解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

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高考解析几何复习专题

交点法探究：
①判别式；②根与系数关系：两根和、两根积（横坐标关系与纵坐标关系转换）； ③数量关系转换（长度、角度、斜率、面积、向量关系或不等关系等转换）； ④位置关系转换（平行或垂直或相交等）
x1 x2 x1x2
y1 y2 y1 y2
问题
繁与简
关于交点法：交点法中的曲线与方程
关联特征转换典型题例关联特征转换非交点法应用题例数学语言转换数形特征转换圆锥曲线概念与基本量关系向量与数量关系转换已知点ab是椭圆的左右顶点f为左焦点点p是椭圆上异于ab的任意一点直线ap与过点b且垂直于x交于点m直线bpmn1求证
高考数学复习专题
解析几何-交点法
（高考全国卷解答题20题探究）
解析几何专题-交点法 1.数学思想：方程（组）思想 2. 问题特征：直线与圆锥曲线-相交弦 3. 途径方法：两式两线两法
焦半
|
PF
|
x0
p 2
, (P(x0,
y0 ) C
:
y2
2 px)
径：
注意：①抛物线方程有四种形式；
②焦半径对应四种不同表示方式
七、圆锥曲线问题类型
问题类型
一、求曲线或轨迹方程问题--方程（组）思想应用（1）点与曲线-方程思想；（2）向量关系-特征转化；（3）特征量或特征量关系；（4）位置特征关系转化
4、路径选择、计算方法
交点法小练与思考练习1 若直线
与椭圆
恒有公共点，
求实数的取值范围
直线与曲线
练习2
已知椭圆
x
2
2
y2 1
1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，若过点 P（0，-2）、F1 的直线交
椭圆于 A,B 两点，求 ABF2 的面积

有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

高考专题：解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。

选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很大。

有容易题，有中难题。

因此在复习中基调为狠抓根底。

不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。

三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

21-22版：专题突破二　焦点弦的性质(步步高)

专题突破二焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1 抛物线y 2＝2px (p >0)，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1.证明：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (5)S △OAB ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题证明 (1)①当AB ⊥x 轴时，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. ②当AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程y 2＝2px ，消元得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2py k－p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)当θ≠90°时，过A 作AG ⊥x 轴，交x 轴于G ，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，在Rt △AFG 中，|FG |＝|AF |cos θ，由图知|GG 1|＝|AA 1|，则p ＋|AF |cos θ＝|AF |，得|AF |＝p 1－cos θ，同理得|BF |＝p 1＋cos θ；当θ＝90°时，可知|AF |＝|BF |＝p ，对于|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ亦成立， ∴|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ. (3)|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ≥2p ，当且仅当θ＝90°时取等号．故通径为最短的焦点弦．(4)由(2)可得，1|AF |＋1|BF |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p. (5)当θ＝90°时，S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22，故满足S △OAB ＝p 22sin θ；当θ≠90°时，设直线AB ：y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫x －p 2，原点O 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪p 2tan θ1＋tan 2θ＝p 2sin θ，S △OAB ＝d 2|AB |＝p 4sin θ×2p sin 2θ＝p 22sin θ. (6)如图：⊙M 的直径为AB ，过圆心M 作MM 1垂直于准线于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2，故以AB 为直径的圆与准线相切．(7)设直线AB 的方程：x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0.由(1)可得y 1y 2＝－p 2.因为BB 1∥x 轴，∴B 1⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，即B 1⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 2y 1， 1OB k ＝－p 2y 1－p 2＝2p y 1＝y 21x 1×1y 1＝y 1x 1＝k OA ，所以OB 1→∥OA →且公共点为O ，所以直线AB 1过点O .所以A ，O ，B 1三点共线，同理得B ，O ，A 1三点共线．二、焦点弦性质的应用例2 (1)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案 D解析方法一由题意可知，直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，故所求三角形的面积为12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 方法二运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94. (2)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案 A解析方法一抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.方法二运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB 的倾斜角为θ，则θ≠π2且θ≠0，因此|AB |＋|DE |＝2p sin 2θ＋2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16. 当且仅当θ＝π4或34π时，等号成立．点评上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案 56解析由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，由题意知A ，B 所在直线的斜率存在，设A ，B 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0. ∴x 1x 2＝14. 而|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512， ∴x 1＋x 2＝1312.又|AF |<|BF |，∴x 1＝13，x 2＝34. ∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.1．过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A ．2B ．1 C.14 D.12考点题点答案 D2. 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝x －1C ．y ＝－x ＋1或y ＝x －1D ．以上均不对考点题点答案 C 解析由焦点弦长|AB |＝2p sin 2α(α为直线AB 的倾斜角)， ∴8＝4sin 2α，sin 2α＝12，则tan α＝±1，又直线过抛物线焦点，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋1或y ＝x －1.故选C.3．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x 答案 B解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．考点题点答案 72 解析抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 5．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为________．考点题点答案 90°解析设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.。

焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。

若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。

题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。

双曲线_焦点弦公式_概述说明以及解释

双曲线焦点弦公式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述双曲线焦点弦公式是研究双曲线特性中的重要公式之一。

它描述了在一条双曲线上，两焦点之间的任意弦的长度与弦与对应焦点到中心点距离的乘积之和为常数。

这个公式在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛应用。

1.2 文章结构本文将按以下结构逐步介绍双曲线焦点弦公式及其相关内容：- 引言：对文章进行引言和概述。

- 双曲线的基本概念和特性：介绍了双曲线的定义、焦点和焦距以及弦的特性。

- 双曲线焦点弦公式的介绍与解释：详细说明了焦点弦公式的概述，以及如何利用该公式求解双曲线参数，并提供实际应用案例分析。

- 双曲线焦点弦公式的推导过程与原理解释：探讨了该公式推导过程中的步骤说明，详细解释了公式背后所表示的几何意义，并介绍了数学推理与证明方法。

- 结论和总结：总结归纳了双曲线焦点弦公式的实际应用，并探讨了双曲线研究的启示和未来发展方向。

1.3 目的本文的目的是全面介绍双曲线焦点弦公式，为读者提供对其原理、应用和推导过程的深入理解。

通过这篇文章，读者可以了解到双曲线背后的数学原理以及在各个领域中该公式的具体应用。

同时，本文也将为读者提供一些关于双曲线研究的启示和未来发展方向，帮助他们更好地理解和应用这一概念。

2. 双曲线的基本概念和特性：2.1 双曲线定义:双曲线是由平面上满足特定条件的点构成的集合。

它具有一条对称轴和两个分离的焦点，以及与对称轴垂直并通过焦点的两条物理不可能存在的弦。

2.2 焦点和焦距:双曲线有两个焦点，分别表示为F1和F2。

每个焦点与双曲线上的任意一点之间的距离总是相等，这个共同的距离被称为焦距，用字母c表示。

2.3 弦的定义和特性:在双曲线上，弦是通过连接两个在双曲线上任意选取的点而形成的直线段。

弦将双曲线分成两部分，并且其长度小于或等于双曲线任何一边到原点（即与焦距c 相关）的距离。

而且对于给定长短固定，相同长度的弦总可以选择到达无穷远处或者退化成一个切线。

椭圆中焦点三角形的性质含答案

由椭圆的第一定义得 r1 r2 2a , (r1 r2 ) 2 4a 2.
2
2
在△ F1 PF2 中，由余弦定理得ห้องสมุดไป่ตู้ r1 r2 2 r1r 2 cos
2
(2c) .
配方得： (r1 r2 )2 2r1r2 2r1r2 cos
4c2.
即 4 a 2 2r1r 2(1 cos ) 4c2 .
2(a 2 c 2 )
S F1 PF2
b2 tan 2
b2 tan 45
b2 20 ，
又 ec a
a2 b2 a
5， 3
b2 1 a2
5 ，即 1 9
20 a2
5. 9
解得： a 2 45 .
所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1或 y2 x2 1.
45 20
45 20
专题 2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )
2a 2 2c2 1
2r1r2
2r1 r2
2r1 r2
1
2a 2 2( r1
2c 2 r2 )2
1
2a2 2c 2 2a 2
1 1 2e2 .
2
命题得证。
例 1.
若 P 是椭圆 x2
y 2 1 上的一点， F1、 F2 是其焦点，且
F1PF2 60 ，
100 64
求△ F1 PF2 的面积 .
例 1．解法一：在椭圆 x 2 y 2 1 中， a 10, b 8, c 6, 而 100 64
个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（
）
若 P、 F1 、 F2 是一

