3.不等式的解集
初二数学不等式解集表示方法
初二数学不等式解集表示方法不等式是数学中常见的一种表示关系的方式。
在初二数学中，学生将学习如何解不等式，并且要使用特定的方法来表示不等式的解集。
本文将介绍初二数学中常用的不等式解集表示方法。
一、不等式的解集表示方法解不等式时，需要找到使不等式成立的变量取值范围。
这个取值范围称为不等式的解集。
在表示不等式的解集时，常用以下几种方法：1. 图形表示法：对于简单的不等式，可以将其转化为图形，用图形表示不等式的解集。
例如，不等式x > 2表示x在2的右边，可以用一条竖直线表示，然后在这条竖直线的右边标上一个开圈，表示不包括2。
这样，表示了不等式x > 2的解集。
2. 区间表示法：对于一些特定的不等式，可以使用区间表示法来表示解集。
区间表示法使用中括号和圆括号来表示开闭区间。
例如，不等式3 ≤ x ≤ 7可以用区间表示法表示为[3, 7]。
3. 不等式符号表示法：对于简单的不等式，可以直接使用不等式符号表示解集。
例如，不等式x > 5可以表示为x > 5。
4. 集合表示法：对于一些复杂的不等式，可以使用集合表示法来表示解集。
集合表示法使用大括号来表示集合。
例如，不等式x^2 - 4 < 0的解集可以表示为{x | -2 < x < 2}。
二、解不等式的方法解不等式的方法主要有以下几种：1. 图像法：对于一些简单的不等式，可以绘制图像来解不等式。
首先，将不等式转化为等式，然后绘制等式的图像。
接着，根据不等式的符号确定图像的左右区间，并标出解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为等式x + 2 = 0，得出x = -2。
将x = -2绘制在数轴上，并在-2的右边标上箭头，表示解集为x > -2。
2. 正负数法：适用于一些关于不等式的基本问题。
根据不等式的正负号和绝对值的性质，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x - 3 < 7，可以将其转化为等式2x - 3 = 7，得出x = 5。
不等式的特殊解集与性质
不等式的特殊解集与性质不等式是数学中常见的一种表达式，用于表示数之间的大小关系。
在解不等式时，有时会出现一些特殊的解集及其性质。
本文将探讨不等式的特殊解集，并分析其性质。
一、绝对值绝对值不等式是一类常见的不等式，其解集具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的绝对值不等式：|ax + b| ≤ c (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 当c ≥ 0 时，绝对值不等式恒成立，即其解集为全体实数。
2. 当 c < 0 时，绝对值不等式无解，因为绝对值的值不可能小于负数。
二、分式分式不等式是另一类常见的不等式，其解集也具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的分式不等式：f(x)/g(x) ≤ 0 (其中 f(x) 和 g(x) 均为多项式函数，且g(x) ≠ 0)1. 若 f(x) 和 g(x) 异号（即一个为正，一个为负），则不等式的解集为不等式的所有解。
2. 若 f(x) 和 g(x) 同号（即两者都为正或负），则需进一步考虑 g(x) ≠ 0 的条件，即分母不为零的情况。
a) 若 g(x) > 0，则不等式的解集为满足f(x) ≤ 0 的所有解。
b) 若 g(x) < 0，则不等式的解集为满足f(x) ≥ 0 的所有解。
三、复合复合不等式是多个不等式同时存在的情况，其解集和性质需要综合考虑。
考虑以下形式的复合不等式：f(x) < g(x) < h(x) (其中 f(x)、g(x)、h(x) 均为函数)1. 首先解决 f(x) < g(x) 不等式，得到解集 A。
2. 然后解决 g(x) < h(x) 不等式，得到解集 B。
3. 最终复合不等式的解集为 A 与 B 的交集。
四、二次二次不等式是具有二次项的不等式，其解集和性质与一次不等式不同。
考虑以下形式的二次不等式：ax^2 + bx + c < 0 (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 若 a > 0，则二次不等式的解集为开口朝下的抛物线在 x 轴下方。
高二数学分式不等式试题答案及解析
高二数学分式不等式试题答案及解析1.不等式的解集是（）A．（，+）B．（3，+）C．（﹣，﹣3）∪（4，+）D．（﹣，﹣3）∪（，+）【答案】D【解析】不等式等价于，方程的根为，因此不等式的解集.【考点】一元二次不等式的解法.2.不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式可变形为：等价不等式组解得：所以答案填：【考点】分式不等式的解法.3.不等式的解集是 ( )A．B．C．（-2，1）D．∪【答案】C【解析】本题一般等价转化为一元二次不等式，然后直接得出结论．【考点】分式不等式的解法．4.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题要找出参数的关系或它们的值，这里可根据不等式的解集与方程的解的关系得出，不等式的解集是，说明方程的解是1，且．，这样不等式可化为，从而得出结论为B.【考点】解不等式．5.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于等价（x+2）(x-3)<0，可知得到的解集为-2<x<3，故可知不等式的解集为，故选B.【考点】一元二次不等式的解集点评：主要是考查了分式不等式化为二次不等式的求解，属于基础题。
6.关于的不等式的解为或，则的取值为（）A．2B．C．－D．－2【答案】Ｄ【解析】不等式等价于，而其解为或，所以的取值为－2，选D。
【考点】本题主要考查分式不等式解法。
点评：简单题，分式不等式，往往要转化成整式不等式求解，利用“穿根法”较为直观明确。
7.不等式的解集是 .【答案】【解析】根据题意，对于不等式，等价于不等式,结合二次不等式的求解可知，解集为，故填写。
【考点】本试题考查分式不等式的解集。
点评：解决该试题的关键是能利用一元二次不等式的解集来求解分式不等式，属于中档题。
易错点是对于分母x直接两边相乘约去。
8.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于分式不等式对于x>1时，则有x>2,当x<1时，则有-2<x<2,故可知不等式的解集为,选C.【考点】本试题考查了分式不等式的求解。
3.不等式的解和解集
数学运算
“粗心者”大都在这倒下的。你能做的，就是严格准守“游戏规则”。 1.搞清楚：运算对象，运算步骤，运算法则。 2.认真：态度决定一切。
情境
问题 1： 若不等式2-m＜ 1 3 (x-m)的解集为x＞2，则m的值为（）. 问题 2： 已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，且x=1不是这个不等式的 解，则实数a的取值范围是（）. 讨论 （1）解等式2-m＜ 1 3 (x-m)可得x＞6-2m，故6-2m=2，m=2. 【运算-已知解集求字母】已知不等式的解集，求不等式中字母的值时，应先用 字母表示出不等式的解集，再建立方程或不等式进行求解.
