高速滚动轴承_转子系统时变轴承刚度及振动响应分析_曹宏瑞
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* Key words：rolling bearing；time varying stiffness；nonlinearity；vibration response；bearing-rotor coupling system
* 国家自然科学基金(51105294，51035007)、国家重点基础研究发展计划 (973 计划，2011CB706606)和中央高校基本科研业务费专项资金资助项 目。20130826 收到初稿，20140421 收到修改稿
(1. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049; 2. Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-bearing System, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)
Abstract：High speed rolling bearings are widely used in the machine tool spindle, aircraft engines and any other systems. Under the complex operating conditions, bearing stiffness shows the characters of strong nonlinearity and time variation, which are often the primary sources of nonlinearity of system. With the consideration of the centrifugal force, gyroscopic moment, inner ring centrifugal expansion and thermal deformation, a high speed rolling bearing nonlinear model is proposed, which can be used to calculate the stiffness matrix. Rotor-bearing coupling finite element model is obtained by assembling rolling bearing nonlinear model and rotor finite element model. Take FAG bearing (HCB7012E) for example, axial and radial relative displacements of inner ring and outer ring are calculated under the condition of static loads, respectively. The calculated results are compared with the results of FAG’s online tool (BearinX®) to validate the model. Moreover, vibration responses due to unbalanced excitation of the bearing-rotor system are simulated and compared with experiments under different bearing preloads. The variations of bearing stiffness under static and dynamic loads are studied with a back-to-back angular contact ball bearing-rotor system, meanwhile, the time vibration response caused by time varying stiffness and its frequency features are calculated, which provide guidance for the design of high speed rolling bearing- rotor system, dynamic analysis and fault diagnosis.
图1
轴承坐标系
图2
轴承内外圈与滚动体的几何关系
因轴承外圈与箱体固定，故外圈的曲率中心可 以认为是不变的。当轴承发生变形之后，内、外圈 曲率中心和滚珠中心的距离 ik 和 ok 分别是
D ik ri ik fi 0.5 D ik 2 r D f 0.5 D ok o ok o ok 2
(1. 西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室 西安 710049； 2. 西安交通大学现代设计及转子轴承系统教育部实验室 西安 710049)
