数理方程：第7讲行波法
第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
第七章 波动方程初值问题
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
数学物理方法课件第七章-----行波法
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
行波
一、其他测距的方法？（听诊法，短距长距分别用什么）二、故障测距各方法的优缺点？为什么选择行波法？三、行波法需要解决哪些问题？目的，定位精度等。
四、行波法各种方法的原理？确定使用哪一种？五、行波法市面上使用的产品（程度、问题、技术发展现状）四、行波法各方法原理：A型装置利用故障点产生的行波在测量点到故障点间来回往返的时间与行波波速之积来确定故障位置；B型装置利用故障点产生的行波到达两端的时间差与波速之积来确定故障位置；C型装置是在故障发生时于线路的一端施加高压高频或直流脉冲信号，根据脉冲往返时间来确定故障位置；D型装置是在 B型装置的基础上建立了基于全球定位系统（Global Positioning System，GPS）精确对时的双端行波法，使得行波故障测距的实现既简单又精确稳定，并且有良好的适应性；E型装置出现时间稍晚，它采用单端方式，原理是捕捉线路发生故障后的断路器重合闸产生的电流行波进行定位，它同样可以测量永久短路故障、开路故障以及在健全线路中测量线路全长；F型装置原理（单端测距原理）则利用故障线路在断路器分闸时产生的暂态行波在行波的测量点与产生故障的地点之间往返一次的传播所用的时间与行波的速度积计算发生故障点的距离。
（1）A型行波法原理A型法是一种单端行波测距法，其利用线路故障时自身产生的暂态行波信号实现故障定位。
在牵引网输电线发生故障时，故障产生的行波浪涌在故障点及母线之间来回反射，利用故障线路在测量端感受到的第一个正向行波浪涌与其在故障点反射回的行波信号之间的时间差，计算测量点到故障点之间的距离。
单端A型测距原理示意图设S端为测量端,波速为v，故障初始行波与故障点反射波到达本端母线的时间分别为Ts1,Ts2,则故障距离原理可用公式表示为：当故障点在线路中点以内时,来自故障线路方向的第二个同极性行波波头是故障点反射波,根据它与故障初始行波的时间差△t,利用上式来实现测距。
当故障点在线路中点以外时,来自线路方向的第二个行波波头是来自故障线路对端的反射波,虽然电流行波在对端一般产生正反射以及故障点透射系数为正数,由于向对端运动的故障初始行波与向本侧运动的初始行波反极性,故对端反射波在本侧记录下的行波波形上与故障初始行波反极性。
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
第七章-行波法
的物理意义
u2 f2 ( x)
u2 f 2 ( x a / 2)
a
a 2
u2
a
3a 2
u2
x
x
t 1
t 2
u2 f 2 ( x a)
u2 f 2 ( x 2a)
0
u2
2a
x
a
3a
x
随着时间 t 的推移，u2 f2 ( x at ) 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动，所以表示一
(t x / a) (t x / a)
(t x / a)
1 1 ( )d 2a x at 2a 1 2a
x at
x at
x at
0
1 1 ( )d ( )d 2a x at 2a
0 x at
0
x at
0
1 ( )d ( )d 2a x at
数学物理方程与特殊函数
第7章 - 行波法
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
由一维波动方程建立通解公式，然后得到Cauchy问题解的表达式
数学物理方程与特殊函数
（一）波动方程的达朗贝尔公式
A. 变量代换
第7章 - 行波法
x
1 1 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
1 1 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
x
数学物理方程与特殊函数
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式
数学物理方法泰山医学院于承斌cbyu@第十四章行波法与达朗贝尔公式14.1 二阶线性偏微分方程的通解对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P28114.2 二阶线性偏微分方程的行波解通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）假设方程的行波解具有下列形式(,)()u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故20a b c λλ++=(14.2.2)''()0F y x λ+≠上述方程变为(i) 240b ac ∆=−>12(,)()()u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)240b ac ∆=−=(ii) 122b aλλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4），则有两个虚根12(,)()()[()i ][()i ]u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程如果方程具有更一般的形式222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令(14.2.7)代入方程（14.2.6）得(14.2.8)(,)mx ny u x y e+=220am bmn cn dm en f +++++=12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c ec e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根，则1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根，则12()()n m n m =(14.2.11)2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m yu x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m yu x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.14.3.1 达朗贝尔公式设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为14．3 达朗贝尔公式2,0(14.3.1)0(,0)()(.0)()tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===容易得知偏微分方程的判别式240a ∆=>，该方程为双曲型．由22a λ−=12 , a aλλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为12(,)()()u x t F x at F x at =++−(14.3.2)其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件。
行波法求解偏微分方程
行波法求解偏微分方程引言偏微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
解决偏微分方程的问题在科学和工程领域具有广泛的应用。
行波法（也称为特征线法）是一种常用的方法，用于求解一阶和二阶偏微分方程。
本文将介绍行波法的基本原理、步骤以及应用示例。
行波法的基本原理行波法基于特征线理论，通过沿特定方向传播的特征线来求解偏微分方程。
对于一阶偏微分方程，其特征线可以直接得到；对于二阶偏微分方程，需要通过变换将其转化为一阶形式后再进行求解。
行波法的步骤1.对于一维偏微分方程，首先确定其特征线。
对于二维和三维情况，则需要确定多组特征线。
2.沿着特征线进行坐标变换，将原始偏微分方程转化为常微分方程。
3.解常微分方程得到参数函数。
4.将参数函数代入坐标变换公式，得到原始偏微分方程的解。
行波法的应用示例一阶偏微分方程考虑一维线性对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=0其中，a为常数。
根据行波法的步骤，我们可以得到特征线方程：dxdt=a解特征线方程可得特征线为直线x=at+C，其中C为常数。
将坐标变换x=at+C 代入原始偏微分方程，并进行求解，即可得到原始偏微分方程的解。
二阶偏微分方程考虑二维波动方程：∂2u ∂t2−c2(∂2u∂x2+∂2u∂y2)=0首先确定两组特征线：dx dt =c, dydt=c解特征线方程可得特征线为直线x=ct+C1和y=ct+C2，其中C1,C2为常数。
沿着特征线进行坐标变换：x′=x−ct−C1, y′=y−ct−C2将坐标变换后的偏微分方程进行求解，得到参数函数。
然后将参数函数代入坐标变换公式，即可得到原始偏微分方程的解。
总结行波法是一种求解偏微分方程的有效方法，通过确定特征线并进行坐标变换，可以将原始偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
行波法在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，可以用于描述波动、传热、扩散等现象。
掌握行波法的基本原理和步骤对于解决实际问题具有重要意义。
偏微分方程 行波法
偏微分方程行波法
偏微分方程的行波法是一种解决偏微分方程的数值方法，通过将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
行波法的基本思想是将偏微分方程的解表示为波函数的传播形式，即波的传播规律。
首先，行波法需要选择合适的波函数，通常选用一些已知的行波解，例如简谐波、脉冲波等。
然后，将这些波函数代入偏微分方程中，得到一系列常微分方程。
这些常微分方程可以用数值方法进行求解，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
行波法的优点在于，通过将偏微分方程转化为常微分方程，可以大大简化计算过程，并且可以处理一些难以直接求解的偏微分方程。
此外，行波法还可以通过引入初始条件和边界条件，更好地模拟实际物理系统的运动规律。
但是，行波法也存在一些局限性。
首先，行波法只能求解一些具有特定形式的偏微分方程，对于一些复杂的偏微分方程可能无法得到满意的解。
其次，行波法的精度和稳定性也需要进一步研究和改进。
总的来说，偏微分方程的行波法是一种非常有用的数值方法，对于解决一些实际物理问题具有重要意义。
未来，随着科学技术的不断发展，相信行波法也会得到更多的改进和完善。
行波法
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
行波法-1
1 1 x + at u ( x, t ) = ⎡ ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ⎤ + ψ (ξ ) dξ ⎣ ⎦ ∫ 2 2a x − at (11)
2 ∂ 2u 2 ∂ u = a 2 ∂t ∂x 2
(1)
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3)
2 2 2 ⎡ ∂ 2u ∂ u ∂ u ∂ u⎤ 2 = a ⎢ 2 −2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