知识点 不等式的解和解集
数学抽象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
简单讲，数学抽象就是符号，概念，公理，定理，公式。这些就是数学的本质。 当你一直坚持在用学语文的方式“背数学”时，有一天你会背不动的，因为你不知道背后的“所 以然”。 学数学能够化繁为简，靠的就是对数学抽象的全面理解。
情境
在xx卫视上，神秘嘉宾“x-3＞1”与它的解和解集隆重亮相.
讨论 （1）我们曾学过“能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，结合情境想一 想什么是不等式的解？ 【概念-解】能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）根据情境中的“介绍”，想一想什么是不等式的解集？ 【概念-解集】不等式所有解的集合叫做不等式的解集. （3）思考不等式的解与不等式的解集一样吗？它们之间存在哪些区别与联系？
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（2）x=2是不等式组(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，故(2-5)(2a-3a+2)≤0；x=1不 是这个不等式的解，所以(1-5)(a-3a+2)＞0，联立两个不等式进行求解，就可以 得出a的取值范围了. 【运算-已知解求字母】已知不等式的解，求不等式中字母的取值情况时，应先 根据不等式的解一定满足该不等式，建立不等式（或不等式组），再求解该不 等式（或不等式组），从而得出答案.注意若给出某一未知数不是题目中不等式 的解，那它一定是与该不等式相对立的那个不等式的解，“＜”与“≥”相对 立，“＞”与“≤”相对立. 实战演练 （导学号 导学号 S2658440）已知关于x的不等式(k-2)x+3＜11-k(3-x)的解都是不等 式4x＞3x-2的解，求k的取值范围． 点拨：分析题意，先根据 “不等式 (k-2)x+3＜ 11-k(3-x)的解都是不等式 4x＞ 3x-2的解 ”求出不等式 4x＞ 3x-2的解，再结合【运算 -已知解集求字母】进行解答 即可 .
不等式与不等式组知识点
不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中,不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x —a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。
3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。
4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是 。
6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7。
若x 〈１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空)8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x -〉10-a 的解集为x <３，则a10。
若a 〉b 〉c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x bx a x 的解集是11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x 〈１，则)1)(1(++b a 的值为 12.有解集２<x <３的不等式组是 （写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g14。
初中数学《不等式的解集》教案
初中数学《不等式的解集》教案第一章一元一次不等式和一元一次不等式组3．不等式的解集一、学生知识状况分析学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性,而不等式的解的个数有无数个,这对学生来说是全新的开始;在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式,为本节内容打下了基础。
但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习.二、教学任务分析1、教材分析：通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系,不仅有相等而且有大小之分,为了弄清这种大小关系,教材在此创设了丰富的实际问题情境,引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,从而渗透了“数形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。
教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材循序渐进,螺旋上升的特点.2、教学目标：（1）知识与技能目标：①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义②能够在数轴上表示不等式的解集（2）过程与方法目标:①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。
②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。
（3）情感态度与价值观目标：从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。
3、教学重点：（1）理解不等式中的相关概念（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来4、教学难点：探索不等式的解集并能在数轴上表示出来三、教学过程分析本节课设计了七个环节，第一环节复习旧知识；第二环节情境引入；第三环节课堂探究；第四环节例题讲解；第五环节随堂练习；第六环节课堂小结；第七环节布置作业。
2014..9.1.1.不等式及其解集
比较等式与不等式的性质
等式的基本性质1
等式两边加（或 减）同一个数或式 子，结果仍相等。 等式的基本性质2 不等式的性质1 不等式两边加（或减） 同一个数（或式子），不 等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以） 等式两边乘同一个 正数 同一个正数，不等号的方 数，或除以同一个 不变 向不变。 不为零的数，结果 不等式的性质3 仍相等. 不等式的两边乘（或除以）同 一个负数，不等号的方向改变 负数 改变.