摘要：高速滚动轴承广泛应用于机床主轴、航空发动机等转子系统中。在复杂运行工况下，滚动轴承的刚度表现出强烈的时 变特性和非线性特性，往往是系统非线性的主要根源。考虑离心力、陀螺力矩、轴承内圈离心膨胀和热变形等因素，建立高 速滚动轴承力学模型，计算轴承的时变刚度。将滚动轴承非线性模型与转子有限元模型集成，建立滚动轴承-转子耦合系统 动力学模型。以 FAG 角接触球轴承(HCB7012E)为例，分别计算静载荷作用下的内外圈轴向、径向相对位移，并与舍弗勒轴 承分析软件 BearinX®的计算结果进行比较，验证了模型对静态位移仿真的精度。在不同轴承预紧状态下，仿真滚动轴承-转 子系统在不平衡激励下的振动响应，并与试验结果比较，验证了模型仿真系统动态响应的精度。利用一个背对背安装的角接 触球轴承-转子系统，研究在静载荷、不平衡载荷激励作用下滚动轴承刚度的变化规律，并计算时变轴承刚度作用下转子的 时域振动响应及频域特征，为高速滚动轴承-转子系统设计、动力学分析与故障诊断提供依据。 关键词：滚动轴承；时变刚度；非线性；振动响应；轴承-转子耦合系统 中图分类号：TH113；TH165
[1]
本文考虑离心力、陀螺力矩、内圈离心膨胀和热变 形，建立高速滚动轴承非线性模型。将轴承-转子系 统各子部件模型进行集成， 建立了整个轴承-转子系 统的有限元模型，该模型可以模拟转子在受到载荷 时的动态行为。通过建立一个背对背安装的角接触 球轴承-转子系统模型， 研究了角接触轴承在旋转过 程中的刚度波动现象，讨论了轴承的滚珠数目、预 紧力、外部载荷、转子转速等因素对刚度波动的影 响。研究了轴承刚度波动对转子动态行为的影响， 分析了当转子分别受到静载荷和动载荷时时，转子 在三个方向的振动响应规律。
icu x z ric cos k y ric sin k icv y cos k z sin k ir uir or
度刚度矩阵
KB
Fi Fo δ i δ o
(5)
刚度矩阵 K B 的每一项都可以化简为包含 U ik 、 U k 、 Vik 、 Vk 、 ok 、 ik 、 k 的式子，可见轴承的 刚度不但与每个滚珠的变形状态有关，而且与每个 滚珠的方位角有关。 轴承旋转时，所有滚珠的空间位置将随着保持 架的旋转发生周期性变化，变化的周期是轴承保持 架转过每两个滚珠所对应的角度 的时间，如图 4a 所示，当保持架转过 角时，各个滚珠的空间位置 将发生改变，如图 4b 所示。 当轴承只受到静态载荷时，使轴承刚度发生变 化的主要因素是轴承滚珠空间位置的变化。假设轴 承受到如图 4 所示 y 负方向的静载荷 F，当轴承保 持架转过一定角度时，各个滚珠的受力和变形都将 发生变化， 如图 4b 所示， 因此轴承刚度也随之改变。 当轴承匀速运转时，轴承刚度将以保持架转过每两 个滚珠所对应的角度的时间为周期发生波动。
74
机
械
工
程
学
报
第 50 卷第 15 期期
0
前言
滚动轴承因旋转精度高、承载能力强等特点而 广泛应用于高速机床主轴、航空发动机等高速转子 系统中。 一般认为， 当滚动轴承内径和转速之积 Dn 6 值大于 0.6×10 mm・r/min，或轴承节圆直径和转 6 速之积 Dmn 大于 1.0×10 mm・r/min 时，可称为高 速轴承 。轴承刚度是轴承的重要参数之一，在高 转速、 变载荷等 复杂运行工况下， 滚动轴承的刚度 表现出强烈的时变特性和非线性特性，往往是滚动 轴承-转子耦合系统非线性的主要根源。 滚动轴承 - 转子系统动力学分析一直是研究的 热点。在轴承-转子模型中，转子通常可以简化为刚 体，而轴承可以简化为弹簧和阻尼器的并联组合， 通过求解系统的微分方程组来研究转子系统的动态 [2-3] [4] 行为 。周海仑等 建立了两自由度的航空发动机 CONG 双转子-滚动轴承-机匣耦合系统动力学模型。 [5] 等 基于 Jeffcott 转子假设条件， 建立了两自由度的 轴承 转子系统，研究滚动轴承的故障响应。GAO [6-8] 等 利用二阶非线性差分方程对主轴转子-轴承系 统的动态特性进行建模，研究了主轴转子系统的分 叉和混沌过渡等非线性行为。然而，转子系统高速 旋转时产生离心力和陀螺力矩，会改变滚动轴承的 接触角、 接触载荷及结合面的摩擦特性等， 同时转 子的振动形式也同静止有所不同， 将产生涡动现象， 需要建立非线性轴承模型，并与转子进行耦合。 [9] [10] JONES 、HARRIS 建立了经典的 5 自由度滚动 轴承模型，该模型考虑了轴承高速运转时滚动体的 离心力和陀螺力矩。另外，有限元法的应用为轴承转子系统的理论建模提供了新的思路，使建立复杂 Timoshenko 梁单元考虑了 转子结构模型成为可能， [11] [12-18] CAO 等 旋转惯量和剪切变形， 应用最广泛 。 在 JONES 轴承模型的基础上， 考虑了内圈离心膨胀 以及轴承热变形的影响，对滚动轴承模型进行了扩 展，并与 Timoshenko 梁单元表示的机床主轴转子、 主轴箱等部件有限元模型进行集成，建立了较为完 整的滚动轴承-转子系统模型。 滚动轴承径向承载后，其刚度将发生变化。 [19] LIEW 等 分析了刚度矩阵中各项随方位角度的变 [20] 化规律。EI-SAEIDY 建立了一个 5 自由度刚性主 轴转子-角接触轴承刚度矩阵模型来研究时变刚度， 研究表明在建立轴承-转子模型时， 轴承的时变刚度 不能忽略。很少有文献研究影响轴承刚度波动的因 素， 以及轴承刚度变化对转子系统动态行为的影响。
(1)
月 2014 年 8 月
曹宏瑞等：高速滚动轴承-转子系统时变轴承刚度及振动响应分析
Biblioteka Baidu75
式中， ri 、 ro 分别是内外圈的曲率半径； D 为滚珠 直径； fi 、 f o 分别为内外圈的曲率半径与滚珠直径 的比值； ik 、 ok 分别为滚珠在内外滚道上的接触 变形位移。 内 圈 曲 率 中 心 的 相 对 位 移 icu 和 icv 可 以 表 示为
