解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

专题二：圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题

【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为

121212::=2:=2a ex;a ex;

|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )

ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦

【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (１) 单支焦点半径

112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦

（2) 双支焦点半径

1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦

【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为

1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::

【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为

1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线（单支)于A ，Ｂ两点,则

２、过双曲线的焦点Ｆ的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为

)2

(πθ<

2

1122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==

3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于Ａ,Ｂ两点，与焦点轴夹角为)2

(π

θ<

112

|AF ||BF |p

+= 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与

的焦点所在的轴的夹角为θ，且。

（1） 当焦点内分弦时，有

（2） 当焦点外分弦

时(此时曲线为双曲线)，有

【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,，m,n 为弦长，α为弦夹角

【椭圆】22

212

2

()S (a c )tan

b tan

α

α

=-=

22()S b mn b =-

3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-

【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长，α为弦夹角

212

b ()S tan

α

=

22()S

b mn b =-

3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-

【抛物线焦点弦与原点△ 面积】θ取弦与焦点轴的锐角为

【焦点△ 顶角】

椭 圆:

双曲线:ﻬ一、焦半径与焦点弦 2

θ取弦与焦点轴小于的夹角

22

22

1x y a b +=焦点弦,准线图

【焦半径——椭圆】 分析：如上左图,

11:22

|F A ||F B |a b e;e;p =-c =|AM ||BN |c c

==根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离

11111|F A |ep

x e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ

=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;

11111|F B |ep

e |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ

=⇒==-⇒=+

12222111::=

ep ep ep

;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ

=

=-+-小结:长半焦短半焦焦点弦

分析：如上右图,

1:22

|F A |a b e;p =-c =|AM |c c

=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离

11111|F A |ep

x e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ

=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;

11111|F B |ep

e |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ

=⇒==+⇒=-

12222111::=

ep ep ep

x ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ

=

=-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦

22

22

1y x a b += 22

22

1y x a b +=

分析:如上左图,

1:22

|F A |a b e;p =-c =|AM |c c

=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离

11111|F A |ep

x e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ

=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;

11111|F B |ep

e |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ

=⇒==+⇒=-

分析：如上右图，

1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c

=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离

A

B M

N

2b p c

=

2a x c

=

θ

11111|F A |ep

e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |ep

e |F B |e |BN |e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ

=⇒==-⇒=+

12222111ep ep ep

;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ

=

=-+-:=

结论:长半焦半焦焦点弦:短

【焦半径——双曲线】

内部焦点半径 2

）x(y π

θ取弦与或轴小于的夹角

22

22

1y x a b -=

12222:=

111ep ep ep

;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ

=

=-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦

A

F1

2a x c

=

F2

M

B

N

A

F1

2

a

x c

=-

F2

M

B

N

121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )

ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+2

1b b

a |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+2

2a a

a |F A |e |AM |e(x )a ex c

==-=-22b b

a |F B |e |BN |e(x )a ex c

==-=-A

B

M N

2

b p c

=

2x c

=

θ