = -5，∴ m ≤-5.想一想②：1.对于满足|p|≤2的所有实数p ，求使不等式x 2+px+1>p+2恒成立的x 的取值范围.2.已知函数f(x)=√1+3x +a ×9x 的定义域为(-∞,1]，求实数a 的取值范围.4.数形结合例7.(1)若不等式a x ≤√x(4−x)在x ∈[0，3]时恒成立，求实数a 的取值范围.(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围. 解(1)法1.在同一直角坐标系中同时作出函数y=ax 和y=√x(4−x) 的图像，如图2.5—1.结合图像知当x=3时，y=√3，a=√33∴ 当a ≤√33在x ∈[0，3]时，总有a x ≤. √x(4−x)法2.当x=0时，不等式成立，此时a ∈R. 当x ≠0时，∵ 0<x ≤3. ∴ a≤√4−x x=√4x −1当0<x ≤3时恒成立，即a≤(√4x −1)min =√33.(2)在同一直角坐标系中同时作出函数y=(x -1)2和y=log a x 的图像，如图2.5—2.∵ x ∈ (1，2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立， ∴ a>1，又由已知当x=2时，log a 2≥(2-1)2，可得a≤2. 综上知 1< a≤2为所求.例8.定义在R 上既奇又单减的函数f(x)，当θ∈(0，π2)时，f(co s 2θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0 恒成立.求实数m 的取值范围.解法1.由f(co s 2θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0，得f(co s 2θ+2msinθ)>-f(-2m-2)，∵ f(x)为奇函数，yxy3 图2.5—1xy1 图2.5—2∴f(co s 2θ+2msinθ)>f(2m2)，又∵f(x)为R 上的减函数，∴(co s 2θ+2msinθ<2m+2，⇒si n 2θ−2msinθ+2m+1>0，令t=sin θ，∵θ∈(0，π2)，∴ t ∈(0，1)，则问题转换为 t 2-2mt+2m +1>0当t ∈(0，1)时恒成立. 设g(t)= t 2-2mt+2m +1，结合图2.5—3知， {m ≤0,g(0)≥0,或{m ≥1,g(1)≥0,或解得m ≥−12 为所求.法2.由法1得t 2-2mt+2m +1>0当t ∈(0，1)时恒成立. ⇒ t 2+1>2m(t -1)，⇒m>t 2+12(t−1) ，令t -1=u ∈(-1，0)，∴ m >12(u +2u +2)，u ∈(−1，0).因此 m ≥[12(u +2u +2)]max =−12 即m ≥−12为所求.5.转换为集合的包含关系例9.当x ∈(13，3)时，|log a x|<1恒成立，求实数a 的取值范围.解：∵ |log a x|<1，∴ -1<log a <1. 当a>1时，1a <x <a ，则问题转化为， (13，3)⊆(1a ，a)，∴ {a ≥3,1a ≤13，，解得a ≥3. 当0<a<1时，a<x<1a ，∴(13，3)⊆(a ，1a )，∴ {1a ≥3,a ≤13，，解得0<a ≤13.综上知实数a 的取值范围为0<a ≤13或a ≥3.想一想③：1.请利用图像再解本节例1(2). 设f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f(x )≥ a 恒成立，求实数a 的取值范围.2.已知三个不等式①x 2-4x+3<0，②x 2-6x+8<0，，③2x 2-9x+m<0．要使同时满足①②的所有x 的值也满足③，求实数m 的取值范围.【不等式能成立问题的处理方法】“能成立”也就是一个代数式在某一个给定的范围内，存在使这个代数式成立的值.使代数式成立的值可能是一个、两个或无穷多个. 同时，在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值.所谓不等式在某个区间D 上“能成立”问题，即对应的不等式在这个区间D 上有解，或者说解集非空，相当于存在x 0使得不等式成立.一般地，有下列对应的结论. ①若在区间D 上存在实数x 0使不等式f(x)>A 成立⇔在区间D 上[f(x)]max >A. ②若在区间D 上存在实数x 0使不等式f(x)<B 成立⇔在区间D 上[f(x)]min <B. ③若在区间D 上存在实数x 0使不等式A<f(x)<B 成立⇔y=f(x)的值域⊇(A ，B).上述的三个结论也可以统一地用函数y=f(x)的值域与对应范围的包含关系来处理. 对于①，可看成函数y=f(x)的值域⊇(-∞，A)；对于②，可看成函数y=f(x)的值域⊇(B ，+∞).例10.若关于x 的不等式x 2-ax -a≤-3有解，求实数a 的取值范围．.0<∆解：令f(x)=x2-ax-a.则关于的不等式x2-ax-a≤-3有解⇔f(x) ≤−3的解集非空⇔f(x)≤-3 在R上能成立⇔[f(x)]min≤-3.∵[f(x)]min=−4a+a24，∴ −4a+a24≤-3，解得a≤-6或a≥2.想一想④：若不等式kx2+k-2<0有解，求实数k的取值范围.【不等式恒成立、能成立的混合问题】①设函数f(x)、g(x)对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f min(x) ≥g min(x).