力系的平衡静定与超静定的概念

（3）六力矩形式的矩轴不交于同一点。 据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所 包含的未知量为最少，从而简化计算。
A
例3-2：重力为P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑， 在水平力F的作用下保持静止。杆与水平面的夹角均为 =45º ， 试求各杆的力。 F P B C解 设板边长为l ,用多力矩形式求解。 F3 0 Fiy 0, F3 cos 0 D
Fix 0; FDB
BE CE FDC 0 DB DC
FDB
FDC
BE=CE,DB=DC,则：FDB=FDC
Fiy 0; FDB
DO DO DO FDC FDA 0 DB DC DA
FDA
P
DB 20 3 , DA 20 5;
EO AO Fiz 0; FDB 2 FDA P0 DB DA 3 FDA P 745N, FDB=FDC=289N 3
M
M
ix
0
M
iy
0
0
iz
空间任意物体有六个平衡方程；可解六个未知量。
例3-1：有一匀质矩形等厚的板，重力P =200N，角A为球铰，另一 端B用铰链（沿轴y向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC使板维 持于水平位置。若θ= =30º，试求索内的拉力及A,B两处的约束 力。z 解
B
A D x z
4M F5 ; 3a
F6
F3
MFB =0, F6cos300a· cos300+M=0; `
4M F6 ; 3a
F1 F4
F5 F2
MEC =0, F4cos300a· cos300+M=0;
F4 4M ; 3a 2M F3 ; 3a 2M F1 ; 3a 2M F2 ; 3a
C ’Fix 0, F2 cos F 0
F
F2 2F
F6 0
P F4 （压） 2
P F3
F2
F6
iz
0
P F 2
F4 F1 F2 sin F3 sin F4 F5 sin F6 P 0
F1
F5
F1
（压）
特例1. 空间汇交力系
合力偶矩恒为零，即
M
ix
0
M
iy
0
M F F F
iz
0 0 0 0
ix
空间汇交力系平衡方程
iy iz
例3-3：结构如图所示，杆重不计，已知
力P，试求两杆的内力和绳BD的拉力。 解：研究铰链B D
z
F3
z
D
C
C




y
B
A
F2
y
F1
B
A
x
P
0
x
F
z
0
P
F
x
F3 sin P 0
第三章 力系的平衡 静定与超静定的概念
第一节 平衡方程的解析形式
一、空间任意力系的平衡方程 FR 0 MO 0 平衡的必要、充分条件。
FR Fixi Fiy j Fiz k
F 0 F 0 Fiz 0
ix
iy
M O M ixi M iy j M iz k
M
AA
(Fi ) 0, F5 cos l 0
F5 0
B’ F
A’
BD M ( F ) 0 , ( F F sin ) 0 AC i 6 5 l D’ M ( F ) 0, ( F F sin )l 2 P 0 AD i 4 3 2
FA
x
z
y
FC FB
FB=4.93kN
特例3. 空间力偶系
合力恒为零，即
F
ix
0
F
iy
0
F
iz
0
空间力偶力系平衡方程
M M
ix
0
0
iy
M
iz
0
例3-7：边长为a 的等边三角形水平板上作用着力偶M，並用六 根二力杆支撑，板自重不计，试求各杆的力。
MAD =0, F5cos300a· cos300+M=0;


l M ( F ) 0 , F l F sin l P 0 x i Bz 2
FBz=P/2-F/2=0
C
z
F
B A D x z
FAz
FBz
iz
0, FAz FBz F sin P 0
FAz=P -F/2=100N
y
M z (Fi ) 0, FBxl 0

C
FAz
FBz

设AD＝CB=b，则 b M y ( Fi ) 0, F sin b P 2 0 y 得: F =P = 200N 由: 得:
F
iy
0, FAy F cos cos 0
FAy=（3/4）F=150N
A
FAx
FAy
P
F
B
FBxy
D x
MAB =0, –F3 a· sin600– F6 sin300a· sin600=0; MBC =0, –F1 a· sin600– F4 sin300a· sin600=0; MCA =0, –F2 a· sin600– F5 sin300a· sin600=0;

C

FBx =0
F
FAy P
B
ix
0, FAx FBx F cos sin 0
A FAx
D x


F
C
FBx y
FAz
3 F 86.6 N 4
从而得到以下规律： （1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平 衡方程的投影式，即有3－6个力矩投影式，也就是说力矩投 影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。 （2）力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须 受到如下限制：①不全相平行；②不全在同一平面内。
特例2. 空间平行力系
若各力平行轴z，则
F
ix
0
F
iy
0
M
iz
0
F
空间平行力系平衡方程
iz
0
0
0
M
M
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ix
iy
例3-6：三轮平板车放光滑地面上，自重为：W，货重为F， 已知：F=10kN,W=8kN，试求各轮约束力的值。
解：这是空间平行力系。
Mix =0， (200–80)W–200· FA =0； FA=4.8kN， Miy =0， 60W+(60–20)F–60· FA–2· 60· FB =0； Fiz=0 ， FA +FB+FC–W–F=0； FC=8.27kN
P F3 sin
F3 cos sin F2 0 F2 F3 cos sin
F
iy
0
F1 F3 cos cos
例3-4：重力P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定 在同一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。
解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点，