电磁学第1章
电磁学第一章习题
不同点，U 不等。。
⑦ E 相等的场中， U 是否相等？
相等
2 计算
E, U , (F , ,W , A)
（1） E
————
1 E
4 0
dq
r2
rˆ
S
E dS
qi
0
E U
（2）U —— 叠加原理-积分求和：
（a）已知 q 分布——（U∞=0） U
4、dq 2 r dl 2 R sin Rd
r Rdr
R
dq Rd Rsin d
R O
R O
5、 dq 4r 2dr
或：
dq r 2 sin dr d d
例1：求半径为 R 的均匀带电Q半圆形细环
圆心处的场强。
dl
解：建坐标系如图，取微元
d q Rd
R
d
x
由对称性，Ex=0, 而
L
这表明静电力是
保守力
，
也表明 静电场中的电力线 不可能闭合 。
10、有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，
电荷体密度 ρ=A/r ，在球心处有一点电荷 Q ，证 明当 A = Q/(2πa2) 时，球壳区域内的场强 E
的大小与 r 无关。
证：由高斯定理，有
E
1
4 0r 2
Q
r
a
A 4
r
r
p
p0
(b)U p E dl .
p
b
(d )Aab q E dl q U ab .
a
① 如图，
A
B
C
E
若将 q0 >0 放在 B 点，它向何方运动？ 向 C
程稼夫电磁学第二版第一章习题解析
程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律：由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有：算得1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ：这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T：解得1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消：解得：（2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消：解得：1-4设向上位移为x，则有：结合牛顿第二定律以及略去高次项有：1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间：先由库仑定律写出静电力标量式：有几何关系：联立解得由库仑定律矢量式得：解得1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡（2）对一个负电荷，合外力提供向心力：解得1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势能：对势能求导得到受力：小量近似，略去高阶量：当q＞0时，；当q＜0时，（2）由上知1-8设q位移x，势能：对势能求导得到受力：小量展开有：，知1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得设它在平衡位置移动一个小位移x，有：小量展开化简有：受力指向平衡位置，微小谐振周期（2）1-101-11先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ.有：显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等.利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0.1-12（1）如图，取θ和，设线电荷密度λ，有：积分得（2）（3）用圆心在场点处，半径，电荷线密度与直线段相等的，张角为θ0 （）的一段圆弧替代直线段，计算这段带电圆弧产生的场强大小，可以用其所张角对应的弦长与圆弧上单位长度所产生的电场强度大小的积求得：1-13我们先分析一个电荷密度为ρ，厚度为x的无穷大带电面（图中只画出有限大），取如图所示高斯面，其中高斯面的两个相对面平行于电荷平面，面积为S，由高斯定理：算得，发现这个无穷大平面在外部产生的电场是匀强电场，且左右两边电场强度相同，大小相反.回到原题，由叠加原理以及，算得在不存在电荷的区域电场强度为0（正负电荷层相互抵消.）在存在电荷的区域，若在p区，此时x处的电场由三个电荷层叠加而成，分别是左边的n区，0到x范围内的p区，以及右边的p区，有：，算得同理算出n区时场强，综上可得1-14（1）取半径为r的球形高斯面，有：，解得（2）设球心为O1，空腔中心为O2，空腔中充斥着电荷密度为−ρ的电荷，在空腔中任意一点A处产生的电场为：（借助第一问结论）同时在A处还有一个电荷密度为+ρ则有：1-15取金属球上一面元d S，此面元在金属球内侧产生指向内的电场强度，由于导体内部电场处处为0，所以金属球上除该面元外的其他电荷在该面元处产生的电场强度为所以该面元受到其他电荷施加的静电力：球面上单位面积受力大小：半球面受到的静电力可用与其电荷面密度相等的，该半球面的截口圆面的面积乘该半球面的单位面积受力求得：1-16设轴线上一点到环心距离为x，有：令其对x导数为0：解得1-17写出初态体系总电势能：1-18系统静电势能大小为：1-19由对称性，可以认为四个面分别在中心处产生的电势，故取走后，；设BCD，ACD，ABD在P2处产生的电势为U，而ABD在P2处产生的电势为，有：；取走后：，解得1-20构造如下六个带电正方体（1到6号），它们的各面电荷分布彼此不相同，但都能通过一定的旋转从程中电荷直接相加而不重新分布）.