②设函数f(x)、g(x)对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f max(x)≤ g max(x).③设函数f(x)、g(x)若存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f max(x) ≥g min(x).④设函数f(x)、g(x)若存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f min(x) ≤g max(x).对于①可先将带有存在性语句的那个式子g(x2)看成是定值，带有任意的那个式子f(x1)看成是恒成立，则有f min(x) ≥g(x2)，再将f min(x)看成定值利用能成立得到f min(x) ≥g min(x). 对于②可类似地处理.对于③可将任何一个带有存在性语句的那个式子如g(x2)看成是定值，利用能成立得到f max(x) ≥g(x2)，再将f max(x)看成定值利用能成立得到f max(x) ≥g min(x).对于④可类似地处理.例11.已知两函数f(x)=x+2，g(x)=(0.5)x-m，对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围为.解:对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，等价于g(x)=(0.5)x-m在[1,2]上的最小值14−m小于在f(x)=x+2在[0，2]上的最小值2，即2>14−m，∴m>-74.例12.已知两函数f(x)=-x2+2x-c，g(x)=-2x+1.(1)若对任意x∈[−3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围.(2)存在x∈[−3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围.(3)对任意x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)，求实数c的取值范围.(4)存在x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)，求实数c的取值范围.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=x2-4x+c+1，问题转化为x∈[−3,3]时，h(x)≥0恒成立，故h min(x)≥0.易知x∈[−3,3]时，h min(x)=h(2)= c-3，h min(x)=h(-3)=c+22.∴ h min(x)=c-3≥0,得c≥3.(2)据题意：存在x∈[−3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[−3，3]上有解，故h max(x) ≥0，由(1)知h max(x)=c+22，于是得c≥-22.(3)它与(1)虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)的充要条件是：f max(x) ≤g min(x) x∈[−3，3].∵f max(x)=f(1)=1-c，g min(x)=g(3)=-5,∴1-c≤-5,得c≥6.(4)存在x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)，等价于f min(x)≤g max(x2)，而f min(x)=f(-3)-15-c,g max(x2)=g(-3)=7，∴ -c-15≤7，得c≥-22.【不等式恰好成立问题的处理方法】“恰成立”，也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的，或曰这个代数式只有在这个范围内成立，在这个范围外的值都不能使这个代数式成立.不等式恰成立问题，若说其解集是M，则M的端点值就一定是对应方程的根；若说函数f(x)的值域为[a，b]，等价于不等式a≤f(x) ≤b 的解集为[a ，b].例13.(1)若不等式ax 2+bx+2<0的解集为{x|1<x<2}.则a+b=___________. (2)已知f(x)=x 2+3x+ax，当x ∈[2，+∞)的值域是[1，+∞).试求实数a 的值.解(1)∵ 不等式ax 2+bx+2<0的解集为{x|1<x<2}，∴ 方程ax 2+bx+2=0的两根为1或2.由韦达定理知{ a >0，b a=3，2a =2，⇒{a =1b =−3，⇒a +b =−2.(2)这是一个恰成立问题，它相当于x 2+3x+ax≥1的解集是x ∈[2，+∞).由x 2+3x+ax≥1，⇒x 2+2x+ax≥0，从而不等式x 2+2x+a ≥0的解集为x ∈[2，+∞)，∴ x=2是方程x 2+2x+a=0的一个根，易得 a= -8.想一想⑤：若对于不等式|x -2|+|x+1|<a ，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M.对于任意x ∈[0,5]使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M ，N ．