干涉波前-干涉2011

光强I: 光的平均能流密度。
∫
T
0
r r 1 | E × H |dt = T
∫
T
0
EHdt
1 S = T
∫
T
0
1 1 EHdt = E0 H 0 = 2 2 n = εμ ≅ ε
εε 0 2 E0 μμ 0
在光频下，光强I:
1 I =S = 2
ε0 2 nE0 μ0
2
在同一种介质中，只关心光的相对分布，写为:
第二节 波 前
波前概念：
1 波前的传统概念： 跑在最前面的波面称为波前。
x
% U波
z y
2 广义波前概念： 在研究定态光波时，波面是否跑在前面不重要。 决定光波在某个平面上（x, y）被接收效果的，是该 % 面上的光场分布 U ( x, y) 在现代波动光学中，波前指与接收平面直接打交道的 % 光场分布： U ( x, y) （也称波前函数） 在此概念下，波前不一定就是等相面； 不再关心等相面是何种形貌。
% U ( x, y)
波前分析是现代波动光学的主要内容
波前的描述与识别 波前的叠加与干涉 波前的变换与分解 波前的记录与再现
平面或球面波前函数及其共轭波前 （1）一列平面波，其传播方向平行于（xz）平面，且 与z轴夹角为θ。写出在 z = 0 面上的波前函数。
对于波矢
r k1
x k1
k1x = k1 sin θ
待求波的波前函数：
% ( x, y) = U *3 ( x, y) = a1 exp(−ikr) % U4 r
% U3
R O
r = x + y +R
2 2
2
光传播的方向总是从左向右，会聚中心： Q’（0，0，R）与Q（0，0，-R）成镜像对称
例题：波长为 λ 的光波，在（x, y）接收面上的波前函数为
k1
% U1
θ −θ
k2
z
% ( x, y) = U *1 ( x, y) = A exp(−ikx sin θ ) = A exp[ikx sin(−θ )] % U2
（3） 轴上有一个点光源Q，坐标（0,0,-R）,写出 z = 0 面上的球面波波前函数。 x 发散球面波：
% ( P) = a1 exp(ikr ) U r
% U ( x , y ) = A exp(-i 2π fx )
分析与该波前函数相联系的波的类型和特征。 据题意：
kx = −2π f
ky = 0
Z=0
r % (r ) = A exp[i(k x + k y + k z)] U x y z = A exp(ik cosα x)
% ( x , y ) = A exp( − i 2π λ fx ) U
ϕ (P): 位相的空间分布
时间项：ωt [ω为圆频率]
体现了定态波振幅稳定，频率单一的特点。
波函数的复数表示
为了运算和理论分析上的方便，将简谐波函数的 实数形式变换为复数形式. 两者的对应关系：
U ( P , t ) = A ( P ) c o s ( ω t - ϕ ( P )) % ( P, t ) = A( P )e ± i (ωt -ϕ ( P )) = A( P )e − i (ωt -ϕ ( P )) U
λ
与 x 轴交角：cos α
=−fλ
x
α
z
kx + kz = k = (
2 2 2
2π
λ
2
)
2
kz = 2π ( ) − f
2
1
λ
轴上物点的傍轴条件与远场条件
• 物理意义： – 在什么条件下，球面波可以近似为平面波？
对于轴上物点 O 在 x’ y’ 面上的场点P的复 振幅为：
x
r
O
a U ( x ', y ') = exp(ikr ) r
P x' ρ O' y'
y z
ρ =
r =
x' + y'
2
2
x
r
O
P x'
ρ
O' y'
z +ρ
2
2
r = z 2 + ρ 2 = z (1 +
U ( x ', y ') = a
ρ2
2z
2
2
− ...)
ρ2
2z )]
z (1 + ρ / 2 z )
2
exp[ik ( z +
a 平面波前 U ( x ', y ') = exp(ikz ) z
2 2
Q
R
% U3
2
z
r = (x−x0) +(y− y0) +(z −z0)
x0 = y0 = 0 z0 = −R
z =0
% ( x, y) = a1 exp(ikr ) U3 r
r = x + y +R
2 2
2
平面或球面波前函数及其共轭波前
（4）分析与U3共轭的是怎样的一列波?