1
1.1
高速滚动轴承-转子耦合系统建模
高速滚动轴承时变刚度计算 图 1 给出了角接触轴承的坐标系， 图 1 中 k 为
第 k 个滚珠的方位角。当在轴承上施加外力之后， x-y 平面内轴承内外圈曲率中心之间的距离将发生 改变，如图 2 所示。设轴承内、外圈五个自由度上 的相对位移分别为 x 、 y 、 z 、 y 、 z 。
Time Varying Bearing Stiffness and Vibration Response Analysis of High Speed Rolling Bearing-rotor Systems
CAO Hongrui1 LI Yamin1 HE Zhengjia1 ZHU Yongsheng 2
第 50 卷第 15 期 2014 年 8 月
机
械
工 程
学
报
Vol.50 Aug.
No.15 2014
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
DOI：10.3901/JME.2014.15.073
高速滚动轴承-转子系统时变轴承刚度及 振动响应分析*
曹宏瑞 1 李亚敏 1 何正嘉 1 朱永生 2
* 国家自然科学基金(51105294，51035007)、国家重点基础研究发展计划 (973 计划，2011CB706606)和中央高校基本科研业务费专项资金资助项 目。20130826 收到初稿，20140421 收到修改稿
(1. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049; 2. Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-bearing System, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)
Abstract：High speed rolling bearings are widely used in the machine tool spindle, aircraft engines and any other systems. Under the complex operating conditions, bearing stiffness shows the characters of strong nonlinearity and time variation, which are often the primary sources of nonlinearity of system. With the consideration of the centrifugal force, gyroscopic moment, inner ring centrifugal expansion and thermal deformation, a high speed rolling bearing nonlinear model is proposed, which can be used to calculate the stiffness matrix. Rotor-bearing coupling finite element model is obtained by assembling rolling bearing nonlinear model and rotor finite element model. Take FAG bearing (HCB7012E) for example, axial and radial relative displacements of inner ring and outer ring are calculated under the condition of static loads, respectively. The calculated results are compared with the results of FAG’s online tool (BearinX®) to validate the model. Moreover, vibration responses due to unbalanced excitation of the bearing-rotor system are simulated and compared with experiments under different bearing preloads. The variations of bearing stiffness under static and dynamic loads are studied with a back-to-back angular contact ball bearing-rotor system, meanwhile, the time vibration response caused by time varying stiffness and its frequency features are calculated, which provide guidance for the design of high speed rolling bearing- rotor system, dynamic analysis and fault diagnosis.