习题2.51.已知不等式kx 2+kx+6x 2+x+2>2对任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.2.已知不等式x 2-2x+a>0对任意的x ∈[2，3]恒成立. 求实数a 的取值范围.3.对任意的a ∈[-2，2]，函数f(x)=x 2+(a -4)x+4-2a 的值恒为正.求x 的取值范围.4.若不等式x 2-log m x<0在(0，12)内恒成立，则实数m 的取值范围.5.①若x ，y 满足方程x 2+(y -1)2=1，不等式x+y+c ≥0恒成立.求实数c 的范围. ②若x ，y 满足方程x 2+(y -1)2=1，x+y+c=0.求实数c 的范围.6.设f(x)=lg1x +2x +3x +⋯+(n−1)x +n x an，其中a 为实数，n 为任意给定的自然数，且n ≥2，如果f(x)当x ∈(−∞，1]时有意义，求a 的取值范围.7.求使关于p 的不等式x 2+px+1<2x+2在p ∈[-2，2]有解的x 的取值范围.8.设命题P:x 1，x 2是方程x 2-ax -2=0的两根，不等式|m 2-5m -3|≥|x 1-x 2|对任意的a ∈[-1，1]恒成立.命题Q ：不等式|x -2m|-|x|>1(m>0)有解.若命题P 和命题Q 都是真命题，求m 的值范围.9.已知函数f(x)=x 2-2x ，g(x)=ax+2(a>0).若x 1∈[-1，2]，x 2∈[-1，2]，使得f(x 1)=g(x 2). 求实数a 的取值范围.10.已知函数f(x)=x 2-2ax+5.若f(x)在区间(-∞，2]上单减，且对任意x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4，求实数a 的取值范围. 11.已知f(x)=x 2+2x+ax，当∈[1，+∞)，f(x)的值域是[0，+∞)，试求实数a 的值.∀∃数学花絮柯西与柯西不等式柯西(Cauchy，Augustin Louis 1789~1857).出生于巴黎.幼年时，由于他父亲国会议员的身份，使其有机会接触到同为议员的拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家，并得到他们的悉心指导.但是，由于身体的原因，少年时代的柯西把主要精力放在对文学的研究上.20多岁时，柯西在数学方面的发展极为迅速，正应验了当年拉格朗日所言“柯西会超越我们所有人.”在当时的数学界，比柯西还具有“洪荒之力”和优秀绝伦的只有一个人——高斯，这位无与伦比的科学巨人.在很多数学专业书籍里面(如“数学分析”，“常微分方程”，“初等数论”，“复变函数”等)常常可以看到柯西耕耘的身影；很多数学的定理和公式也都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，柯西中值定理，柯西分布⋯⋯等等.柯西的创造力很惊人，从他23岁写出第一篇论文到68岁逝世的45年中，他共发表了800多篇论文，出版了7本专著.1849年仅在法国科学院8月至12月的9次会上，他就提交了24篇短文和15篇研究报告.他的文章朴实无华、充满新意. 27岁的柯西就当选为法国科学院院士，同时，还是英国皇家学会会员和几乎所有外国科学院的院士.柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严密的表述与证明方法.在这方面他写下了三部专著：《分析教程》（1821年）、《无穷小计算教程》（1823年）、《微分计算教程》(1826—1828年).他的这些著作，摆脱了微积分单纯的几何、运动的直观理解和物理现象的解释，引进了严格的分析上的叙述与论证，从而形成了微积分的现代体系.今天教科书中的微积分概念就是柯西建立起来的.人们通常将柯西看作是近代微积分学的奠基者.柯西的另一个重要贡献是发展了复变函数的理论，并取得了一系列重大成果.柯西对物理学、力学和天文学都做过深入研究.特别在固体力学方面，奠定了弹性理论的基础，在这门学科中以他的名字命名的定理和定律就有16个之多，仅凭这项成绩，就足以使他跻身于世界杰出的科学家之列.在中学阶段，我们在数学里接触到柯西是从“柯西不等式”开始的.下面，就柯西不等式作一些简单的拓展.【柯西不等式】设有两组实数a i，b i，i=1，2，3，⋯，n.则有(a12+a22+⋯+a n2)( b12+b22+⋯+b n2)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.证明思路：1.构造二次函数或一元二次方程，利用判别式；2.利用向量数量积的性质|m⃗⃗⃗ |∙|n⃗ |≥|m⃗⃗⃗ ∙n⃗ |.【变形形式1】a1b1+a2b2+⋯a n b n≤|a1b1+a2b2+⋯a n b n|≤√a12+a22+⋯a n2√b12+b22+⋯b n2.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.推证思路：在柯西不等式的基础上两边开方，并利用绝对值不等式传递.【变形形式2】(a1+a2+⋯+a n)( b1+b2+⋯+b n)≥(√a1b1+√a2b2+⋯+√a n b n)2.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时取等号.其中a i，b i为非负实数，i=1,2,⋯，n.