函数定义域求法总结(优选)

合集下载

求函数的定义域值域方法总结

函数的定义域、值域方法总结一．常见函数（基本初等函数）：1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx ax y 4．xy 1= 5．幂函数：)(Q a x y a∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x 且 7．对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。

如：d cx bx ax y +++=23，x x y 2log 1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。

二．定义域：“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

函数的三要素：对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

函数定义域的求法tan ...(,,)2y x x R x k k ππ=∈≠+∈Z 且cot y x = (),,x R x k k π∈≠∈Z 且例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．3)5)(3(1+-+=x x x y52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同2. 111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同3. x x f =)( 2)(x x g = 解：不是同一函数，值域不同 4．x x f =)( 33)(x x F = 解：是同一函数 5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同练习求下列函数的定义域 ①)2lg(2x x y -=②1112++-=x x y③02)45()34lg()(-++=x x x x f④)1(log 1|2|)(2---=x x x f⑤(x 1)(x)f x -=⑥1(x)tan f x =⑦(x)lgcos f x = ⑧(x)f =⑨2(x)lg(3x 1)f =++⑩ y ＝ln(x ＋1)－x2－3x ＋4关于复合函数例1、设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。

常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版

常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。

函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。

定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。

常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。

1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。

线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。

2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。

对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。

值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。

-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。

-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。

3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。

指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。

值域则取决于底数的大小和正负性。

-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。

-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。

-当a=1时，指数函数的值域为{1}。

4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。

对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。

值域则取决于底数的大小和正负性。

-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。

-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。

5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。

值域则取决于具体的三角函数类型。

-正弦函数的值域为[-1,1]。

-余弦函数的值域为[-1,1]。

函数定义域值域求法(全十一种)

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。

常见函数解析式定义域值域的求法总结

常见函数解析式定义域值域的求法总结
一、常见函数解析式
1、二次函数
解析式：y=ax2+bx+c
定义域：全实数集
值域：ax2+bx+c的值
2、三角函数
解析式：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx
定义域：全实数集
值域：[-1,1]
3、反三角函数
解析式：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，
y=arcsecx，y=arccscx
定义域：-[1,1],(-∞,+∞)
值域：[-π/2,π/2]
4、双曲函数
解析式：y=sinhx，y=coshx，y=tanhx，y=cothx，y=sechx，y=cschx 定义域：全实数集
值域：[-1,1]
5、对数函数
解析式：y=lgx，y=lnx
定义域：x>0
值域：(-∞,+∞)
6、指数函数
解析式：y=ex
定义域：全实数集
值域：(0,+∞)
二、定义域和值域的求法
1、函数的定义域
定义域的求法：一般取出函数的变量，求出它所在的域，如果有多个变量，一般要满足多个变量的取值范围，才能满足函数的定义域，比如：函数f(x,y)=x2+y2，则它的定义域就是x,y取得所有实数
2、函数的值域
值域的求法：一般取定义域，将变量取不同的值，将函数求出不同的值并且收集，得到函数的值域，比如：函数f(x)＝x2+x+2，值域就是1，3，5，7……。

函数定义域方法总结

求函数定义域方法总结函数的定义域及求法1、分式的分母()()g x f x 中，()0f x ≠；偶次方根的被开方数≥0；在0()f x 中， ()0f x ≠即：0次幂底数不为01、 2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠ k π + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ k π ,k∈Z ；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R ；5、定义域的相关求法：（1）解析式为整式时，x 取任何实数；（2）当解析式为分式时，x 取分母不为零．．．．．的实数（3）利用函数的图象（或数轴）法；（4）利用其反函数的值域法；（5）当解析式为偶次根式时，x 取被开方数为非负数．．．．．．．．的实数（6）当解析式为复合表达式时，首先逐个列出不等式，求出各部分的允许取值范围，再求其公共部分。

6、反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是[－1，1]，值域是；函数y ＝arccosx 的定义域是[－1，1]，值域是[0，π] ；函数y ＝arctgx 的定义域是R ，值域是；函数y ＝arcctgx 的定义域是R ，值域是(0，π)。

7、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．若函数f （x ）的定义域是A ，则函数))((x f ϕ的定义域相当于求：使得)(x ϕ A ∈的x 的取值范围；（2）若函数))((x f ϕ的定义域是A ，则f （x ）的定义域相当于求：当))((x f ϕ中x ∈A 时，)(x ϕ的值域。

8、当解析式涉及到具体应用问题时，视具体应用问题而定。

如果使用函数反映实际问题时，自变量的取值除表示函数的数字式子有意义之外，还必须使实际问题有意义。

典型例题：例1求下列函数的定义域 (1)y=-5x 2， (2) y=3x+5，解：（1）x 为一切实数；（2）x 为一切实数例2．求下列函数的定义域（1）y=11-x （2） y=xx 312+-解：（1）∵x-1≠0 ∴函数的定义域是x ≠1的实数。