这个带电正方体各面电势完全相同，都为.容易证明，正方体内部的每一个点的电势也都为（若不然，正方体内部必存在电场线，这样的电场线必定会凭空产生，或凭空消失，或形成环状，都与静电场原理不符）.故此时中心电势同样为1-21 O4处电势：O1处电势：故电势差为：1-22从对称性方面考虑，先将半球面补全为整个球面.再由电势叠加原理，即一个半球面产生的电势为它的一半，从而计算出半球面在底面上的电势分布.即1-23设上极板下版面面电荷密度为，下极板上版面面电荷密度为.取一个长方体型的高斯面，其形状是是两极板中间间隔的长方体，并且把和囊括进去.注意到金属导体内部没有电场，故这个高斯面电通量为0，其中净电荷为0，有：再注意到上下极板电势相等，其中E1方向向上，E2方向向下：再由高斯定理得出的结论：解得1-24先把半圆补成整圆，补后P、Q和O.这说明，新补上的半圆对P产生的电势为，而由于对称性，这个电势恰好也是半球面ACB对Q产生的电势.故：1-25在水平方向上，设质点质量m，电量为q：运动学：整体带入得：1-26（1）先将半球面补全为整个球面，容易计算出此时半球底面的电势.再注意到这个电势由对称的两个半球面产生的电势叠加得到，即一个半球面产生的电势为它的一半，即可求出一个半球面对底面产生的电势恒为定值，故底面为等势面，由E点缓慢移至A点外力做功为W1=0.（2）由上一问的分析知由E点缓慢移至O点外力不做功，记电势能为E，E的右下标表示所代表的点，则有：依然将半球面补为整球面，此时q在球壳内部任意一点电势能为2EO.此时对于T点，其电势能为上下两个球面叠加产生，由对称性，有：综上有W2=−W.1-27小球受电场力方程：将a与g合成为一个等效的g′：方向与竖直夹角再将加速度分解到垂直于g′和平行与g′的方向上.注意到与g′平行的分量最小为0，而垂直的分量则保持不变，故速度的最小值为垂直分量：1-28假设给外球壳带上电量q2，先考虑q2在内外表面各分布了多少.取一个以内球壳外表面和外球壳内表面为边界的高斯面，并把内球壳外表面和外球壳内表面上的电荷囊括进去，真正的高斯面边界在金属内部.由于金属内部无电场，高斯面电通量为0，高斯面内电荷总量为0，得到外球壳内表面分布了−q1电荷，外表面分布了q2+q1电荷.由电势叠加原理知球心处的电势：解得由电势叠加原理及静电屏蔽：1-29设质点初速度为v0，质量为m，加速度为a，有：，其中.设时竖直向下速度为v1，动能为Ek1，初动能为Ek0，有：解得1-30球1依次与球2、球3接触后，电量分别为.当球1、4接触时满足由于解得.注：若此处利用，略去二阶小量则可以大大简便计算，有意思的是，算出的答案与笔者考虑二阶小量繁重化简过后所得结果完全一致，这是因为在最后的表达式中没有r与a的和或差的项的缘故。
电磁学第一章答案
: 建立XOY坐标系。
q和
q在A点产生
的场强E和E分别为
E
q
4
0
r
l
2
2
i
E
4
q
0
r
l 2 2
i
l
l r
E EA E
• A
v EA
v E
v E
q
4 0
r
1
l 2
2
r
1
l 2
2
v i
2qrl
v
4 0r 4
1
l 2r
2
1
l 2r
2
i
第一章 —— 静电场
20
用于该电荷的静电力的矢量和。
离散状态
N
F Fi
i 1
r Fi
qqi
4 0ri2
rˆi 0
F
F2
r10 q
F1
q1
q2 r20
连续分布 F dF
r dF
qdq
40r 2
rˆ0
第一章 —— 静电场
11
§2 电场 电场强度
一、电场
实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，
但其相互作用是怎样实现的？
1. 静电场
基本内容：
2. 恒磁场 3. 电磁感应
4. 电磁介质
5. 电路
6. 电磁理论
第一章 —— 静电场
1
第一章 静电场
§1 静电的基本现象和基本规律 §2 电场 电场强度 §3 高斯定理 §4 电势及其梯度 §5 静电场中的导体
§6 电容和电容器 §7 静电场边值问题的唯一性定理
第一章 —— 静电场
第一章 电磁学基本定律
e = −N
其中ψ = N Φ 叫做磁链。
dΦ dψ =− dt dt
（1.3-1）
7
运动控制系统 第一章
磁通 Φ (t , x ) 是时间 t 和线圈对磁场相对位移 x 的函数。将式（1-23）写成全微分形式
e = −N
若 dx dt = 0 ，则
d Φ (t, x ) ⎛ ∂Φ ( t , x ) ∂Φ ( t , x ) dx ⎞ = −N ⎜ + ⋅ ⎟ dt ∂x dt ⎠ ⎝ ∂t
F 954.6 = = 9.546 A N 100
铁心的磁路虽然很短，仅仅为磁路总长度的千分之一，但是磁场强度却达到了铁心中磁场强 度的５００0 倍，所以磁压降却可以明显大于铁心的磁压降。在本例中气隙的磁压降达到了铁心 磁压降的 5 倍。励磁电流增加了 5 倍。
1.3 电磁感应定律
线圈中的磁通量 Φ 发生变化时，在该线圈中将产生与磁通变化率成正比的电动势，若线圈匝数为 N，则