推证思路：将a i→√a i，b i→√b i即可.【变形形式3】√a12+a22+⋯+a n2+√b12+b22+⋯+b n2≥√(a1±b1)2+(a2±b2)2+⋯+(a n±b n)2.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.推证思路：令m=(a1，a2，⋯a n)，n=(b1，b2，⋯b n).再利用n维向量模的三角不等式：|m|+|n|≥|m±n|即可.【变形形式4】a12 b1+a22b2+⋯+a n2b n≥(a1+a2+⋯+a n)2b1+b2+⋯+b n.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.其中a i为任意实数，b i为非负实数，i=1，2，3，⋯，n.推证思路：构造两组数√b i，i√b i即可.【变形形式5】a1 b1+a2b2+⋯+a nb n≥(a1+a2+⋯+a n)2a1b1+a2b2+⋯+a n b n当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.其中a i，b i为非负实数，i=1，2，3，⋯，n.推证思路：构造两组数√a i b i，√a i bi即可.柯西不等式的应用是十分广泛的，比如平面内，点到直线的距离公式就可以利用它来推证.已知点P(x0，y0)及直线l: Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离为00√A+B.证明：设点P1(x1，y1)是l上任意一点，∴Ax1+By1+C=0，⇒Ax1+By1= -C.∵|PP1|=√(x−x0)2+(y−y0)2，由柯西不等式得，√A2+B2√(x−x0)2+(y−y0)2≥|A(x-x0)+B(y-y0)|=| Ax1+By1-( Ax0+By0)|=| Ax0+By0+C |∴|PP1|≥00√A+B ，当且仅当y−y0x−x0=BA，即PP1⊥l时取等号，因此，|PP1|的最小值为00√A2+B2，而|PP1|的最小值就是点P到直线l的距离，∴d =00√A+B.【参考答案】想一想①：法1.等价于h(x)=x2+2x+a≥0对任意x∈[1，+∞)恒成立，又等价于当x≥1时，[h(x)]min≥0恒成立.由于h(x)在[1，+∞)上为增函数，则[h(x)]min=h(1)=a+3≥0，∴a≥-3为所求.法2.∵f(x)=x+ax+2，当a≥0且x≥1时，f(x) ≥0恒成立.又当a<0时，由f′(x)=1−ax2>0知，f(x)在∈[1，+∞)上单增，可得-3≤a<0.综合知a≥-3为所求.法3.由法1，h(x)=x 2+2x+a≥0对任意x ∈[1，+∞)恒成立，得a≥-(x 2+2x)对任意x ∈[1，+∞)恒成立，∴ a≥[-(x 2+2x)]max =-3.想一想②：1.提示：变换主参. x<-3或x>1.2.提示：转换为1+3x +a·9x≥0，对任意的x≤1恒成立.即a ≥−(13)x −(13)2x ，可得a ≥−49.想一想③：1.参考例6.答案同前.2.m ≤9.想一想④：不等式kx 2+k -2<0有解⇔k <2x 2+1有解⇔k <(2x 2+1)max =2，∴ k<2为所求.想一想⑤：M={a|a>3}.N={a|a>9}.习题2.51.[2,10).2. a>0.3. x<0或x>4. 4. [116，1). 5.①利用圆的参数方程.c ≥√2−1②利用圆心到直线的距离d ≤1.c ∈[−1−√2，−1+√2]. 6.转化为a >−[(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n)x](n ≥2)，对于x ∈(−∞，1]恒成立.造函数g(x)= −[(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n)x]，注意到函数g(x)单增，可得a>-n−12.7. (-1，1)∪(1，3). 8. 12<m≤5或m≥6.9.当x ∈[-1，2]时，f(x)∈[-1，3]. ∵ a>0，∴ g(x)∈[-a+2，2a+2].又∵ 若∀x 1∈[-1，2]，x 2∈[-1，2]，使得f(x 1)=g(x 2). ∴ [-1，3][-a+2，2a+2].因此{−a +2≤−12a +2≥3，解得a ≥3. 10.∵ 函数f(x)=x 2-2ax+5.若f(x)在区间(-∞，2]上单减，∴a ≥2. 又∵对任意x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4，∴ f(x)max -f(x)min ≤4.由于函数f(x)=x 2-2ax+5的对称轴x=a 在区间[1，a+1]内，且图像的开口向上，∴ f(x)min =f(a)=5-a 2. 又∵ (a-1)-(a+1-a)=a-2≥0， ∴ f(x)max =f(1)=6-2a ，由f(x)max -f(x)min ≤4解得 -1≤a≤3，结合a ≥2知，实数a 的取值范围为[2，3].又∵ f ‘(x )=16x =16 ，可得[f(x)]max =f(3)=120-k. 令120-k≤-21，解得k≥141. 11.这是一个恰成立问题，它相当于f(x)=x 2+2x+ax≥0的解集是x ∈[1，+∞).令f(1)=0，得a= -3.∃⊆。