函数定义域求法总结

函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

（1）分母不为（2）偶次根式的被开方数。

（3）对数中的真数。

（4）指数、对数的底数（5）y=tanx 中；y=cotx 中等等。

( 6 )0x 中。

二、抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为；函数f x ()-2的定义域为；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为。

4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

函数定义域值域求法总结精彩

函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。

| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。

③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。

故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。

例 2 求函数1ysin x的定义域。

216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。

（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。

2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。

2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。

（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。

例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。

函数定义域值域求法(全十一种)

x

0
0

x

L 2
故函数的解析式为 y (2 )x 2 Lx ，定义域（0， L ）。
2
2
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例 9 已知 f (x) 的定义域为［0，1］，求函数 F(x) f (x a) f (x a) 的定义域。
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
y 1 x x2
例4. 求函数 1 x2 的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
(y 1)x 2 (y 1)x 0
（1）当y 1时，x R
(1)2 4(y 1)(y 1) 0
1
解得：2

y

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实
数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定
原函数的值域。
3x 4
例6. 求函数5x 6 值域。
x 4 6y
解：由原函数式可得： 5y 3
则其反函数为：y
解得：1 2 y 1 2 但此时的函数的定义域由x(2 x) 0 ，得0 x 2 由 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 2(y 1)x y2 0 在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，
由 0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为
例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式，并求函

1函数定义域值域求法总结

1函数定义域值域求法总结函数的定义域和值域是数学中常用的概念，在解析函数的性质和特点时非常重要。

下面将总结函数定义域和值域的求法。

首先，我们来看函数的定义域。

定义域是函数中自变量的取值范围，即能使函数有意义的输入值的集合。

对于不同类型的函数，求解定义域的方法也有所不同。

1.有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与多项式函数的商，即f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)是多项式函数。

求有理函数的定义域，需要考虑到分母q(x)不能为0，因此需要排除使得q(x)=0的x值。

将q(x)=0的方程求解，即可得到定义域。

2.根式函数的定义域：根式函数包括平方根函数、立方根函数等。

根式函数的定义域需要满足根式内部的表达式有意义，即根式内部不能为负数或使得分母等于0。

因此，将根式内部的表达式求解，使其不小于0，并且将整个根式函数形式中分母为0的情况排除，即可得到定义域。

3.指数函数和对数函数的定义域：指数函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为指数函数的输入。

对数函数的定义域需要满足对数底数大于0且不等于1，因此需要排除底数小于等于0或等于1的情况。

4.三角函数和反三角函数的定义域：三角函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为三角函数的输入。