磁路欧姆定律可以写为
（1.2-15）
F = RmΦ 或者 Φ = Λ m F
材料的磁导率。由磁阻的定义 Rm = l
（1.2-16）
作用在磁路上的磁动势等于磁阻乘以磁通。磁阻（磁导）取决于磁路的几何尺寸和构成磁路
μ S 可以得到，磁阻于磁路的长度成正比，与磁导率和横截
δ Φ = ( RmFe + Rmδ ) Φ μ0 S
（1.2-11）
B = μH
根据安培环流定律，可以得到如下的形式
（1.2-12）
F = Ni = Hl =
B
μ
l=
l Φ μS
（1.2-13）
其中定义磁路的磁阻（magnetic reluctance）为
电磁学第一章习题答案
第一章 静电场习题答案1-1 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。
根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是5.29×10-11m 。
已知质子质量m p =1.67×10-27kg ，电子质量m e =9.11×10-31kg ，电荷分别为±e=±1.60×10-19C ，万有引力常量G=6.67×10-11N.m 2/kg 2。
（1）求电子所受质子的库仑力和引力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。
答：（1）设电子所受的库仑力为F ，根据库仑定律，其大小()()N r q q F 8211219922101023.81029.51060.11099.841---⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=πε设电子所受的万有引力为f ，根据万有引力定律，其大小()N r mM G f 4721127311121063.31029.51067.11011.91067.6-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅= （2）394781027.21063.31023.8⨯=⨯⨯=--f F （3）设电子绕核做圆周运动的速度为v ，因为F f <<，所以可认为向心力就是库仑力F ，根据Rv m F 2=向得s m m RF v /1019.21011.91029.51023.8631118⨯=⨯⨯⨯⨯==---向 1-3 答：（1）它们之间的库仑力为()()N r q q F 4.14100.41060.11099.84121521992210=⨯⨯⨯⨯=⋅=--πε（2）每个质子所受的重力为：N Mg P 26271064.18.91067.1--⨯=⨯⨯==2626108.81064.14.14⨯=⨯=-P F 所以P F >> 1-5 答：设油滴的电量为q ，它受的电场力和重力分别为F 和P ，由F =P ，即mg Eq =，得()C E mg q 19563361002.81092.18.91010851.01064.114.334---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 考虑到电荷的正负，C q 191002.8-⨯-=1-7 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核做圆周运动，其轨道半径为m 111029.5-⨯，已知质子电荷为C e 191060.1-⨯=，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。
第一章磁学基础知识
向量微分算子，Nabla算子
f ( pM )B
=[（PMxi
PMy
j
PMz
k）(
x
i
y
j
z
k )](Bxi
By
j
Bzk )
=(PMx =(PMx
x
PMy
y
PMz
z
)(Bxi
By
j
Bzk )
Bx x
PMy
Bx y
PMz
Bx z
)i
H
j
D , t
(PMx
By x
PMy
By y
PMz
PJ 和 PM JM
分别描写同一个物理量，单位不同。引进 两种单位的量是因为在不同场合选用其中 一种单位的量更方便。
磁单极子学说由诺贝尔物理学奖获得者英国物理学家狄拉克于1931年提出以 来，到现在一直受到实验观测和理论研究的重视。这是因为磁单极子问题不 仅涉及物质磁性的一种来源，电磁现象的对称性，而且还同宇宙早期演化理 论及微观粒子结构理论等有关，故成为科学界关注的一个重要问题。但目前
nm
n
n 为每mol 物质的量
在文献中还常使用比磁化强度σ的概念：[A﹒m2﹒kg-1]
M
绝对磁导率 相对磁导率
B [H m] H
r
B 0 H
r
0
r
B
0 H
0 (M H ) 0 H
M H
1
1
表征材料对 磁场的响应
磁化率和磁导率 以不同方式表述了材料对外磁场的响应，反映了
材料最重要的性质。因为是两个矢量之间的关系，所以一般情况下它们都 是张量。
By z
)j
(PMx
第1章 电磁学的基本知识与基本定律4
(1-9)
N为线圈的匝数， 为穿过线圈的磁通。e的 方向从低电位指向高电位。
注意，只有线圈的磁通与电势符合右手螺旋关系，上式才 取负号。
1 如果假定电压和电流的正方向如图 所示，由右手螺旋关系可确定磁通 的正方向。
两次右手螺旋规则确 定感应电动势的正方 向