八种解法解决不等式恒成立问题

八种解法解决不等式恒成立问题1最值法例1．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（I ）试确定b a ,的值；（II ）讨论函数)(x f 的单调区间；（III ）若对于任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．分析：不等式22)(c x f -≥恒成立，可以转化为2min 2)(c x f -≥解：（I ）（过程略）3,12-==b a ．（II ）（过程略）函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞．（III ）由（II ）可知，函数)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值．要使22)(c x f -≥（0>x ）恒成立，只需223c c -≥--，解得23≥c 或1-≤c ．所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞⋃--∞．评注：最值法是我们这里最常用的方法．a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔)(min ；a x f ≤)(恒成立a x f ≤⇔)(max ．2分离参数法例2．已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(22（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若不等式e n a n ≤++)11(对于任意*∈N n 都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值．分析：对于（II ）不等式e na n ≤++)11(中只有指数含有a ，故可以将函数进行分离考虑．解：（I ）（过程略）函数)(x f 的单调增区间为)0,1(-，)(x f 的单调减区间为),0(+∞（II ）不等式e n a n ≤++)11(等价于不等式1)11ln()(≤++n a n ，由于111>+n ，知1)11ln()(≤++na n n n a -+≤⇔)11ln(1；设x x x g 1)1ln(1)(-+= ]1,0(∈x ，则221)1(ln )1(1)(x x x x g +++-=')1(ln )1()1(ln )1(2222x x x x x x ++-++=．由（I ）知，01)1(ln 22≤+-+x x x ，即0)1(ln )1(22≤-++x x x ；于是，0)(<'x g ]1,0(∈x ，即)(x g 在区间]1,0(上为减函数．故)(x g 在]1,0(上的最小值为12ln 1)1(-=g ．所以a 的最大值为12ln 1-．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当]2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f x x g a log )(=在]2,1(∈x 观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f 与函数x x g a log )(=在(∈x 图象（如右），从图象中容易知道：当0<a )(x g 上方，不合题意；当1>a 且]2,1(∈x 或部分点重合，就必须满足12log ≥a ，即21≤<a ．故所求的a 的取值范围为]2,1(．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法． 4 变更主元法例4．对于满足不等式11≤≤-a 的一切实数a ，函数)24()4(2a x a x y -+-+=的值恒大于0，则实数x 的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以x 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于0对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设)44()2()(2+-+-=x x a x a f ，]1,1[+-∈a ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立的问题．故应该有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(f f ，解得1<x 或3>x ．所以实数x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设0a 是常数，且1123---=n n n a a （*∈N n ）．（I ）证明：对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．（II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意1≥n 有1->n n a a 求出0a 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I ）递推式可以化归为31)3(32311+-=--n n nn a a ，]51)3[(3251311--=---n n n n a a ，所以数列}513{-n n a 是等比数列，可以求得对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．（II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，取2,1=n 就有⎩⎨⎧>=->-=-0603101201a a a a a a 解得3100<<a ；下面只要证明当3100<<a 时，就有对任意*∈N n 有01>--n n a a 由通项公式得011111215)1(2)1(332)(5a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅-+⋅-⋅+⋅=------当12-=k n （*∈N k ）时，02523322152332)(511101111=⋅-⋅+⋅>⋅⋅-⋅+⋅=--------n n n n n n n n a a a当k n 2=（*∈N k ）时，023*********)(51101111=⋅-⋅>⋅⋅+⋅-⋅=-------n n n n n n n a a a ，可见总有1->n n a a ．故0a 的取值范围是)31,0(评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法． 6分段讨论法例6．已知2)(--=a x x x f ，若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围．解：（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈（ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x -＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x=-∈=+∈ 则221)(xx g +='＞0，∴()g x 是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==- 221)(xx h -='＜0，∴()h x 是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h == 此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）．例7．若不等式032>+-ax x 对于]21,21[-∈x 恒成立，求a 的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对x 进行分段讨论，当0=x 时，不等式恒成立，所以，此时R a ∈；当]21,0(∈x 时，不等式就化为x x a 3+<，此时x x 3+的最小值为213，所以213<a ；当)0,21[-∈x 时，不等式就化为x x a 3+>，此时x x 3+的最大值为213-，所以213->a ；由于对上面x 的三个范围要求同时满足，则所求的a 的范围应该是上三个a 的范围的交集即区间)213,213(- 说明：这里对变量x 进行分段来处理，那么所求的a 对三段的x 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在),0(+∞的函数)(x f 满足)()()(xy f y f x f =+，且1>x 时不等式0)(<x f 成立，若不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对于任意),0(,+∞∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．解：设210x x <<，则112>x x ，有0)(12<x x f ．这样，0)()()()()()()()(121112111212<=-+=-⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ，则)()(12x f x f <，函数)(x f 在),0(+∞为减函数．因此)()()(22a f xy f y x f +≤+⇔)()(22xy a f y x f ≤+⇔xy a y x ≥+22xy y x a 22+≤⇔；而2222=≥+xy xyxy y x （当且仅当y x =时取等号），又0>a ，所以a 的取值范围是]2,0(．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式012>++ax ax 对于任意R x ∈恒成立．则实数a 的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意R x ∈恒成立，可以选择判别式法．解：当0=a 时，不等式化为01>，显然对一切实数恒成立；当0≠a 时，要使不等式012>++ax ax 一切实数恒成立，须有⎩⎨⎧<-=∆>0402a a a ，解得40<<a ．综上可知，所求的实数a 的取值范围是)4,0[．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于x 的不等式ax xx x ≥-++232525在]12,1[∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵]12,1[∈x ，∴不等式可以化为a x x x x ≥-++5252；下面只要求x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值即可，分段处理如下．当]5,1[∈x 时，x x x x f 256)(2++-=，223225622562)(x x x x x x f -+-=-+-='，再令2562)(231-+-=x x x f ，0126)(21=+-='x x x f ，它的根为2,0；所以在区间)2,1[上有0)(1>'x f ，)(x f 递增，在区间]5,2(上有0)(1<'x f ，)(x f 递减，则就有2562)(231-+-=x x x f 在]5,1[∈x 的最大值是017)2(1<-=f ，这样就有0)(<'x f ，即)(x f 在区间]5,1[是递减．同理可以证明)(x f 在区间]12,5[是递增；所以，x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值为10)5(=f ，即10≤a ．技巧解：由于]12,1[∈x ，所以，25225≥+xx ，052≥-x x 两个等号成立都是在5=x 时；从而有10525)(2≥-++=x x x x x f （5=x 时取等号），即10≤a ．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。