(4)
• 将(3)及(4)代入(1)得 2 ∂ u (ξ ,η ) =0 ∂ξ∂η
3. 行波法
分离变量法 • 求解有限域内定解问题的一个常用方法 行波法
• 一种只能用于求解无界域内波动方程定解问 题的方法，即求解波动方程柯西问题的方法
3.1一维波动方程的达朗贝尔公式
常微分方程的知识
⎧ 例如： ⎪ y '' ( t ) = 0 ⎪ ⎨ y (0) = 0 ⎪ 1 ⎪ y '(0) = 3 ⎩
u2 = f 2 ( x − at ) u2 = f 2 ( x ) u2 = f 2 ( x − a )
t＝0
t＝1
u2 = f 2 ( x − a / 2 )
u2 = f 2 ( x − 2a )
t＝1/2
t＝2
达朗贝尔公式的物理意义
数学物理方法第七章
x dx
相对伸长
u x
x
u x
x
x dx
F
x dx
x
由虎克定律，B两端的 张应力（单位横截面 的力）分别为
u ( x)
u ( x dx)
A
B
C
u u u B段运动方程为 YS ) 2 x dx YS x ( Sdx x x t Y u x x dx u x x utt dx
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 受力分析和牛顿运动定律： 2
沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+x
（ 1）
沿垂直于x-轴方向
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下：
如立方体内无源和汇 dt时间内粒子增加数为
u dxdydzdt (u t dt u t )dxdydz du x , y , z dxdydz t u dxdydz t
u u u ( D )dxdydz ( D )dxdydz ( D )dxdydz x x y y z z u u u u { [ ( D ) ( D ) ( D )]}dxdydz 0 t x x y y z z
7.1 数学物理方程的导出
步骤：
1、明确要研究的物理量是什么？
从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。 2、研究物理量遵循哪些物理规律？ 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
波动方程的导出
（一）均匀弦微小横振动方程 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附
数理方程：第7讲行波法
在 x t平面上斜率为
1 a
的两族直线 x at 常数
对一维波动方程的研究起到重要作用,
称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
x at
称为特征变换, 行波法也叫特征线法.
x at
一维波动方程
utt a2uxx
的两族特征线 x at 常数 恰好是常微分方程
dx2 a 2 dt2 0
的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .
一般的二阶线性偏微分方程
Au xx 2Bu xy Cu yy Du x Eu y Fu G, (*)
它的特征方程为 Ady2 2Bdxdy C dx2 0
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的
特征曲线.
2u 2 2u 2u
2 2
代入方程化简得:
2u 0
它的通解为
u( ,) f1( ) f2 ()
于是，原方程的通解为
u(x, y) f1(3x y) f2 (x y)
代入初条件始得
f1(3x) f2 (x) 3x2
f1(3x)
f
2
(
x)
0
第二式的两端得关于x 积分得
2u x2
(3 u
u )
x
(3 u
u
)
x
9
2u
2
6
2u
2u
2
2u (3 u u ) (3 u u ) xy y y
3
2u
2
2 2u
2u
2
u u u u u y y y
3x y x y
2u ( u u ) ( u u ) y2 y y
1 3
数学物理方法16.1 行波法1-波动方程
( )d xat
a[ f1(x at) f1(x at)] a[ f2 (x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
a xat
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
确定待定函数（法二）
待求的？
1
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
能消去吗？
f2
(
x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
待求的解为
u f1 (x at) f2 (x at)
确定待定函数（法一）
f1
(x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
(x) 1
那么，可得原问题的解为
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
(v)dv
2
2a xat
确定待定函数（法二）
(x) (x)
f1(x) f2 (x) af1(x) af 2(x)
有何关联？
观察第一个方程，和待求解 u f1(x at) f2 (x at)
上述方程组中：4个待定函数，3个方程， 因此，不能直接求解各个待定函数。
u f1(x at) f2 (x at) 整体思想
确定待定函数（法二）
(x at) (x at)
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