达标检测
1、已知a>b,下列不等式不成立的是（ B）
A: a-3>b-3 B:-2a>-2b C: D: -a<-b 2、由m>n到km<kn成立的条件是（ B ） A: k>0 B :k<0 C: k≥0 D: k≤0 3、已知a>b，用“<”或“>”填空： > －3 < －3b (1) a－3____b (2) －3a____ > < －3b (4) a－b____0 (3) 3－3a____3 <-2，依据____________. 不等式的性质3 4、若-2x>4，则x___ 若m-2>3，则m___ _________. 1 >5 ，依据不等式的性质
正数：7×3
7 ×2 7 ×1 零： 7× 0
> > >
4×3
4× 2 4× 1
负数：7×（-1）
7 ×（-2） 7 × （-3）
< 4 × （-1） < 4 × （-2） <
4 × （-3）
＝ 4× 0
发现:同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一
个 负数不等号方向改变,同乘以0的时候相等.
初二数学不等式的解集知识点总结
初二数学不等式的解集知识点总结初二数学不等式的解集知识点总结漫长的学习生涯中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的初二数学不等式的解集知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初二数学不等式的解集知识点总结1不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
高一数学具体的不等式试题答案及解析
高一数学具体的不等式试题答案及解析1.不等式的解集是A．B．C．D．【答案】D【解析】：因为方程的两个根为，所以不等式的解集是。
故选D。
【考点】一元二次不等式的解法．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和实数的性质是解题的关键．2.不等式的解集是【答案】【解析】等价于，所以，，故不等式的解集是。
【考点】简单分式不等式解法点评：简单题，分式不等式解法，主要是转化成整式不等式求解。
3.不等式≥0的解集 .【答案】R【解析】根据题意，不等式≥0等价于,那么根据绝对值的几何意义可知，任意实数的绝对值都大于等于零，故可知解集为R.【考点】一元二次不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的解法的运用，属于基础题。
4.函数在上满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D.【考点】不等式点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。
5.已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】解：由题意借助数轴，|x-3|-|x+2|∈[-5，5]，∵存在实数x使得不等式|x-3|-|x+2|≥|3a-1|成立，∴5≥|3a-1|，解得-5≤3a-1≤5，即-≤a≤2，故答案为[-，2]【考点】绝对值不等式点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|3a-1|≤5，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误6.若不等式kx2-2x+6k<0（k≠0）。
（1）若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k的值；（2）若不等式解集是R，求k的取值。
【答案】(1)；(2)【解析】解：∵不等式kx2-2x+6k＜0（k≠0），不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，∴根据二次函数与方程的关系，得：k＜0，且-3，-2为关于x的方程kx2-2x+6k=0的两个实数根，据韦达定理有-3+(-2)=，(2)根据题意，由于k=0,不符合题意舍去，当k不为零时，则根据开口向下，判别式小于零可知，4-24k<0,k<0得到取值范围是【考点】二次函数与不等式点评：本题考查了函数恒成立问题，着重考查二次函数的图象与性质，同时考查了分类讨论思想的运用和转化思想，易错点在于忽略当k=0的情形，属于中档题7.已知关于的不等式的解集是，则 .【答案】【解析】因为，关于的不等式的解集是，所以，a=。
成都市七中育才学校必修五第三章《不等式》检测题(含答案解析)
一、选择题1．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是（ ）A ．7-B ．2C ．3D ．5-2．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋3．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R4．当x ，y 满足不等式组11y xy x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．325．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+6．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<9．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<-10．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则25x y +=的整数解的个数为___________.14．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 15．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______. 16．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________. 17．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．18．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.19．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．20．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为__________．三、解答题21．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 22．已知函数()251f x x x =--+. （1）解不等式()3f x x <；（2）当[]1,2x ∈时，2()3f x ax x -+恒成立，求实数a 的取值范围.23．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．（1）为探究视觉效果，请从sin θ，cos θ，tan θ中选择一个作为y ，并求()y f x =的表达式；（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能． 24．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<． （1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集．25．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围.26．解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++>．