怎样解答与焦点三角形有关的问题

焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。

解析几何知识点总结

解析几何知识点总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：（0,180）2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α（1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A （x1,y1）和B （x2,y2）两点的直线的斜率为K ，则当X1≠X2时，k=tan α=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：y=kx+b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （a ≠0，b ≠0）则直线方程：1=+bya x；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

解析几何中焦点相关的常用结论

抛物线焦点弦的性质及应用在直线与抛物线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，它有一些重要且实用的性质．这些性质通常是解决相关问题的切人点，起着举足轻重的工具性作用，有必要认真领会、系统掌握．但教材中对其相关性质并没有明确而规范的逐一落列，只能靠教学者自身提炼、总结和归纳．现将其有关性质进行探讨和研究设抛物线的方程为y 2=2px(P ＞0),过焦点F(p2,0)作倾斜角为θ的直线，交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质.性质1：已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x x p =++例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是性质2： A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值。

即x 1x 2=42p ， y 1y 2=-p 2证明：当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为：y=k(x －2p ),代入抛物线得4k 2x 2－4p(k 2+2)x+k 2p 2=0,设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）,由韦达定理得x 1x 2=42p 为定值；而|y 1y 2|=12px ·12px =212x x p =2p ·2p =p 2. ∴y 1y 2=－p 2。

当直线AB 斜率不存在时，易证上式结论成立。

例1：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证：直线MQ 平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将P 点横坐标及Q 点纵坐标均用P 点的纵坐标y 1表示.∴P(y 212p ,y 1),Q(x 2,y 2),但y 1y 2=-p 2，∴y 2=﹣p 2y 1,P M 方程是：y=2p y 1x,当x=﹣p 2时,y=﹣p 2y 1即为M 点的纵坐标，这样M 点与Q 点的纵坐标相同，故MQ ∥Ox.例2：设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B ，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴，则直线AC 经过原点O证明：设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则C(－2p ,y 2),直线AB 的方程为：y=k(x －2p),代入抛物线得： y 2－22p y kp-=0, ∴y 1y 2=－p 2. K co =py 22-,K ao =11x y ,∴K co － K ao =11x y p y 22+=2112y p y ⋅p y 22+=121222y p y y p ⋅+=0,即K co =K ao ，∴A 、C 、O 三点共线，即直线AC 经过原点O 。

双曲线微专题二焦点三角形问题

双曲线微专题二：双曲线中焦点三角形问题题型一焦点三角形的周长问题12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的周长时，通常会利用双曲线的第一定义.例1:椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为( )解：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆的定义可得1214PF PF ＋＝又1210F F ＝因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为24。

整理：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是4a ＋2m简要证明：由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，(1)|BF 2|－|BF 1|＝2a ，(2) 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝4 a+m . 故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4 a+2m .例2:已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．26解：如图所示，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，(1)|BF 2|－|BF 1|＝8，(2)又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝21.故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26.答案 D练习：1.如果12,F F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是．(28)2.若12,F F 分别是双曲线22x y 1m 7−=的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||4=AB ，2ABF ∆的周长是20，则m= 答案：题型二焦点三角形的面积问题求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠ 和。

解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (1) 单支焦点半径112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦(2) 双支焦点半径1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为1.过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点, 则2.过双曲线的焦点F 的直线分别与两支交于A,B, 与焦点轴夹角为3.过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点, 与焦点轴夹角为（1）4.已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点, 过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为, 且。

（2）当焦点内分弦时, 有当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）, 有【椭圆焦三角形面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,α为弦夹角【椭圆【双曲线焦△面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,α为弦夹角【抛物线焦点弦与原点△面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】分析: 如上左图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析: 如上右图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析: 如上左图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析: 如上右图,11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b -=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角分析: 如上左图,11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析: 如上右图,ABM N2b p c=2a x c=θθM‘MN’NBAABθN‘M’ N M22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦【焦半径——抛物线】2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论θM‘MN’NBA21a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c ==-+=-122:==ab a b a b a b a ex;a ex|AB |a ex a ex e(x x )|AB |a ex a ex a e(x x )ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右122211p p p;;|AB |cos cos sin ρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x |AB ||AM ||B N |(|AM'||M'M |)(|BN'||N'N |)|AB |x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y |AB ||AM ||B N |(|AM'||M'M |)(|BN'||N'N |)|AB |y y p−−−→=+=+++⇒++焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点, 则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B, 与焦点轴夹角为21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点, 与焦点轴夹角为112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率（3）已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点, 过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为 , 且。