图1
轴承坐标系
图2
轴承内外圈与滚动体的几何关系
因轴承外圈与箱体固定，故外圈的曲率中心可 以认为是不变的。当轴承发生变形之后，内、外圈 曲率中心和滚珠中心的距离 ik 和 ok 分别是
D ik ri ik fi 0.5 D ik 2 r D f 0.5 D ok o ok o ok 2
(1. 西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室 西安 710049； 2. 西安交通大学现代设计及转子轴承系统教育部实验室 西安 710049)
摘要：高速滚动轴承广泛应用于机床主轴、航空发动机等转子系统中。在复杂运行工况下，滚动轴承的刚度表现出强烈的时 变特性和非线性特性，往往是系统非线性的主要根源。考虑离心力、陀螺力矩、轴承内圈离心膨胀和热变形等因素，建立高 速滚动轴承力学模型，计算轴承的时变刚度。将滚动轴承非线性模型与转子有限元模型集成，建立滚动轴承-转子耦合系统 动力学模型。以 FAG 角接触球轴承(HCB7012E)为例，分别计算静载荷作用下的内外圈轴向、径向相对位移，并与舍弗勒轴 承分析软件 BearinX®的计算结果进行比较，验证了模型对静态位移仿真的精度。在不同轴承预紧状态下，仿真滚动轴承-转 子系统在不平衡激励下的振动响应，并与试验结果比较，验证了模型仿真系统动态响应的精度。利用一个背对背安装的角接 触球轴承-转子系统，研究在静载荷、不平衡载荷激励作用下滚动轴承刚度的变化规律，并计算时变轴承刚度作用下转子的 时域振动响应及频域特征，为高速滚动轴承-转子系统设计、动力学分析与故障诊断提供依据。 关键词：滚动轴承；时变刚度；非线性；振动响应；轴承-转子耦合系统 中图分类号：TH113；TH165
[1]
本文考虑离心力、陀螺力矩、内圈离心膨胀和热变 形，建立高速滚动轴承非线性模型。将轴承-转子系 统各子部件模型进行集成， 建立了整个轴承-转子系 统的有限元模型，该模型可以模拟转子在受到载荷 时的动态行为。通过建立一个背对背安装的角接触 球轴承-转子系统模型， 研究了角接触轴承在旋转过 程中的刚度波动现象，讨论了轴承的滚珠数目、预 紧力、外部载荷、转子转速等因素对刚度波动的影 响。研究了轴承刚度波动对转子动态行为的影响， 分析了当转子分别受到静载荷和动载荷时时，转子 在三个方向的振动响应规律。
icu x z ric cos k y ric sin k icv y cos k z sin k ir uir or
度刚度矩阵
KB
Fi Fo δ i δ o
(5)
刚度矩阵 K B 的每一项都可以化简为包含 U ik 、 U k 、 Vik 、 Vk 、 ok 、 ik 、 k 的式子，可见轴承的 刚度不但与每个滚珠的变形状态有关，而且与每个 滚珠的方位角有关。 轴承旋转时，所有滚珠的空间位置将随着保持 架的旋转发生周期性变化，变化的周期是轴承保持 架转过每两个滚珠所对应的角度 的时间，如图 4a 所示，当保持架转过 角时，各个滚珠的空间位置 将发生改变，如图 4b 所示。 当轴承只受到静态载荷时，使轴承刚度发生变 化的主要因素是轴承滚珠空间位置的变化。假设轴 承受到如图 4 所示 y 负方向的静载荷 F，当轴承保 持架转过一定角度时，各个滚珠的受力和变形都将 发生变化， 如图 4b 所示， 因此轴承刚度也随之改变。 当轴承匀速运转时，轴承刚度将以保持架转过每两 个滚珠所对应的角度的时间为周期发生波动。
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机
械
工
程
学
报
第 50 卷第 15 期期
0
前言
