三角形四心与向量(最新整理)

例 7 若 O 为 ABC 内一点， OA OB OC ，则 O 是 ABC 的（ ）
-2-
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心 ，选 B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例 8．已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，
向量 ( AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直 B
| AB | | AC |
线)；
范例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
A
e1
C
P
e2
C C
例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,
例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的（D ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0
（B ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点
1. B 取 AB 边的中点 M，则 OA OB 2OM ，由 OP = 1 ( 1 OA + 1 OB +2 OC )可得 3 OP 3OM 2MC ，
32
2
∴
MP
2 3
MC
，即点
P
为三角形中
AB
边上的中线的一个三等分点，且点 P 不过重心，故选
AB AC
则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
AB
解析：因为
是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ，
又 OP OA AP ，则原
AB
-1-
式可化为 AP (e1 e2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC 中，AP 平分 BAC ，则知选 B.
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;
ABC 若 O 是
的重心，则 S BOC
S AOC
S AOB
1 3 S ABC 故
PG
1
( PA
PB PC)
G
为 ABC 的重心.
3
OA OB OC 0 ;
2．O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例 11． 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.
求证 OG 1 OH 3
F
AH BC x 2(x 2 x1) y 2y 4 0
C(x2,y2)
H E
G
y
4
x
2 (x 2 y2
x1)
QF AC
QF
AC
x
2
(
x2 2
x1) 2
y
2(
y2 2
y 3)
0
Q
x
A
D
B(x1,0)
y
3
x
2 (x 2 2y 2
x1)
y2 2
QH
(x
2
x1 2
,
y
4
y
3)
（ 2x
A．内心
B．外心 C．垂心
D．重心
解析：由 OA OB OC 0 得 OB OC OA ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则 OB OC OD ，由
平行四边形性质知 OE
1 OD ，
OA
2
OE
，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。
2
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ABC 的垂心. 由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,
同理 HC AB ， HA BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））
（C） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3．已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：
OP OA ( AB AC) ，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 4．已知△ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：
例 9．在△ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。
【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F 分
别为 AB、BC、AC 的中点，则有：
D（ x 1 , 0)、E ( x 1 x 2 , y 2 )、F ( x 2 , y 2 )
2
22
22
由题设可设Q（
x1 2
,
y
3
)、H
(x
2
,
y
4
)
,
G (x1
x 3
2
,
y2 3
)
AH
(x
2,
y
4 )，QF
(x 2 2
x1 2
,
y2 2
y
3)
y
BC (x 2 x1, y 2)
AH BC
∵G 是△ABC 的重心 ∴ GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC 由此可得 PG 1 (PA PB PC) .（反之亦然（证略））
3
例 6 若 O 为 ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）
|AB| |AC|
|AB| |AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足( AB | AB | |
AC )·=0，即角 A 的平分线垂直于 BC，∴ AC |
若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
3．O 是 ABC 的外心
| OA || OB || OC | (或 OA 2
2
OB
2
OC
)
若 O 是 ABC 的外心则 SBOC：SAOC：SAOB sin BOC：sin AOC：sin AOB sin 2A : sin 2B : sin 2C
6
6y2
63 2
2y2
2
=
1
QH
3
-3-
即QH =3QG ，故 Q、G、H 三点共线，且 QG：GH=1：2
例 10． 若 O、 H 分 别 是 △ ABC 的 外 心 和 垂 心 .求 证
OH OA OB OC .
证明 若△ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD.
-4-
PA PC PA PB PB PC 0 ，则 P 点为三角形的
（D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5． 已 知 △ ABC， P 为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 点 P 满 足 ： a PA b PB c PC 0 ， 则 P 点 为 三 角 形 的
故 sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 0
4．O
是内心
ABC
的充要条件是
OA
( |
AB AB
|
ห้องสมุดไป่ตู้
AC )
AC
OB
( |
BA BA
|
|
BC BC
) |
OC
( |
CA CA
|
|
CB CB
) |
0
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB, BC, CA 的单位向量为 e1 , e2 , e3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件
得 GA EG =0 GA GE 2GD ，故 G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例 5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 PG 1 (PA PB PC) .
3 证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC)
B.
A BC OB CA OC AB 2．在同一个平面上有 ABC 及一点Ｏ满足关系式： O
2
＋
2
2
2
＝
＋
＝
2
＋
2
，则Ｏ为
ABC 的
（D）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2． 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 A、 B、 C 及 平 面 内 一 点 P 满 足 ： PA PB PC 0 ， 则 P 为 ABC 的
可以写成 OA (e1 e3 ) OB (e1 e2 ) OC (e2 e3 ) 0 ，O 是 ABC 内心的充要条件也可以是
aOA bOB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC：S AOC：S AOB a：b：c
故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA sin BOB sin COC 0 ; | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P 是 ABC 的内心;
∴ AD AB ， CD BC .又垂心为 H， AH BC ， CH AB ，
∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形 AHCD 为平行四边形，
∴ AH DC DO OC ，故 OH OA AH OA OB OC .
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
则 PB CA,同理PA BC, PC AB 所以 P 为 ABC 的垂心. 故选 D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例 4． G 是△ABC 所在平面内一点， GA GB GC =0 点 G 是△ABC 的重心.
证明 作图如右，图中 GB GC GE 连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线. 将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，
证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 OG 1 (OA OB OC) 3
按垂心定理 OH OA OB OC
由此可得 OG 1 OH . 3
补充练习
1．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足
OP = 1 ( 1 OA + 1 OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 32 2
求证 △P1P2P3 是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）
证明
由已知 OP1
+ OP2
=- OP3
，两边平方得 OP1
· OP2
=
1 2
，
同理
OP2
· OP3
= OP3
· OP1
=
1 2
，
∴| P1P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ，从而△P1P2P3 是正三角形.
（B ） Ａ 外心
Ｂ 内心
C 重心
D 垂心
2
2
6． 在 三 角 形 ABC 中 ， 动 点 P 满 足 ： CA CB 2 AB CP ， 则 P 点 轨 迹 一 定 通 过 △ ABC 的 ：
（B）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→
→→
→→
AB AC →
AB AC 1
7.已知非零向量AB与AC满足( → + → )·BC=0 且 → · → =2 , 则△ABC 为( )
反之，若点 O 是正三角形△P1P2P3 的中心，则显然有 OP1 + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |.
即 O 是△ABC 所在平面内一点，
OP1 + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 | 点 O 是正△P1P2P3的中心.
2 2
x
1
,
3x
2
(x 2 2y2
x
1)
y2 2
)
QG
(x
2
3
x1
x1 2
,
y2 3
y
3)
（ 2x
2 6
x1
,
y2 3
x
2 (x 2 2y2
x1)
y2 2
)
( 2x 2 x 1 , 3x 2 (x 2 x 1) y 2 ) 1 ( 2x 2 x 1 , 3x 2 (x 2 x 1) y 2 )