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由z x y =+得：y x z =-+，当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题： （1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a zy x b b=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；（2）斜率型：形如cy d z ax b+=+的形式，转化为d y c c b a x a+⋅+，将问题转化为(),x y 与,b d a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线斜率的求解问题； （3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为z =题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.2．A解析：A 【分析】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ，利用基本不等式可求得（x 9x+）min ＝6，从而可得实数m 的取值范围． 【详解】当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +9＞0恒成立⇔当x ＞0时，不等式m ＜x 9x+恒成立⇔m ＜（x 9x+）min ， 当x ＞0时，x 9x +≥=6（当且仅当x ＝3时取“＝”）， 因此（x 9x+）min ＝6， 所以m ＜6， 故选A ． 【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．3．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+，即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A.点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.4．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y t t （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．6．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1ba++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．7．B解析：B 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ．代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．8．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的9．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题10．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.11．C解析：C 【解析】试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0． 解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ， ∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0， ∴a≥b ， 故选C ．考点：不等式比较大小．12．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．4【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域然后根据画出所表示的直线确定边界再求解满足上整数点的个数【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线直线与可行域的边界交于两点由解得又且当时解析：4 【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域，然后根据画出25x y +=所表示的直线确定边界，再求解满足25x y +=上整数点的个数. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,(3,1)1,x D y =⎧∴-⎨=-⎩， 又(0,5),[0,3],[1,5]B x y ∴∈∈-，且,x y Z ∈，当0x =时，5y =；当1x =时3y =； 当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-， ∴整数解的个数为4. 故答案：4. 【点睛】关键点点睛：该题考查线性规划问题，考查最优解的整数点的个数问题，正确解题的关键是画出可行域.14．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7【分析】 根据题中条件，由1222()2212y x y x y y xx y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()2212347 yx y x y y x y xx y x y x y x y++++=+=+++≥+⋅=，当且仅当y xx y=，即1212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立.故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．2【分析】据题意由于MN为平面区域内的两个动点则不等式组表示的为三角形区域根据向量的数量积由于（当且仅当与共线同向时等号成立）从而求得最大值【详解】由作出可行域如图由条件可得由图知不等式组表示的为三解析：2【分析】据题意，由于M，N为平面区域401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a⋅≤（当且仅当MN与a共线同向时等号成立）从而求得最大值.【详解】由401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积， 由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立），即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离. 2=，故答案为：2【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题. 16．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数 解析：①③【分析】 结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.【详解】对于①，函数1y x x =+是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数， 当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x =+的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=++=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12x <，所以120x ->， 则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立， 所以1124212y x x ⎛⎫=--+-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意；对于③，222114144141x x x y x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭， 因为1x >，所以2104x x+>，所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即2x = 所以()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x =+， 因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x >，所以22221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x=+的最小值不是2，不符合题意； 故答案为：①③.