滚动轴承因旋转精度高、承载能力强等特点而 广泛应用于高速机床主轴、航空发动机等高速转子 系统中。 一般认为， 当滚动轴承内径和转速之积 Dn 6 值大于 0.6×10 mm・r/min，或轴承节圆直径和转 6 速之积 Dmn 大于 1.0×10 mm・r/min 时，可称为高 速轴承 。轴承刚度是轴承的重要参数之一，在高 转速、 变载荷等 复杂运行工况下， 滚动轴承的刚度 表现出强烈的时变特性和非线性特性，往往是滚动 轴承-转子耦合系统非线性的主要根源。 滚动轴承 - 转子系统动力学分析一直是研究的 热点。在轴承-转子模型中，转子通常可以简化为刚 体，而轴承可以简化为弹簧和阻尼器的并联组合， 通过求解系统的微分方程组来研究转子系统的动态 [2-3] [4] 行为 。周海仑等 建立了两自由度的航空发动机 CONG 双转子-滚动轴承-机匣耦合系统动力学模型。 [5] 等 基于 Jeffcott 转子假设条件， 建立了两自由度的 轴承 转子系统，研究滚动轴承的故障响应。GAO [6-8] 等 利用二阶非线性差分方程对主轴转子-轴承系 统的动态特性进行建模，研究了主轴转子系统的分 叉和混沌过渡等非线性行为。然而，转子系统高速 旋转时产生离心力和陀螺力矩，会改变滚动轴承的 接触角、 接触载荷及结合面的摩擦特性等， 同时转 子的振动形式也同静止有所不同， 将产生涡动现象， 需要建立非线性轴承模型，并与转子进行耦合。 [9] [10] JONES 、HARRIS 建立了经典的 5 自由度滚动 轴承模型，该模型考虑了轴承高速运转时滚动体的 离心力和陀螺力矩。另外，有限元法的应用为轴承转子系统的理论建模提供了新的思路，使建立复杂 Timoshenko 梁单元考虑了 转子结构模型成为可能， [11] [12-18] CAO 等 旋转惯量和剪切变形， 应用最广泛 。 在 JONES 轴承模型的基础上， 考虑了内圈离心膨胀 以及轴承热变形的影响，对滚动轴承模型进行了扩 展，并与 Timoshenko 梁单元表示的机床主轴转子、 主轴箱等部件有限元模型进行集成，建立了较为完 整的滚动轴承-转子系统模型。 滚动轴承径向承载后，其刚度将发生变化。 [19] LIEW 等 分析了刚度矩阵中各项随方位角度的变 [20] 化规律。EI-SAEIDY 建立了一个 5 自由度刚性主 轴转子-角接触轴承刚度矩阵模型来研究时变刚度， 研究表明在建立轴承-转子模型时， 轴承的时变刚度 不能忽略。很少有文献研究影响轴承刚度波动的因 素， 以及轴承刚度变化对转子系统动态行为的影响。
(1)
月 2014 年 8 月
曹宏瑞等：高速滚动轴承-转子系统时变轴承刚度及振动响应分析
Biblioteka Baidu75
式中， ri 、 ro 分别是内外圈的曲率半径； D 为滚珠 直径； fi 、 f o 分别为内外圈的曲率半径与滚珠直径 的比值； ik 、 ok 分别为滚珠在内外滚道上的接触 变形位移。 内 圈 曲 率 中 心 的 相 对 位 移 icu 和 icv 可 以 表 示为
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高速滚动轴承-转子耦合系统建模
高速滚动轴承时变刚度计算 图 1 给出了角接触轴承的坐标系， 图 1 中 k 为
第 k 个滚珠的方位角。当在轴承上施加外力之后， x-y 平面内轴承内外圈曲率中心之间的距离将发生 改变，如图 2 所示。设轴承内、外圈五个自由度上 的相对位移分别为 x 、 y 、 z 、 y 、 z 。
Time Varying Bearing Stiffness and Vibration Response Analysis of High Speed Rolling Bearing-rotor Systems
CAO Hongrui1 LI Yamin1 HE Zhengjia1 ZHU Yongsheng 2
第 50 卷第 15 期 2014 年 8 月
机
械
工 程
学
报
Vol.50 Aug.
No.15 2014
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
DOI：10.3901/JME.2014.15.073
高速滚动轴承-转子系统时变轴承刚度及 振动响应分析*
曹宏瑞 1 李亚敏 1 何正嘉 1 朱永生 2