H 与 B 的区别 ① H ∝I，与介质的性质无关。 ② B 与电流的大小和介质的性质均有关。
磁势：
磁链：
F Ni
N
1.3 基本电磁定律
电生磁的基本定律——安培环路定律 磁生电的基本定律——法拉第电磁感应定律
电磁力定律
磁路的欧姆定律
1.3.1 电生磁的基本定律——安培环路定律
1.注意共性问题 电机种类繁多，各具特性，但就其内部 电磁关系耦合过程和机电能量转换关系，仍 有其内在联系。他们的基本工作原理都是建 立在电磁感应定律和电磁力定律基础上的； 他们的能量转换都是以磁场为媒介，其电磁 关系可抽象为电路参数，得出基本方程式和 等值电路，这是共性方面。
2.注意课程主线
Φ B S
图1.1 磁力线与电流之间的右螺旋关系
磁感应强度B与产生它的电流之间的关系用 毕奥—萨伐尔定律描述，磁力线的方向与电流的 方向满足右手螺旋关系，如图1.1_1所示。
图1.1_1 磁力线与电流的右手螺旋关系
1.2.2 磁感应通量(或磁通)
穿过某一截面面的磁感应强度B的通量， 即穿过截面S的磁力线根数称为磁感应通量， 简称磁通。用表示。即
的方向。
图1.2 磁通与其感应电势的正方向假定
2已知磁通的正方向，由右手螺旋关 系可确定感应电动势的正方向（感应 电动势e1所产生的电流分量与图中电 流i1的方向相同）。可知此时电动势 e1在A点为低电位、X点为高电位（ e1 的方向从低电位指向高电位）所以电 动势e1的正方向如图所示。
电磁学第一章习题答案
ε0
d ρ 3 E内 = r) = 0 (1 − （2） dr 3ε 0 2R
2 ∴r = R 3 ρ0 R Emax = 9ε 0
r越大，E外 单调减小，因而球外场强无极值
1.6.3附图中A与O、O与B、B与D的距离皆为L，A点 有正电荷q，B点有负电荷-q （1）把单位正电荷从O点沿半圆OCD移到D点，电 场力做了多少功？ （2）把单位负电荷从D点沿AD的延长线移到无穷 远，电场力做了多少功？
C
q
A
−q
2L
O
B
L
D
根据电位叠加原理：
q q U0 = ( − )=0 4πε 0 L L
q q q UD = ( − )=− 4πε 0 3L L 6πε 0 L
（1）电场力把单位正电荷（即 q0 = 1）从O 点沿OCD移到D点所做的功：
1
1
AOCD = q0 (U 0 − U D ) = q0 (0 −
侧面 上底 下底
ηL = ε0
上下底面上
θ=
π
∴ cos θ = 0
侧面上场强夹角
θ = 0 ∴ cos θ = 1
ηL ∴ ∫∫ E idS = ∫∫ E cos θ dS = E i2π rL = ε0 侧面
η ∴E = 2πε 0 r
1.4.6电荷以体密度 ρ = ρ0 (1 − r R) 分布在半径为R 的球内，其中ρ0 为常量，r为球内某点与球心的 距离 （1）求球内外的场强（以r代表从球心到场点的 矢量） （2）r为多大时场强最大？该点场强 Emax = ?
1.3.7 电荷以线密度η均匀分布在长为L的直线段上 （1）求带电线 的中垂面上与带电线相距为R的点的场强； η （2）证当L→∞时，该点场强 E = 2πε R （3）试证当 R〉〉 L 时所得结果与点电荷场强公式一致
赵凯华_电磁学_第三版_第一章_静电场_129_pages
dq
dV
q
P
（点电荷！！）组成，然后利用场强叠加 原理
r
dE
E
q
dE
q
dq 4 0 r
ˆ r 2
dq dV ds dl
体电荷 密度 面电荷 密度 线电荷 密度
dq dl
dq dV
dq ds
电荷密度 一般是位 置的函数
例1
等量异号电荷的电场 电荷之间的距离为 l。
E q 4 0 r ˆ r 2
球对称！！（图示见 下页） r 从源电荷指向场点 场强方向：
两式得
正电荷受力方向
z
F q ˆ r 2 q0 4 0 r
o
j
A
y
球对称！
静电场基本 特性的原因 ！！！
x
问题 如何求 任意 带电体的场强？
方法： 电力叠加原理＋场强定义
2 0
E E E
在可视为电 偶极子时 E
ˆ r
4 r
q
2 0
ˆ r
ˆ ˆ p 3 r p r 3 4 0 r
1
推导：
E 4 r q
2 0
ˆ r
4 r
q
P
ˆ r
2 0
r
r
l
q r r E 3 3 4 0 r r
由图中
q
r
q
矢量关系
平方
2 2
l r r 2
2
l r r 2
l r r r l 4
2 2 2
l r r r l, 4
《中学物理》第3册 电磁学 第1章 静电场—知识重点
《中学物理》第3册电磁学第1章静电场知识重点在“第1章静电场”是电学的基础，也是学生学习《中学物理》的难点内容。
本章的基础知识多、而且概念抽象，如：电场强度、电势、点电荷电场、匀强电场、电荷守恒定律、库仑定律、电力线、等势面、静电感应、电容器等。
一、库仑定律库仑定律：①大小：在真空中，2点电荷之间的作用力（F），与它们所带的电量（Q1）和（Q2）乘积成正比，与它们之间的距离平方（r2）成反比。
②方向：作用力的方向，在2点电荷之间的连线上。
③性质：同种电荷相斥，异种电荷相吸。
④公式：其中：F：电场力（库仑力）。
单位：牛顿（N）。
k：静电常数。
k = 9.0×109。
单位：牛顿·米2/库仑2 （N·m2 / C2）。