行波法：算例1
2u u(tx2 ,0)
2021年数理方法课件 精美PPT 07第7章 一维波动方程的傅里叶解
两边除以 ρΔx， 然后取极限Δx→0:
utt ( x, t) =
T0
uxx(x, t) +
f
( x, t )
➢ 弦振动的泛定方程 ut t = a2ux x + f
u(x,t) ➔ x 处的质元在 t 时刻相对平衡位置的位移 f(x,t) ➔ t 时刻 x 处单位质量所受的横向外力
a = T0 / : 弦中横波的波速 T0 ➔ 初始张力，ρ➔质量线密度
• 整个系统初始状况的表达式称为初始条件 • 对弦振动，泛定方程为 ut t = a2 2u + f
需给出弦在初始时刻 t=0 的位移和速度： u( x,0) = ( x), ut ( x,0) = ( x)
• 泛定方程出现时间的 n 阶偏导数时需要 n 个初始条件
• 对物理量的稳态分布，无初始条件
lxntalnbtalnatxunnn??????sinsincos1??????????????lndxlxnxula0sin02??lxnblanxunnt????sin001????????????????202sincos14ldxlxnxnlh??????????????????????lxlxlhhlxxlhxu22220200ll2xux0h分离变量法得出解的一般形式bn0lxntalnnnhtxun????????sincossin????????12228222sincos14lnnnlhan??????????????????2020cos1coslldxlxnlnxlnlxni????????????20sinldxlxnxi??对奇数n计算积分202sin2cos2llnlxnnlnl??????????????22sinlnn??????2sin822????nnh???回顾
07第七章 行波法
∫ ∫ 特解 uspecial = − dξ dη f ( a ξ + aη, ξ − η)
• 二维泊松方程 ux x + uy y = f ( x, y) 的特解？ a → i, t → y
5
3. 一维波动方程的达朗贝尔公式
∫ u( x, t) = ϕ( x − at) + ϕ( x + at) + 1 x+atψ(α)dα
− f1′(3x) + f2′(x) = x
−
1 3
f1(3x) +
f2( x)
=
1 2
x2
+c
f1(3x)
=
3 4
(sin
x
−
c
−
1 2
x2
),
f2
(
x)
=
1 4
(sin
x
+
3
c
+
3 2
x2
)
u=
f1[3(x −
y )]+ 3
f2(x +
y)
= 1 sin(x + y) + 3 sin(x − y ) + x y + y2
x+a t
2dα
2
2a x −a t
= cosx cos(a t) + 2t
(2) 因式分解 ux x + 2ux y −3u y y = (∂ x + 3∂ y )(∂ x − ∂ y )u = uξη
∂ξ ∂
= ∂x η=∂
+ 3∂y x −∂y
dx = dξ + dη dy = 3dξ − dη
行波法和达朗贝尔公式
行波法与达朗贝尔公式我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。
偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式,0 22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t即.0 =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂u x a t x a t（7-4-1）（1）通解方程（7-4-1）的形式提示我们作代换, ),(ηξηξ-=+=t a x（7-4-2）因为在这个代换下，, x a t x x t t ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ξξξ , ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x a tx x t t ηηη 方程（7-4-1）就成为 0) /(2=∂∂∂u ηξ。
但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2）修改为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=),(21),(21ηξηξa t x 即⎩⎨⎧-=+=.,at x at x ηξ在此代换下，方程（7-4-1）化为,0 2=∂∂∂ηξu（7-4-3）就很容易求解了。
先对 η 积分，得)( ξξf u=∂∂（7-4-4）其中 f 是任意函数。
再对ξ 积分，就得到通解),()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=⎰ηξηξξ（7-4-5）其中 1f 和 2f 都是任意函数。
式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。
不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。
通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。
以 )(2at x f - 而论，改用以速度a 沿x 正方向移动的坐标轴 X ，则新旧坐标和时间之间的关系为⎩⎨⎧=-=,,t T at x X而),()(22X f at x f =-与时间 T 无关。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
d
0
C
解得
f1x
1 2
x
1 2a
x
0
d
C 2
f2
x
1 2
x
1 2a
x