【点睛】 本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.17．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题 解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可. 【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y x x y =， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤. 故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.18．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的 解析：1【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1.故答案为：1.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键. 19．【解析】试题分析:因故又因为因故即所以故应填答案考点：基本不等式的运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知 解析：()8,1,+∞【解析】试题分析:因20x y xy +-=,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知20x y xy +-=,变形为,然后将其代入可得,最后达到获解之目的.关于的范围问题,则借助题设条件,推得,解之得.20．2【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】画出表示的可行域如图由可得将变形为平移直线由图可知当直经 解析：2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩约束条件表示的可行域，如图，由10330x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，将z x y =+变形为y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图可知当直y x z =-+经过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭时， 直线在y 轴上的截距最小， 最大值为31222z =+=，故答案为2. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 三、解答题21．（1）[-4，1]；（2）-3.【分析】(1)当m ＝﹣4时，利用十字相乘法解出不等式的解集；(2)()0f x ＜的解集为(b ，a )，等价于()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理判断出a ，b 的符号，利用＂1＂的代换以及基本不等式求出最大值，并验证取等条件．【详解】（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4，1].(2)由题()0f x =的根即为a ，b ，故a +b =-3，ab =m >0，故a ，b 同负， 则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立.【点睛】本题考查一元二次不等式，基本不等式在求最值中的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题．22．（1）23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在1x ≤-、512x -<<、52x ≥去除绝对值符号可得到不等式；综合各个不等式的解集可求得结果；（2）根据x 的范围可转化为2433x ax x -≤-+在[]1,2x ∈上恒成立，通过分离变量可得2max 12a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，通过求解最大值可得到结果. 【详解】（1）当1x ≤-时，()()25163f x x x x x =-+++=-+<，解集为∅ 当512x -<<时，()251343f x x x x x =-+--=-+<，解得：25,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 当52x ≥时，()25163f x x x x x =---=-<，解得：52x ≥ 综上所述，()3f x x <的解集为：23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ （2）当[]1,2x ∈时，()43f x x =- ∴不等式可化为：2433x ax x -≤-+，即：212a x x ≥- 当[]1,2x ∈时，11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当112x =，即2x =时，2max 1234xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 34a ∴≥- 即a 的取值范围为：3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；解绝对值不等式的关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在每个区间上的解析式；常用的恒成立问题的处理方法是通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系.23．(1)sin θ=;(2)视角30达到最佳． 【分析】(1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．(2)由基本不等式可得1sin 2θ=≤=,即可得出答案． 【详解】解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=(1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=- 2222222230103010x x x x =⋅-⋅++++ 42100090000x x =++ (2)421sin 21600100090000x x θ=≤=++, 当且仅当2290000x x=,即103x =时,sin θ取到最大值12 因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒ 即此时视角达到最佳．【点睛】本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等. 24．（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．【详解】（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根， 由根与系数的关系有4131b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩． （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，即(3)()0x x c -+<．其对应方程的两根为13x =，2x c =-①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．25．(1)3；(2)6b ≥-【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值； (2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围.【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x -≤+在[0,2]上恒成立，因为13()36x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-,综上，实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题. 26．见解析【分析】由题意，将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．【详解】将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()20x a x a -->. 当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >；当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.。