反三角函数的定义域需要使得其在该区间内有定义，即反三角函数的取值范围在[-1,1]之间。

接下来，我们来看函数的值域。

值域是函数的输出值的范围，即函数在定义域内的取值集合。

求函数的值域有不同的方法。

1.分析法：通过对函数的性质进行分析，可以大致确定函数的值域。

例如，对于多项式函数，根据函数的最高次项的系数和项数的奇偶性，可以确定其值域的范围。

2.增减法：通过求解函数的导数，找出函数的极值点和增减区间，可以确定函数的值域的范围。

函数在增减区间内递增或递减，可以推断函数的值域的变化。

3.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的变化情况，可以确定函数的值域的范围。

函数定义域与值域求法总结

函数定义域与值域求法总结一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域.例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ；（2）21)(+=x x f ；（3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11；（5）11)(2-+=x x x f ；（6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域；（2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域；（3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．二：函数值域的求法考查角度1 配方法求值域（此种方法适用于求二次函数或可化为二次函数的函数的值域）【例1】当1≤x ≤2时，求函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域．【练1.1】已知二次函数245y x x =-+，分别求下列条件下函数的值域：（1）[1x ∈-，0]；（2）(1,3)x ∈；（3）(4x ∈，5]．【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+，求函数[()]y f f x =的值域．【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-，2]的值域．【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】（1）求函数2331x y x -=-+的值域．（2）已知函数1()2x f x x +=+，求()f x 的值域．【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y .（2）求函数321xy x -=-的值域．【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+．（2）求函数225941x x y x ++=-的值域．【练2.3】（1）求函数22223x xy x x -=-+的值域．（2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．考查角度3 换元法求值域【例3】求2y x =【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+．【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域．考查角度4 判别式法求值域【例4】利用判别式求函数231xy x x =-+的值域．【练4.1】已知3x >，求函数22173x y x -=-的值域．【练4.2】求函数的值域：22221x x y x x -+=++．考查角度5 列分段函数求值域【例4】求函数的值域：|1||4|y x x =-++．【练5.1】求函数的值域：|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩()()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域．【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域：（1）1y =（观察法）；（2）y =（配方法）；（3）2y x =-+；（4）211x y x -+=-（分离常数法）．（5）28(45)y x x =÷-+（判别式法）．2. 求值域：（1）22566x x y x x -+=+-；（2）2224723x x y x x +-=++；（3）()f x x = （4）()f x =3. 求下列函数的值域：（1）2()231f x x x =--；（2）222()x xf x x x+=-；（3）()f x x =+ （4）()2f x x =（5）221()1x f x x -=+；（6）()5f x x =-+．4. 求下列函数的值域：（1）y x =（2）y x =+（3）4241y x x =++ （4）6y =．5. 求下列函数的值域．（1）31y x =+，[1x ∈，2]；（2）245y x x =--，[1x ∈-，1]；（3）11x y x +=-；（4）2211x y x -=+；（5）2y x =+．6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域．7.求下列函数值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ；（6）12++=x x y .三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 时，将原式中的x 用x -（或x 1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f .例4.(1)已知，求； 3311()f x x x x+=+()f x（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).课后练习1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2) 2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( ) A ．1－x 1＋x B ．1x C ．1 D ．0()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x +=3.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 5.求函数的值域（1）113+-=x x y ；（2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1；(2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x x x f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+， (1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(x f ＝)(x f -．。