0
d
C 2
代入通解表达式，得
ux, t
1 [x
2
at x
at]
1 2a
xat
xat
d
—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
考虑 u2 f2( x at ) 的物理意义
u2
u2
f2( x)
x
a a
t=0
a
3a
2
2
第三章 行波法与积分变换法
➢ 行波法(求解无界区域内波动方程定解问题) ➢ 积分变换法 (无界或有界区域)
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
utt a 2u xx ( x , t 0)
u |t0 x ut |t0 x
考虑代换
x at x at
利用复合函数求导法则得
u u u u u x x x
2u 2 2u 2u
2 2
代入方程化简得:
2u 0
它的通解为
u( ,) f1( ) f2 ()
于是，原方程的通解为
u(x, y) f1(3x y) f2 (x y)
代入初条件始得
f1(3x) f2 (x) 3x2
f1(3x)
f
2
(
x)
0
第二式的两端得关于x 积分得
2u x2
(3 u
u )
x
(3 u
u
)
x
9
2u
2
6
2u
2u
2
2u (3 u u ) (3 u u ) xy y y
3
2u
2
2 2u
2u
2
u u u u u y y y
3x y x y
2u ( u u ) ( u u ) y2 y y
u |y0 3x2 u y | y0 0
解: 特征方程
dy2 2dxdy 3dx2 0
两族积分曲线为 (dy 3dx)dy dx 0
3x y C1 x y C2
做特征变换
3x y x y
u u u 3 u u x x x
3x y x y
A
dy dx
2
2B
dy dx
C
0
A
dy dx
2
2B
dy dx
C
0
即有 dy B B2 AC
dx
A
记
(x, y) B2 AC
(*)
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
( x, y) 0 双曲型方程
( x, y) 0 椭圆型方程
( x, y) 0 抛物型方程
可以证明，当 (x, y) 0 时，有两条相异的实特 征线
1 3
f1 3x
f2
x
1 3
f1 0
f2
0 =C
解得
f1
3x
9 4
x2
3 4
C
f1
x
1 4
x2
3 4
C
f2
x
3 4
x2
3 4
C
所求问题的解为
ux, y 1 3x y2 3 x y2 3x2 y2
4
4
例 求方程 uxx 2sin x uxy cos2 xuyy cos xuy 0
其中 f1 , f 2 是任意的二次连续可微函数.
dx2 a 2 dt2 0
的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .
一般的二阶线性偏微分方程
Au xx 2Bu xy Cu yy Du x Eu y Fu G, (*)
它的特征方程为 Ady2 2Bdxdy C dx2 0
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的
特征曲线.
2u u u u u
x2
(
)
x
(
)
x
2u 2 2u 2u
2 2
u u u a u a u t t t 2u (a u a u ) (a u a u ) t2 t t
a2
2u
2
2a2
2u
a2
2u
2
将 2u x2
2u
2
2
2u
播的行波, 称为左行波.
在 x t平面上斜率为
1 a
的两族直线 x at 常数
对一维波动方程的研究起到重要作用,
称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
x at
称为特征变换, 行波法也叫特征线法.
x at
一维波动方程
utt a2uxx
的两族特征线 x at 常数 恰好是常微分方程
t=1/2
u2
u2
随着时间
t 的推移 x u2的图形
以速度a 向x轴正 向移动.
2a x
t=1
图 3-1
x
a 3a
t=2
物理意义: 随着时间 t 的推移, u2 f2 x at
的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方向行进的波, 称为 右行波.
同样道理, u1 f1x at 以速度a 向x 轴负方向传
2u
2
和 2u a2 2u 2a2 2u a2 2u
t 2
2
2
代入原方程得
2u 0
因此
u x,t f1() f2
f1 x at f2 x at
利用初始条件，确定两个函数的具体形式。
u |t0 f1( x a 0) f2( x a 0)
f1x f2 x x ……………①
ut |t0 af '1( x a 0) af2 '( x a 0)
af '1 x af '2 x x ……………②
由第二式得
f1 x
f2 x
1 a
x
0
d
C
.............③
其中 C f1(0) f2 (0)
由①, ③
f1x f2 x x
f1 x
f2 x
1 a
1(x, y) c1,2 (x, y) c2
因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特
征线做自变量替换 1(x, y), 2 (x, y) 总可以
把双曲型方程化为
2u 0
从而得到方程的通解
u f1( ) f2 ()
例 求下面问题的解:
u xx 2u xy 3u yy 0
(3.1)
的一般解.
解 特征方程为
dy2 2sin x dxdy cos2 x dx2 0
dy sin x 1 dx
特征曲线为
y x cos x C1
y x cos x C2
所以，做变换 x y cosx x y cosx
则原方程可以变为
2u 0
于是，方程的通解为
ux, y f1x y cos x f2 (x y cos x)