北师大版数学八年级下册《3. 不等式的解集》教案
北师大版数学八年级下册《3. 不等式的解集》教案一. 教材分析《北师大版数学八年级下册》中的《3. 不等式的解集》一章主要介绍了不等式的解集及其表示方法。
通过本章的学习，学生能够理解不等式的解集概念，掌握求解不等式解集的方法，并能够用数轴、表格等方式表示不等式的解集。
二. 学情分析学生在学习本章之前，已经掌握了不等式的基本概念和性质，具备了一定的代数基础。
但部分学生对于不等式的解集的理解和表示方法可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解不等式的解集概念，掌握求解不等式解集的方法，能够用数轴、表格等方式表示不等式的解集。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：不等式的解集概念，求解不等式解集的方法。
2.难点：不等式解集的表示方法，尤其是数轴表示方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等多种教学方法，引导学生自主学习，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的不等式案例，用于课堂分析和练习。
2.准备数轴、表格等表示工具，用于展示不等式的解集。
3.准备课堂提问的问题，激发学生的思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度、身高等，引入不等式的解集概念。
提问学生：不等式的解集是什么意思？引导学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）呈现一些不等式案例，让学生尝试求解。
如：(1)2x + 3 > 7(2)x - 5 ≤ 8引导学生通过移项、合并同类项等方法，求解不等式的解集。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些不等式解集的问题。
如：(1)求解不等式 3x - 4 < 2 的解集。
(2)用数轴表示不等式 x > 5 的解集。
专题15 不等式的解集(解析版)
提升训练2.5 不等式的解集一、选择题 1．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．或B ．C ．或D ．【答案】A 【解析】 由题意，不等式，解得或， 根据充分不必要条件的判定方法，可得或是或成立的充分不必要条件，即或是成立的充分不必要条件，故选A.2．不等式2x ﹣1＜1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】不等式移项合并得：2x ＜2， 解得：x ＜1，表示在数轴上，如图所示：故选：C ．3．不等式组3020x x -≤⎧⎨+>⎩，的解集是（ ）A ．23x -<≤B ．23x -≤<C ．3x ≥D ．2x <-【答案】A 【解析】3020x x ①②-≤⎧⎨+>⎩解不等式①得x≤3, 解不等式②得x>-2所以，不等式组的解集是2x 3-<≤ 故选：A4．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A. 5．已知a R ∈，则“2a ≤”是“|2|||x x a -+>恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】函数y ＝|x ﹣2|+|x|的值域为[2，+∞），则当a 2≤时，|x ﹣2|+|x|＞a 不恒成立. 若|x ﹣2|+|x|＞a 恒成立，则说明a 小于函数y ＝|x ﹣2|+|x|的最小值2，即a ＜2. 故“a 2≤”是“|x ﹣2|+|x|＞a 恒成立”的必要不充分条件. 故选：B ．6．已知条件:|1|2p x +>，条件:>q x a ，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．1a ≥- D ．3a ≤- 【答案】B 【解析】由条件:12p x +>，解得3x <-或1x >；因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是1a ≥， 故选B ．7．不等式组103412x x x ->⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的解集在数轴上应表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】x 103x 4x 12①②->⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， 解不等式①得：x 1>， 解不等式②得：x 2≤，∴不等式组的解集为1x 2<≤，在数轴上表示不等式组的解集为故选C ．8．已知关于x 的不等式组12x m x m -<⎧⎨->-⎩的解集中任意一个x 的值都不在－1≤x≤2的范围内，则m 的取值范围（ ）A ．m ＜－2或m ＞4B ．－2≤m≤4C ．m≤－2或m≥4D ．－2＜m ＜4【答案】C 【解析】x −m<1① x −m>2② 解①得：x<m+1， 解②得：x>m-2， 则m-2＜x<m+1，因为不等式解集x 的值都不在-1≤x≤2的范围内， ∴m-2≥2，或m+1≤-1． 则m≥4或m≤-2． 因此选C9．不等式组5335x x x a -<+⎧⎨<⎩的解集为4x <，则a 满足的条件是( )A ．a<4B ．a=4C ．a ⩽4D ．a ⩾4【答案】D【解析】 解不等式组得4x ax <<⎧⎨⎩ ， ∵不等式组5335x ax x <-<+⎧⎨⎩的解集为x<4， ∴a ⩾4. 故选D10．如果关于x 的不等式（a +2）x ＞a +2的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0C ．a ＞﹣2D ．a ＜﹣2【答案】D 【解析】∵（a+2）x ＞a+2两边都除以（a+2）得x ＜1， ∴a+2＜0， ∴a ＜﹣2． 故选：D ．11．若不等式组2120x xx m ->-⎧⎨+≤⎩有解，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >-B ．1m ≥-C ．1m ≤-D ．1m <-【答案】D 【解析】由2120x x x m ->-⎧⎨+≤⎩得1,x x m >≤-因为不等式组2120x xx m ->-⎧⎨+≤⎩有解，则m 的取值范围是-m>1,即m<-1故选：D12．已知关于x 的不等式组200x x a +>⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2.1D ．3【答案】B 【解析】200x x a +>⎧⎨-≤⎩①②解①得x>-2，解②得x≤a. 则不等式组的解集是-2<x≤a.不等式有4个整数解，则整数解是-1，0，1，2. 则a 的范围是2≤a<3.a 的最小值是2. 故答案是：B 二、填空题13．不等式4x ﹣6≥7x ﹣15的正整数解的个数是______． 