8种求定义域的方法

8种求定义域的方法求解函数的定义域是数学中一个常见的问题，定义域是指函数在实数范围内的所有可能取值。

下面介绍八种常见的方法来求解函数的定义域。

1.显式定义法：通过查看函数的表达式来确定定义域。

例如，对于函数f(某)=√(某+3)，由于根号下面是正数，所以可以推断出定义域为某≥-3。

2.有理函数定义法：对于有理函数，定义域由其分母确定。

分母中不能包含使分母为零的值，因为这会导致函数的定义出现问题。

例如，对于函数f(某)=1/(某-2)，分母不能为零，所以定义域为某≠2。

3. 指数函数与对数函数定义法：对于指数函数 f(某) = a^某和对数函数 f(某) = log_a 某，定义域取决于底数 a 的取值。

指数函数中，基数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。

对数函数中，底数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。

4. 三角函数定义法：对于三角函数 f(某) = sin(某), f(某) =cos(某), f(某) = tan(某)，定义域是所有实数。

5.意义域法：对于函数f(某)，通过确定其意义域和反向推导出定义域。

例如，若f(某)=√(1-某)，意义域为[0,+∞)，则可以推断出定义域为某≤1。

6.集合法：可以通过绘制函数对应的图像来确定定义域。

对于连续函数，定义域是所有图像上的点的集合。

对于离散函数，定义域是所有函数被定义的点的集合。

7.奇偶性法：对于偶函数f(某)=f(-某)，定义域可以取所有实数。

对于奇函数f(某)=-f(-某)，定义域可以取所有实数。

8.综合法：可以通过综合运用以上方法来求解复杂函数的定义域。

例如，对于函数f(某)=√(1/(某-1))，首先排除某=1的因数，然后通过意义域法可以确定某>1，综合得出定义域为某>1。

通过以上八种方法，可以求解函数的定义域。

根据函数的表达式、分母、底数、意义域、图像、奇偶性和综合分析等不同特点，选择合适的方法来确定函数的定义域。

函数定义域总结

定义域的求法一、常规型注意根号,分式,对数,幂函数,正切2、常见的定义域①当fx 是整式时,定义域为R;②当fx 是分式时,定义域为使分母不为零的x 的取值的集合;③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合;④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合;⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合; ⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32-x x 01求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域;2 求函数2x161x sin y -+=的定义域; 复合函数定义域的求法1已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域;其解法是：已知)x (f 的定义域是a,b 求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域;测试：设函数()f x 的定义域为[]0,1,求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域;2已知)]x (g [f 的定义域,求fx 的定义域;其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,即所求fx 的定义域;测试：已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数fx 的定义域;2已知)]x (g [f 的定义域,求ftx 的定义域;其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是a,b,求fx 定义域的方法是：由b x a ≤≤,求gx 的值域,也就是tx 的值域,求出tx 的定义域测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-,求函数(21)y f x =-的定义域;三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围;特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决;例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围;例2 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R,求实数k 的取值范围; 四参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论;例6 已知)x (f 的定义域为0,1,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域;解：因为)x (f 的定义域为0,1,即1x 0≤≤;故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间－a,1－a 与a,1+a 的交集,比较两个区间左、右端点,知1当0a 21≤≤-时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-；2当21a 0≤≤时,Fx 的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；3当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时Fx 不能构成函数; 五对数有关定义域为R1y =log 22c bx ax ++a ≠0的定义域为R,则满足 2当值域为R 则满足定义域的作用分析一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数例1．判断函数2()lg f x x =与()g x =2lg x 是否同一函数二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域,否则所求函数关系式就可能出错.另外,根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合,若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集,那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．例1．把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料,求矩形面积S 与矩形长x 的函数关系式.解：设矩形的长为x cm,则宽为2250x -cm,由题意得： 2250x x S -=,故所求的函数关系式为：2250x x S -=.如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x 的范围,解题思路还不够严密．因为当自变量x 取负数或不小于50的数时,S 的值是负数或零,即矩形的面积为非正数,这与实际问题相矛盾,故还要补上自变量x 的范围：500<<x ,所以函数关系式为：2250x x S -=500<<x .评析：从此例可以看出,用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点,结果很有可能出错.例3．判断式子解：要使上面的式子有意义,则1-x 2≥0且x 2-1>0,其解集为空集,由函数定义可知这个式子不表示函数关系式．评注：解题时若忽视了定义域的作用,则很可能得到一个错误结果．三．函数定义域对函数值域的限制作用函数的值域是指全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定后,函数值也随之而定.因此在求函数值域时,应特别注意函数定义域.其实以上结论只是对二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在R 上适用,而在指定的定义域区间],[q p 上,它的最值应分如下情况：⑴当p ab <-2时)(x f y =在],[q p 上单调递增函数)()(),()(max min q f x f p f x f ==； ⑵当q a b >-2时,)(x f y =在],[q p 上单调递减函数)()(),()(min max q f x f p f x f ==； ⑶当q ab p ≤-≤2时)(x f y =在],[q p 上最值情况是：a b ac a b f x f 44)2()(2min -=-=, )}(),(m ax {)(max q f p f x f =．即最大值是)(),(q f p f 中最大的一个值;例4．求函数32-+=x x y 的值域．错解：令3,32+=-=t x x t 则∴22)1(322)3(222≥++=++=++=t t t t t y ,故所求的函数值域是),2[+∞．四．函数定义域对函数奇偶性的作用例1．判断函数错解∵21)(x x f --=,∴)()(x f x f =-,∴函数例6：判断函数y=sinx,x ∈0,6π的周期性．六．函数定义域对函数单调区间的作用函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,而函数的单调区间是函数定义域的子集,所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调区间．例1．指出函数)3lg()(2x x x f +=的单调区间．七．函数定义域对求反函数的影响有些函数不存在反函数,但在其单调区间内存在反函数,在求这类函数的反函数时,除注意其值域外,也要注意定义域例8．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为y ∈ 2 , 6,又6)2(2+--=x y ,即y x -=-6)2(2,∴y x -±=-62,∴所求的反函数为y=2 ±错误!2≤x ≤6．八．函数定义域对解不等式、方程或求值的作用有时巧用函数的定义域,可以避免复杂的变形与讨论,例9．设x 、y 为实数,且1y x=+,试求lgx+y 之值．解：x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥-≥-01010122x x x ,即x ＝1,将其代入已知等式,得y ＝0,故lgx+y=lg1=0．。

函数定义域求法总结

函数定义域求法总结一、具体函数的定义域的问题 1、求下列函数的定义域。

（1）0y=（2）256x x x =-+。

二、抽象函数的定义域问题（一）已知函数()f x 的定义域，求函数[]()f g x 的定义域。

2、已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。

（二）已知函数[]()f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域。

3、已知函数(21)f x +的定义域为[1，2]，求函数()f x 的定义域。

（三）已知函数[]()f g x 的定义域，求函数[]()f h x 的定义域。

求函数解析的方法一、配凑法4、已知22113(1)x f x x x++=+，求()f x 的解析式。

二、换元法5、已知(12f x +=+()f x 的解析式。

三、特殊值法6、已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+都成立，且(0)1f =，求()f x 。

四、待定系数法7、已知()f x 是二次函数，全2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。

五、转化法8、设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0,f x f x ++=当11x -<≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。

六、消去法9、已知函数()f x 21()x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f x ，并证明()f x >。

求函数值域的方法一、配方法10、求二次函数256(32)y x x x =-+-≤≤的值域。

二、图象法 11、求244([2,3])3y x x =-+∈-的值域。

三、分离常数法12、求定义域在区间[-1，1]上的函数(0)a bxy a b a bx+=>>-的值域。

四、换元法13、求函数y x =五、叛别式法14、求22221x x y x x -+=++函数的值域。