静电常数：在真空中2个相距为1米（m）、电荷量都为1库仑（C）的点电荷（Q1Q2）之间的相互作用力（F）为9.0×109牛顿（N）。
Q1Q2：2点电荷分别所带的电量。
单位：库仑（C）。
r：2点电荷之间的距离。
单位：米（m）。
注意：①库仑定律公式适用的条件：一是在真空中，或空气中。
二是静止的点电荷。
是指２个距离（r）足够大的体电荷。
②不能认为当r无限小时，F就无限大。
因为当r无限小时，２电荷已经失去了作为点电荷的前提。
③不用把表示正、负电荷的“+、-”符号，代入公式中进行计算。
可以用绝对值来计算。
计算的结果：可以根据电荷的正、负，来确定作用力为“引力/斥力”？以及作用力的方向。
④库仑力遵守牛顿第三定律。
２电荷之间是：作用力和反作用力。
（不要错误地认为：电荷量大的，对电荷量小的，作用力就大。
）附录：电量的单位：库仑（C）。
库仑（C）：当流过某曲面的电流1安培时，每秒钟所通过的电量定义为1 库仑。
即：1 库仑（C）= 1 安培·秒（A·S）二、电场强度⒈电场强度①电场强度（Ｅ）为放入电场某一点的电荷，受到的电场的作用力（F），与它的电量（q）的比值。
电磁学第1章--静止电荷的电场
10
当
4 0 r l
2
1
2qlr
2
r
4
2
2 pe EP 3 40 r 1
r l 时 -q l
o
E
P
E
x
或
1 2 pe EP 3 40 r
1 q EQ EQ 2 2 40 (r l 4) z Q点总场强为 EQ 1 q EQ 2 2 2 cos EQ Q 40 (r l 4)
EQ
o
r
E p P l +qq
EP
12
二.电荷连续分布
q dq (1) 电荷体分布 e lim v 0 v dv
e电荷的体密度 q dq lim (2)电荷面分布 e s o s ds e电荷的面密度 (3)电荷线分布 e lim q dq l 0 l dl e电荷的线密度
0 真空电容率(真空介电常数)
C (N m )
2 2
e e ) 9 (1.6 10 解 Fe k 2 9 10 2 2 11 40 r r 5.3 10
2 2
例1 求此二粒子的静电力和万有引力.
氢原子中电子和质子的距离为5.310-11m.
19 2
4
8.110 ( N )
8
Fg G
me m p r
2
6.7 10 (N )
11
9.110
31
5.3 10
1.7 10
11 2
27
3.7 10 Fe 39 10 倍 Fg
47
忽略万有引力
大学物理电磁学
大学物理电磁学
第一章：静止电荷的电场
讲授内容：电荷、库仑定律、电场和电场强度以及场强叠加原理、电场线和电通量、高斯定律、利用高斯定律求静电场的分布基本要求：掌握静电场场强的概念及其叠加原理、能求解连续带电体的场强分布；理解用高斯定理律计算电场的条件和方法本章重点：电场强度的矢量叠加性、高斯定律
本章难点：微积分的应用
1.库仑定律
注意：矢量符号的印刷体以黑体加粗表示，手写书写体时必须带上标箭头。
2. 叠加原理：两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个点电荷。
单独存在时对该点电荷的作用的矢量和。
3.电场：是电荷周围空间里存在的一种特殊物质。
4.电场强度：是用来表示电场的强弱和方向的物理量，下面是定义式。
5.电场线：是为了直观形象地描述电场分布而在电场中引入的一些假想的曲线。
电场线的特性：
a.始于由正电荷，止于负电荷；
b.电场线不相交；
c.静电场线不闭合；
（曲线上每一点的切线方向为电场方向；电场线的疏密程度代表场强大小）
6.电通量：通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量。
注：一般规定由内向外的方向为各处面元法向的正方向。
7.高斯定律：
8.电偶极子：电偶极子由等量异号电荷构成，电偶极矩方向由负电荷指向正电荷。
电磁学-第一章
物理学的发展已经经历了三次大突破
17、18世纪，由于牛顿力学的建立和热力学的 发展，引发了第一次工业革命（蒸汽机和发展机械 工业）；19世纪麦克斯韦电磁理论的建立，引发了 第二次工业革命（制造了电机、电器和电讯设备， 引起了工业电气化）；20世纪以来，爱因斯坦相对 论和量子力学的建立，人类进入了原子能、电子计 算机、自动化、激光、空间科学等高新技术时代。
一、对自然界中电磁现象的观察和认识；（定性研究） 二、库仑实验定律（电荷相互作用的定量研究）； 三、科学家伏打等人发现电流并制成伏打电堆 （从
静电的研究进入到研究动电的新阶段）； 四、奥斯特实验和法拉第电磁感应定律； （揭示了
电和磁的相互联系） 五、麦克斯韦电磁理论和电磁波（电磁理论的统一）。
内 容：
§1 静电场的基本现象和基本规律
一、电荷
1、摩擦起电 物体由于摩擦有了吸引轻小物体的性质，它就带了电，
有了电荷，这种带电叫摩擦起电。
2、两种电荷 实验表明，自然界中只存在两类电荷：正电和负电，
且同性电荷相斥、异性电荷相吸引。
规定：丝绸摩擦过的玻璃棒，棒上带电为正；毛皮摩擦 过的硬橡胶棒，棒上带电为负。
3、电荷测量
（1）电量的测量
验电器 （金属球）
（金属箔）
静电计
动 静
(a) 验电器：张开情况可定性 说明电量多少
(b) 静电计：弧度刻尺上读数， 可用于测量电位
（2）电荷正负判定
同性
张角变大
已带某种已知电荷
异性
张角变小
二、静电感应 电荷守恒定律