【答案】3 【解析】不等式的解集是x≤3,故不等式4x-6≥7x -15的正整数解为1,2,3 故答案为:3 14.不等式的解集为_________________；【答案】【解析】 ∵|x+1|＜2x ﹣1， ∴或，解得：x ＞2，故不等式的解集是（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞）．15．若不等式组2322x x x m +≥-⎧⎨-≤⎩无解，则m 的取值范围是______．【答案】m ＜-4 【解析】2322x x x m +≥-⎧⎨-≤⎩①②∵解不等式①得：x≥-2， 解不等式②得：x≤2+m ， 又∵不等式组无解， ∴-2＞2+m ， 解得：m ＜-4， 故答案为：m ＜-4．16．若关于的不等式在[﹣1,1]上恒成立，则实数的取值范围为________；【答案】[-1,1] 【解析】 不等式|ax ﹣1|≤2， ∴﹣2≤ax ﹣1≤2， ∴﹣1≤ax≤3； 又x ∈[﹣1，1]，若a ＞0，则﹣a≤ax≤a ，∴，解得0＜a≤1；若a=0，则﹣1≤0≤3，满足条件；若a ＜0，则a≤ax≤﹣a ，∴，解得﹣1≤a ＜0；综上，实数a 的取值范围是[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]． 三、解答题17．设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 【答案】1{|1}3x x x <->或. 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 18．解不等式133x x +--<. 【答案】5|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 【解析】由133x x +--<．当1x ≤-时，原不等式化为()()133x x -++-<，解得1x ≤-；当13x -<≤时，原不等式化为133x x ++-<，解得512x -<<； 当3x >时，原不等式化为()133x x +--<，此时不等式无解．综上可得原不等式的解集为5|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭． 19．关于x 的不等式对任意恒成立，求a 的取值范围．【答案】【解析】 因为，所以原不等式可化为：，，对任意恒成立，，故答案为：．20．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）5（x+1）﹣6＞3（x+2）；（2）12134(1)34xx x x +⎧-⎪⎨⎪-<-⎩…．【答案】（1）72x >，见解析；（2）x ＜0，见解析. 【解析】（1）∵5（x+1）﹣6＞3（x+2） ∴5x+5﹣6＞3x+6， 解不等式得x ＞72． 数轴表示如图：（2）121(1)34(1)34(2)xx x x +⎧-⎪⎨⎪-<-⎩… 解不等式①，得x≤4，解不等式②，得x ＜0， ∴不等式组的解集为x ＜0， 数轴表示如图：21．已知关于x 的不等式组9511x x x a +>+⎧⎨<+⎩的解集是x ＜2，求a 的取值范围.【答案】a ≥1 【解析】9511x x x a +>+⎧⎨<+⎩①②， 解①得x ＜2， 解②得x ＜a+1， ∵不等式组9511x x x a +>+⎧⎨<+⎩的解集是x ＜2，∴a+1≥2， ∴a≥1． 故答案为a≥1 22．已知的解集为.（1）求的值；（2）若，求证：. 【答案】（1）.（2）见解析【解析】 （1）解：不等式可化为，解得，所以，，.（2）证明：若，则，即.。
三类常见不等式问题的解法
解题宝典不等式知识贯穿于高中数学的各个章节，其题型多变，且综合性较强.常见的不等式问题主要有求不等式的解集、比较两式的大小、证明不等式恒成立等.本文重点探讨这三类常见的不等式问题及其解法.一、求不等式的解集求不等式的解集是一类基础题，主要考查不等式的解法.对于一次不等式，可直接根据系数的正负来确定不等式的解集；求二次不等式的解集，需借助方程的判别式和求根公式来；对于三次或三次以上的不等式，需先将不等式中的因式分解为几个式子的乘积的形式，然后运用“穿针引线法”来求得不等式的解集.例1.解关于x 的不等式2ax -a 2>1-x ()a >0.解：由题意可得，原不等式等价于ìíîïï2ax -a 2>0,1-x ≥0,2ax -a 2>()1-x 2,①，或{2x -a 2≥0,1-x <0,②由①可得ìíîïïïïx >a 2,x ≤1,x 2-2()a +1x +a 2+1<0,由②可得ìíîïïx ≥a 2，x >1，∵Δ=4()a +12-4()a 2+1=8a >0，∴x 2-2()a +1x +a 2+1<0解集为a +1-2a ＜x＜a +1+2a ；（1）当0＜a ≤2时，a2≤a +1-2a ≤1,a +1+2a >1，不等式组①的解集为a +1-2a <x ≤1，不等式组②的解集为x >1，（2）当a >2，不等式组①无解，不等式组②的解集为x ≥a 2.在求二次不等式的解集时，我们首先要将不等式进行变形，使不等式的右边为0，然后根据方程的判别式判断不等式左边式子所对应的方程是否有根.若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式求出方程的两根，得到不等式的解集；若Δ=0，便可根据函数的图象得到不等式的解集.二、比较两式的大小比较两式的大小一般采用作商比较法或者作差比较法.在解题时，要先将两式作差或者作商，再将差值与0进行比较，即ìíîïïa -b >0⇔a >b ,a -b =0⇔a =b ,a -b <0⇔a <b ,将商值与1进行比较，即ìíîïïïïïïïïa b >1⇔a >b ,ab =1⇔a =b ,a b<1⇔a <b ,.例2.已知a >2，b >2，比较a +b 与ab 的大小关系.解：a +b ab =1b +1a，∵a >2，b >2，∴1a <12，1b <12，∴a +b ab =1b +1a<1，∴a +b <ab .在用作商比较法比较两式的大小时，要注意两式的符号，一般只有在两式同号时才能进行比较.三、不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题的关键是，将不等式转化为函数最值问题来求解.首先，要将不等式进行变形，以便构造出合适的函数模型，然后求出函数的最值，建立使不等式恒成立的新关系式，从而使问题得解.例3.当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立，求m 的取值范围.解：当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立等价于m >-æèöøx +2x 在x ∈()1,2时恒成立，即m >éëêùûú-æèöøx +2x max ，∵x ∈()1,2，∴-æèöøx +2x ≤-22，当且仅当x =2x,即x =2时等号成立，∴m ＞éëêùûú-æèöøx +2x max =-22，即m 的取值范围为()-22,+∞.在变形不等式时，我们有时候需把参数、变量分离，有时需把不等式分离为两个常规的简单函数.求不等式的解集、比较两式的大小、求解不等式恒成立问题都是不等式中常见的题型.当然，不等式题目还有很多种类型，同学们在日常学习中要学会总结各类题型及其解法，这样在面对不同类型的不等式问题时，能快速找到清晰的思路以及正确的解题方法.（作者单位：新疆阿克苏地区第二中学）洋42。
不等式的解集表示方法
不等式的解集表示方法不等式是数学中常见的一种表示关系的方法，它用于描述两个数或者变量之间的大小关系。
解集则是指使不等式成立的所有数的集合。
在数学中，有多种方法来表示不等式的解集，下面将介绍其中常用的几种表示方法。
一、图形表示法图形表示法是一种直观、可视化的表示方法。
对于简单的一元一次不等式或二元一次不等式，我们可以将其转化为对应的直线或平面图形，然后通过观察图形与坐标系上的区域来确定不等式的解集。
例如，对于一元一次不等式2x - 3 < 5，我们可以通过将不等式转化为等式2x - 3 = 5，并画出对应的直线2x - 3 = 5，然后观察直线与x轴上的交点所构成的区域，即可确定不等式的解集。
二、区间表示法区间表示法是一种常用的表示不等式解集的方法，尤其适用于表示连续的解集。