不等式恒成立的条件

不等式恒成立的条件在数学中，不等式是一个常见的概念，是指两个或多个数或变量之间的大小关系。

当不等式的两边用某种方法进行等价变换后，如果变换后的不等式恒成立，那么我们就称这个不等式为恒等不等式。

那么，不等式恒成立的条件是什么呢？下面是详细的介绍。

一、一元一次不等式的恒成立条件1.当不等式形如ax>b时，若a>0，那么不等式恒成立的条件是x>b/a；若a<0，那么不等式恒成立的条件是x<b/a。

2.当不等式形如ax<b时，若a>0，那么不等式恒成立的条件是x<b/a；若a<0，那么不等式恒成立的条件是x>b/a。

二、一元二次不等式的恒成立条件1.当不等式形如ax^2+bx+c>0时，若a>0，那么恒成立的条件是x<-b/(2a)或x>-b/(2a)；若a<0，那么恒成立的条件是x∈R。

2.当不等式形如ax^2+bx+c<0时，若a>0，那么恒成立的条件是x>-b/(2a)且x<-b/(2a)；若a<0，那么恒成立的条件是不存在实数x能使不等式成立。

三、绝对值不等式的恒成立条件1.当不等式形如|ax+b|>c时，若a>0，那么恒成立的条件是x<-b/a-c或x>-b/a+c；若a<0，那么恒成立的条件是x∈(-∞,-b/a-c]U[b/a+c,+∞)。

2.当不等式形如|ax+b|<c时，那么恒成立的条件是-x<b/a-c且x>-b/a-c或-x<b/a+c且x>-b/a+c。

总结而言，不等式恒成立的条件是通过对不等式进行一系列的等价变换，并求解使得不等式成立的参数或变量的值。

这个过程需要一定的数学知识和技巧，需要有耐心去理解、推导和计算。

只有掌握了不等式恒成立的条件，才能更好地运用不等式去解决实际问题。

不等式“恒成立”问题的解法

不等式“恒成立”问题的解法对于不等式问题，“恒成立”是一个重要的概念。

如果一个不等式对于所有的变量的取值都成立，那么我们就说这个不等式“恒成立”。

在本文中，我们将介绍几种方法，解决不等式“恒成立”问题。

寻找不等式“恒成立”的方法1. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，它可以证明一个结论对于所有自然数都成立。

我们可以借助数学归纳法来证明一个不等式对于所有变量取值都成立。

首先，我们要确定一个起点。

假设我们要证明不等式P(n)对于所有 $n \\in \\mathbb{N}$ 都成立，我们需要找到一个n0，使得不等式P(n0)是成立的。

通常情况下，我们选择n0=1。

接下来，我们需要证明不等式P(n)成立时，不等式P(n+1)也成立。

也就是说，我们需要证明P(n+1)与P(n)之间的关系。

如果我们能证明 $P(n)\\Rightarrow P(n+1)$，那么就可以使用数学归纳法证明不等式P(n)对于所有 $n \\geq n_0$ 都是成立的。

2. 分析不等式的性质在一些特定的不等式中，我们可以利用它们的性质来证明恒成立的情况。

例如，对于任何一组实数a1,a2,...,a n，我们都有：$$ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + ... + (a_{n-1} - a_n)^2 \\geq 0 $$不等式左侧是一组非负实数的和，因此它一定大于等于零。