1、静电感应
另一种重要的起电方法是静电感应，静电 感应实质上为电荷转移的过程：
数学表达形式为： 写成等式形式则有：
第一章静电场的基本规律
l
ql 3 2 2 4 0 (r l ) 2 4
方向沿X轴的反方向。
4
3）偶极子 等量异号电荷±q，当 l >>电荷自身线度 l << 系统到场点的距离，称为偶极子系统
偶极矩：p ql
偶极子的场：
方向由- q指向+q
4 0 1 P': E 4 0
P:E
1
2p r3 p r3
电
磁
学
主讲：郑鹉 王海
参考教材：《电磁学》梁灿彬等 高教社 《电磁学》赵凯华等有两种：
静电场的基本规律
电荷
一、两种电荷：
正电荷（+）,负电荷（ ） 同种电荷间相互排斥；异种电荷间相互吸引。
2、电量
物体所带电荷数量的多少
3、电荷的量子化
物体所带电量的最小单元
e 1.6 10
E
1 4 0
1
2p r3
E
4 0
p r3
q 1 1 P点 E E E 2 2 4 0 （r l ） （r l ） 2 2 l 2 l 2 (r ) (r ) q 2rl 2 2 q E 4 0 (r l ) 2 (r l ) 2 4 0 (r l ) 2 (r l ) 2 2 2 2 2 q 2l l2 2 4 0 3 r (1 2 ) 4r
略l/r的平方项，且利用 偶极矩：p ql
P:E
1 4 0
2p r3
E
1 4 0
2p 3 r
P’点
略l/r的平方项，且利用 偶极矩：p ql
P': E 1 4 0 p r3
华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)
因为各 E i q 0 dr 与路径无关，所以A与路径无关.
b a
a
a
a
结论：静电场力(库 仑力)是保守力！
2
2.静电场的环路定理
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零.
E dr 0
L
证明: 将一点电荷q在静电场中沿任意闭合路径走一圈 静电场力是保守力
f dr qE dr 0
dq 4 0 r
d
Q
Q
dφ •P r
2）叠加 式中的 i 和d的物 理意义是 什么？
9
点电荷系的场
连续带电体的场
4. 电势的计算
（1）点电荷场电势公式
P E dr
P
Q
Q 4π 0 r
r
P dr E
dr
E dr
上式表明：当 p 与 E 方向相同时，电势能最小；当 p 与E 方向相反时，电势能最大.由于系统势能最小时的平衡 是稳定平衡，而势能最大时的平衡是不稳定平衡 ,所以 在外电场中，电偶极子总力求转到 p 与 E 方向相同30 .
W pE
五、电荷系的静电能 状态a时的静电能是什么？ 定义1：把系统从状态 a 无限 分散到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功 叫作系统 在状态a时的静电势能简称静 电能.也称为相互作用能(互能). 或:把这些带电体从无限远离 的状态聚合到状态a的过程中 外力克服静电力作的功
点电荷的电场线与等势面
+
19
电偶极子的电场线与等势面
+
20
平行板电容器的电场线与等势面
《电磁学》.ppt
参考点
VP P E dl
点（无限远处）电场力所作的功。
电势单位： 焦尔 /库仑 ，称为 伏
特，简称伏 (V)。
三、电势的计算 1.点电荷的电势
V
E dl
P
Edr
r
r
q
40r 2
dr
q
4 0 r
V(r) q
rP
∞
4 0 r
dq
2R
1
q dl
L 4 0r 0 4 0 x2 R2 2R
V
(x)
4
q 0(x2
R
2
)
1 2
电势的计算(1)—叠加法
利用以上结果，很容易计算均匀带电圆盘轴线上P
点的电势,在盘上取一宽为dr 的小圆环，带电量为 dq
其，中：dq 2rdr
dr
该圆环在p点的电势为： r
rR Qr
电势的计算(2)—定义法
rR 时
E内 dS E内4r 2 0
E内 0
rR 时
E外
dS
E外 4r 2
Q
0
E外
1
4 0
Q r2
rR Qr
电势的计算(2)—定义法
由电势定义可得
rR rR
V r E外 dl
第一章 真空中的静电场
1.1 电荷和电荷守恒定律 1.2 库仑定律 1.3 电场 电场强度 1.4 高斯定理 1.5 电势 1.6 电场强度和电势的微分关系 1.7 E的边值关系
一、静电场环路定理
1.静电场力所作的功
电磁学(地物)课件 第一章-1
e 1.60218921019库仑
• 二、库仑定律（coulomb’s law) • 法国物理学家（1736－1806）
• 点电荷之间的相互作用规律 • 点电荷：
• 库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的作用力：
F10
k
q0q1 | r10 |3
r10
F01
三 、 叠加原理：
3、任意带电体
（将连续分布带电体无限分割为一个个电荷元）
连续带电体的电场
对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷
元dq(点电荷), 用点电荷的场强公式积分：
Q E
dE
Q
dq
Q 4 0r 2 er
dq dV
r 体电荷分布 dq dq dV
P
dV
dE
面电荷分布 dq dq ds
Ey
4 0 a