% U4
Q R
x Q’ z
由于定态光波频率单一的特点，在波函数表达式 -iωt 中， 是独立的。 e 振幅的空间分布A (P) 和相位的空间分布 ϕ ( P ) 是关注的重点。
引入复振幅的概念，用来统一表示光波的空间分布特点：
% (P) = A(P)eiϕ ( P) U
分析定态波场，就是分析复振幅分布。
平面波的复振幅及其特点 平面波复振幅表达式为：
2 2 2
平面波传播方向
kx + k y + kz = k =
2π
λ
球面波的复振幅及其特点 (1) 发散球面波 复振幅表达式为：
a1 2 2 2 % ( P) = a1 exp(ikr ) = U exp(ik x + y + z ) r x2 + y 2 + z 2
(2) 会聚球面波 复振幅表达式为： % (P) = a1 exp(-ikr ) U r
球面简谐波
a1 r U (r , t ) = cos(ωt - kr - ϕ0 ) r
r % (r , t ) = a1 eikr ⋅ e-iωt U r
设 ϕ0 = 0
复振幅概念
定态光波波函数表达式
% ( P, t ) = A( P )e − i (ωt -ϕ ( P )) = A( P )eiϕ ( P ) e − iωt U
k1y = 0
k1z = k1 cosθ
θ
% U1
z
% U1 ( x, y) = A exp(ik1x sin θ )
平面或球面波前函数及其共轭波前 （2）分析与 U1 共轭的是怎样的一列波。
约定：在作波前分析的场合，光传播的方向 总是从左向右。此时波矢的 z 分量kz总是正的。
x
% U2
% U1 ( x, y) = A exp(ik1x sin θ )
z
y
U ( x ', y ') =
a z (1 + ρ / 2 z )
2 2
exp[ik ( z +
ρ
2
2z
)]
傍轴条件：（振幅为常数的条件）
复振幅近似为：
ρ2
z2
<< 1
或
z >> ρ
2
2
a U ( x ', y ') = exp(ikr ) z
远场条件：（位相为常数的条件）
1 ρ k << π 2 z
% ( P) = a1 exp(ikr ) U r
2 2
o x
2
r = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 )
• 例题： 已知相位分布
ϕ(P) = lx + my + nz + p
求波的传播方向和波长。
根据题意： kx = l 波矢的方向： cosα = l / k, cosβ = m / k, cosγ = n / k ky = m kz = n
2
或
ρ z >> λ
2
a U ( x ', y ') = exp(ikz ) r
a U ( x ', y ') = exp(ikz ) z
两者都满足时：
傍轴条件和远场条件，那个更严格？
傍轴条件 远场条件
ρρ
zz ρρ << 1 zλ
<< 1
可见，当λ< z 时，远场条件更严格。 当λ> z 时，傍轴条件更严格。 在光学中，一般是远场条件蕴含傍轴条件
k = l +m +n
2 2
2
波长
λ = 2π / k = 2π / l + m + n
2 2
2
光强
对于平面电磁波：
r r E ⊥ H ϕH = ϕE
εε 0 E0 = μμ0 H0
电磁波能流密度（坡印亭矢量）：
rr r r r r S (r , t ) = E(r , t ) × H (r , t ) 1 S = T
例题5 设单色点光源发射的光波波长λ~ 0.5um, 横向观测范围的线度ρ~ 1mm，估算傍轴距离和远场距离。
取50倍作为<<1 的条件。
zz ρρ = 1 / 50 远场距离： zλ
傍轴距离：
ρρ
= 1 / 50
z1 =
50 ρ ≅ 7 mm
z2 = 50 ρ 2 / λ = 100 m
例题6 某点声源发射的声波波长λ~ 1m, 横向观测范围的线度ρ~ 10m，估算傍轴距离和远场距离。
r r r % U (r ) = A exp(ik ⋅ r ) = A exp[i(k x x + k y y + k z z )] = A exp[ik ( x cos α + y cos β + z cos γ )]