【知识梳理】解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)

【知识梳理】解析几何的20个微专题[1]专题1：直线与方程知识梳理：（1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3）过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定（1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题（1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --. ②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程. (2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -. ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行. 本章知识结构专题2：圆的标准方程与一般方程知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当时，二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

抛物线焦点弦三角形面积

抛物线焦点弦三角形面积
在解析几何中,抛物线是一种重要的二次曲线。

它有许多有趣的性质,其中之一就是关于焦点弦三角形的面积。

所谓焦点弦三角形,是指以抛物线上任意两点所确定的弦为底边,过抛物线焦点作垂线与该弦相交于两点,以这两点为顶点所构成的三角形。

对于标准抛物线y^2=2px(其中p为焦距),我们可以推导出焦点弦三角形的面积公式为:
S = (x_2 - x_1)^2 / 8p
其中x_1和x_2是确定弦的两个x坐标值。

证明过程较为复杂,主要利用了几何和微积分的知识。

这一性质在研究抛物线的各种应用中都有重要作用,比如计算抛物线旋转体的体积等。

需要指出的是,对于不同形式的抛物线方程,焦点弦三角形面积公式也会有所不同,但其本质思想是一致的。

通过研究抛物线的这些几何性质,可以加深我们对这一基本曲线的理解。

焦点弦与焦点所成三角形面积

焦点弦与焦点所成三角形面积
首先，我们需要了解一下什么是焦点弦和焦点所成三角形。

焦点弦是指一个圆的直径上的任意一条线段，该线段的两个端点分别为圆的两个焦点；而焦点所成三角形则指以圆心为顶点，以两个焦点为另外两个顶点的三角形。

接下来，我们来探讨一下如何计算焦点弦与焦点所成三角形的面积。

对于焦点弦，我们可以使用以下公式进行计算：
焦点弦的面积 = (焦点弦长度×圆的半径) ÷ 2
其中，焦点弦长度指的是焦点弦两个端点之间的距离。

对于焦点所成三角形，我们可以使用以下公式进行计算：
焦点所成三角形的面积 = (圆的半径×正弦值(焦点所成角度)) ÷ 2
其中，焦点所成角度指的是以圆心为顶点，以两个焦点为另外两个顶点所成的角度。

需要注意的是，以上公式中的焦点弦长度和焦点所成角度都需要通过测量或计算来获取。

综上所述，焦点弦与焦点所成三角形的面积计算方法相对简单，只需要根据公式输入相关参数即可得出结果。

- 1 -。

抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2、掌握抛物线焦点三角形面积公式夹角式 .
学习重难点：
重点：理解公式的推导过程&识记结论并解决相关问题.
难点：公式的灵活使用.
思&议
问题1：如图所示，过抛物线 2 = 2 > 0 的焦点的直线交抛物线于
, 两点(其中点位于轴上方)，若该直线的倾斜角为. 试用, 表示：
1 焦半径和；
2 焦点弦长；
3 焦点三角形面积△ .
思&议
问题2：由问题1的结果，你能进一步用, 表示下面的量吗？
4
1

+
1

； 5

； 6
∙ .
思&议
问题3：如图所示， , 为抛物线 = > 的两条互相垂直
的焦点弦，由问题1的结果，你能用表示出
圆锥曲线的方程
微专题 — 抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式
引
以开口朝右的抛物线: = > 为例，前面我们学习过
抛物线焦半径、焦点弦的坐标公式：
= +

；

= +

；

= + + .
也学习过抛物线焦点三角形面积的坐标公式：△ =

=
；
1+
2
= 2 ；

2
△ =
；
2
1
1
2
+
= ；

1+
=
；

1−
2
∙ = 2 .

8
1

解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

高考解析几何复习专题

有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

高考专题：解析几何常规题型及方法

21-22版：专题突破二 焦点弦的性质(步步高)

焦点三角形问题(解析版)

双曲线_焦点弦公式_概述说明以及解释

椭圆中焦点三角形的性质含答案

怎样解答与焦点三角形有关的问题

解析几何知识点总结

解析几何中焦点相关的常用结论

双曲线微专题二 焦点三角形问题

解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

【知识梳理】解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)

抛物线焦点弦三角形面积

焦点弦与焦点所成三角形面积

抛物线的焦半径、焦点弦、焦点三角形面积的夹角公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

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