在一元不等式中，我们可以用区间的方式来表示不等式的解集。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以将其解集表示为x ∈ (-∞, 4]，其中“∈”表示“属于”，“(”和“]”分别表示开区间和闭区间。
“-∞”表示负无穷大，“4”表示不等式的右端点。
三、集合表示法集合表示法是一种常用的数学符号表示方法，可以简洁地表示不等式的解集。
在集合表示法中，我们用大括号“{}”来表示集合，用特定的符号或条件来描述集合元素。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以将其解集表示为{x | x < 4}，其中“|”表示“满足”，“x < 4”表示不等式的条件。
四、参数表示法参数表示法主要用于表示含有参数的不等式。
在参数表示法中，我们用字母来表示参数，并给出参数的取值范围，从而表示不等式的解集。
例如，对于不等式ax - b > 0，其中a和b为参数，我们可以将其解集表示为{x | x > b/a}，其中“x > b/a”表示参数的条件。
综上所述，不等式的解集可以通过图形表示法、区间表示法、集合表示法或参数表示法来表示。
不等式的解集表示方法
不等式的解集表示方法不等式是数学中重要的概念之一，用来描述数值或者变量之间的大小关系。
解不等式的问题在数学中也是常见的，解集表示方法是描述不等式解的形式化方式。
本文将介绍不等式的解集表示方法，包括数轴表示法、集合表示法以及区间表示法。
一、数轴表示法数轴表示法是一种简洁直观的不等式解集表示方法。
通过绘制数轴，并在数轴上标注不等式中的关键数值点，可以清晰地表示不等式的解集。
下面举一个例子进行说明：假设有不等式 x > 2，我们可以在数轴上找到数值点2，并用一个开放的圆圈表示它。
由于不等式是大于关系，因此解集即为2之后的所有实数。
在数轴上，我们可以用箭头表示解集，即从2开始向右延伸的无穷区间。
数轴表示法简单明了，适用于一元线性不等式的解集表示。
二、集合表示法集合表示法是用集合的形式表示不等式的解集。
具体而言，用大括号{}表示集合，将解集中的元素依次列举于括号之内，并用逗号隔开。
如果集合中的元素具有特定的规律，可以用描述性的方式表示。
例如，如果不等式是 x > -3，解集为所有大于-3的实数，则可以用集合表示法表示为{x | x > -3}。
在该表示法中，x表示集合中的元素，竖线“|”表示“使得”。
集合表示法可以直观地表示解集，适用于复杂的不等式或多元不等式的解集。
三、区间表示法区间表示法是一种以区间的方式表示不等式的解集。
在数轴上，解集可以用有限或无限的区间来表示。
对于有限区间，用方括号[]表示闭区间，用圆括号()表示开区间，并结合数轴的方向来表示不等式的解集。
例如，对于不等式 -2 ≤ x < 3，解集可以表示为闭区间[-2, 3)。
在该表示法中，-2表示解集的起始点，3表示解集的结束点，方括号表示包含起始点，圆括号表示不包含结束点。
对于无限区间，可以用有限的数代替。
例如，对于不等式x ≥ 4，解集为大于等于4的所有实数，则可以表示为区间[4, +∞)，其中+∞表示正无穷。
综上所述，不等式的解集可以通过数轴表示法、集合表示法以及区间表示法来表达。
不等式的解集表示
不等式的解集表示不等式是数学中常见的一种表示关系的方式。
解集表示了不等式的所有可行解的集合。
在解不等式时，我们需要找到使得不等式成立的变量取值范围。
本文将介绍不等式的解集表示方法以及相关的数学符号和表达方式。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数学关系。
解不等式即找出使得不等式成立的变量取值范围。
不等式的解集可以是有限集合，也可以是无限集合。
二、不等式的解集表示方法1. 区间表示法当不等式的解集是一个区间时，可以使用区间表示法来表示。
区间表示法包括开区间、闭区间和半开半闭区间。
其中，开区间用“()”表示，闭区间用“[]”表示，半开半闭区间则一边开一边闭。
例如，解不等式x > 0可以表示为x∈(0, +∞)。
2. 集合表示法当不等式的解集无法用区间表示时，可以使用集合表示法。
集合表示法使用花括号“{}”表示集合，其中逗号“,”表示元素间的分隔，如{x∈R | x > 0}表示实数集合中满足x > 0的元素构成的集合。
3. 图示表示法当不等式的解集比较复杂或者需要直观地表示时，可以使用图示表示法。
图示表示法使用数轴和符号来表示不等式的解集。
例如，解不等式x > 0可以表示为数轴上大于0的部分。
三、不等式的解集表示的简化形式在表示不等式的解集时，我们可以对解进行简化和合并，以使表示更为简洁。
常见的简化形式有：1. 合并相邻区间：当解集中存在相邻的区间时，可以将它们合并成一个区间，如[1, 3]∪(4, 6)可以简化表示为[1, 6)。
2. 去除冗余解：当解集中存在冗余的解时，可以将其去除，如{x∈R | x > 0}∩{x∈R | x > 2}可以简化表示为{x∈R | x > 2}。
四、常见的不等式解集表示示例1. 线性不等式：①解不等式2x + 3 > 0。
解：2x + 3 > 02x > -3x > -3/2解集表示为x∈(-3/2, +∞)。
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第三章 第二节
不等式的解集
文山市坝心乡中心学校 闵堂敏
一、理解不等式的解与解集的意义 二、了解不等式解集的数轴表示
燃放烟花时,为 了确保安全,人在 点燃引火线后要 在燃放前转移到 安全区域。
情境引入
已知引火线的燃烧速度为0.02m/s, 人离开的速度为4m/s,当跑到4米处安全 时,那么引火线的长度应为多少厘米？
x
0.02×100
＞
10 4
根据不等式的基本性质,得
答： 引火线的长应大于5cm.
获得新知
解： 设引火线的长应为xcm,根据题意，得
x
0.02×100
＞
10 4
x =6
x=6、7、8、9、10能
x =7
使不等式成立吗？
x =8 x =9
能使不等式成立的未知数的值,
x =10 叫做不等式的解。
你还能找出一些上述不等式的解吗？ 你认为它的解有几个？
x =6 7 8 9 10 5.5 5.2 6.5 7.8 12
20 32 50 ……
一个含有未知数的不等式的所有 解，组成这个不等式的解集。
求不等式解集的过 程叫做解不等式
看谁快:
1.不等式 x－5＜1的解为( C )
A. x=6
B. x=9
C. x=4
D. x=10
2.下列说法正确的是（ D ）
A.x ＞ 3是2x ＞1的解集
B.x=3不是2x ＞1的解
C.x=3是2x ＞1的唯一解
D.x=3是2x ＞1的解
议一议
x﹥5
x =6 7 8 9 10 5.5 5.2 6.5 7.8 12
20 32 50 ……
这是表示解集的一种 -3 -方2 -法1 0，1有2没3有4其5他6 方7 8
法，更形象直观？
课堂小结 :
• 本节课我学会了
1.什么叫做不等式的解，不等式的解集？什么 叫做解不等式？ 2.在数轴上表示不等式的解集以及要注意哪些 方面？ 3.体会数形结合的思想。
必做题：习题2.3 第1题，第2题（1）（2）
选做题： 不等式x-1<2的正整数解是.
议一议
将不等式 x－5≤－1的解集在数轴上 表示出来。 x ≤4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
议一议
在数轴上表示不等式解集时，你认 为需要注意些什么？ （1）确定空心圆圈或实心圆点 （2）确定方向
空无实有,左小右大
巩固练习
1.将下列不等式的解集在数轴上表示出来。
（1）x＜3 （2）x≥﹣4 （3）x≤﹣2 （4）x＞1.5
解： 设引火2×100
＝
4 4
答： 引火线的长应为2cm.
情境引入
燃放某种烟花时,为了确保安全,人在 点燃引火线后要在燃放前转移到10m以外 的安全区域。已知引火线的燃烧速度为 0.02m/s,燃放者离开的速度为4m/s,那么 引火线的长度应满足什么条件？
解： 设引火线的长应为xcm,根据题意，得
x
0.02×100
＞
10 4
如果你是生产商，你 会做多长的引火线？
获得新知
燃放某种烟花时,为了确保安全,人在点燃引火 线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域。已知引 火线的燃烧速度为0.02m/s,燃放者离开的速度为4m/s, 那么引火线的长度应满足什么条件？
解： 设引火线的长应为xcm,根据题意，得