(cos1
cos2 )
当直线长度
Ex Ey
0
4
L 0a
2
{
1 2
第一章 真空中的静电场
• 1.1 电荷守恒 • 1.2 库仑定律 • 1.3 叠加原理 • 1.4 电场强度 • 1.5 高斯定理 • 1.6 环路定理 • 1.7 电势
一、电荷 电为物质的一种基本特性，电不能离开物质而
存在，不存在不依附物质的“单独电荷”。 1、电荷的种类：两种 2、最小电量、电荷的量子性 3、电荷的对称性 4、电荷守恒
q0 40r3
电场强度E是 坐标函数E(x,y,z)
单位： N c
or
伏特 米
电场是带电体周围的一个具有特定性质的空 间，该空间的任一点，外来电荷都会受到一定 大小、方向的作用力。
第一章 磁学基础知识
1. 抗磁性（Diamagnetism)
这是19世纪后半叶就已经发现并研究的一类弱磁性。它的 最基本特征是磁化率为负值且绝对值很小，<0， <<1 显示抗磁质在外磁场中产生的磁化强度与磁场反向，在不均匀 的磁场中被推向磁场减小的方向，所以又称逆磁性。典型抗磁 性物质的磁化率是常数，不随温度、磁场而变化。有少数的反 常。 深入研究发现，典型抗磁性是轨道电子在外磁场中受到电 磁作用而产生的，因而所有物质都具有的一定的抗磁性，但只 是在构成原子（离子）或分子的磁距为零，不存在其它磁性的 物质中， 才会在外磁场中显示出这种抗磁性。在外场中显示抗 磁性的物质称作抗磁性物质。除了轨道电子的抗磁性外，传导 电子也具有一定的抗磁性，并造成反常。
原子、离子的磁矩（顺、抗磁） 晶体结构和晶场类型（自旋、轨道贡献） 相邻原子、电子间的相互作用（磁有序）
固 体 磁 性
研究凝聚态物质各种磁性表现的起因是磁性物理的主要 任务，其中强磁性物质在技术领域有着突出作用，所以影响 强磁性物质磁性的机理是我们课程最为关注的。
一. 物质的磁性分类
为了方便研究物质磁性的起因，我们可以按其在磁场
N 是磁化方向的退磁因子。对于非球形样品，沿不同方向磁 化时退磁场能大小不同，这种由形状造成的退磁场能随磁化 方向的变化，通常也称形状各向异性能。退磁能的存在是自
发磁化后的强磁体出现磁畴的主要原因。
对椭球体：
H d N x M x i N y M y j N z M z k 1 2 2 Fd 0 N x M x N y M y N z M z2 2 N x N y N z 1
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旋度： A lim
L
A dl S
n
S 0
给出一个矢量场空间任意一点的散度和旋度构成对矢量场 性质的完整描述。
E
ΦE ES
E
课后思考题：试举例说明矢量场的散度和旋度的物理 意义。
ΦE ES cos E S
S Sn
S与电场强 度方向垂直 S 法线方向与电场 强度方向成角
数学上可严格证明：给出一个矢量场对任意闭合曲面的通量， 以及对任意闭合回路的环流，构成对矢量场性质的完整描述。
静电场高斯定理和环路定理完整给出了静电场的性质。
微分形式：
散度： A lim
A dS
S
V 0
V
1 E E dS
S
0
qi
i 1
n
q
q
i
0 E 0
由高斯面内外 电荷产生
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
高斯面所包 围的电量
思考题：教材P83第一章课后思考题1-8，1-9
整个闭合面的电通量不变 在闭合面内，若电 荷的代数和不变，则 电荷分布的变化影响各点场强的变化
E dS EdS E 2rh
S S侧
上 下 0 侧
E
高斯面S侧
n
讨论: 无限长带电圆筒内部 E=0, 外部 E 2 o r
h E E 2 rh 2 o r o
例3.计算无限大均匀带电平面的场强分布。 （电荷密度为） 解： 无限大均匀带电平面两边场强 对称分布，由高斯定理求解。
问题：高斯定理可以从库仑定律导出，这两个定理 （定律）中哪个的适用范围更广？ 库仑定律只适用于静止点电荷产生的静电场，而高斯 定律对任意电场都适用，包括静电场和非静电场。 与数学不同，物理学中导出定理可以比原定律有更广 的适用范围，而且这样的例子有很多，根本原因在于 物理学本质上是一门实验科学，物理学定理是否成立 要由实验判别。
解题步骤： （1）首先对系统进行对称性分析，确定场强方向； 几种常用的确定电场强度的方法： a. 叠加原理； b. 对称性分析；
（2）无限长均匀带电直线（线，筒，柱）类; 轴对称性 （3）无限大均匀带电平面类。 平板对称性
c. 利用电场是极矢量的性质（镜像对称）； （教材P466附录A-4） （2）根据对称性选择合适的高斯面； （3）应用高斯定理计算。
S
qi E dS
S
S
S
方法 a. 叠加原理； 方法 b. 对称性分析；
O
r
P
E
在r<R处:
40r 2 E dS E4r 0
2
E
S
Q
E
Q er 4 0 r 2
0
E0
1 r2
高斯面
E
q 4 0 R 2
第二步：根据对称性选择合适的高斯面； 第三步：应用高斯定理计算。
（4）系统整体不具有对称性，但局部具有对称性。 高斯定理+叠加原理求解
例1. 求均匀带电球壳的场强分布。（已知薄球壳半 径为R，带电量为Q） 解：第一步：首先对系统进行对 称性分析，确定场强方向；
Q
R
由高斯定理： 在r>R处:
0 Q 2 E dS EdS EdS E4 r
+ + + + + + + + + + + +
v
热学
对象变导致一系列深刻的变化——不仅规律的形式， 而且规律的性质发生变化，有相应的数学手段的引入 如牛顿研究引力的同时提出了微积分
场是一定空间范围内连续分布的客体 物体温度
T
流体的流速
v
温度分布——温度场（标量场） 流速分布——流速场（矢量场）
(5) 若已知电场空间分布，可利用高斯定理求出电 荷空间分布。
1 E dS
S
o
q
i 1
n
i
1 E (r ) (r )
o
(6) 若电荷空间分布具有高度对称性，可利用高斯 定理求出空间电场分布。
五 高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 由高斯定理求解场强的四类典型题型： （1）均匀带电球类; 球对称性
y
S5
四 高斯定理
1. 高斯定理的表述和表达式： 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍。 此闭合曲面—高斯面
n
θ
E
1 ES1 cos ES1 n
2 3 4 0
S4
θ
S1
o
S3
x
5 ES5 cos ES1
侧 0
⑵ 为负，场强方向垂直指向平面。 ⑴ 均匀电场；
E A EB
平面之间： 平面之外：
2 0
E内 E A EB
o
思考题：教材P83第一章课后思考题1-12
E外 E A E B 0
2. 电场不均匀，S为任意曲面
3. S为任意闭合曲面
E
dΦ E dS
E
d E dS
S
d E EdS
EdS cos E dS
ΦE E cos dS E dS
S
n
θ
E
ΦE dΦE SE cos dS S E dS E n dS
1
S
E i dS
q1 q
q2 qn
dE dE
对于闭合面S’+S，总通量为
0
q
i 1
i n
i
ΦE
S
d E
( d d
E
E
) 0
结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的电通量为零。
1 E E dS
S
0
q
i 1
例4.计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。 解： 系统整体不具有对称性， 但局部具有对称性。
E + EA EB A B -
S E S S d o E dS 2 底 侧
S
E
可利用高斯定理+叠加原理 求解
底 ES S 2 ES E o 2 o 讨论：
d E EdS cos E dS
dN ( dS ' E ) dS ' d E E dS EdS ' dN E
物理意义：穿过dS的电力线的根数
通量： A dS
S
环流： A dl
L
三 电通量
通过电场中某一面的电场线数称为通过该面的电通量。 用 ΦE 表示。 1、均匀电场中通过平面S的电通量
S S
规定：外法线方向为正
n
θ
S
（1）当 < 90°时：电场线穿出闭合曲面，电通量为正 （2）当 > 90°时： 电场线穿进闭合曲面，电通量为负 （3）当 = 90°时： 电场线与曲面相切，电通量为零
例1.有一三棱柱放在电场强度为E =200 N· C-1的 均匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 解：
流体流速场
静电荷产生静电场具有什么性质？
已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动
问题：不同电荷分布产生的电场分布不同，这些形形 色色的电场背后有无共同规律？其本质是什么？
期望从不同的角度揭示电场的规律性 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
0 无旋 0 源 环流： v dl 0 L S 0 有旋 0 汇 课后思考题：试举例说明通量的物理意义。
电场线密度
dS
E
+
电场线疏密反映场强大小
Thu Sep 18 2014 14:34:46 GMT+0800
一对等量正点电荷的电场线
一对等量异号点电荷的电场线
+
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
2q
q
3. 静电场中电场线的特点： ⑴ 电场线起始于正电荷，终止于负电荷; ⑵ 电场线不闭合，不相交; ⑶ 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
E
q
E S
R dS
ˆ dS q r q d 4πε0 r 2 4 0
对整个闭合面S有
(3) 点电荷q被 任意曲面包围 d E E dS
+
ΦE dΦE
S S
q q dΩ 4πε0 4πε0
dΩ
S
q ε0
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的 任意球面的电通量等于 q / 0
z
n
1 E E dS
S
o
q
i 1
n
i
S2
2. 立体角
1 2 3 4 5 0
ˆ dS dS ' r d 2 2 r r
(球面度)
3.高斯定理的证明：(从特殊到一般） ⑴ 点电荷在球形高斯面的圆心处
4o R 2 dΦE E dS E cos 0dS qdS ΦE S 4 R 2 o q q 4 R 2 2 o 4o R