所以，上面的不等式对于所有实数a1,a2,...,a n都是恒成立的。

3. 利用代数等式有时，我们可以通过将一个不等式转化为代数等式来解决恒成立的问题。

例如，假设我们要证明不等式 $x^2 + y^2 \\geq 2xy$ 对于所有实数x和y都成立。

我们可以将这个不等式变成以下代数等式：$$ (x - y)^2 \\geq 0 $$根据平方数的非负性，不等式左侧一定大于等于零，所以原来的不等式对于所有实数x和y都是成立的。

实例分析接下来，我们将通过几个实例来演示如何使用上述方法解决不等式“恒成立”的问题。

不等式--恒成立问题

不等式恒成立问题四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。

法一：转换主元法。

适用于一次型函数。

法二：化归二次函数法。

适用于二次型函数。

法三：分离参数法。

适用于一般初等函数。

法四：数型结合法。

1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。

此方法通常化为一次函数。

例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x03-2x 2x22解之：得x 的取值范围为231x 271+<<+-2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。

结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。

例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<<解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立记f(x)=x 2-x-a 2+a+1则应满足(-1)2-4(-a 2+a+1)<0化简得 4a 2-4a-3<0 解得 2321<<-a ,故选择C 。

例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

解：设f(x)=x 2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，求m 的取值范围。

不等式恒成立问题(教师版)

不等式恒成立问题解不等式恒成立问题常用的方法有：（1）最值法：不等式M x f >)(（M 为常数）恒成立M x f >⇔min )(；不等式N x f <)(（N 为常数）恒成立N x f <⇔max )(．（2）数形结合法：不等式)()(x g x f >在D x ∈上恒成立⇔当D x ∈时，)(x f 的图象在)(x g 的图象的上方；（3）分离参数法（实质上是最值法）：若不等式0)(>x f （或0)(<x f ）恒成立，且不等式中含有参数a ，可先把含参数a 的式子分离出来，即把不等式转化为)()(x g a h >或)()(x g a h <，然后用最值法求解；（4）判别式法（实质上是最值法）：对于二次不等式在R 上恒成立适用．二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 在R 上恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 在R 上恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ． 1．一次不等式在给定范围上恒成立问题求解方法：数形结合法设b kx x f +=)(，不等式0>+b kx 在],[n m 上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ；不等式0<+b kx 在],[n m 上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f ．例1．当]2,1[-∈x 时，不等式032>+ax 恒成立，求实数a 的取值范围．解：数形结合法设32)(+=ax x f ，则函数)(x f 在]2,1[-∈x 上的图象为一条线段，由题意，该线段在x 轴上方，因此只须要该线段的两个端点在x 轴上方，∴⎩⎨⎧>>-0)2(0)1(f f ，即⎩⎨⎧>+>+-034032a a ，解得2343<<-a ．例2．已知不等式x m mx x 4242+>++对一切]3,21[∈m 都成立，求x 的取值范围．分析：条件是当]3,21[∈m 时不等式恒成立，因此不等式中的m 应看作是变量，x 看作是参数，故不等式为关于m 的一次不等式．解：数形结合法 044)2(42422>+-+-⇔+>++x x m x x m mx x ，设44)2()(2+-+-=x x m x m f ，当]3,21[∈m 时，不等式0)(>m f 恒成立，则有 1044)2(3044)2(210)3(0)21(22-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+-+->+-+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>x x x x x x x f f 或2>x ． 2．二次不等式恒成立问题（1）二次不等式在R 上恒成立问题求解方法：判别式法二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 在R 上恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 在R 上恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ．例3．对任意实数x ，不等式0)23(42>++-k kx kx 恒成立，求实数k 的取值范围．解法一：判别式法当0=k 时，不等式为02>，此不等式对任意实数x 恒成立，符合题意；当0≠k 时，原不等恒成立，则须⎩⎨⎧<+-=∆>0)23(41602k k k k ，解得20<<k ，综上所述，原不等式恒成立时，实数k 的取值范围是)2,0[．解法二：最值法设)23(4)(2++-=k kx kx x f ，当0=k 时，02)(>=x f 恒成立，符合题意；当0<k 时，)(x f 为二次函数，其图象开口向下，函数值可取负值，不符合题意，故0>k ．当0>k 时，k kk k k x f -=--+=24)4()23(4)(2min ，所以0)23(42>++-k kx kx 恒成立，则须0)(min >x f ，即02>-k ，∴2<k ，又0>k ，∴20<<k ，综上所述，原不等式恒成立时，实数k 的取值范围是)2,0[．（2）二次不等式在给定范围上恒成立问题求解方法：最值法、分离参数法【最值法】设)0()(2≠++=a c bx ax x f ．①当0>a 时，不等式02>++c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧><-0)(2m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤02n a b m 或⎪⎩⎪⎨⎧>>-0)(2n f n a b ． ②当0>a 时，不等式02<++c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f ．③当0<a 时，不等式02>++c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ． ④当0<a 时，不等式02<++c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧<<-0)(2m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤02n a b m 或⎪⎩⎪⎨⎧<>-0)(2n f n a b ．说明：若二次不等式的二次项系数为负数时，可以通过在不等式的两边同时乘以1-（注意不等号方向要改变），把二次项系数化为正数来求解，即情形③和④可以转化为情形①或②求解．【分离参数法】若不等式0)(>x f （或0)(<x f ）恒成立，且不等式中含有参数a ，可先把含参数a 的式子分离出来，即把不等式转化为)()(x g a h >或)()(x g a h <，然后用最值法求解．例4．当30≤≤x 时，不等式02)1(2>--+-a x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．解法一：最值法设2)1()(2--+-=a x a x x f ，)(x f 的图象的对称轴为21+=a x ，依题意有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=<+02)0(021a f a 或⎪⎩⎪⎨⎧<+++=∆≤+≤0)2(4)1(32102a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>-=>+044)3(321a f a2-<⇒a 或φ∈a 或φ∈a 2-<⇒a ．解法二：分离参数法由02)1(2>--+-a x a x ，得2)1(2--<+x x x a ，当30≤≤x 时，411≤+≤x ， ∴2122-=+--<x x x x a ，当30≤≤x 时，函数2-=x y 的最小值为2-，∴2-<a ，所以原不等式恒成立时，实数a 的取值范围是)2,(--∞．例5．当1-≤x ≤3时，不等式052222>-+-m mx x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：最值法设522)(22-+-=m mx x x f ，函数)(x f 的图象的对称轴为m x =．由题意，有①⎩⎨⎧>--≤0)1(1f m 或②⎩⎨⎧<∆<<-031m 或③⎩⎨⎧>≥0)3(3f m ，解①得2-<m ，解②得35<<m ，解③得3≥m ，∴m 的取值范围是),5()2,(+∞--∞Y ．[评析]若此题用分离参数法，则需要用求根公式分离参数m ，显然解法较繁琐，因此此题不适合用分离参数法，故考虑用最值法．例6．若不等式083)21(2<-+-+a x a x 对23<<-x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：最值法设83)21()(2-+-+=a x a x x f ，则当23<<-x 时，函数)(x f 的图象在x 轴下方，结合图象可知，⎩⎨⎧≤≤-0)2(0)3(f f ，即⎩⎨⎧≤-+-+≤-+--083)21(24083)21(39a a a a ，解之得922≤≤-a ． [评析]由083)21(2<-+-+a x a x ，得8)32(2-+>-x x x a ．当23<<-x 时，1329<-<-x ，若用分离参数，则需分0329<-<-x ，032=-x 和1320<-<x 三种情况讨论，解法较复杂，故此题不适合用分离参数法．。