平面波复振幅的特点：
1）振幅为常数，与场点位置无关。 2）相位分布是场点位置的线性函数。（线性相因子） * 线性相因子系数
I = E0
光强与复振幅的关系
光强用振幅表示为：
I ( P ) = [ A ( P )]
2
光强的空间分布用复振幅表示为：
% % I (P) = U (P) ×U*(P)
~ % * 是 U 的复共轭： U
% * (P) = A(P)e-iϕ ( P) U
• 作业： – 147页 1题、2题、 3 题、4题 – 148页 5题、6题
1.2 定态光波的概念
定态波：光源持续且稳定地发光，波场中各点都以同一 频率作稳定的振荡。 定态波场的性质： 1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化， 在空间形成一个稳定的振幅分布。 频率单一，振幅稳定。 脉冲波：光源在极短时间中发 光，波形局限于一个小的区域 （波包）。
r = x2 + y 2 + z 2
(3) 轴外点源情形
如果有多个点源，只有一个可以被选为坐标原点。 轴外点源是更一般的情况。
z
对于场点：P( x, y, z) 设点源坐标为： Q( x0 , y0 , z0 ) 球面波复振幅表达式为：
P( x, y, z) k r
Q( x0 , y0 , z0 ) y
波线
在波的几何描述中，有如下概念：
球面波 波面
平面波
波面:等相面。 波线:能量传播的路径。 在各向同性媒质中，波面与波线正交； 在各向异性媒质中，波面与波线一般不正交； 按照等相面的形状，可分为： 球面波：波面是球面。几何光学中的同心光束。 平面波：波面是平面。几何光学中的平行光束。 波动光学的基础
第一节 定态光波与复振幅描述
1.1 波动概述：
• 波动：扰动（运动状态）在空间的传播形成波动。 要求波动具有如下基本特征： 1. 具有时间和空间双重周期性。 2. 能量的传输。 不具备这些特征，不是严格意义下的波动。
T
波动分类：
按照对波场的描述，可分为： 标量波：物理状态的扰动，用标量描述。 如温度波、密度波等。 矢量波：物理状态的扰动，用矢量描述。 如电磁波。 一般矢量波有三个自由度。 电磁场有两个垂直于传播方向的自由度。是横波。
Байду номын сангаас
定态波和脉冲波时间划分是相对的。 光波周期：
T ≈ 10
-1 4
s ≈ 10 s
-8
普通光源微观粒子一次持续发光时间： τ 波列内含有周期数：1 0 视为定态波。
6
1 0 -1 2 s 对于一次持续发光时间为：
就认为是脉冲波。 当前脉冲波在实验室中可达到：
4 .5 × 1 0
-1 5
s
定态光波的标量表示
r r 光是电磁波，涉及两个矢量场的分布： E ( P , t ) H ( P , t )
光的传播理论应当是矢量波的形式。 光的标量波理论从如下方式进行简化： 1) 以E矢量作为光矢量. E和H之间有确定的关系； 光频下，介质磁机制几乎不起作用。 2) 以E矢量的一个分量作为代表. ∂2Ex ∂2Ex ∂2Ex ∂2Ex + + − εε 0u u 0 = 0 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂t 化矢量波动方程： 为标量波动方程：
1 ∂ 2U ∇ 2U - 2 = 0 2 v ∂t r 2 r ∂ E ∇ 2 E - εε 0u u 0 = 0 2 ∂t
选择简谐波为定态光波的基元成分， 其标量波函数的一般形式为：
U ( P , t ) = A ( P ) c o s ( ω t - ϕ ( P ))
A (P): 振幅的空间分布 与时间无关 与场点坐标无关
两者的对应关系，不是相等关系。 在运算操作中体现其作用 辐角取负数，使得相位的落后表现为辐角的增加。
两种典型的波及其复数形式： 平面简谐波 r r r U (r , t ) = A cos(ωt - k ⋅ r - ϕ0 )
rr r % U (r , t ) = Aeik ⋅r ⋅ e-iωt 设 ϕ0 = 0