不等式恒成立的公式

不等式恒成立的公式
在数学中，不等式是用来描绘数值之间的大小关系的表达式。

而符合某些条件的不等式有时会表现出恒成立的特点。

在本文中，我将介绍一些与不等式恒成立相关的公式。

1. 平方不等式：
当a为正实数时，对于任意实数x，恒有a^2 ≥ 0恒成立。

这个公式表明了平方数始终大于等于零。

2. 加法不等式：
对于任意实数a和b，恒有a + b ≥ 2√(ab)恒成立。

这个公式被称为算术-几何平均不等式（AM-GM不等式），它指出两个正实数的和始终大于等于它们的算术平均值的两倍根号。

3. 奇偶不等式：
对于任意实数x和y，当x为奇数，y为偶数时，恒有xy < x^2 + y^2恒成立。

这个公式说明了在给定条件下，奇数乘以偶数的结果始终小于它们各自的平方和。

4. 三角不等式：
对于任意实数a、b和c，恒有|a + b| ≤ |a| + |b|恒成立。

这个不等式被称为三角不等式，它说明了两个实数的绝对值之和始终小于等于这两个实数绝对值的和。

5. 复数不等式：
对于任意复数z，恒有|z|^2 ≥ 0恒成立。

这个不等式表明了复数的模的平方始终大于等于零。

这些公式是在不等式恒成立时经常出现的特例。

它们在数学推理和证明中起着重要的作用，帮助我们理解不等式的性质和关系。

不等式恒成立

基本不等式的恒成立问题

不等式恒成立

不等式的恒成立

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式 恒成立问题

如何解不等式恒成立问题

不等式恒成立问题3种基本方法

不等式恒成立

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式恒成立

八种解法解决不等式恒成立问题

不等式恒成立的条件

不等式“恒成立”问题的解法

不等式--恒成立问题

不等式恒成立问题(教师版)

不等式恒成立的公式

不等式恒成立问题